Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Hindi

(D) चार अंकों की संख्या में चार स्थान होते हैं: हजार,सैकड़ा,दहाई और इकाई।
$1$. हजार के स्थान पर $0$ नहीं आ सकता है। अतः,इसे $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है। कुल $5$ विकल्प हैं।
$2$. सैकड़े के स्थान को शेष $5$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है ($0$ सहित,हजार के स्थान पर उपयोग किए गए अंक को छोड़कर)। कुल $5$ विकल्प हैं।
$3$. दहाई के स्थान को शेष $4$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है। कुल $4$ विकल्प हैं।
$4$. इकाई के स्थान को शेष $3$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है। कुल $3$ विकल्प हैं।
चार अंकों की कुल संख्या $= 5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$.

(D) "$SUNITHA$" शब्द में $7$ अक्षर हैं: $S, U, N, I, T, H, A$।
स्वर $U, I, A$ ($3$ स्वर) हैं।
व्यंजन $S, N, T, H$ ($4$ व्यंजन) हैं।
कुल $7$ स्थान हैं। स्वरों को $1^{st}$,$4^{th}$ (मध्य) और $7^{th}$ (अंतिम) स्थानों पर होना चाहिए।
इन $3$ स्थानों पर $3$ स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ है।
शेष $4$ स्थानों पर $4$ व्यंजनों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या = $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$।

(C) '$MOTHER$' शब्द के अक्षर वर्णमाला क्रम में $E, H, M, O, R, T$ हैं।
हमें '$THROEM$' का रैंक ज्ञात करना है।
$1$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$2$. $H$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$3$. $M$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$4$. $O$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$5$. $R$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$
$6$. $TE$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$
$7$. $THE$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$8$. $THM$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$9$. $THO$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$
$10$. $THRE$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$11$. $THRM$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$
$12$. अगला शब्द $THROEM$ है: $1$
कुल रैंक = $120 + 120 + 120 + 120 + 120 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 647$.

(D) $10$ वक्ताओं को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $10!$ हैं।
यह ज्ञात करने के लिए कि $a, b, c$ एक साथ न बैठें,हम कुल तरीकों में से उन तरीकों को घटाते हैं जिनमें वे एक साथ बैठते हैं।
$a, b, c$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $8$ इकाइयाँ हैं ($3$ का समूह और शेष $7$ वक्ता),जिन्हें $8!$ तरीकों से किया जा सकता है।
समूह के भीतर,$a, b, c$ को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके एक साथ बैठने के तरीकों की संख्या $6 \times 8!$ है।
उनके एक साथ न बैठने के तरीकों की संख्या $10! - 6 \times 8!$ है।
$= (10 \times 9 \times 8!) - (6 \times 8!) = (90 - 6) \times 8! = 84 \times 8!$.

(A) दिया गया है: $^mP_r - ^{m-1}P_r = a \cdot ^{m-1}P_s$
सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{m!}{(m-r)!} - \frac{(m-1)!}{(m-1-r)!} = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-1-s)!}$
$\frac{m(m-1)!}{(m-r)(m-r-1)!} - \frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
$\frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} \left( \frac{m}{m-r} - 1 \right) = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
$\frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} \left( \frac{m - m + r}{m-r} \right) = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
$\frac{r \cdot (m-1)!}{(m-r)!} = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
हरों की तुलना करने पर,$m-r = m-s-1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = s+1$।
गुणांकों की तुलना करने पर,$a = r$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = s+1$,जिससे $a - s = 1$ प्राप्त होता है।

(B) '$HANDLE$' शब्द के अक्षर $A, D, E, H, L, N$ हैं। कुल अक्षर $6$ हैं।
शब्दकोश के अनुसार क्रम: $A, D, E, H, L, N$ है।
$A, D, E$ से शुरू होने वाले शब्द: $3 \times 120 = 360$।
$HA$ से शुरू होने वाले शब्द: $24$।
$HD$ से शुरू होने वाले शब्द: $24$।
$HEA$ से शुरू होने वाले शब्द: $6$।
$HED$ से शुरू होने वाले शब्द: $6$।
$HELA$ से शुरू होने वाले शब्द: $1$।
$HELAND$ शब्द की रैंक: $360 + 24 + 24 + 6 + 6 + 1 + 1 = 422$।

