संख्या $(183!) + (3^{183})$ के इकाई के स्थान का अंक क्या है?

$0, 1, 2, 5, 7$ और $9$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $6$ अंकों की ऐसी संख्याएँ,जो $11$ से विभाज्य हों और जिनमें कोई अंक दोहराया न गया हो,उनकी संख्या क्या है?

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$I.$ यदि $n$ एक भाज्य संख्या है,तो $n$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है।
$II.$ ऐसी अनंत प्राकृतिक संख्याएँ $n$ हैं जिनके लिए $n^3+2n^2+n$,$n!$ को विभाजित करता है।

मान लीजिए $A$ एक समुच्चय है जिसमें $n$ अवयव हैं। $A$ का एक उपसमुच्चय $P$ चुना जाता है,और $P$ के अवयवों को प्रतिस्थापित करके समुच्चय $A$ को पुनर्गठित किया जाता है। $A$ का एक उपसमुच्चय $Q$ फिर से चुना जाता है। $P$ और $Q$ को चुनने के तरीकों की संख्या ताकि $Q$ में $P$ से केवल एक अवयव अधिक हो,है

$3, 4, 5, 6, 7, 0$ अंकों का उपयोग करके $40,000$ से बड़ी ऐसी कितनी $5$-अंकीय विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जिनमें कम से कम एक अंक की पुनरावृत्ति हो?

छात्रों $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{10}$ को $3$ समूहों $A, B$ और $C$ में इस प्रकार विभाजित किया जाना है कि प्रत्येक समूह में कम से कम एक छात्र हो और समूह $C$ में अधिकतम $3$ छात्र हों। तो ऐसे समूहों को बनाने की कुल संभावनाओं की संख्या ........ है।