निम्नलिखित अनुक्रम का $7^{\text{th}}$ पद ज्ञात कीजिए जिसका $n^{\text{th}}$ पद $a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}$ है।

अनुक्रम $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ पर विचार करें जहाँ $a_{1}=1, a_{2}=2$ और $n=1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}}+a_{n}$ है। यदि $\left(\frac{a_{1}+\frac{1}{a_{2}}}{a_{3}}\right) \cdot\left(\frac{a_{2}+\frac{1}{a_{3}}}{a_{4}}\right) \cdot\left(\frac{a_{3}+\frac{1}{a_{4}}}{a_{5}}\right) \cdots\left(\frac{a_{30}+\frac{1}{a_{31}}}{a_{32}}\right)=2^{\alpha}\left({}^{61}C_{31}\right)$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1$ अंक का उपयोग किए बिना बनी और $500$ से कम या उसके बराबर सभी $3$-अंकीय संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए,जो $11$ की गुणज हैं।

मान लीजिए $a, b$ और $c$ एक $G.P.$ में हैं जिनका सार्व अनुपात $r$ है,जहाँ $a \ne 0$ और $0 < r \le \frac{1}{2}$ है। यदि $3a, 7b$ और $15c$ एक $A.P.$ के प्रथम तीन पद हैं,तो इस $A.P.$ का चौथा पद क्या होगा?

मान लीजिए $3, a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं और $3, a-1, b+1, c+9$ एक $G.P.$ में हैं। तो $a, b$ और $c$ का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 8 + 7 + 16 + 9 + \dots$ श्रेणी के प्रथम $40$ पदों का योग क्या होगा?