$\sum\limits_{1 < p < 100} {p! - \sum\limits_{n = 1}^{50} {(2n)!} }$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।

एक सर्कस में $10$ जानवरों को रखने के लिए $10$ पिंजरे हैं। इनमें से $4$ पिंजरे इतने छोटे हैं कि $10$ में से $5$ जानवर उनमें प्रवेश नहीं कर सकते। इन $10$ जानवरों को इन $10$ पिंजरों में कितने तरीकों से रखा जा सकता है?

एक परीक्षा में $3$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं और प्रत्येक प्रश्न के $4$ विकल्प हैं। उन तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें एक छात्र सभी उत्तर सही प्राप्त करने में विफल रहता है:

एक लेटर लॉक में $15$ अलग-अलग अक्षरों वाली तीन रिंग्स हैं। यदि $N$ लॉक खोलने के लिए किए गए असफल प्रयासों की संख्या को दर्शाता है,तो:

मान लीजिए $n \geq 3$ एक पूर्णांक है। $(1, 2, \ldots, n)$ के क्रमचय $\sigma = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ के लिए,हम $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ को परिभाषित करते हैं। मान लीजिए $S_\sigma$ समीकरण $f_\sigma(x) = 0$ के मूलों का योग है और $S$ उन सभी क्रमचयों $\sigma$ पर $S_\sigma$ के मानों का योग दर्शाता है। तो,

$0, 1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके और प्रत्येक अंक का एक संख्या में एक से अधिक बार उपयोग न करके बनाई जा सकने वाली तीन-अंकीय और पांच-अंकीय पूर्णांकों की कुल संख्या है: