यदि alpha_r और beta_r (जहाँ alpha_r

Question

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ है। विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha_r + \beta_r = r^2(r + 1) = r^3 + r^2$ और

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$\frac{1}{2}n(n + 1)(n^2 + 3n + 1)$

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(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ है। विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha_r + \beta_r = r^2(r + 1) = r^3 + r^2$ और मूलों का गुणनफल $\alpha_r \beta_r = r^5$ है। अतः मूल $\alpha_r = r^2$ और $\beta_r = r^3$ हैं। हमें $S = \sum_{r=1}^{n} (3r^2 + 2r^3)$ का मान ज्ञात करना है। मानक सूत्रों का उपयोग करने पर: $S = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)(n^2 + 3n + 1)}{2}$.

यदि $\alpha_r$ और $\beta_r$ (जहाँ $\alpha_r < \beta_r$) द्विघात समीकरण $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ के मूल हैं,तो $\sum_{r=1}^{n} (3\alpha_r + 2\beta_r)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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