$5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને એક હારમાં એવી કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન આવે?

સાત સફેદ દડા અને ત્રણ કાળા દડાને યાદચ્છિક રીતે એક હરોળમાં ગોઠવવામાં આવે છે. કોઈ પણ બે કાળા દડા પાસપાસે ન હોય તેની સંભાવના કેટલી થાય?

એક સમતલમાં $10$ બિંદુઓ છે,જેમાંથી $4$ બિંદુઓ સિવાય કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ નથી. આ બિંદુઓને જોડીને બનાવી શકાય તેવા એવા ભિન્ન ત્રિકોણોની સંખ્યા શોધો કે જેમાં દરેક ત્રિકોણનો ઓછામાં ઓછો એક શિરોબિંદુ આપેલ $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી હોય.

નિયમિત ષટ્કોણનાં છ શિરોબિંદુઓમાંથી ત્રણ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીને ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે,તો તે ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે. બાજુ $AB$ પર ચાર બિંદુઓ $p_1, p_2, p_3, p_4$,બાજુ $BC$ પર પાંચ બિંદુઓ $p_5, p_6, p_7, p_8, p_9$ અને બાજુ $AC$ પર ચાર બિંદુઓ $p_{10}, p_{11}, p_{12}, p_{13}$ છે. આમાંથી કોઈ પણ બિંદુ ત્રિકોણ $ABC$ નું શિરોબિંદુ નથી. તો $p_1, p_2, \ldots, p_{13}$ બિંદુઓમાંથી શિરોબિંદુઓ લઈને બનાવી શકાય તેવા પંચકોણની કુલ સંખ્યા . . . . . . છે.

એક બહુકોણને $44$ વિકર્ણો છે. તો તે બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા કેટલી છે?