(C) $MOST$ शब्द के अक्षर $M, O, S, T$ हैं। सभी भिन्न हैं। कुल क्रमचय = $4! = 24$ है।
शब्दकोश क्रम के लिए अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करें: $M, O, S, T$।
$1$. $M$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$ शब्द।
$2$. $O$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$ शब्द।
$3$. $S$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $SM..$: $2! = 2$ शब्द।
- $SO..$: $2! = 2$ शब्द।
- $STMO$: $1$ शब्द।
- $STOM$: $1$ शब्द।
$MOST$ का रैंक: $M$ से शुरू होने वाले शब्द $1$ से $6$ हैं। अतः,$MOST$ छठा शब्द है।
$STOM$ का रैंक: $6 + 6 + 2 + 2 + 1 + 1 = 18$ है।
$MOST$ के रैंक से $STOM$ का रैंक = $18 - 6 = 12$ है।

(C) $FEBRUARY$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $\{F, E, B, R, U, A, R, Y\}$। भिन्न अक्षर $\{F, E, B, R, U, A, Y\}$ हैं।
यहाँ $3$ स्वर हैं: $\{E, U, A\}$ और $5$ व्यंजन हैं: $\{F, B, R, R, Y\}$।
हमें मध्य स्थान पर स्वर वाले $3$-अक्षरीय शब्द बनाने हैं।
स्थिति $1$: यदि $R$ का उपयोग न हो।
हमारे पास $7$ भिन्न अक्षर हैं: $\{F, E, B, U, A, Y\}$।
- मध्य स्थान: $3$ स्वरों में से $1$ स्वर चुनने के तरीके $^3C_1 = 3$ हैं।
- पहला और तीसरा स्थान: शेष $6$ अक्षरों में से $2$ भिन्न अक्षर चुनने के तरीके $^6P_2 = 6 \times 5 = 30$ हैं।
- स्थिति $1$ के लिए कुल तरीके: $3 \times 30 = 90$।
स्थिति $2$: यदि $R$ का उपयोग हो।
चूंकि $R$ एक व्यंजन है,इसलिए इसे पहले या तीसरे स्थान पर होना चाहिए।
- मध्य स्थान: $3$ स्वरों में से $1$ स्वर चुनने के तरीके $3$ हैं।
- $R$ का स्थान: $2$ स्थानों में से $1$ स्थान (पहला या तीसरा) चुनने के तरीके $2$ हैं।
- शेष स्थान: शेष $5$ अक्षरों में से $1$ अक्षर चुनने के तरीके $5$ हैं।
- स्थिति $2$ के लिए कुल तरीके: $3 \times 2 \times 5 = 30$।
कुल शब्दों की संख्या = $90 + 30 = 120$।

(A) हम जानते हैं कि ${ }^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$.
दिया गया व्यंजक ${ }^{20}P_5 - { }^{19}P_5$ है।
${ }^{20}P_5 = \frac{20!}{15!} = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 = 1860480$.
${ }^{19}P_5 = \frac{19!}{14!} = 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 = 1395360$.
दोनों मानों को घटाने पर: $1860480 - 1395360 = 465120$.
अब,विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $A$: $5 \times { }^{19}P_4 = 5 \times (19 \times 18 \times 17 \times 16) = 5 \times 93024 = 465120$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $MOTHER$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $E, H, M, O, R, T$।
शब्दकोश में $MOTHER$ के बाद आने वाले शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल क्रमपरिवर्तन में से $MOTHER$ का स्थान घटाएंगे।
$MOTHER$ का स्थान $310$ है।
कुल शब्द = $6! = 720$।
$MOTHER$ के बाद के शब्द = $720 - 310 = 410$।

(B) दी गई शर्त $0 < r < s < n$ और ${}^n P_r = {}^n P_s$ है।
चूंकि ${}^n P_r = \frac{n!}{(n - r)!}$ और ${}^n P_s = \frac{n!}{(n - s)!}$,इसलिए $\frac{n!}{(n - r)!} = \frac{n!}{(n - s)!}$।
इसका अर्थ है $(n - r)! = (n - s)!$।
चूंकि $r < s$,इसलिए $(n - r) > (n - s)$ होगा।
दो भिन्न अ-ऋणात्मक पूर्णांकों के फैक्टोरियल समान होने के लिए,केवल एक ही संभावना है कि $0! = 1! = 1$।
अतः,$n - s = 0$ और $n - r = 1$ होना चाहिए।
$n - s = 0$ से,$s = n$ प्राप्त होता है।
$n - r = 1$ से,$r = n - 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$r + s = (n - 1) + n = 2n - 1$।

