Equation of lines joining the origin to the point of intersection of a curve and a line and Distance between the pair of lines Questions in Gujarati

(A) આપેલ વક્રો $x^2+y^2=4$ અને $x+y=a$ ને સમઘાત બનાવવા માટે,આપણે રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ આ રીતે લખીએ છીએ:
$x^2+y^2-4\left(\frac{x+y}{a}\right)^2=0$
$a^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$a^2(x^2+y^2)-4(x^2+y^2+2xy)=0$
$(a^2-4)x^2-8xy+(a^2-4)y^2=0$
આ લંબ રેખાઓની જોડી દર્શાવતું હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(a^2-4)+(a^2-4)=0$
$2a^2-8=0$
$a^2=4$
$a=\pm 2$
તેથી,$a$ નો જરૂરી ગણ $\{-2, 2\}$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ ...$(i)$
આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $x+y+2=0 \Rightarrow \frac{x+y}{-2}=1$ ...(ii)
સમીકરણ (ii) નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $(i)$ ને સમઘાત બનાવતા:
$x^2+xy+y^2+x(1)+3y(1)+1(1)^2=0$
$1 = \frac{x+y}{-2}$ મૂકતા:
$x^2+xy+y^2+x(\frac{x+y}{-2})+3y(\frac{x+y}{-2})+(\frac{x+y}{-2})^2=0$
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$4x^2+4xy+4y^2-2x(x+y)-6y(x+y)+(x+y)^2=0$
$3x^2-2xy-y^2=0$
$ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=3, 2h=-2, b=-1$ મળે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ છે.
$\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-1}$
$\frac{x^2-y^2}{4} = -xy$
$x^2+4xy-y^2=0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 20xy + 25y^2 + 2x + 5y - 12 = 0$ છે.
આને $(2x + 5y)^2 + (2x + 5y) - 12 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $t = 2x + 5y$. તો સમીકરણ $t^2 + t - 12 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t + 4)(t - 3) = 0$.
તેથી,$t = -4$ અથવા $t = 3$.
આમ,બે સમાંતર રેખાઓ મળે છે: $2x + 5y + 4 = 0$ અને $2x + 5y - 3 = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 2, B = 5, C_1 = 4, C_2 = -3$.
$d = \frac{|4 - (-3)|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{7}{\sqrt{29}}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(x-2y)^2 + k(x-2y) = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x-2y)(x-2y+k) = 0$ મળે.
આ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે: $L_1: x-2y = 0$ અને $L_2: x-2y+k = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A=1, B=-2, C_1=0, C_2=k$ છે.
તેથી,$d = \frac{|k-0|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$.
આપેલ છે કે $d = 3$,તેથી $\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 3$.
આમ,$|k| = 3\sqrt{5}$,જેનો અર્થ છે કે $k = \pm 3\sqrt{5}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2 \sqrt{2} xy + 2y^2 + 4x + 4 \sqrt{2}y + 1 = 0$ છે.
આને $(x + \sqrt{2}y)^2 + 4(x + \sqrt{2}y) + 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $t = x + \sqrt{2}y$,તો સમીકરણ $t^2 + 4t + 1 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $t = -2 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
આમ,બે સમાંતર રેખાઓ $x + \sqrt{2}y + 2 - \sqrt{3} = 0$ અને $x + \sqrt{2}y + 2 + \sqrt{3} = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં $A = 1$,$B = \sqrt{2}$,$C_1 = 2 - \sqrt{3}$,અને $C_2 = 2 + \sqrt{3}$ છે.
$d = \frac{|(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2}} = \frac{|-2 \sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 2$ એકમ.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 6xy + y^2 + 18x - 6y + 8 = 0$ છે.
આને $(3x - y)^2 + 6(3x - y) + 8 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $t = 3x - y$. તો સમીકરણ $t^2 + 6t + 8 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,$(t + 4)(t + 2) = 0$ મળે.
તેથી,$t = -4$ અથવા $t = -2$.
આમ બે સમાંતર રેખાઓ મળે છે: $3x - y + 4 = 0$ અને $3x - y + 2 = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
અહીં,$a = 3$,$b = -1$,$c_1 = 4$,અને $c_2 = 2$.
$d = \frac{|4 - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+2 \sqrt{2} xy+2y^2+4x+4 \sqrt{2}y+1=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$,$h=\sqrt{2}$,$b=2$,$g=2$,$f=2 \sqrt{2}$,અને $c=1$ મળે છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d=2 \sqrt{\frac{g^2-ac}{a(a+b)}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d=2 \sqrt{\frac{2^2-(1)(1)}{1(1+2)}}$.
$d=2 \sqrt{\frac{4-1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{3}{3}} = 2 \sqrt{1} = 2$.

