Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Gujarati

(D) ચાર અંકની સંખ્યામાં ચાર સ્થાન હોય છે: હજાર,સો,દશક અને એકમ.
$1$. હજારના સ્થાન પર $0$ આવી શકે નહીં. તેથી,તે $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે. કુલ $5$ વિકલ્પો છે.
$2$. સોના સ્થાનને બાકીના $5$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે ($0$ સહિત,હજારના સ્થાન પર વપરાયેલ અંક સિવાય). કુલ $5$ વિકલ્પો છે.
$3$. દશકના સ્થાનને બાકીના $4$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે. કુલ $4$ વિકલ્પો છે.
$4$. એકમના સ્થાનને બાકીના $3$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે. કુલ $3$ વિકલ્પો છે.
ચાર અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$.

(D) "$SUNITHA$" શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $S, U, N, I, T, H, A$.
સ્વરો $U, I, A$ ($3$ સ્વરો) છે.
વ્યંજનો $S, N, T, H$ ($4$ વ્યંજનો) છે.
કુલ $7$ સ્થાનો છે. સ્વરોએ $1^{st}$,$4^{th}$ (મધ્ય) અને $7^{th}$ (છેલ્લા) સ્થાનો પર આવવું જોઈએ.
$3$ સ્વરોને આ $3$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ છે.
બાકીના $4$ સ્થાનો પર $4$ વ્યંજનોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા = $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$.

(C) '$MOTHER$' શબ્દના અક્ષરો મૂળાક્ષર ક્રમમાં $E, H, M, O, R, T$ છે.
આપણે '$THROEM$' નો ક્રમ શોધવો છે.
$1$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$2$. $H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$3$. $M$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$4$. $O$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$5$. $R$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$6$. $TE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$7$. $THE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$8$. $THM$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$9$. $THO$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$10$. $THRE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$11$. $THRM$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$12$. પછીનો શબ્દ $THROEM$ છે: $1$
કુલ ક્રમ = $120 + 120 + 120 + 120 + 120 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 647$.

(D) $10$ વક્તાઓને એક હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $10!$ છે.
$a, b, c$ એકસાથે ન બેસે તે શોધવા માટે,આપણે કુલ રીતોમાંથી તેઓ એકસાથે બેસે તે રીતો બાદ કરીશું.
$a, b, c$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $8$ એકમો છે (ત્રણનું જૂથ અને બાકીના $7$ વક્તાઓ),જે $8!$ રીતે કરી શકાય છે.
જૂથની અંદર,$a, b, c$ ને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ એકસાથે બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા $6 \times 8!$ છે.
તેઓ એકસાથે ન બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા $10! - 6 \times 8!$ છે.
$= (10 \times 9 \times 8!) - (6 \times 8!) = (90 - 6) \times 8! = 84 \times 8!$.

(A) આપેલ છે: $^mP_r - ^{m-1}P_r = a \cdot ^{m-1}P_s$
સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{m!}{(m-r)!} - \frac{(m-1)!}{(m-1-r)!} = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-1-s)!}$
$\frac{m(m-1)!}{(m-r)(m-r-1)!} - \frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
$\frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} \left( \frac{m}{m-r} - 1 \right) = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
$\frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} \left( \frac{m - m + r}{m-r} \right) = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
$\frac{r \cdot (m-1)!}{(m-r)!} = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
છેદની સરખામણી કરતા,$m-r = m-s-1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $r = s+1$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = r$ મળે છે.
તેથી,$a = s+1$,જે $a - s = 1$ આપે છે.

(B) '$HANDLE$' શબ્દના અક્ષરો $A, D, E, H, L, N$ છે. કુલ અક્ષરો $6$ છે.
શબ્દકોશ મુજબ ક્રમ: $A, D, E, H, L, N$.
$A, D, E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3 \times 120 = 360$.
$HA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $24$.
$HD$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $24$.
$HEA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6$.
$HED$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6$.
$HELA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $1$.
$HELAND$ શબ્દનો ક્રમ: $360 + 24 + 24 + 6 + 6 + 1 + 1 = 422$.

(C) $MOST$ શબ્દના અક્ષરો $M, O, S, T$ છે. બધા અક્ષરો ભિન્ન છે. કુલ ગોઠવણી = $4! = 24$.
શબ્દકોશના ક્રમ માટે અક્ષરોને મૂળાક્ષર પ્રમાણે ગોઠવતા: $M, O, S, T$.
$1$. $M$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$2$. $O$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$3$. $S$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $SM..$: $2! = 2$.
- $SO..$: $2! = 2$.
- $STMO$: $1$.
- $STOM$: $1$.
$MOST$ નો ક્રમ: $M$ થી શરૂ થતા શબ્દો $1$ થી $6$ છે. તેથી,$MOST$ એ $6$ મો શબ્દ છે.
$STOM$ નો ક્રમ: $6 + 6 + 2 + 2 + 1 + 1 = 18$.
$MOST$ ના ક્રમથી $STOM$ નો ક્રમ = $18 - 6 = 12$.