(D) माना $5$ अंकों की संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$ है। मध्य अंक $d_3$ है।
चूंकि अंक भिन्न और गैर-शून्य होने चाहिए,और $d_3$ सबसे बड़ा है,इसलिए $d_3$ कम से कम $5$ होना चाहिए।
यदि $d_3 = 5$ है,तो शेष $4$ अंकों को ${1, 2, 3, 4}$ से चुना जाना चाहिए। व्यवस्था के तरीके ${ }^4 P_4$ हैं।
यदि $d_3 = 6$ है,तो शेष $4$ अंकों को ${1, 2, 3, 4, 5}$ से चुना जाना चाहिए। व्यवस्था के तरीके ${ }^5 P_4$ हैं।
इसी प्रकार,$d_3 = 9$ के लिए व्यवस्था के तरीके ${ }^8 P_4$ हैं।
अतः,कुल संख्याएँ = ${ }^4 P_4 + { }^5 P_4 + { }^6 P_4 + { }^7 P_4 + { }^8 P_4 = \sum_{r=4}^8 { }^r P_4$.

(B) कुल $7$ वैज्ञानिक हैं। $7$ व्याख्यानों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $7!$ हैं।
किसी भी व्यवस्था में,$S_1, S_3,$ और $S_7$ का सापेक्ष क्रम $3! = 6$ संभावित तरीकों से हो सकता है।
ये $6$ तरीके हैं: $(S_1, S_3, S_7), (S_1, S_7, S_3), (S_3, S_1, S_7), (S_3, S_7, S_1), (S_7, S_1, S_3), (S_7, S_3, S_1)$।
इन $6$ तरीकों में से,केवल एक तरीका उस शर्त को पूरा करता है कि $S_1, S_3$ से पहले हो और $S_3, S_7$ से पहले हो (अर्थात,क्रम $S_1 < S_3 < S_7$)।
इसलिए,आवश्यक तरीकों की संख्या $\frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840$ है।

(A) समुच्चय $B$ में $26$ भिन्न अवयव हैं। सम पूर्णांकों की संख्या $12$ है। अतः,आवश्यक क्रमचयों की संख्या $\frac{26!}{12!}$ है।

(C) $TRICK$ शब्द में $5$ भिन्न अक्षर हैं: $T, R, I, C, K$।
हमें $5$ अक्षरों का एक शब्द बनाना है जिसमें $C$ मध्य स्थान पर निश्चित हो।
इससे शेष $4$ अक्षरों $(T, R, I, K)$ को भरने के लिए $4$ स्थान बचते हैं।
$4$ भिन्न अक्षरों को $4$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $4!$ हैं।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$।
अतः,कुल $24$ तरीके संभव हैं।

(C) $EQUATION$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $E, Q, U, A, T, I, O, N$।
इन $8$ अक्षरों का उपयोग करके (पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ) $4$ अक्षरों वाले कुल शब्दों की संख्या $8^4 = 4096$ है।
बिना किसी पुनरावृत्ति के $4$ अक्षरों वाले शब्दों की संख्या $^8P_4 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$ है।
कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने वाले $4$ अक्षरों वाले शब्दों की संख्या = कुल शब्द - बिना पुनरावृत्ति वाले शब्द:
$= 4096 - 1680 = 2416$।

(C) मान लीजिए $9$ बक्से $B_1, B_2, \dots, B_9$ हैं और $3$ छोटे बक्से $B_1, B_2, B_3$ हैं।
$5$ गेंदें इन $3$ छोटे बक्सों में नहीं आ सकतीं,इसलिए उन्हें शेष $6$ बक्सों में रखा जाना चाहिए।
इन $5$ गेंदों को $6$ बक्सों में व्यवस्थित करने के तरीके $^6P_5$ हैं।
शेष $4$ गेंदों को शेष $4$ बक्सों में व्यवस्थित करने के तरीके $4!$ हैं।
कुल व्यवस्था = $^6P_5 \times 4! = 720 \times 24 = 17280$.

(B) हमें $\{0, 3, 6, 7, 8, 9\}$ अंकों का उपयोग करके $6,00,000$ से बड़ी $6$-अंकीय संख्याएँ बनानी हैं। संख्या के विषम होने के लिए,अंतिम अंक $3, 7,$ या $9$ होना चाहिए ($3$ विकल्प)।
संख्या के $6,00,000$ से बड़ा होने के लिए,पहला अंक $6, 7, 8,$ या $9$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: पहला अंक $6$ या $8$ है ($2$ विकल्प)।
अंतिम अंक $3, 7,$ या $9$ है ($3$ विकल्प)।
शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $4! = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल तरीके $= 2 \times 24 \times 3 = 144$।
स्थिति $2$: पहला अंक $7$ या $9$ है ($2$ विकल्प)।
अंतिम अंक शेष $2$ विषम अंकों में से एक होना चाहिए ($2$ विकल्प)।
शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $4! = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल तरीके $= 2 \times 24 \times 2 = 96$।
विषम संख्याओं की कुल संख्या $= 144 + 96 = 240$।

