प्राकृतिक संख्याओं की श्रेणी को निम्नलिखित सम | vedclass

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Question

(A) $n$ वें समूह में $n$ पद हैं जो एक समांतर श्रेणी में हैं और जिनका सार्व अंतर $1$ है।$n$ वें समूह का प्रथम पद $T_n$,पिछले $(n-1)$ समूहों में पदों की

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$\frac{1}{2}\,[n\,({n^2} + 1)]$

Vedclass · Answer

(A) $n$ वें समूह में $n$ पद हैं जो एक समांतर श्रेणी में हैं और जिनका सार्व अंतर $1$ है।$n$ वें समूह का प्रथम पद $T_n$,पिछले $(n-1)$ समूहों में पदों की कुल संख्या प्लस $1$ है।प्रथम $(n-1)$ समूहों में पदों की संख्या $1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ है।अतः,$n$ वें समूह का प्रथम पद $T_n = \frac{n(n-1)}{2} + 1 = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ है।$n$ वें समूह के $n$ पदों का योग समांतर श्रेणी के योग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$,जहाँ $a = T_n$ और $d = 1$ है।$S_n = \frac{n}{2} [2(\frac{n^2 - n + 2}{2}) + (n-1)(1)]$$S_n = \frac{n}{2} [n^2 - n + 2 + n - 1]$$S_n = \frac{n}{2} [n^2 + 1] = \frac{1}{2} [n(n^2 + 1)]$.

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