(C) $FEBRUARY$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $\{F, E, B, R, U, A, R, Y\}$. ભિન્ન અક્ષરો $\{F, E, B, R, U, A, Y\}$ છે.
અહીં $3$ સ્વરો છે: $\{E, U, A\}$ અને $5$ વ્યંજનો છે: $\{F, B, R, R, Y\}$.
આપણે વચ્ચેના સ્થાને સ્વર હોય તેવા $3$-અક્ષરી શબ્દો બનાવવાના છે.
કિસ્સો $1$: જો $R$ નો ઉપયોગ ન થાય.
આપણી પાસે $7$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $\{F, E, B, U, A, Y\}$.
- વચ્ચેનું સ્થાન: $3$ સ્વરોમાંથી $1$ સ્વર પસંદ કરવાની રીત $^3C_1 = 3$ છે.
- પ્રથમ અને ત્રીજું સ્થાન: બાકીના $6$ અક્ષરોમાંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરવાની રીત $^6P_2 = 6 \times 5 = 30$ છે.
- કિસ્સા $1$ માટે કુલ રીતો: $3 \times 30 = 90$.
કિસ્સો $2$: જો $R$ નો ઉપયોગ થાય.
$R$ વ્યંજન હોવાથી,તે પ્રથમ અથવા ત્રીજા સ્થાને હોવો જોઈએ.
- વચ્ચેનું સ્થાન: $3$ સ્વરોમાંથી $1$ સ્વર પસંદ કરવાની રીત $3$ છે.
- $R$ નું સ્થાન: $2$ સ્થાનોમાંથી $1$ સ્થાન (પ્રથમ અથવા ત્રીજું) પસંદ કરવાની રીત $2$ છે.
- બાકીનું સ્થાન: બાકીના $5$ અક્ષરોમાંથી $1$ અક્ષર પસંદ કરવાની રીત $5$ છે.
- કિસ્સા $2$ માટે કુલ રીતો: $3 \times 2 \times 5 = 30$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $90 + 30 = 120$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ${ }^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$.
આપેલ પદ ${ }^{20}P_5 - { }^{19}P_5$ છે.
${ }^{20}P_5 = \frac{20!}{15!} = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 = 1860480$.
${ }^{19}P_5 = \frac{19!}{14!} = 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 = 1395360$.
બંને કિંમતોની બાદબાકી કરતા: $1860480 - 1395360 = 465120$.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
વિકલ્પ $A$: $5 \times { }^{19}P_4 = 5 \times (19 \times 18 \times 17 \times 16) = 5 \times 93024 = 465120$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $MOTHER$ શબ્દમાં $6$ અલગ અક્ષરો છે: $E, H, M, O, R, T$.
શબ્દકોશમાં $MOTHER$ પછી આવતા શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ ક્રમચયોમાંથી $MOTHER$ નો ક્રમ બાદ કરીશું.
$MOTHER$ નો ક્રમ $310$ છે.
કુલ શબ્દો = $6! = 720$.
$MOTHER$ પછીના શબ્દો = $720 - 310 = 410$.

(B) આપેલ શરત $0 < r < s < n$ અને ${}^n P_r = {}^n P_s$ છે.
${}^n P_r = \frac{n!}{(n - r)!}$ અને ${}^n P_s = \frac{n!}{(n - s)!}$ હોવાથી,$\frac{n!}{(n - r)!} = \frac{n!}{(n - s)!}$ મળે.
આથી $(n - r)! = (n - s)!$ થાય.
$r < s$ હોવાથી,$(n - r) > (n - s)$ થાય.
બે ભિન્ન અ-ઋણ પૂર્ણાંકોના ફેક્ટોરિયલ સમાન હોવા માટે,માત્ર એક જ શક્યતા છે કે $0! = 1! = 1$.
તેથી,$n - s = 0$ અને $n - r = 1$ હોવું જોઈએ.
$n - s = 0$ પરથી,$s = n$ મળે.
$n - r = 1$ પરથી,$r = n - 1$ મળે.
તેથી,$r + s = (n - 1) + n = 2n - 1$.

