यदि sum_{k=1}^{10} frac{k}{k^{4}+k^{2}+1}=fra | vedclass

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Question

(A) दिया गया योग $\sum_{k=1}^{10} \frac{k}{k^{4}+k^{2}+1}$ है।ध्यान दें कि $k^{4}+k^{2}+1 = (k^{2}+k+1)(k^{2}-k+1)$ है।अतः,सामान्य पद $\frac{k}{(k^{2}

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$166$

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(A) दिया गया योग $\sum_{k=1}^{10} \frac{k}{k^{4}+k^{2}+1}$ है।ध्यान दें कि $k^{4}+k^{2}+1 = (k^{2}+k+1)(k^{2}-k+1)$ है।अतः,सामान्य पद $\frac{k}{(k^{2}+k+1)(k^{2}-k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k^{2}-k+1} - \frac{1}{k^{2}+k+1} \right)$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $\frac{1}{2} (f(1) - f(11))$,जहाँ $f(k) = \frac{1}{k^{2}-k+1}$ है।$f(1) = 1$ और $f(11) = \frac{1}{111}$ है।योग $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{111}) = \frac{55}{111}$ प्राप्त होता है।यहाँ $m=55$ और $n=111$ हैं,इसलिए $m+n = 166$ है।

यदि $\sum_{k=1}^{10} \frac{k}{k^{4}+k^{2}+1}=\frac{m}{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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