(A) આપેલ રેખા $x+y-\lambda=0$ છે,જેનો અર્થ છે $x+y=\lambda$. $\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\frac{x+y}{\lambda}=1$ $(i)$.
રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ છે.
ઉગમબિંદુને $A$ અને $B$ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે $(i)$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$x^2+y^2-2x(1)-4y(1)+2(1)^2=0$
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{\lambda})-4y(\frac{x+y}{\lambda})+2(\frac{x+y}{\lambda})^2=0$
$\lambda^2$ વડે ગુણતા:
$(\lambda^2-2\lambda+2)x^2 + (4-6\lambda)xy + (\lambda^2-4\lambda+2)y^2 = 0$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(\lambda^2-2\lambda+2) + (\lambda^2-4\lambda+2) = 0$
$2\lambda^2-6\lambda+4 = 0$
$\lambda^2-3\lambda+2 = 0$
$(\lambda-1)(\lambda-2) = 0$.
આમ,$\lambda=1$ અથવા $\lambda=2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$2$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ વક્ર $2x^2 - 2xy + 3y^2 + 2x - y - 1 = 0$ છે.
રેખા $x + 2y = k$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x + 2y}{k} = 1$.
રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)(1) - 1(1)^2 = 0$.
$1 = \frac{x + 2y}{k}$ મૂકતા:
$2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)\left(\frac{x + 2y}{k}\right) - \left(\frac{x + 2y}{k}\right)^2 = 0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2(2x^2 - 2xy + 3y^2) + k(2x^2 + 4xy - xy - 2y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2) = 0$.
$x^2(2k^2 + 2k - 1) + xy(-2k^2 + 3k - 4) + y^2(3k^2 - 2k - 4) = 0$.
રેખાઓ કાટખૂણે હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(2k^2 + 2k - 1) + (3k^2 - 2k - 4) = 0$.
$5k^2 - 5 = 0$.
$5k^2 = 5 \implies k^2 = 1$.

(NONE) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 10x + 5y = 0$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડીએ. સજાતીય ભાગ $2x^2 - 3xy - 2y^2 = (2x + y)(x - 2y)$ છે.
ધારો કે રેખાઓ $(2x + y + c_1) = 0$ અને $(x - 2y + c_2) = 0$ છે.
$(2x + y + c_1)(x - 2y + c_2) = 2x^2 - 3xy - 2y^2 + (2c_2 + c_1)x + (c_2 - 2c_1)y + c_1c_2 = 0$ વિસ્તરણ કરતા.
$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 10x + 5y = 0$ સાથે સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $2c_2 + c_1 = 10$ અને $c_2 - 2c_1 = 5$ મળે છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $c_1 = 0$ અને $c_2 = 5$.
તેથી રેખાઓ $2x + y = 0$ અને $x - 2y + 5 = 0$ છે.
છેદબિંદુ $2x + y = 0$ અને $x - 2y + 5 = 0$ ને ઉકેલીને મળે છે. બીજા સમીકરણમાં $y = -2x$ મૂકતા $x - 2(-2x) + 5 = 0$ મળે,તેથી $5x = -5$,જેનો અર્થ છે $x = -1$ અને $y = 2$.
રેખા $L$ એ $(0, 0)$ અને $(-1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$L$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2 - 0}{-1 - 0} = -2$ છે.
કારણ કે $L$ એ $kx + y + 3 = 0$ ને લંબ છે,બીજી રેખાનો ઢાળ $m_2 = -k$ છે.
લંબ રેખાઓ માટે,$m_1 \times m_2 = -1$.
$-2 \times (-k) = -1 \Rightarrow 2k = -1 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ અને રેખા $x+y=3$ છે.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ.
$x+y=3$ હોવાથી,$\frac{x+y}{3} = 1$ મળે.
વર્તુળના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$x^2+y^2 = 9(1)^2$
$x^2+y^2 = 9\left(\frac{x+y}{3}\right)^2$
$x^2+y^2 = 9\left(\frac{(x+y)^2}{9}\right)$
$x^2+y^2 = (x+y)^2$
$x^2+y^2 = x^2+y^2+2xy$
$2xy = 0$
$xy = 0$