(C) $6$ लड़कों और $4$ लड़कियों की व्यवस्था $G, B, B, G, B, B, G, B, B, G$ के रूप में होनी चाहिए।
लड़कियों को व्यवस्थित करने के तरीके $4!$ हैं और लड़कों को व्यवस्थित करने के तरीके $6!$ हैं।
कुल तरीके = $4! \times 6! = 24 \times 720 = 17280$.
$(144)5! = 144 \times 120 = 17280$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) '$COLLEGE$' शब्द के अक्षर $C, E, E, G, L, L, O$ हैं। शब्दकोश के क्रम के अनुसार गणना करने पर,'$COLLEGE$' शब्द की रैंक $179$ प्राप्त होती है।

(D) मान लीजिए $n$ लड़कों का समूह $B$ है और $n$ लड़कियों का समूह $G$ है।
चूंकि सभी लड़कों को एक साथ और सभी लड़कियों को एक साथ होना चाहिए,हम लड़कों के समूह को एक इकाई और लड़कियों के समूह को एक इकाई मानते हैं।
इन दो इकाइयों को व्यवस्थित करने के $2!$ तरीके हैं (या तो $BG$ या $GB$)।
लड़कों के समूह के भीतर,$n$ लड़कों को $n!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
लड़कियों के समूह के भीतर,$n$ लड़कियों को $n!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $2! \times n! \times n! = 2(n!)^2$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प $A, B,$ या $C$ इस मान से मेल नहीं खाता है।

(D) '$INDEED$' शब्द में अक्षर $D, D, E, E, I, N$ हैं। कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{2!2!} = 180$ है।
'$NIDDEE$' का रैंक ज्ञात करने के लिए,हम शब्दों को शब्दकोश के क्रम में सूचीबद्ध करते हैं:
$1$. $D$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!} = 60$
$2$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!} = 60$
$3$. $I$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!2!} = 30$
$4$. $ND$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{4!}{2!} = 12$
$5$. $NE$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{4!}{2!} = 12$
$6$. अगला शब्द '$NIDDEE$' है,जो $1$ला शब्द है।
कुल रैंक = $60 + 60 + 30 + 12 + 12 + 1 = 175$.

(D) $LINEAR$ शब्द में $6$ अलग-अलग अक्षर हैं: $L, I, N, E, A, R$।
हम इन अक्षरों को इस तरह व्यवस्थित करना चाहते हैं कि $E$ और $A$ हमेशा एक साथ हों,लेकिन $N$ और $R$ एक साथ न हों।
सबसे पहले,$(EA)$ को एक इकाई के रूप में मानें। अब हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $L, I, N, R, (EA)$।
इन $5$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $5! = 120$ है।
$E$ और $A$ को उनकी इकाई के भीतर $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,इसलिए कुल व्यवस्थाएँ जहाँ $E$ और $A$ एक साथ हैं,$120 \times 2 = 240$ हैं।
इसके बाद,हम उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करते हैं जहाँ $E$ और $A$ एक साथ हैं और $N$ और $R$ भी एक साथ हैं।
$(EA)$ को एक इकाई और $(NR)$ को दूसरी इकाई मानें। अब हमारे पास $4$ इकाइयाँ हैं: $L, I, (EA), (NR)$।
इन $4$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $4! = 24$ है।
अपनी इकाइयों के भीतर,$E$ और $A$ को $2! = 2$ तरीकों से और $N$ और $R$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,वे व्यवस्थाएँ जहाँ $(EA)$ और $(NR)$ दोनों एक साथ हैं,उनकी संख्या $24 \times 2 \times 2 = 96$ है।
अंत में,उन तरीकों की संख्या जहाँ $E$ और $A$ एक साथ हैं लेकिन $N$ और $R$ एक साथ नहीं हैं,$240 - 96 = 144$ है।

(B) $0, 1, 3, 5, 9$ अंकों का उपयोग करके $50000$ से बड़ी पाँच अंकों की संख्या बनाने के लिए,पहला अंक (दस हजार का स्थान) $5$ या $9$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: पहला अंक $5$ है।
शेष $4$ अंकों $(0, 1, 3, 9)$ को शेष $4$ स्थानों पर $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
स्थिति $2$: पहला अंक $9$ है।
शेष $4$ अंकों $(0, 1, 3, 5)$ को शेष $4$ स्थानों पर $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल संख्याएँ $= 24 + 24 = 48$.