(D) ધારો કે $5$ અંકની સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$ છે. વચ્ચેનો અંક $d_3$ છે.
અંકો ભિન્ન અને શૂન્ય સિવાયના હોવા જોઈએ,અને $d_3$ સૌથી મોટો હોવાથી,$d_3$ ઓછામાં ઓછો $5$ હોવો જોઈએ.
જો $d_3 = 5$ હોય,તો બાકીના $4$ અંકો ${1, 2, 3, 4}$ માંથી પસંદ કરવાના રહે. ગોઠવણીના પ્રકાર ${ }^4 P_4$ છે.
જો $d_3 = 6$ હોય,તો બાકીના $4$ અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ માંથી પસંદ કરવાના રહે. ગોઠવણીના પ્રકાર ${ }^5 P_4$ છે.
આ જ રીતે,$d_3 = 9$ માટે ગોઠવણીના પ્રકાર ${ }^8 P_4$ છે.
તેથી,કુલ સંખ્યાઓ = ${ }^4 P_4 + { }^5 P_4 + { }^6 P_4 + { }^7 P_4 + { }^8 P_4 = \sum_{r=4}^8 { }^r P_4$.

(B) કુલ $7$ વૈજ્ઞાનિકો છે. $7$ વ્યાખ્યાનોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $7!$ છે.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,$S_1, S_3,$ અને $S_7$ નો સાપેક્ષ ક્રમ $3! = 6$ શક્ય રીતે હોઈ શકે છે.
આ $6$ રીતો છે: $(S_1, S_3, S_7), (S_1, S_7, S_3), (S_3, S_1, S_7), (S_3, S_7, S_1), (S_7, S_1, S_3), (S_7, S_3, S_1)$.
આ $6$ રીતોમાંથી,માત્ર એક જ રીત એવી છે જે શરત સંતોષે છે કે $S_1$ એ $S_3$ પહેલાં અને $S_3$ એ $S_7$ પહેલાં આવે (એટલે કે,ક્રમ $S_1 < S_3 < S_7$).
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $\frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840$ છે.

(A) ગણ $B$ માં $26$ ભિન્ન ઘટકો છે. બેકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $12$ છે. તેથી,જરૂરી ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{26!}{12!}$ છે.

(C) $TRICK$ શબ્દમાં $5$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $T, R, I, C, K$.
આપણે $5$ અક્ષરનો શબ્દ બનાવવો છે જેમાં $C$ મધ્યમાં નિશ્ચિત હોય.
આથી બાકીના $4$ અક્ષરો $(T, R, I, K)$ માટે $4$ જગ્યાઓ ખાલી રહે છે.
$4$ અલગ-અલગ અક્ષરોને $4$ જગ્યાઓ પર ગોઠવવાની રીતો $4!$ છે.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
તેથી,કુલ $24$ શક્ય રીતો છે.

(C) $EQUATION$ શબ્દમાં $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $E, Q, U, A, T, I, O, N$.
$8$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને (પુનરાવર્તનની છૂટ સાથે) $4$ અક્ષરના કુલ શબ્દોની સંખ્યા $8^4 = 4096$ છે.
કોઈપણ અક્ષરનું પુનરાવર્તન ન થાય તેવા $4$ અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા $^8P_4 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય તેવા $4$ અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા = કુલ શબ્દો - પુનરાવર્તન વગરના શબ્દો:
$= 4096 - 1680 = 2416$.

(C) ધારો કે $9$ બોક્સ $B_1, B_2, \dots, B_9$ છે અને $3$ નાના બોક્સ $B_1, B_2, B_3$ છે.
$5$ દડાઓ આ $3$ નાના બોક્સમાં સમાઈ શકતા નથી,તેથી તેમને બાકીના $6$ બોક્સમાં મૂકવા પડે.
આ $5$ દડાઓને $6$ બોક્સમાં ગોઠવવાની રીતો $^6P_5$ છે.
બાકીના $4$ દડાઓને બાકીના $4$ બોક્સમાં ગોઠવવાની રીતો $4!$ છે.
કુલ ગોઠવણી = $^6P_5 \times 4! = 720 \times 24 = 17280$.