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 10x + 5y = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(2x + y)(x - 2y + 5) = 0$ મળે છે.
તેથી,રેખાઓ $2x + y = 0$ અને $x - 2y + 5 = 0$ છે.
આ બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $(-1, 2)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને $(-1, 2)$ ને જોડતી રેખા $L$ નો ઢાળ $m_1 = -2$ છે.
રેખા $L$ એ $kx + y + 3 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$(-2) \times (-k) = -1$ $\Rightarrow 2k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.

(A) આપેલ વક્ર: $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ $(i)$ અને રેખા: $x+y+2=0$ (ii).
છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ મેળવવા માટે,(ii) નો ઉપયોગ કરીને $(i)$ ને સમઘાત (homogenize) કરો. (ii) પરથી,$\frac{x+y}{-2} = 1$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$4x^2+4xy+4y^2-2(x^2+4xy+3y^2) + (x^2+2xy+y^2) = 0$
$3x^2-2xy-y^2 = 0$
આ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. $ax^2+2hxy+by^2=0$ માટે ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ છે.
અહીં $a=3, h=-1, b=-1$.
$\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-(-1)}$
$\frac{x^2-y^2}{4} = \frac{xy}{1}$
$x^2-y^2 = 4xy$
$x^2-4xy-y^2 = 0$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $x + 2y + 1 = 0$ છે,જેને $-(x + 2y) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $2x^2 - 2xy + 3y^2 + (2x - y)(-(x + 2y)) - (-(x + 2y))^2 = 0$.
સાદુરૂપ આપતા: $2x^2 - 2xy + 3y^2 - (2x^2 + 3xy - 2y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2) = 0$.
$-x^2 - 9xy + y^2 = 0$,એટલે કે $x^2 + 9xy - y^2 = 0$.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = -1$ મળે.
અહીં $a + b = 0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) રેખા $x+2y+\lambda=0$ અને વક્ર $2x^2-2xy+3y^2+2x-y-1=0$ ના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ વક્રના સમીકરણને રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવીને મેળવવામાં આવે છે:
$2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)(\frac{x+2y}{-\lambda}) - (\frac{x+2y}{-\lambda})^2 = 0$.
$\lambda^2$ વડે ગુણતા:
$\lambda^2(2x^2-2xy+3y^2) - \lambda(2x-y)(x+2y) - (x+2y)^2 = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2$ નો સહગુણક $2\lambda^2 - 2\lambda - 1$ અને $y^2$ નો સહગુણક $3\lambda^2 + 2\lambda - 4$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(2\lambda^2 - 2\lambda - 1) + (3\lambda^2 + 2\lambda - 4) = 0$.
$5\lambda^2 - 5 = 0 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$.
આમ,$\lambda$ ની કિંમત $1$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ છે અને રેખા $x+y-2=0$ છે.
રેખાના સમીકરણને $\frac{x+y}{2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$x^2+y^2-2x(1)-4y(1)+2(1)^2=0$.
$1 = \frac{x+y}{2}$ મૂકતા:
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{2})-4y(\frac{x+y}{2})+2(\frac{x+y}{2})^2=0$.
સાદુરૂપ આપતા $x^2-4xy-y^2=0$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $-2$ છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $ax+by=1$ છે અને વક્રનું સમીકરણ $x^2+y^2-x-y-1=0$ છે.
રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$x^2+y^2-(x+y)(ax+by)-(ax+by)^2=0$
$x^2(1-a-a^2)+xy(-a-b-2ab)+y^2(1-b-b^2)=0$
જો રેખાઓની જોડી કાટખૂણે હોય,તો $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(1-a-a^2)+(1-b-b^2)=0$
$a^2+b^2+a+b-2=0$
આ $(a, b)$ સમતલમાં વર્તુળ દર્શાવે છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=1/2$,$f=1/2$,અને $c=-2$ મળે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(1/2)^2+(1/2)^2+2} = \sqrt{5/2}$.

