Geometrical problems Questions in Gujarati

(B) $8$-ઓર બોટ માટે સ્ટ્રોક સાઇડ પર $4$ અને બો સાઇડ પર $4$ પુરુષોની જરૂર છે.
કુલ $12$ પુરુષોમાંથી $3$ ફક્ત સ્ટ્રોક સાઇડ માટે છે અને $9$ બંને બાજુ કામ કરી શકે છે.
પસંદગી અને ગોઠવણીની કુલ રીતો $= { }^{9}C_{4} \times { }^{8}C_{4} \times 4! \times 4!$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) $10$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_3$ દ્વારા મળે છે.
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
$6$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેઓ ત્રિકોણ બનાવતા નથી. આ $6$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{6}C_3$ છે.
$^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
તેથી,ત્રિકોણની કુલ સંખ્યા $N = 120 - 20 = 100$.

(A) ત્રિકોણ $n$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીને બને છે. $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^nC_3$ છે.
આપેલ છે કે $T_{n+1} - T_n = 10$.
નિત્યસમ ${}^{n+1}C_r - {}^nC_r = {}^nC_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^{n+1}C_3 - {}^nC_3 = {}^nC_2 = 10$.
સૂત્રનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$
$n^2 - n = 20$
$n^2 - n - 20 = 0$
$(n-5)(n+4) = 0$
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 5$.

(D) $15$ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા કુલ ભિન્ન ત્રિકોણોની સંખ્યા $^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ છે.
આપણે એવા કિસ્સાઓ બાકાત રાખવા પડશે જ્યાં $i+j+k = 15$,જ્યાં $1 \leq i < j < k \leq 15$ હોય.
$i+j+k = 15$ થાય તેવી $(i, j, k)$ ની શક્ય જોડીઓ:
$(1, 2, 12), (1, 3, 11), (1, 4, 10), (1, 5, 9), (1, 6, 8), (2, 3, 10), (2, 4, 9), (2, 5, 8), (2, 6, 7), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (4, 5, 6)$.
આ ગણતરી કરતા,આપણને આવા $12$ કિસ્સાઓ મળે છે.
તેથી,જરૂરી ત્રિકોણોની સંખ્યા $455 - 12 = 443$ છે.

(C) $37$ રેખાઓમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{37}C_2$ છે.
બિંદુ $A$ માંથી $13$ રેખાઓ પસાર થતી હોવાથી,તે $^{13}C_2$ અલગ છેદબિંદુઓ બનાવતી નથી; તેના બદલે,તે બધી $1$ બિંદુ પર છેદે છે. તેથી,આપણે $^{13}C_2$ બાદ કરીએ છીએ અને $1$ ઉમેરીએ છીએ.
તે જ રીતે,બિંદુ $B$ માંથી $11$ રેખાઓ પસાર થતી હોવાથી,આપણે $^{11}C_2$ બાદ કરીએ છીએ અને $1$ ઉમેરીએ છીએ.
તેથી,છેદબિંદુઓની કુલ સંખ્યા $^{37}C_2 - ^{13}C_2 - ^{11}C_2 + 2$ છે.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $10$ સમાંતર રેખાઓમાંથી $2$ રેખાઓ અને $m$ સમાંતર રેખાઓમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરીને બને છે.
$10$ માંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ છે.
$m$ માંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{m}C_2 = \frac{m(m-1)}{2}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની કુલ સંખ્યા:
${}^{10}C_2 \times {}^{m}C_2 = 675$
$45 \times \frac{m(m-1)}{2} = 675$
$\frac{m(m-1)}{2} = 15$
$m(m-1) = 30$
$m^2 - m - 30 = 0$
$(m - 6)(m + 5) = 0$
$m$ ધન હોવાથી,$m = 6$.

(C) $A, B$ અને $C$ સિવાયના કુલ બિંદુઓ $10 + 8 = 18$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$18$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{18}C_3$ છે.
$AB$ રેખા પરના બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,$^{10}C_3$ સંયોજનો ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
$AC$ રેખા પરના બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,$^{8}C_3$ સંયોજનો ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
તેથી,ત્રિકોણની સંખ્યા $= ^{18}C_3 - ^{10}C_3 - ^{8}C_3$ છે.
$^{18}C_3 = 816$,$^{10}C_3 = 120$,$^{8}C_3 = 56$.
ત્રિકોણની સંખ્યા $= 816 - 120 - 56 = 640$.