(C) '$REPETITION$' शब्द में $10$ अक्षर हैं: $R, E, P, E, T, I, T, I, O, N$। भिन्न अक्षर $R, E, P, T, I, O, N$ ($7$ भिन्न अक्षर) हैं। पुनरावृत्त अक्षर $E, T, I$ हैं (प्रत्येक दो बार आते हैं)।
हमें $4$ अक्षरों के क्रमचय बनाने हैं। स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$(i)$ सभी $4$ अक्षर भिन्न हों: $7$ भिन्न अक्षरों में से $4$ चुनकर व्यवस्थित करने पर: ${}^{7}C_{4} \times 4! = 35 \times 24 = 840$।
(ii) $2$ अक्षर समान (एक जोड़ा) और $2$ भिन्न हों: $3$ जोड़ों में से $1$ जोड़ा और शेष $6$ अक्षरों में से $2$ अक्षर चुनकर व्यवस्थित करने पर: ${}^{3}C_{1} \times {}^{6}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 15 \times 12 = 540$।
(iii) $2$ जोड़े हों: $3$ जोड़ों में से $2$ जोड़े चुनकर व्यवस्थित करने पर: ${}^{3}C_{2} \times \frac{4!}{2! \times 2!} = 3 \times 6 = 18$।
कुल क्रमचय $= 840 + 540 + 18 = 1398$।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(D) अंक $S = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ हैं। कुल अंक $n = 5$ हैं। संख्याएँ अवरोही क्रम में हैं।
$1$. $5$ अंकों वाली संख्याएँ: $5! = 120$.
$2$. $4$ अंकों वाली संख्याएँ: $^5P_4 = 120$.
$3$. $7$ से शुरू होने वाली $3$ अंकों वाली संख्याएँ: $^4P_2 = 12$.
$4$. $5$ से शुरू होने वाली $3$ अंकों वाली संख्याएँ: $^4P_2 = 12$.
$5$. $37$ से शुरू होने वाली $3$ अंकों वाली संख्याएँ: $^3P_1 = 3$.
$6$. $35$ से शुरू होने वाली $3$ अंकों वाली संख्याएँ: $^3P_1 = 3$.
$7$. $32$ से शुरू होने वाली $3$ अंकों वाली संख्याएँ: शेष अंक $\{1, 5, 7\}$ हैं। अवरोही क्रम में,ये $327, 325, 321$ हैं। $327$ इस क्रम में पहली संख्या है।
रैंक $= 120 + 120 + 12 + 12 + 3 + 3 + 1 = 271$.

(D) एकांतर क्रम में बैठने के लिए दो संभावित स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: व्यवस्था एक लड़के से शुरू होती है: $B G B G B G B G B G B G B G B G$.
$8$ लड़कों को $8$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $8!$ हैं और $8$ लड़कियों को $8$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $8!$ हैं। अतः,$8! \times 8!$ तरीके।
स्थिति $2$: व्यवस्था एक लड़की से शुरू होती है: $G B G B G B G B G B G B G B G B$.
$8$ लड़कियों को $8$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $8!$ हैं और $8$ लड़कों को $8$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $8!$ हैं। अतः,$8! \times 8!$ तरीके।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 8! \times 8! + 8! \times 8! = 2 \times (8!)^2 = 2!(8!)^2$.

(B) $1000$ से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ एक-अंकीय,दो-अंकीय या तीन-अंकीय हो सकती हैं।
$1$. तीन-अंकीय संख्याएँ:
सैकड़े के स्थान को $9$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंक $1-9$)।
दहाई के स्थान को $9$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंक $0-9$,सैकड़े के स्थान में उपयोग किए गए अंक को छोड़कर)।
इकाई के स्थान को $8$ तरीकों से भरा जा सकता है (शेष अंक)।
कुल तीन-अंकीय संख्याएँ $= 9 \times 9 \times 8 = 648$।
$2$. दो-अंकीय संख्याएँ:
दहाई के स्थान को $9$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंक $1-9$)।
इकाई के स्थान को $9$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंक $0-9$,दहाई के स्थान में उपयोग किए गए अंक को छोड़कर)।
कुल दो-अंकीय संख्याएँ $= 9 \times 9 = 81$।
$3$. एक-अंकीय संख्याएँ:
कुल $9$ एक-अंकीय संख्याएँ हैं ($1$ से $9$)।
कुल प्राकृतिक संख्याएँ $= 648 + 81 + 9 = 738$।