(D) $ax^2+2hxy+by^2=0$ અને $lx+my+n=0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{|am^2-2hlm+bl^2|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,રેખાઓની જોડી $x^2-3xy+y^2=0$ છે,તેથી $a=1, h=-\frac{3}{2}, b=1$.
ત્રીજી રેખા $x+y+1=0$ છે,તેથી $l=1, m=1, n=1$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1^2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2-(1)(1)}}{|(1)(1)^2-2(-\frac{3}{2})(1)(1)+(1)(1)^2|}$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{\frac{9}{4}-1}}{|1+3+1|} = \frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{5} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{10} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ ચોરસ એકમ.

(C) રેખા $y=mx+1$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=1$ ના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ $y-mx=1$ નો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
$1 = y-mx$ ને $x^2+y^2=1^2$ માં મૂકતા:
$x^2+y^2=(y-mx)^2$
$x^2+y^2=y^2-2mxy+m^2x^2$
$(1-m^2)x^2+2mxy=0$
જો આ રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય,તો $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
અહીં,$x^2$ નો સહગુણક $(1-m^2)$ છે અને $y^2$ નો સહગુણક $0$ છે.
તેથી,$(1-m^2)+0=0$
$1-m^2=0$
$m^2=1$
$m=\pm 1$

(D) ધારો કે બે વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x+8y+5=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x+4y-3=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-4x+8y+5) - (x^2+y^2+2x+4y-3) = 0$
$-6x+4y+8=0 \Rightarrow 3x-2y-4=0$.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $3x-2y=4$ અથવા $\frac{3x-2y}{4}=1$ છે.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને $S_2$ ના સમીકરણનું સમઘાતીકરણ કરીએ છીએ:
$x^2+y^2+(2x+4y)(1) - 3(1)^2 = 0$
$x^2+y^2+(2x+4y)(\frac{3x-2y}{4}) - 3(\frac{3x-2y}{4})^2 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $16$ વડે ગુણતા:
$16(x^2+y^2) + 4(2x+4y)(3x-2y) - 3(9x^2+4y^2-12xy) = 0$
$16x^2+16y^2 + 4(6x^2+8xy-8y^2) - 27x^2-12y^2+36xy = 0$
$13x^2+68xy-28y^2=0$.

(A) આપેલ રેખા: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2 \Rightarrow \frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1$.
આપેલ વર્તુળ: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડી મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ છીએ:
$x^2 + y^2 - 2(ax + by)(\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b}) + (a^2 + b^2 - r^2)(\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b})^2 = 0$.
રેખાઓ કાટખૂણે હોય તે માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આ શરત લાગુ પાડતા: $a^2 + b^2 - r^2 = 0 \Rightarrow a^2 + b^2 = r^2$.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $3x + 4y - 5 = 0$ છે,જેને $\frac{3x + 4y}{5} = 1$ $(i)$ તરીકે લખી શકાય.
વક્રનું સમીકરણ $2x^2 + 3y^2 = 5$ (ii) છે.
$\angle AOB$ શોધવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવીશું:
$2x^2 + 3y^2 = 5(1)^2$
$2x^2 + 3y^2 = 5\left(\frac{3x + 4y}{5}\right)^2$
$2x^2 + 3y^2 = 5\left(\frac{9x^2 + 16y^2 + 24xy}{25}\right)$
$10x^2 + 15y^2 = 9x^2 + 16y^2 + 24xy$
$x^2 - 24xy - y^2 = 0$
આ $OA$ અને $OB$ રેખાઓની જોડી દર્શાવતું દ્વિઘાત સમઘાત સમીકરણ છે. સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે. અહીં,$a = 1$,$b = -1$,અને $h = -12$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a + b = 1 + (-1) = 0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\angle AOB = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$.