(B) આપણે $\{0, 3, 6, 7, 8, 9\}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $6,00,000$ થી મોટી $6$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. સંખ્યા એકી હોવા માટે,છેલ્લો અંક $3, 7,$ અથવા $9$ હોવો જોઈએ ($3$ વિકલ્પો).
સંખ્યા $6,00,000$ થી મોટી હોવા માટે,પ્રથમ અંક $6, 7, 8,$ અથવા $9$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $6$ અથવા $8$ છે ($2$ વિકલ્પો).
છેલ્લો અંક $3, 7,$ અથવા $9$ છે ($3$ વિકલ્પો).
બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $4! = 24$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ રીતો $= 2 \times 24 \times 3 = 144$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $7$ અથવા $9$ છે ($2$ વિકલ્પો).
છેલ્લો અંક બાકીના $2$ એકી અંકોમાંથી એક હોવો જોઈએ ($2$ વિકલ્પો).
બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $4! = 24$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ રીતો $= 2 \times 24 \times 2 = 96$.
એકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 144 + 96 = 240$.

(C) $6$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓની ગોઠવણી $G, B, B, G, B, B, G, B, B, G$ પ્રકારની હોવી જોઈએ.
છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતો $4!$ છે અને છોકરાઓને ગોઠવવાની રીતો $6!$ છે.
કુલ રીતો = $4! \times 6! = 24 \times 720 = 17280$.
$(144)5! = 144 \times 120 = 17280$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) '$COLLEGE$' શબ્દના અક્ષરો $C, E, E, G, L, L, O$ છે. શબ્દકોશના ક્રમ મુજબ ગણતરી કરતા,'$COLLEGE$' શબ્દનો ક્રમ $179$ મળે છે.

(D) $n$ છોકરાઓના જૂથને $B$ અને $n$ છોકરીઓના જૂથને $G$ તરીકે ધારો.
બધા છોકરાઓ સાથે હોવા જોઈએ અને બધી છોકરીઓ સાથે હોવી જોઈએ,તેથી આપણે છોકરાઓના જૂથને એક એકમ અને છોકરીઓના જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
આ બે એકમોને ગોઠવવાની $2!$ રીતો છે (કાં તો $BG$ અથવા $GB$).
છોકરાઓના જૂથમાં,$n$ છોકરાઓને $n!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
છોકરીઓના જૂથમાં,$n$ છોકરીઓને $n!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $2! \times n! \times n! = 2(n!)^2$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,કોઈ પણ વિકલ્પ $A, B,$ કે $C$ આ મૂલ્ય સાથે મેળ ખાતો નથી.

(D) '$INDEED$' શબ્દમાં અક્ષરો $D, D, E, E, I, N$ છે. કુલ ગોઠવણીઓ $\frac{6!}{2!2!} = 180$ છે.
'$NIDDEE$' નો ક્રમ શોધવા માટે,આપણે શબ્દકોશના ક્રમમાં શબ્દોની ગણતરી કરીએ:
$1$. $D$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{5!}{2!} = 60$
$2$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{5!}{2!} = 60$
$3$. $I$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{5!}{2!2!} = 30$
$4$. $ND$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{4!}{2!} = 12$
$5$. $NE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{4!}{2!} = 12$
$6$. ત્યારબાદનો શબ્દ '$NIDDEE$' છે,જે $1$લો શબ્દ છે.
કુલ ક્રમ = $60 + 60 + 30 + 12 + 12 + 1 = 175$.

(D) $LINEAR$ શબ્દમાં $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $L, I, N, E, A, R$.
આપણે આ અક્ષરોને એવી રીતે ગોઠવવા માંગીએ છીએ કે $E$ અને $A$ હંમેશા સાથે હોય,પરંતુ $N$ અને $R$ સાથે ન હોય.
પ્રથમ,$(EA)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $L, I, N, R, (EA)$.
આ $5$ એકમોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
$E$ અને $A$ તેમના એકમમાં $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે,તેથી $E$ અને $A$ સાથે હોય તેવી કુલ ગોઠવણીઓ $120 \times 2 = 240$ છે.
આગળ,આપણે એવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા શોધીએ જેમાં $E$ અને $A$ સાથે હોય અને $N$ અને $R$ પણ સાથે હોય.
$(EA)$ ને એક એકમ અને $(NR)$ ને બીજો એકમ ગણો. હવે આપણી પાસે $4$ એકમો છે: $L, I, (EA), (NR)$.
આ $4$ એકમોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
તેમના એકમોમાં,$E$ અને $A$ ને $2! = 2$ રીતે અને $N$ અને $R$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,$(EA)$ અને $(NR)$ બંને સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $24 \times 2 \times 2 = 96$ છે.
છેલ્લે,$E$ અને $A$ સાથે હોય પણ $N$ અને $R$ સાથે ન હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $240 - 96 = 144$ છે.