(A) ધારો કે બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા $n$ છે. $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $54$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 54$
$n(n-3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
$(n-12)(n+9) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 12$.
આમ,બહુકોણને $12$ બાજુઓ છે.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા $\frac{n(n-3)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $170$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 170$
$n(n-3) = 340$
$n^2 - 3n - 340 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$(n - 20)(n + 17) = 0$
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 20$.
નિયમિત બહુકોણના અંતઃકોણનું માપ $\frac{(n-2) \pi}{n}$ છે.
$n = 20$ માટે,અંતઃકોણ $\frac{(20-2) \pi}{20} = \frac{18 \pi}{20} = \frac{9 \pi}{10}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે સમતલ પર $n$ બિંદુઓ છે. $n$ બિંદુઓને જોડીને બનતા રેખાખંડોની સંખ્યા ${}^nC_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કુલ રેખાખંડોની સંખ્યા $15$ છે,તેથી:
${}^nC_2 = 15$
$\frac{n(n - 1)}{2} = 15$
$n(n - 1) = 30$
$n^2 - n - 30 = 0$
$(n - 6)(n + 5) = 0$
બિંદુઓની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 6$.

(C) બહુકોણ $10$ બિંદુઓમાંથી $n$ બિંદુઓ પસંદ કરીને બને છે,જ્યાં $n \ge 3$.
$10$ માંથી $n$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{10}{n}$ છે.
વર્તુળ પરના કોઈપણ $n$ બિંદુઓ $(n \ge 3)$ એક અનન્ય બહિર્મુખ બહુકોણ બનાવે છે,તેથી કુલ બહુકોણની સંખ્યા $n = 3, 4, \dots, 10$ માટેના સંચયોનો સરવાળો છે.
કુલ બહુકોણ = $\binom{10}{3} + \binom{10}{4} + \binom{10}{5} + \binom{10}{6} + \binom{10}{7} + \binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{n=0}^{10} \binom{10}{n} = 2^{10} = 1024$.
તેથી,$\sum_{n=3}^{10} \binom{10}{n} = 2^{10} - \binom{10}{0} - \binom{10}{1} - \binom{10}{2}$.
$= 1024 - 1 - 10 - 45 = 968$.

(B) ગણ $X$ એ $(a, b)$ બિંદુઓની ગ્રીડ દર્શાવે છે જ્યાં $a$ એ $0$ થી $20$ ($21$ બિંદુઓ) અને $b$ એ $0$ થી $15$ ($16$ બિંદુઓ) સુધીની કિંમતો ધરાવે છે.
અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો લંબચોરસ બનાવવા માટે,આપણે $\{0, 1, 2, \dots, 20\}$ માંથી $a$ માટે $2$ અલગ કિંમતો અને $\{0, 1, 2, \dots, 15\}$ માંથી $b$ માટે $2$ અલગ કિંમતો પસંદ કરવી પડે.
$a$ માટે $2$ કિંમતો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{21}{2} = \frac{21 \times 20}{2} = 210$ છે.
$b$ માટે $2$ કિંમતો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{16}{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ છે.
આવા કુલ લંબચોરસની સંખ્યા $210 \times 120 = 25200$ થાય.

(C) $3$ સમાંતર રેખાઓ છે,જેમાં દરેક પર $4$ બિંદુઓ છે. કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $3 \times 4 = 12$ છે.
$12$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
જ્યારે $3$ બિંદુઓ એક જ રેખા પર હોય ત્યારે ત્રિકોણ બનતા નથી. એક જ રેખા પરના $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણ બનતો નથી.
$4$ બિંદુઓ ધરાવતી $3$ રેખાઓ હોવાથી,$3$ સમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $3 \times C(4, 3) = 3 \times 4 = 12$ છે.
તેથી,બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $220 - 12 = 208$ છે.

(C) $n$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીને બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $t_n = \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $t_{n+1} = t_n + 28$ મુજબ:
$\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = 28$.
ગુણધર્મ $\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = \binom{n}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\binom{n}{2} = 28$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 28$.
$n(n-1) = 56$.
$n^2 - n - 56 = 0$.
$(n-8)(n+7) = 0$.
$n$ ધન હોવાથી,$n = 8$.