(D) આપેલ રેખા $2 x+3 y=k \Rightarrow \frac{2 x+3 y}{k}=1 \dots (i)$
વળી આપેલ છે,$3 x^2-x y+3 y^2+2 x-3 y-4=0$
હવે $(i)$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$3 x^2-x y+3 y^2+(2 x-3 y)\left(\frac{2 x+3 y}{k}\right)-4\left(\frac{2 x+3 y}{k}\right)^2=0$
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2(3 x^2-x y+3 y^2) + k(4 x^2+6 x y-6 x y-9 y^2) - 4(4 x^2+9 y^2+12 x y) = 0$
$x^2(3 k^2+4 k-16) + x y(-k^2-48) + y^2(3 k^2-9 k-36) = 0$
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(3 k^2+4 k-16) + (3 k^2-9 k-36) = 0$
$6 k^2-5 k-52 = 0$

(D) રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y = 1$ છે.
વક્રના સમીકરણ $x^2 + 2xy + 5y^2 + 2x + 3y - 1 = 0$ ને રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવતા:
$x^2 + 2xy + 5y^2 + (2x + 3y)(1) - (1)^2 = 0$
$1 = 2x - 3y$ મૂકતા:
$x^2 + 2xy + 5y^2 + (2x + 3y)(2x - 3y) - (2x - 3y)^2 = 0$
$x^2 + 2xy + 5y^2 + (4x^2 - 9y^2) - (4x^2 - 12xy + 9y^2) = 0$
$x^2 + 14xy - 13y^2 = 0$
આ રેખાઓ $OA$ અને $OB$ ની જોડી દર્શાવે છે. $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$h = 7$,અને $b = -13$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{|a + b|}$ છે.
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{49 + 13}}{12} = \frac{\sqrt{62}}{6}$.
$\cos \theta = \frac{3\sqrt{2}}{7}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x+7y)^2 + 4\sqrt{2}(x+7y) - 42 = 0$ છે.
ધારો કે $x+7y = t$.
તેથી સમીકરણ $t^2 + 4\sqrt{2}t - 42 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{-4\sqrt{2} \pm \sqrt{32 + 168}}{2} = \frac{-4\sqrt{2} \pm 10\sqrt{2}}{2}$.
તેથી,$t = 3\sqrt{2}$ અથવા $t = -7\sqrt{2}$.
બે સમાંતર રેખાઓ $x+7y - 3\sqrt{2} = 0$ અને $x+7y + 7\sqrt{2} = 0$ છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $A = 1, B = 7, C_1 = -3\sqrt{2}, C_2 = 7\sqrt{2}$.
$d = \frac{|-3\sqrt{2} - 7\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + 7^2}} = \frac{10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 2$.