(C) सबसे पहले,हम $10$ पुरुषों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं। $10$ पुरुषों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $10!$ है।
यह $11$ संभावित अंतराल (सिरों सहित) बनाता है जहाँ $6$ महिलाओं को बैठाया जा सकता है ताकि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें।
$11$ स्थानों में से $6$ स्थानों को चुनने और $6$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^{11}P_6$ द्वारा दी जाती है।
$^{11}P_6 = \frac{11!}{(11-6)!} = \frac{11!}{5!}$।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $10! \times \frac{11!}{5!} = \frac{10! 11!}{5!}$ है।

(D) एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो। दिए गए अंक $S = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ हैं।
हमें $S$ से $3$ अंक इस प्रकार चुनने हैं कि उनका योग $3$ का गुणज हो।
$3$ अंकों के संभावित सेट हैं:
$1) \{1, 3, 5\} \rightarrow \text{योग} = 9$ ($3$ से विभाज्य)
$2) \{1, 5, 9\} \rightarrow \text{योग} = 15$ ($3$ से विभाज्य)
$3) \{3, 5, 7\} \rightarrow \text{योग} = 15$ ($3$ से विभाज्य)
$4) \{5, 7, 9\} \rightarrow \text{योग} = 21$ ($3$ से विभाज्य)
इस प्रकार,$3$ अंकों के $4$ सेट हैं जिनका योग $3$ से विभाज्य है।
प्रत्येक सेट को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल संख्याएँ $= 4 \times 6 = 24$.

(C) दिया गया है: ${ }^{22} P_{r+1}:{ }^{20} P_{r+2}=11: 52$
सूत्र ${ }^n P_r=\frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{22!}{(21-r)!} \times \frac{(18-r)!}{20!} = \frac{11}{52}$
$\Rightarrow \frac{22 \times 21}{(21-r)(20-r)(19-r)} = \frac{11}{52}$
$\Rightarrow (21-r)(20-r)(19-r) = 2 \times 21 \times 52 = 2184$
तीन क्रमागत पूर्णांक जिनका गुणनफल $2184$ है,वे $14 \times 13 \times 12$ हैं।
तुलना करने पर,$21-r = 14$,जिससे $r=7$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया व्यंजक: ${ }^{n} P_{r+1} + (r+1) { }^{n-1} P_{r} + r^2 { }^{n-1} P_{r-1} + r { }^{n-1} P_{r-1}$
$= { }^{n} P_{r+1} + (r+1) { }^{n-1} P_{r} + (r^2+r) { }^{n-1} P_{r-1}$
$= \frac{n!}{(n-r-1)!} + (r+1) \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} + r(r+1) \frac{(n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{n!(n-r) + (r+1)(n-1)!(n-r) + r(r+1)(n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! [n(n-r) + (r+1)(n-r) + r(r+1)]}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! [n^2 - nr + nr - r^2 + n - r + r^2 + r]}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! [n^2 + n]}{(n-r)!} = \frac{n(n+1)(n-1)!}{(n-r)!} = \frac{(n+1)!}{(n-r)!} = { }^{n+1} P_{r+1}$

(C) मान लीजिए कि तीन अंकों की संख्या $abc$ है,जहाँ $a, b, c$ अंक हैं।
प्रश्न के अनुसार,$b = c$ और $a \neq b$ है।
पहला अंक $a$,$1$ से $9$ तक कोई भी अंक हो सकता है ($9$ विकल्प)।
अंतिम दो अंक $b$ और $c$ समान होने चाहिए,इसलिए हम $b$ और $c$ दोनों के लिए $x \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ में से एक अंक चुनते हैं।
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $a$ के प्रत्येक चयन के लिए,$(b, c)$ के जोड़े के लिए $10 - 1 = 9$ संभावित विकल्प हैं।
ऐसी $n$ संख्याओं की कुल संख्या $= 9 \times 9 = 81$।

(C) हम जानते हैं कि ${}^nP_r + r \cdot {}^nP_{r-1} = {}^{n+1}P_r$।
मानों की गणना करने पर:
${}^9P_5 + 5 \cdot {}^9P_4 = \frac{9!}{4!} + 5 \cdot \frac{9!}{5!} = \frac{9!}{4!} + \frac{9!}{4!} = 2 \cdot \frac{9!}{4!}$
$= \frac{10!}{5!} = {}^{10}P_5$।
अतः,$r = 5$।

