यदि एक A.P. के (m + 1)^{th},(n + 1)^{th} और ( | vedclass

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Question

(A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।चूंकि $(m + 1)^{th}$,$(n + 1)^{th}$ और $(r + 1)^{th}$ पद $G.P.$ में हैं,इसलिए:$(a + md), (a + nd)

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$-\frac{2}{n}$

Vedclass · Answer

(A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।चूंकि $(m + 1)^{th}$,$(n + 1)^{th}$ और $(r + 1)^{th}$ पद $G.P.$ में हैं,इसलिए:$(a + md), (a + nd), (a + rd)$ $G.P.$ में हैं।अतः,$(a + nd)^2 = (a + md)(a + rd)$.सरल करने पर: $a^2 + 2and + n^2d^2 = a^2 + ard + amd + mrd^2$.$2and - ard - amd = mrd^2 - n^2d^2$.$ad(2n - r - m) = d^2(mr - n^2)$.अतः,$\frac{d}{a} = \frac{2n - (m + r)}{mr - n^2}$ ... $(i)$.दिया है कि $m, n, r$ $H.P.$ में हैं,इसलिए $n = \frac{2mr}{m + r}$,जिसका अर्थ है $m + r = \frac{2mr}{n}$।समीकरण $(i)$ में $m + r$ का मान रखने पर:$\frac{d}{a} = \frac{2n - \frac{2mr}{n}}{mr - n^2} = \frac{\frac{2n^2 - 2mr}{n}}{mr - n^2} = \frac{-2(mr - n^2)}{n(mr - n^2)} = -\frac{2}{n}$.

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मान लीजिए $a_0=0$ और $n \geq 1$ के लिए $a_n=3 a_{n-1}+1$ है। तो,$a_{2010}$ को $11$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल क्या है?

उस अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए जिसका $n^{th}$ पद $a_{n} = (-1)^{n-1} 5^{n+1}$ है।

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