(B) $m$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના શિરોબિંદુઓથી બનાવી શકાતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $T_m = {}^mC_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_{m+1} - T_m = 15$.
સૂત્ર મૂકતા,${}^{m+1}C_3 - {}^mC_3 = 15$.
નિત્યસમ ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે ${}^{m+1}C_3 = {}^mC_3 + {}^mC_2$.
તેથી,${}^mC_3 + {}^mC_2 - {}^mC_3 = 15$.
આનું સાદું રૂપ ${}^mC_2 = 15$ થાય છે.
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{m(m-1)}{2} = 15$.
$m(m-1) = 30$.
$m^2 - m - 30 = 0$.
$(m-6)(m+5) = 0$.
કારણ કે $m$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $m = 6$.

(D) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $3p$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3p$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{3p}C_3$ છે.
જો કે,જો $3$ બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તે ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
ત્યાં $3$ રેખાઓ છે,દરેક પર $p$ બિંદુઓ છે.
દરેક રેખા માટે,$3$ સમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^pC_3$ છે.
તેથી,ત્રિકોણની સંખ્યા $^{3p}C_3 - 3 \cdot ^pC_3$ છે.
$= \frac{3p(3p-1)(3p-2)}{6} - 3 \cdot \frac{p(p-1)(p-2)}{6}$
$= \frac{p}{2} [ (3p-1)(3p-2) - (p-1)(p-2) ]$
$= \frac{p}{2} [ (9p^2 - 9p + 2) - (p^2 - 3p + 2) ]$
$= \frac{p}{2} [ 8p^2 - 6p ]$
$= p^2(4p-3)$.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $104$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 104$
$n(n-3) = 208$
$n^2 - 3n - 208 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલતા:
$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 832}}{2}$
$n = \frac{3 \pm 29}{2}$
$n$ ધન હોવાથી,$n = \frac{32}{2} = 16$.
આમ,$n = 16$.

(C) $64$ માંથી $3$ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{64}{3} = 41664$ છે.
ચેસ બોર્ડ પર વિકર્ણોની લંબાઈ $1$ થી $8$ અને ફરી $7$ થી $1$ હોય છે.
$k$ લંબાઈના વિકર્ણ માટે $3$ ચોરસ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{k}{3}$ છે.
બંને દિશાઓ માટે અનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $392$ થાય છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{392}{41664} = \frac{7}{744}$ છે.

(A) ઘનને $8$ શિરોબિંદુઓ હોય છે. $8$ માંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ ત્યારે બને છે જ્યારે $3$ શિરોબિંદુઓ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે કે જેથી કોઈપણ બે વચ્ચેનું અંતર ઘનના ફલકના વિકર્ણની લંબાઈ જેટલું હોય.
ઘનના દરેક ફલકને $2$ વિકર્ણ હોય છે અને કુલ $6$ ફલક હોય છે,પરંતુ દરેક વિકર્ણ $2$ ફલક દ્વારા વહેંચાયેલું હોય છે. કુલ ફલક વિકર્ણોની સંખ્યા $12$ છે.
જો કે,સમબાજુ ત્રિકોણ $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીને બને છે જેથી દરેક જોડી ફલક વિકર્ણ દ્વારા જોડાયેલ હોય. ઘનમાં આવા બરાબર $8$ ત્રિકોણ હોય છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે.
સંભાવના $\frac{8}{56} = \frac{1}{7}$ છે.

(C) આપેલ છે કે નિયમિત ષટ્કોણના $6$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ પસંદ કરવામાં આવે છે.
$6$ માંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,તેના શિરોબિંદુઓને જોડીને માત્ર બે જ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવી શકાય છે,જે $\triangle ACE$ અને $\triangle BDF$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ છે.

(C) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $(4+1) \times (4+1) = 25$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે $25$ માંથી $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
કુલ પસંદગીઓ $\binom{25}{3} = 2300$ છે.
હવે,સમરેખ બિંદુઓની સંખ્યા બાદ કરતા: $50$ (હાર) + $50$ (સ્તંભ) + $20$ (મુખ્ય વિકર્ણ) + $16$ (અન્ય વિકર્ણ) + $4$ (અન્ય વિકર્ણ) = $140$.
ત્રિકોણની સંખ્યા = $2300 - 140 = 2160$.

(C) કુલ બિંદુઓ = $10$. સમરેખ બિંદુઓ = $4$. અસમરેખ બિંદુઓ = $10 - 4 = 6$.
ઓછામાં ઓછો એક શિરોબિંદુ $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી હોય તેવા ત્રિકોણ બનાવવા માટે:
કિસ્સો $1$: $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $1$ બિંદુ અને $6$ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{4}{1} \times \binom{6}{2} = 4 \times 15 = 60$.
કિસ્સો $2$: $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ અને $6$ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી $1$ બિંદુ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{4}{2} \times \binom{6}{1} = 6 \times 6 = 36$.
નોંધ: આપણે $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરી શકતા નથી કારણ કે તેઓ સમરેખ છે અને ત્રિકોણ બનાવશે નહીં.
કુલ ત્રિકોણોની સંખ્યા = $60 + 36 = 96$.