(B) વક્રનું સમીકરણ $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ છે અને રેખા $x+y+2=0$ છે.
રેખાનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા,$\frac{x+y}{-2}=1$ લખી શકાય.
વક્રના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2=0$.
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$4x^2+4xy+4y^2-2(x^2+4xy+3y^2)+(x^2+2xy+y^2)=0$.
$3x^2-2xy-y^2=0$.
આને $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=3, h=-1, b=-1$ મળે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-1)^2-3(-1)}}{3-1} \right| = 2$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) આપેલ રેખાઓ:
$L_1 \equiv 4x + 5y - 6 = 0 \dots(1)$
$L_2 \equiv 2x + 3y - 4 = 0 \dots(2)$
$L_3 \equiv 3x - y + 2 = 0 \dots(3)$
બિંદુ $A$ એ $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ છે. $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
$4x + 5y = 6$
$4x + 6y = 8$
બાદબાકી કરતા $y = 2$ મળે,તેથી $x = -1$. એટલે કે,$A = (-1, 2)$.
બિંદુ $B$ એ $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ છે. $(1)$ અને $(3)$ ઉકેલતા:
$4x + 5y = 6$
$15x - 5y = -10$
સરવાળો કરતા $19x = -4$ મળે,તેથી $x = -4/19$. પછી $y = 3x + 2 = 3(-4/19) + 2 = 26/19$. એટલે કે,$B = (-4/19, 26/19)$.
રેખા $OA$ નું સમીકરણ (જે $(0,0)$ અને $(-1,2)$ માંથી પસાર થાય છે) $y = -2x$ અથવા $2x + y = 0$ છે.
રેખા $OB$ નું સમીકરણ (જે $(0,0)$ અને $(-4/19, 26/19)$ માંથી પસાર થાય છે) $y = -13/2 x$ અથવા $13x + 2y = 0$ છે.
$OA$ અને $OB$ નું સંયુક્ત સમીકરણ $(2x + y)(13x + 2y) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $26x^2 + 4xy + 13xy + 2y^2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $26x^2 + 17xy + 2y^2 = 0$ થાય છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $x+y=1$ $\ldots(i)$ છે અને વક્રનું સમીકરણ $x^2+y^2+2hxy+gx+fy+1=0$ $\ldots(ii)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $(ii)$ ને સમપરિમાણીય બનાવતા,આપણને ઉગમબિંદુને છેદબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ મળે છે:
$x^2+y^2+2hxy+(gx+fy)(x+y)+1(x+y)^2=0$
$\Rightarrow x^2+y^2+2hxy+gx^2+gxy+fxy+fy^2+x^2+y^2+2xy=0$
$\Rightarrow (2+g)x^2+(2+f)y^2+xy(g+f+2h+2)=0$ $\ldots(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓ એકબીજાને લંબ હશે જો $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(2+g)+(2+f)=0$
$\Rightarrow g+f+4=0$
આમ,$(g, f)$ નો બિંદુપથ $x+y+4=0$ છે.

(C) આપેલ રેખાયુગ્મનું સમીકરણ $k x^2+8 x y-3 y^2+2 x-4 y-1=0$ છે.
તે રેખાયુગ્મ દર્શાવે તે માટે નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} k & 4 & 1 \\ 4 & -3 & -2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
$k(3-4) - 4(-4+2) + 1(-8+3) = 0$
$-k + 8 - 5 = 0 \Rightarrow k = 3$.
હવે,$x+y=1$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$3 x^2+8 x y-3 y^2+(2 x-4 y)(x+y) - (x+y)^2 = 0$
$4 x^2+4 x y-8 y^2 = 0 \Rightarrow x^2+x y-2 y^2 = 0$.
અહીં $A=1, H=1/2, B=-2$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{A+B} \right|$:
$\tan \theta = 3$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ અથવા $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.

(D) વક્રોના સમીકરણો:
$x^2+y^2+gx+c=0$ $(i)$
$x^2+y^2+2fy-c=0$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,રેખાઓ કાટખૂણે હોવાની શરત $g^2+4f^2=8c$ મળે છે.

(C) વક્રનું સમીકરણ $2x^2 + 3y^2 = 6$ છે,જેને $2x^2 + 3y^2 - 6(1)^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાના સમીકરણ $x + y = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ:
$2x^2 + 3y^2 - 6(x + y)^2 = 0$
$2x^2 + 3y^2 - 6(x^2 + y^2 + 2xy) = 0$
$-4x^2 - 3y^2 - 12xy = 0$
$4x^2 + 12xy + 3y^2 = 0$.
આને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$,$2h = 12$ (તેથી $h = 6$),અને $b = 3$ મળે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{6^2 - 4(3)}}{4 + 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{36 - 12}}{7} \right| = \frac{2\sqrt{24}}{7} = \frac{4\sqrt{6}}{7}$.
$\tan \theta = \frac{4\sqrt{6}}{7}$ હોવાથી,કર્ણ $\sqrt{(4\sqrt{6})^2 + 7^2} = \sqrt{145}$ મળે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{145}} = \sqrt{\frac{96}{145}}$.

