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Question

(A) दिया गया व्यंजक $n$-वें फिबोनाची संख्या के लिए बिनेट का सूत्र है,जहाँ $u_n = F_n$ है।माना $\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ और $\beta = \frac{1 -

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$u_{n+1} = u_n + u_{n-1}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया व्यंजक $n$-वें फिबोनाची संख्या के लिए बिनेट का सूत्र है,जहाँ $u_n = F_n$ है।माना $\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ और $\beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ है।तब $u_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}$ है।हम जानते हैं कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - x - 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha^2 = \alpha + 1$ और $\beta^2 = \beta + 1$ है।$n \ge 1$ के लिए,$u_{n+1} = \frac{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}}{\sqrt{5}}$ है।$u_n + u_{n-1} = \frac{1}{\sqrt{5}} [(\alpha^n - \beta^n) + (\alpha^{n-1} - \beta^{n-1})] = \frac{1}{\sqrt{5}} [\alpha^{n-1}(\alpha + 1) - \beta^{n-1}(\beta + 1)]$ है।चूंकि $\alpha + 1 = \alpha^2$ और $\beta + 1 = \beta^2$ है,हमें $u_n + u_{n-1} = \frac{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}}{\sqrt{5}} = u_{n+1}$ प्राप्त होता है।अतः,पुनरावृत्ति संबंध $u_{n+1} = u_n + u_{n-1}$ है।

माना $u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right]$,$n = 0, 1, 2, ...$ के लिए,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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