(B) $0, 1, 3, 5, 9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $50000$ થી મોટી પાંચ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,પ્રથમ અંક (દસ હજારનું સ્થાન) $5$ અથવા $9$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $5$ છે.
બાકીના $4$ અંકો $(0, 1, 3, 9)$ બાકીની $4$ જગ્યાઓ પર $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $9$ છે.
બાકીના $4$ અંકો $(0, 1, 3, 5)$ બાકીની $4$ જગ્યાઓ પર $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 24 + 24 = 48$.

(C) '$REPETITION$' શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $R, E, P, E, T, I, T, I, O, N$. ભિન્ન અક્ષરો $R, E, P, T, I, O, N$ ($7$ ભિન્ન અક્ષરો) છે. પુનરાવર્તિત અક્ષરો $E, T, I$ છે (દરેક બે વાર આવે છે).
આપણે $4$ અક્ષરોના ક્રમચયો બનાવવાના છે. કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય: $7$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $4$ પસંદ કરીને ગોઠવતા: ${}^{7}C_{4} \times 4! = 35 \times 24 = 840$.
(ii) $2$ અક્ષરો સમાન (એક જોડી) અને $2$ ભિન્ન હોય: $3$ જોડીમાંથી $1$ જોડી અને બાકીના $6$ અક્ષરોમાંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરીને ગોઠવતા: ${}^{3}C_{1} \times {}^{6}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 15 \times 12 = 540$.
(iii) $2$ જોડી હોય: $3$ જોડીમાંથી $2$ જોડી પસંદ કરીને ગોઠવતા: ${}^{3}C_{2} \times \frac{4!}{2! \times 2!} = 3 \times 6 = 18$.
કુલ ક્રમચયો $= 840 + 540 + 18 = 1398$.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(D) અંકો $S = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ છે. કુલ અંકો $n = 5$. સંખ્યાઓ ઉતરતા ક્રમમાં છે.
$1$. $5$ અંકની સંખ્યાઓ: $5! = 120$.
$2$. $4$ અંકની સંખ્યાઓ: $^5P_4 = 120$.
$3$. $7$ થી શરૂ થતી $3$ અંકની સંખ્યાઓ: $^4P_2 = 12$.
$4$. $5$ થી શરૂ થતી $3$ અંકની સંખ્યાઓ: $^4P_2 = 12$.
$5$. $37$ થી શરૂ થતી $3$ અંકની સંખ્યાઓ: $^3P_1 = 3$.
$6$. $35$ થી શરૂ થતી $3$ અંકની સંખ્યાઓ: $^3P_1 = 3$.
$7$. $32$ થી શરૂ થતી $3$ અંકની સંખ્યાઓ: બાકીના અંકો $\{1, 5, 7\}$ છે. ઉતરતા ક્રમમાં,આ $327, 325, 321$ છે. $327$ આ શ્રેણીમાં પ્રથમ છે.
ક્રમ (Rank) $= 120 + 120 + 12 + 12 + 3 + 3 + 1 = 271$.

(D) વારાફરતી બેસવા માટે બે શક્ય કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: ગોઠવણ છોકરાથી શરૂ થાય છે: $B G B G B G B G B G B G B G B G$.
$8$ છોકરાઓને $8$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $8!$ છે અને $8$ છોકરીઓને $8$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $8!$ છે. તેથી,$8! \times 8!$ રીતો.
કિસ્સો $2$: ગોઠવણ છોકરીથી શરૂ થાય છે: $G B G B G B G B G B G B G B G B$.
$8$ છોકરીઓને $8$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $8!$ છે અને $8$ છોકરાઓને $8$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $8!$ છે. તેથી,$8! \times 8!$ રીતો.
કુલ ગોઠવણની સંખ્યા $= 8! \times 8! + 8! \times 8! = 2 \times (8!)^2 = 2!(8!)^2$.

(B) $1000$ થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ એક-અંકની,બે-અંકની અથવા ત્રણ-અંકની હોઈ શકે છે.
$1$. ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ:
સોના સ્થાનને $9$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $1-9$).
દશકના સ્થાનને $9$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $0-9$,સોના સ્થાનમાં વપરાયેલ અંક સિવાય).
એકમના સ્થાનને $8$ રીતે ભરી શકાય છે (બાકીના અંકો).
કુલ ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ $= 9 \times 9 \times 8 = 648$.
$2$. બે-અંકની સંખ્યાઓ:
દશકના સ્થાનને $9$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $1-9$).
એકમના સ્થાનને $9$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $0-9$,દશકના સ્થાનમાં વપરાયેલ અંક સિવાય).
કુલ બે-અંકની સંખ્યાઓ $= 9 \times 9 = 81$.
$3$. એક-અંકની સંખ્યાઓ:
કુલ $9$ એક-અંકની સંખ્યાઓ છે ($1$ થી $9$).
કુલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $= 648 + 81 + 9 = 738$.