(B) $n$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા $\frac{n(n-1)}{2} - n = 35$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ માટે ઉકેલતા:
$n^2 - n - 2n = 70$
$n^2 - 3n - 70 = 0$
$(n - 10)(n + 7) = 0$
$n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n = 10$.
$AB$ બાજુ ધરાવતો ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $A$,$B$ અને બાકીના $n - 2$ શિરોબિંદુઓમાંથી એક અન્ય શિરોબિંદુ પસંદ કરવું આવશ્યક છે.
બાકીના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા $= 10 - 2 = 8$.
તેથી,આવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $8$ છે.

(C) સમતલમાં કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $n = 30$ છે.
$8$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેઓ એક જ રેખા બનાવે છે.
સૂત્ર: $\text{રેખાઓની સંખ્યા} = {}^{n}C_{2} - {}^{m}C_{2} + 1$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{રેખાઓની સંખ્યા} = {}^{30}C_{2} - {}^{8}C_{2} + 1$
$= 435 - 28 + 1 = 408$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યાનું સૂત્ર: $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $170$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 170$
$n(n-3) = 340$
$n^2 - 3n - 340 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$n^2 - 20n + 17n - 340 = 0$
$n(n - 20) + 17(n - 20) = 0$
$(n - 20)(n + 17) = 0$
કારણ કે $n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n = 20$.

(D) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $8$ છે ($P$ ને બાદ કરતાં). $P$ ને ગણતા,આપણી પાસે કુલ $9$ બિંદુઓ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$9$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${^9C_3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
જોકે,એક જ રેખા પર આવેલા બિંદુઓ ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.
$l_1$ પરના બિંદુઓ ($P$ સહિત) $4$ છે $(A_1, B_1, C_1, P)$. તેમાંથી $3$ સમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો ${^4C_3} = 4$ છે.
$l_2$ પરના બિંદુઓ ($P$ સહિત) $6$ છે $(A_2, B_2, C_2, D_2, E_2, P)$. તેમાંથી $3$ સમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો ${^6C_3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
કુલ ત્રિકોણ = ($3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો) - ($l_1$ પરના સમરેખ સેટ) - ($l_2$ પરના સમરેખ સેટ)
કુલ ત્રિકોણ = $84 - 4 - 20 = 60$.

(D) ગોળ ટેબલ પર બેઠેલી $15$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{15}C_3$ છે.
પ્રથમ,$3$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો: ${}^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$.
હવે,$3$ છોકરીઓ એકસાથે બેઠી હોય તેવી પસંદગીની રીતો $15$ છે.
તેથી,ત્રણેય એકસાથે ન બેઠી હોય તેવી પસંદગીની જરૂરી રીતો $455 - 15 = 440$ છે.

(D) $15$ સંગામી રેખાઓમાંથી કોઈપણ $2$ રેખાઓ અને ત્રીજી બાજુ તરીકે રેખા $L$ પસંદ કરીને ત્રિકોણ બને છે.
$15$ રેખાઓ બિંદુ $P$ પર સંગામી હોવાથી,કોઈપણ બે રેખાઓ $P$ પર છેદશે.
જ્યારે આ $2$ રેખાઓ રેખા $L$ ને બે અલગ બિંદુઓ પર છેદે છે,ત્યારે $L$ ને એક બાજુ તરીકે ધરાવતો ત્રિકોણ બને છે.
$15$ માંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^{15}C_{2}$ છે.
આમ,ત્રિકોણોની સંખ્યા ${}^{15}C_{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ છે.

(B) કુલ બિંદુઓ = $10$. સમરેખ બિંદુઓ = $4$. અસમરેખ બિંદુઓ = $6$.
ઓછામાં ઓછો એક શિરોબિંદુ $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી હોય તેવા ત્રિકોણ માટે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $1$ બિંદુ અને $6$ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ.
ત્રિકોણની સંખ્યા = $^4C_1 \times ^6C_2 = 4 \times 15 = 60$.
કિસ્સો $2$: $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ અને $6$ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી $1$ બિંદુ.
ત્રિકોણની સંખ્યા = $^4C_2 \times ^6C_1 = 6 \times 6 = 36$.
કુલ ત્રિકોણની સંખ્યા = $60 + 36 = 96$.