(D) વક્રનું સમીકરણ $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ છે અને રેખા $x+y+2=0$ છે.
છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણ $\frac{x+y}{-2}=1$ નો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ છીએ.
કિંમત મૂકતા:
$x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$4x^2+4xy+4y^2 - 2(x^2+4xy+3y^2) + (x^2+2xy+y^2) = 0$
$4x^2+4xy+4y^2 - 2x^2-8xy-6y^2 + x^2+2xy+y^2 = 0$
$3x^2-2xy-y^2 = 0$
આ રેખાઓની જોડ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે,જ્યાં $a=3, h=-1, b=-1$.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-1}$
$\frac{x^2-y^2}{4} = \frac{xy}{-1}$
$-x^2+y^2 = 4xy$
$x^2+4xy-y^2 = 0$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ રેખા $x+2y=k$ માટે,$\frac{x+2y}{k}=1$ થાય.
વક્રના સમીકરણ $2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)(1)-(1)^2=0$ માં આ કિંમત મૂકતા:
$2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)\left(\frac{x+2y}{k}\right)-\left(\frac{x+2y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2(2x^2-2xy+3y^2)+k(2x^2+4xy-xy-2y^2)-(x^2+4xy+4y^2)=0$.
પદોને ગોઠવતા:
$x^2(2k^2+2k-1) - xy(2k^2-3k+4) + y^2(3k^2-2k-4) = 0$.
$OA \perp OB$ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(2k^2+2k-1) + (3k^2-2k-4) = 0$.
$5k^2 - 5 = 0$.
$k^2 = 1$.
તેથી,$k = \pm 1$.

(C) આપેલ વક્ર $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ છે અને રેખા $x+y=k$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x+y}{k}=1$.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$x^2+y^2-2(x+2y)(\frac{x+y}{k})+2(\frac{x+y}{k})^2=0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2(x^2+y^2)-2k(x+2y)(x+y)+2(x+y)^2=0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$k^2x^2+k^2y^2-2k(x^2+3xy+2y^2)+2(x^2+y^2+2xy)=0$.
$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$x^2(k^2-2k+2)+y^2(k^2-4k+2)+xy(-6k+4)=0$.
રેખાઓ કાટખૂણે હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(k^2-2k+2)+(k^2-4k+2)=0$.
$2k^2-6k+4=0 \implies k^2-3k+2=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(k-1)(k-2)=0$,તેથી $k=1$ અથવા $k=2$.
$k$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $1+2=3$ થાય છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $S = 3x^2+8xy-3y^2 = 0$ અને $S' = 3x^2+8xy-3y^2+2x-4y-1 = 0$ છે.
છેદબિંદુઓ $P = L_1 \cap L_3$ અને $Q = L_2 \cap L_4$ છે.
બંને રેખાઓની જોડીના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા $L$ એ $S' - S = 0$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$(3x^2+8xy-3y^2+2x-4y-1) - (3x^2+8xy-3y^2) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $2x - 4y - 1 = 0$ થાય છે.
આ રેખા $L$ ના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $y=0$ અને $x=0$ મૂકીને મેળવી શકાય છે.
$y=0$ માટે,$2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. બિંદુ $(\frac{1}{2}, 0)$ છે.
$x=0$ માટે,$-4y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{4}$. બિંદુ $(0, -\frac{1}{4})$ છે.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |\text{પાયો}| \times |\text{વેધ}|$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |\frac{1}{2}| \times |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ ચોરસ એકમ.