(C) પ્રથમ,આપણે $10$ પુરુષોને એક હરોળમાં ગોઠવીએ છીએ. $10$ પુરુષોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $10!$ છે.
આનાથી $11$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $6$ સ્ત્રીઓને બેસાડી શકાય છે જેથી કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે.
$11$ જગ્યાઓમાંથી $6$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને $6$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^{11}P_6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$^{11}P_6 = \frac{11!}{(11-6)!} = \frac{11!}{5!}$.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $10! \times \frac{11!}{5!} = \frac{10! 11!}{5!}$ છે.

(D) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
આપેલ અંકો $S = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ છે.
આપણે $S$ માંથી $3$ અંકો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી તેમનો સરવાળો $3$ નો ગુણક હોય.
$3$ અંકોના શક્ય સેટ નીચે મુજબ છે:
$1) \{1, 3, 5\} \rightarrow \text{સરવાળો} = 9$ ($3$ વડે વિભાજ્ય)
$2) \{1, 5, 9\} \rightarrow \text{સરવાળો} = 15$ ($3$ વડે વિભાજ્ય)
$3) \{3, 5, 7\} \rightarrow \text{સરવાળો} = 15$ ($3$ વડે વિભાજ્ય)
$4) \{5, 7, 9\} \rightarrow \text{સરવાળો} = 21$ ($3$ વડે વિભાજ્ય)
આમ,$3$ અંકોના $4$ સેટ છે જેનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
દરેક સેટને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ સંખ્યા $= 4 \times 6 = 24$.

(C) આપેલ છે: ${ }^{22} P_{r+1}:{ }^{20} P_{r+2}=11: 52$
સૂત્ર ${ }^n P_r=\frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{22!}{(21-r)!} \times \frac{(18-r)!}{20!} = \frac{11}{52}$
$\Rightarrow \frac{22 \times 21}{(21-r)(20-r)(19-r)} = \frac{11}{52}$
$\Rightarrow (21-r)(20-r)(19-r) = 2 \times 21 \times 52 = 2184$
ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકો જેનો ગુણાકાર $2184$ થાય તે $14 \times 13 \times 12$ છે.
સરખામણી કરતા,$21-r = 14$,તેથી $r=7$.

(D) આપેલ પદાવલિ: ${ }^{n} P_{r+1} + (r+1) { }^{n-1} P_{r} + r^2 { }^{n-1} P_{r-1} + r { }^{n-1} P_{r-1}$
$= { }^{n} P_{r+1} + (r+1) { }^{n-1} P_{r} + (r^2+r) { }^{n-1} P_{r-1}$
$= \frac{n!}{(n-r-1)!} + (r+1) \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} + r(r+1) \frac{(n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{n!(n-r) + (r+1)(n-1)!(n-r) + r(r+1)(n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! [n(n-r) + (r+1)(n-r) + r(r+1)]}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! [n^2 - nr + nr - r^2 + n - r + r^2 + r]}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! [n^2 + n]}{(n-r)!} = \frac{n(n+1)(n-1)!}{(n-r)!} = \frac{(n+1)!}{(n-r)!} = { }^{n+1} P_{r+1}$

(C) ધારો કે ત્રણ અંકની સંખ્યા $abc$ છે,જ્યાં $a, b, c$ અંકો છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$b = c$ અને $a \neq b$.
પ્રથમ અંક $a$ એ $1$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે છે ($9$ વિકલ્પો).
છેલ્લા બે અંકો $b$ અને $c$ સમાન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $b$ અને $c$ બંને માટે $x \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ માંથી એક અંક પસંદ કરીએ છીએ.
કારણ કે $a \neq b$,દરેક $a$ ની પસંદગી માટે,$(b, c)$ ની જોડી માટે $10 - 1 = 9$ શક્ય વિકલ્પો છે.
આવી $n$ સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 9 \times 9 = 81$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^nP_r + r \cdot {}^nP_{r-1} = {}^{n+1}P_r$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
${}^9P_5 + 5 \cdot {}^9P_4 = \frac{9!}{4!} + 5 \cdot \frac{9!}{5!} = \frac{9!}{4!} + \frac{9!}{4!} = 2 \cdot \frac{9!}{4!}$
$= \frac{10!}{5!} = {}^{10}P_5$.
તેથી,$r = 5$.

