निम्नलिखित श्रेणी $2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots$ का अनंत तक योग क्या होगा?

मान लीजिए $a, b, c, d$ वास्तविक संख्याएँ हैं,ताकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $\sum_{k=1}^n (a k^3+b k^2+c k+d)=n^4$ हो। तो,$|a|+|b|+|c|+|d|$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1+(1+3)+(1+3+5)+(1+3+5+7)+\ldots$ $10$ पदों तक $=$

यदि श्रेणी ${\left( {1\frac{4}{7}} \right)^2} + {\left( {1\frac{5}{7}} \right)^2} + {\left( {1\frac{6}{7}} \right)^2} + {2^2} + {\left( {2\frac{1}{7}} \right)^2} + \dots$ के प्रथम $11$ पदों का योग $\frac{11}{7}\lambda$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\langle a_n \rangle$ एक अनुक्रम है ताकि $a_1+a_2+\ldots+a_n = \frac{n^2+3n}{(n+1)(n+2)}$। यदि $28 \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k} = p_1 p_2 p_3 \ldots p_m$ है,जहाँ $p_1, p_2, \ldots, p_m$ प्रथम $m$ अभाज्य संख्याएँ हैं,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $2.5+5.9+8.13+11.17+\ldots$ के $n$ पदों का योग $=an^3+bn^2+cn+d$ है,तो $a-b+c-d=$