एक परीक्षा में $3$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं और प्रत्येक प्रश्न के $4$ विकल्प हैं। उन तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें एक छात्र सभी उत्तर सही प्राप्त करने में विफल रहता है:

एक पूर्णांक $n$ और उसके घन $n^3$ के बीच का अंतर हमेशा निम्नलिखित में से किससे विभाज्य होता है?

$15$ सेबों को तीन व्यक्तियों $A, B, C$ में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि $A$ और $C$ में से प्रत्येक को कम से कम $2$ सेब मिलें और $B$ को अधिकतम $5$ सेब मिलें।

$\sum\limits_{1 < p < 100} {p! - \sum\limits_{n = 1}^{50} {(2n)!} }$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $n_1 < n_2 < n_3 < n_4 < n_5$ ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि $n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=20$ है। तो ऐसी भिन्न व्यवस्थाओं $(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5)$ की संख्या क्या है?

$FARMER$ शब्द के सभी विन्यास,अर्थ के साथ या बिना,लिखे जाते हैं,जिसमें उन शब्दों को छोड़कर जिनमें दो $R$ एक साथ आते हैं। इन विन्यासों को अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार वर्णानुक्रम में सूचीबद्ध किया गया है। तो इस सूची में $FARMER$ शब्द का क्रम संख्या .... है।