(D) ઇમારતમાં $12$ માળ છે.
જેથી વ્યક્તિઓ લિફ્ટમાં પ્રવેશે છે,તેઓ ગ્રાઉન્ડ ફ્લોર (જ્યાંથી તેઓ પ્રવેશ્યા હતા) સિવાયના માળ પર બહાર નીકળશે.
આમ $12 - 1 = 11$ શક્ય માળ બાકી રહે છે.
જો કે,લિફ્ટ બીજા માળ પર અટકતી નથી,તેથી તેમના બહાર નીકળવા માટે ઉપલબ્ધ માળની સંખ્યા $11 - 1 = 10$ છે.
કારણ કે $3$ વ્યક્તિઓ અલગ-અલગ માળ પર બહાર નીકળે છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $10$ માળમાંથી $3$ માળની ક્રમચય દ્વારા મળે છે:
$^{10}P_{3} = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

(B) દરેક વિદ્યાર્થી અન્ય દરેક વિદ્યાર્થીને કાર્ડ મોકલે છે. આનો અર્થ એ છે કે દરેક જોડી $(A, B)$ માટે,વિદ્યાર્થી $A$ એ $B$ ને કાર્ડ મોકલે છે અને વિદ્યાર્થી $B$ એ $A$ ને કાર્ડ મોકલે છે.
આ એક ક્રમચય (permutation) નો પ્રશ્ન છે જ્યાં આપણે $20$ માંથી $2$ વિદ્યાર્થીઓને ચોક્કસ ક્રમમાં ગોઠવવાના છે (મોકલનાર અને મેળવનાર).
$20$ માંથી $2$ વિદ્યાર્થીઓને ગોઠવવાની રીતો ક્રમચયના સૂત્ર ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 20$ અને $r = 2$ છે,તેથી કાર્ડની સંખ્યા ${}^{20}P_{2} = 20 \times 19 = 380$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આ ${}^{20}C_{2} \times 2! = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} \times 2 = 380$ ની બરાબર છે.

(B) $5$ અંકની સંખ્યામાં પ્રથમ સ્થાને (દસ હજારના સ્થાને) $0$ ન હોઈ શકે.
પ્રથમ સ્થાન માટે,આપણી પાસે $9$ વિકલ્પો છે (અંકો $1$ થી $9$).
બાકીના $4$ સ્થાનો માટે,આપણે બાકીના $9$ ઉપલબ્ધ અંકોમાંથી (જેમાં $0$ નો સમાવેશ થાય છે અને પ્રથમ સ્થાનમાં વપરાયેલ અંક સિવાયના) $4$ અંકો પસંદ કરવાના છે.
આ $4$ અંકોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{9}P_{4}$ છે.
તેથી,ભિન્ન અંકો ધરાવતી $5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $9 \times {}^{9}P_{4}$ છે.

(A) $COCHIN$ શબ્દના અક્ષરો $C, C, H, I, N, O$ છે. મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $C, C, H, I, N, O$.
$COCHIN$ પહેલા આવતા શબ્દો શોધવા માટે:
$1$. $CC$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $H, I, N, O$. ગોઠવણી $= 4! = 24$.
$2$. $CH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $C, I, N, O$. ગોઠવણી $= 4! = 24$.
$3$. $CI$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $C, H, N, O$. ગોઠવણી $= 4! = 24$.
$4$. $CN$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકી રહેલા અક્ષરો $C, H, I, O$. ગોઠવણી $= 4! = 24$.
આમ,$COCHIN$ પહેલા કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 24 + 24 + 24 + 24 = 96$ થાય.

(D) અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોના $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો (પુનરાવર્તન શક્ય છે તેમ માનીને) $26 \times 26 = 26^{2}$ છે.
પ્રથમ અંક શૂન્ય ન હોય તેવા $4$ અંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^{3}$ છે.
તેથી,અલગ નોંધણી નંબર ધરાવતા વાહનોની કુલ સંખ્યા $26^{2} \times 9 \times 10^{3}$ છે.

(A) "$IRRATIONAL$" શબ્દમાં કુલ $10$ અક્ષરો છે.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ ગણતા:
$I$ બે વાર આવે છે.
$R$ બે વાર આવે છે.
$A$ બે વાર આવે છે.
$T, O, N, L$ દરેક એક વાર આવે છે.
ક્રમચયના સૂત્ર મુજબ,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3! \dots n_k!}$ છે.
અહીં,$n = 10$,$n_1 = 2$ ($I$ માટે),$n_2 = 2$ ($R$ માટે),અને $n_3 = 2$ ($A$ માટે).
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= \frac{10!}{2! 2! 2!} = \frac{10!}{(2!)^3}$.