(D) इमारत में $12$ मंजिलें हैं।
चूंकि व्यक्ति लिफ्ट में प्रवेश करते हैं,वे भूतल (जहाँ से उन्होंने प्रवेश किया) के अलावा अन्य मंजिलों पर बाहर निकलेंगे।
इससे $12 - 1 = 11$ संभावित मंजिलें बचती हैं।
हालाँकि,लिफ्ट दूसरी मंजिल पर नहीं रुकती है,इसलिए उनके बाहर निकलने के लिए उपलब्ध मंजिलों की संख्या $11 - 1 = 10$ है।
चूंकि $3$ व्यक्ति अलग-अलग मंजिलों पर बाहर निकलते हैं,इसलिए तरीकों की संख्या $10$ मंजिलों में से $3$ के क्रमचय द्वारा दी जाती है:
$^{10}P_{3} = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

(B) प्रत्येक छात्र अन्य सभी छात्रों को कार्ड भेजता है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक जोड़ी $(A, B)$ के लिए,छात्र $A$ ने $B$ को कार्ड भेजा और छात्र $B$ ने $A$ को कार्ड भेजा।
यह क्रमचय (permutation) का एक प्रश्न है जहाँ हमें $20$ में से $2$ छात्रों को एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित करना है (भेजने वाला और प्राप्त करने वाला)।
$20$ में से $2$ छात्रों को व्यवस्थित करने के तरीके क्रमचय के सूत्र ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ $n = 20$ और $r = 2$ है,इसलिए कार्डों की संख्या ${}^{20}P_{2} = 20 \times 19 = 380$ है।
वैकल्पिक रूप से,यह ${}^{20}C_{2} \times 2! = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} \times 2 = 380$ के बराबर है।

(B) $5$ अंकों की संख्या में पहले स्थान (दस हजार के स्थान) पर $0$ नहीं हो सकता है।
पहले स्थान के लिए,हमारे पास $9$ विकल्प हैं (अंक $1$ से $9$)।
शेष $4$ स्थानों के लिए,हमें शेष $9$ उपलब्ध अंकों में से (जिसमें $0$ शामिल है और पहले स्थान पर उपयोग किए गए अंक को छोड़कर) $4$ अंक चुनने हैं।
इन $4$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ${}^{9}P_{4}$ है।
इसलिए,भिन्न अंकों वाली $5$ अंकों की कुल संख्या $9 \times {}^{9}P_{4}$ है।

(A) $COCHIN$ शब्द के अक्षर $C, C, H, I, N, O$ हैं। वर्णमाला के क्रम में व्यवस्थित करने पर: $C, C, H, I, N, O$.
$COCHIN$ से पहले आने वाले शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए:
$1$. $CC$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $H, I, N, O$ हैं। व्यवस्था $= 4! = 24$.
$2$. $CH$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $C, I, N, O$ हैं। व्यवस्था $= 4! = 24$.
$3$. $CI$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $C, H, N, O$ हैं। व्यवस्था $= 4! = 24$.
$4$. $CN$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $C, H, I, O$ हैं। व्यवस्था $= 4! = 24$.
अतः,$COCHIN$ से पहले कुल शब्दों की संख्या $= 24 + 24 + 24 + 24 = 96$ है।

(D) अंग्रेजी वर्णमाला के $2$ अक्षरों को चुनने के कुल तरीके (यह मानते हुए कि पुनरावृत्ति की अनुमति है) $26 \times 26 = 26^{2}$ हैं।
ऐसे $4$ अंकों को चुनने के कुल तरीके जिनमें पहला अंक शून्य नहीं है,$9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^{3}$ हैं।
इसलिए,अलग पंजीकरण संख्या वाले वाहनों की कुल संख्या $26^{2} \times 9 \times 10^{3}$ है।

(A) "$IRRATIONAL$" शब्द में कुल $10$ अक्षर हैं।
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति की गणना करने पर:
$I$ दो बार आता है।
$R$ दो बार आता है।
$A$ दो बार आता है।
$T, O, N, L$ प्रत्येक एक बार आते हैं।
क्रमचय के सूत्र का उपयोग करते हुए,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3! \dots n_k!}$ है।
यहाँ,$n = 10$,$n_1 = 2$ ($I$ के लिए),$n_2 = 2$ ($R$ के लिए),और $n_3 = 2$ ($A$ के लिए)।
अतः,शब्दों की कुल संख्या $= \frac{10!}{2! 2! 2!} = \frac{10!}{(2!)^3}$।

