श्रेणी frac{1}{1 times 2} + frac{1}{2 times 3 | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $\frac{1}{1 	imes 2} + \frac{1}{2 	imes 3} + \frac{1}{3 	imes 4} + \ldots$ है।$n$ वां पद $a_{n} = \frac{1}{n(n+1)}$ है।आंशिक भिन्न

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$\frac{n}{n+1}$

Vedclass · Answer

(A) दी गई श्रेणी $\frac{1}{1 	imes 2} + \frac{1}{2 	imes 3} + \frac{1}{3 	imes 4} + \ldots$ है।$n$ वां पद $a_{n} = \frac{1}{n(n+1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $a_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$।अब,$n$ पदों का योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} ight)$ है।योग का विस्तार करने पर:$S_{n} = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} ight) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ight) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ight) + \ldots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} ight)$।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:$S_{n} = 1 - \frac{1}{n+1}$।व्यंजक को सरल करने पर:$S_{n} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$।

श्रेणी $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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$\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन-$1$: श्रेणी $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+\dots+(361+380+400)$ का योग $8000$ है।
कथन-$2$: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = n^3$,किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए।

$1000 \left[ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{999 \times 1000} \right]$ का मान है

किसी भी $n \in N$ के लिए,$\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = $

धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए,यदि $4 a_n = (n^2 + 5n + 6)$ और $S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{a_k}\right)$ है,तो $507 S_{2025}$ का मान क्या है?

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