(C) સૌ પ્રથમ,સામાન્ય રેખા શોધવા માટે આપેલી રેખાઓની જોડીના અવયવો પાડો.\
$6x^2 - xy - 12y^2 = (3x + 4y)(2x - 3y) = 0$.\
$15x^2 + 14xy - 8y^2 = (5x - 2y)(3x + 4y) = 0$.\
સામાન્ય રેખા $3x + 4y = 0$ છે.\
રેખા $L$ એ $(-1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $3x + 4y = 0$ ને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $3x + 4y - 1 = 0$ એટલે કે $3x + 4y = 1$ છે.\
વક્ર $2x^2 - xy - y^2 + x - y = 0$ અને $3x + 4y = 1$ ના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડી મેળવવા માટે,$1 = 3x + 4y$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સમઘાત બનાવો:\
$2x^2 - xy - y^2 + (x - y)(3x + 4y) = 0$.\
વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 - xy - y^2 + 3x^2 + 4xy - 3xy - 4y^2 = 0$.\
સમાન પદો ભેગા કરતા: $5x^2 - 5y^2 = 0 \Rightarrow x^2 - y^2 = 0$.

(D) રેખાયુગ્મ $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ ને રેખા $x+y=k$ નો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવતા,આપણે $\frac{x+y}{k}=1$ લઈએ છીએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{k})-4y(\frac{x+y}{k})+2(\frac{x+y}{k})^2=0$.
રેખાઓ $OA$ અને $OB$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1-\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2})x^2 + (1-\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2})y^2 + (\dots)xy = 0$.
$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય લેતા:
$(1-\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2}) + (1-\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2}) = 0$.
$2 - \frac{6}{k} + \frac{4}{k^2} = 0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$2k^2 - 6k + 4 = 0 \Rightarrow k^2 - 3k + 2 = 0$.
$(k-1)(k-2) = 0$.
આમ,$k=1$ અથવા $k=2$.
$k>1$ આપેલ હોવાથી,$k=2$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે અને રેખા $y=3x+c$ છે,જેને $\frac{y-3x}{c}=1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી મેળવવા માટે,આપણે વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$x^2+y^2=4(1)^2$
$x^2+y^2=4\left(\frac{y-3x}{c}\right)^2$
$c^2(x^2+y^2)=4(y^2+9x^2-6xy)$
$c^2x^2+c^2y^2=4y^2+36x^2-24xy$
$(c^2-36)x^2+24xy+(c^2-4)y^2=0$.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(c^2-36)+(c^2-4)=0$
$2c^2-40=0$
$2c^2=40$
$c^2=20$.

(A) આપેલ વક્ર $3x^2 - 4xy + 5y^2 - 2x + y - 6 = 0$ છે.
રેખા $4x - 6y - 2 = 0$ એટલે કે $2x - 3y = 1$ છે.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે વક્રને રેખાના સમીકરણ વડે સમપરિમાણીય બનાવતા:
$3x^2 - 4xy + 5y^2 - (2x - y)(2x - 3y) - 6(2x - 3y)^2 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા:
$f(x, y) = -25x^2 + 76xy - 52y^2 = 0$.
હવે,$f(1, -1) = -25 - 76 - 52 = -153$.
અને $f(-1, -1) = -25 + 76 - 52 = -1$.
તેથી,$\frac{f(1, -1)}{f(-1, -1)} = \frac{-153}{-1} = 153$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-3x-6y+3=0$ છે. રેખા $x+2y=c$ છે,અથવા $\frac{x+2y}{c}=1$.
રેખાનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$x^2+y^2-(3x+6y)(\frac{x+2y}{c}) + 3(\frac{x+2y}{c})^2 = 0$.
કારણ કે $\angle POQ = \frac{\pi}{2}$,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $0$ થવો જોઈએ.
$x^2$ નો સહગુણક: $1 - \frac{3}{c} + \frac{3}{c^2}$.
$y^2$ નો સહગુણક: $1 - \frac{12}{c} + \frac{12}{c^2}$.
સરવાળો: $2 - \frac{15}{c} + \frac{15}{c^2} = 0$.
$c^2$ વડે ગુણતા: $2c^2 - 15c + 15 = 0$.
આમ,$2c^2 - 15c = -15$.