(D) $4$ वक्ताओं को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ हैं।
किसी भी व्यवस्था में,वक्ता $P$ और $Q$ के सापेक्ष क्रम के लिए केवल दो संभावनाएं हैं: या तो $P$,$Q$ से पहले बोलेगा या $Q$,$P$ से पहले बोलेगा।
चूंकि ये दोनों स्थितियां समान रूप से संभावित हैं,इसलिए कुल व्यवस्थाओं में से आधी व्यवस्थाओं में $Q$,$P$ से पहले बोलेगा।
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $\frac{24}{2} = 12$ है।

(C) '$COCHIN$' शब्द के अक्षर $C, C, H, I, N, O$ हैं। वर्णानुक्रम $C, C, H, I, N, O$ है।
'$COCHIN$' से पहले आने वाले शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम शब्दों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करते हैं:
$1$. $C$ के बाद $C$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $H, I, N, O$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
$2$. $C$ के बाद $H$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $C, I, N, O$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
$3$. $C$ के बाद $I$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $C, H, N, O$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
$4$. $C$ के बाद $N$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $C, H, I, O$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
$5$. इसके बाद के शब्द $CO$ से शुरू होते हैं। पहला शब्द '$COCHIN$' है।
'$COCHIN$' से पहले आने वाले कुल शब्द = $24 + 24 + 24 + 24 = 96$.

(D) '$VERTICAL$' शब्द में $8$ अक्षर हैं,जिनमें $3$ स्वर $(E, I, A)$ और $5$ व्यंजन $(V, R, T, C, L)$ हैं।
चूंकि स्वरों का क्रम नहीं बदलना चाहिए,हम $3$ स्वर स्थानों को समान मानते हैं।
$8$ अक्षरों की कुल व्यवस्था $8!$ है।
चूंकि $3$ स्वरों को आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,लेकिन उनका क्रम निश्चित है,इसलिए हम कुल व्यवस्था को $3!$ से विभाजित करते हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $\frac{8!}{3!} = 6720$ है।

(C) $ARRANGE$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A(2), R(2), N(1), G(1), E(1)$.
दोनों $R$ को एक साथ रखने के लिए,हम $(RR)$ को एक इकाई मानते हैं।
अब,हमारे पास कुल $6$ इकाइयाँ हैं: $(RR), A, A, N, G, E$।
इन $6$ इकाइयों में,$A$ दो बार आता है।
अतः,व्यवस्थित करने के कुल तरीके = $\frac{6!}{2!}$।
$(RR)$ ब्लॉक के भीतर,दो $R$ को $\frac{2!}{2!} = 1$ तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,कुल तरीके = $\frac{6!}{2!} \times 1 = \frac{6!}{2!}$।

(D) $COMBINE$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $C, O, M, B, I, N, E$.
स्वर $O, I, E$ हैं ($3$ स्वर)।
व्यंजन $C, M, B, N$ हैं ($4$ व्यंजन)।
कुल $7$ स्थान हैं। विषम स्थान $1, 3, 5, 7$ हैं ($4$ विषम स्थान)।
हमें $4$ विषम स्थानों में $3$ स्वरों को रखना है,जिसे $^4P_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
$^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ तरीके।
शेष $4$ अक्षरों (व्यंजनों) को शेष $4$ स्थानों में $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीके।
कुल क्रमचयों की संख्या $= ^4P_3 \times 4! = 24 \times 24 = 576$।

(D) माना $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ और $B = \{b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}, b_{6}, b_{7}\}$ है।
यहाँ,समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 4$ है और समुच्चय $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 7$ है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एक एकैकी फलन (injection) तब प्राप्त होता है जब हम $B$ से $4$ भिन्न अवयव चुनते हैं और उन्हें $A$ के $4$ अवयवों के साथ प्रतिचित्रित करते हैं।
ऐसे कुल एकैकी फलनों की संख्या क्रमचय के सूत्र $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 7$ और $r = 4$ है।
कुल एकैकी फलन $= {}^{7}P_{4} = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.

(A) लिफ्ट $4, 5, 6, 7, 8, 9$ और $10$वीं मंजिल पर रुकती है।
तीन व्यक्तियों के बाहर निकलने के लिए $7$ मंजिलें उपलब्ध हैं।
चूंकि तीन व्यक्ति तीन अलग-अलग मंजिलों पर बाहर निकल सकते हैं,इसलिए हमें $7$ में से $3$ मंजिलों का चयन करना होगा और उन्हें व्यवस्थित करना होगा।
तरीकों की संख्या $^7P_3 = \frac{7!}{(7-3)!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$ है।