(D) $4$ વક્તાઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ છે.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,વક્તા $P$ અને $Q$ ના સાપેક્ષ ક્રમ માટે માત્ર બે જ શક્યતાઓ છે: કાં તો $P$ એ $Q$ પહેલા બોલે અથવા $Q$ એ $P$ પહેલા બોલે.
આ બંને કિસ્સાઓ સમાન રીતે સંભવિત હોવાથી,કુલ ગોઠવણીમાંથી અડધી ગોઠવણીમાં $Q$ એ $P$ પહેલા બોલશે.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $\frac{24}{2} = 12$ છે.

(C) '$COCHIN$' શબ્દના અક્ષરો $C, C, H, I, N, O$ છે. મૂળાક્ષરોનો ક્રમ $C, C, H, I, N, O$ છે.
'$COCHIN$' પહેલા આવતા શબ્દો શોધવા માટે,આપણે શબ્દોને મૂળાક્ષર પ્રમાણે ગોઠવીએ:
$1$. $C$ પછી $C$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $H, I, N, O$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$2$. $C$ પછી $H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $C, I, N, O$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$3$. $C$ પછી $I$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $C, H, N, O$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$4$. $C$ પછી $N$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $C, H, I, O$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$5$. ત્યારપછીના શબ્દો $CO$ થી શરૂ થાય છે. પ્રથમ શબ્દ '$COCHIN$' છે.
'$COCHIN$' પહેલા આવતા કુલ શબ્દો = $24 + 24 + 24 + 24 = 96$.

(D) '$VERTICAL$' શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે,જેમાં $3$ સ્વરો $(E, I, A)$ અને $5$ વ્યંજનો $(V, R, T, C, L)$ છે.
સ્વરોનો ક્રમ બદલાવો ન જોઈએ,તેથી આપણે $3$ સ્વરની જગ્યાઓને સમાન ગણીએ છીએ.
કુલ $8$ અક્ષરોની ગોઠવણી $8!$ થાય.
$3$ સ્વરોને તેમની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય,પરંતુ તેમનો ક્રમ નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે કુલ ગોઠવણીને $3!$ વડે ભાગીએ છીએ.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $\frac{8!}{3!} = 6720$ છે.

(C) $ARRANGE$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A(2), R(2), N(1), G(1), E(1)$.
બંને $R$ સાથે આવે તે માટે,આપણે $(RR)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
હવે,કુલ $6$ એકમો છે: $(RR), A, A, N, G, E$.
આ $6$ એકમોમાં $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
તેથી,ગોઠવણીની કુલ રીતો = $\frac{6!}{2!}$.
$(RR)$ બ્લોકની અંદર,બે $R$ ને $\frac{2!}{2!} = 1$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,કુલ રીતો = $\frac{6!}{2!} \times 1 = \frac{6!}{2!}$.

(D) $COMBINE$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $C, O, M, B, I, N, E$.
સ્વરો $O, I, E$ છે ($3$ સ્વરો).
વ્યંજનો $C, M, B, N$ છે ($4$ વ્યંજનો).
કુલ $7$ સ્થાનો છે. એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7$ છે ($4$ એકી સ્થાનો).
આપણે $4$ એકી સ્થાનોમાં $3$ સ્વરો ગોઠવવાના છે,જે $^4P_3$ રીતે કરી શકાય.
$^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ રીતો.
બાકીના $4$ અક્ષરો (વ્યંજનો) બાકીના $4$ સ્થાનોમાં $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતો.
કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $= ^4P_3 \times 4! = 24 \times 24 = 576$.

(D) ધારો કે $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ અને $B = \{b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}, b_{6}, b_{7}\}$.
અહીં,ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે અને ગણ $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 7$ છે.
ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનું એક-એક વિધેય ત્યારે જ મળે જો આપણે $B$ માંથી $4$ ભિન્ન ઘટકો પસંદ કરીએ અને તેમને $A$ ના $4$ ઘટકો સાથે જોડીએ.
આવા કુલ એક-એક વિધેયોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 7$ અને $r = 4$ છે.
કુલ એક-એક વિધેયો $= {}^{7}P_{4} = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.

(A) લિફ્ટ $4, 5, 6, 7, 8, 9$ અને $10$મા માળે અટકે છે.
ત્રણ વ્યક્તિઓ માટે બહાર નીકળવા માટે $7$ માળ ઉપલબ્ધ છે.
ત્રણ વ્યક્તિઓ ત્રણ અલગ-અલગ માળ પર બહાર નીકળી શકે છે,તેથી આપણે $7$ માંથી $3$ માળ પસંદ કરવા પડે અને તેમને ગોઠવવા પડે.
કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $^7P_3 = \frac{7!}{(7-3)!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$ છે.