(C) $n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા $\frac{n(n-3)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\therefore \frac{n(n-3)}{2} = 35$
$\Rightarrow n(n-3) = 70$
$\Rightarrow n^2 - 3n - 70 = 0$
$\Rightarrow n^2 - 10n + 7n - 70 = 0$
$\Rightarrow n(n - 10) + 7(n - 10) = 0$
$\Rightarrow (n - 10)(n + 7) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 10$.

(D) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા $\frac{n(n-3)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $54$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 54$
$n(n-3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n + 9)(n - 12) = 0$
આથી $n = -9$ અથવા $n = 12$ મળે છે.
બાજુઓની સંખ્યા $n$ ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી $n = 12$.

(B) $6$ વિદ્યાર્થીઓને હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $= 6! = 720$.
સાનુકૂળ ગોઠવણી શોધવા માટે,$A$ અને $B$ ને તેમની વચ્ચે એક વિદ્યાર્થી સાથે એક બ્લોક તરીકે ગણો. બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓ છે. આપણે $A$ અને $B$ ની વચ્ચે મૂકવા માટે $4$ માંથી $1$ વિદ્યાર્થીને $^4C_1$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
હવે,$(A, \text{student}, B)$ બ્લોકને એક એકમ તરીકે ગણો. બાકીના $3$ વિદ્યાર્થીઓ સાથે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $4$ એકમો છે,જે $4!$ રીતે કરી શકાય છે.
બ્લોકની અંદર,$A$ અને $B$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
સાનુકૂળ ગોઠવણીની સંખ્યા $= ^4C_1 \times 4! \times 2! = 4 \times 24 \times 2 = 192$.
સંભાવના $= \frac{192}{720} = \frac{4}{15}$.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ અથવા ${ }^{n} C_{2}-n$ છે.
$n = 100$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણ માટે:
વિકર્ણોની સંખ્યા $= { }^{100} C_{2} - 100$
$= \frac{100 \times 99}{2} - 100$
$= 50 \times 99 - 100$
$= 4950 - 100$
$= 4850$

(C) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{n(n-3)}{2} = 20$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,$n(n-3) = 40$ મળે.
$n^2 - 3n - 40 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n-8)(n+5) = 0$.
બાજુઓની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 8$ મળે.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા $\frac{n(n-3)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $44$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 44$
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
$(n - 11)(n + 8) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 11$.

(C) આપેલ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને પંચકોણ બનાવવા માટે,આપણે $5$ બિંદુઓ એવી રીતે પસંદ કરવા જોઈએ કે જેથી કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ ન હોય. બિંદુઓ ત્રિકોણની બાજુઓ પર હોવાથી,આપણે બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $AC$ માંથી બિંદુઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $AB$ માંથી $2$ બિંદુઓ,$BC$ માંથી $2$ બિંદુઓ અને $AC$ માંથી $1$ બિંદુ.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{4}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 6 \times 10 \times 4 = 240$.
કિસ્સો $2$: $AB$ માંથી $2$ બિંદુઓ,$BC$ માંથી $1$ બિંદુ અને $AC$ માંથી $2$ બિંદુઓ.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 6 \times 5 \times 6 = 180$.
કિસ્સો $3$: $AB$ માંથી $1$ બિંદુ,$BC$ માંથી $2$ બિંદુઓ અને $AC$ માંથી $2$ બિંદુઓ.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{4}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{4}{2} = 4 \times 10 \times 6 = 240$.
પંચકોણની કુલ સંખ્યા = $240 + 180 + 240 = 660$.

(C) $n$-બાજુવાળા બહુકોણના શિરોબિંદુઓને જોડીને બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $p_n = \binom{n}{3}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સંબંધ $p_{n+1} - p_n = 66$ માં સૂત્ર મૂકતા: $\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = 66$.
ગુણધર્મ $\binom{n+1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\binom{n}{2} = 66$ મળે છે.
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{n(n-1)}{2} = 66$,જેનું સાદું રૂપ $n^2 - n = 132$ થાય છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા દ્વિઘાત સમીકરણ $n^2 - n - 132 = 0$ મળે છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n - 12)(n + 11) = 0$.
$n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n = 12$.
$12$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^2 \times 3^1$ છે.
$12$ ના ભિન્ન અવિભાજ્ય અવયવો $2$ અને $3$ છે.
આ અવિભાજ્ય અવયવોનો સરવાળો $2 + 3 = 5$ થાય છે.