$UNIVERSITY$ शब्द को यादृच्छिक रूप से व्यवस्थित किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि दोनों $I$ एक साथ न आएं?

$0, 1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके और प्रत्येक अंक का एक संख्या में एक से अधिक बार उपयोग न करके बनाई जा सकने वाली तीन-अंकीय और पांच-अंकीय पूर्णांकों की कुल संख्या है:

$TABLE$ शब्द के सभी अक्षरों को क्रमचयित किया जाता है और इस प्रकार बने अक्षरों के शब्दों को शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। तो $TABLE$ शब्द का रैंक $BLATE$ शब्द के रैंक से गिनने पर क्या होगा?

मान लीजिए $m$ (क्रमशः $n$) अंकों $1, 2, 3, 4, 5$ का उपयोग करके पुनरावृत्ति के साथ (क्रमशः पुनरावृत्ति के बिना) प्राप्त $5$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या है,ताकि किन्हीं भी दो आसन्न अंकों का योग विषम हो। तो $\frac{m}{n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${ }^{n} P_{r}={ }^{n} P_{r+1}$ और ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{r-1}$ है,तो $r$ का मान किसके बराबर है?

छात्रों $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{10}$ को $3$ समूहों $A, B$ और $C$ में इस प्रकार विभाजित किया जाना है कि प्रत्येक समूह में कम से कम एक छात्र हो और समूह $C$ में अधिकतम $3$ छात्र हों। तो ऐसे समूहों को बनाने की कुल संभावनाओं की संख्या ........ है।