Exponential series Questions in Hindi

(B) हमारे पास $\frac{1-2x}{e^x} = (1-2x)e^{-x}$ है।
$e^{-x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$ विस्तार का उपयोग करने पर:
$(1-2x) \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!} - 2x \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$।
$x^n$ का गुणांक पहले पद से $k=n$ के लिए और दूसरे पद से $k=n-1$ के लिए प्राप्त होता है:
$x^n$ का गुणांक $= \frac{(-1)^n}{n!} - 2 \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}$।
चूंकि $(-1)^{n-1} = -(-1)^n$,इसलिए:
$x^n$ का गुणांक $= \frac{(-1)^n}{n!} + 2 \cdot \frac{(-1)^n}{(n-1)!} = \frac{(-1)^n}{n!} [1 + 2n] = (-1)^n \cdot \frac{(1+2n)}{n!}$।

(B) हम जानते हैं कि $e^{-x}$ का विस्तार $e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \dots + \frac{(-1)^n x^n}{n!} + \dots$ होता है।
अब,व्यंजक $(2+3x)e^{-x}$ पर विचार करें:
$(2+3x)e^{-x} = 2e^{-x} + 3xe^{-x}$
$2e^{-x}$ में $x^{10}$ वाला पद $2 \times \frac{(-x)^{10}}{10!} = \frac{2}{10!} x^{10}$ है।
$3xe^{-x}$ में $x^{10}$ वाला पद $3x \times \frac{(-x)^9}{9!} = 3x \times \frac{-x^9}{9!} = -\frac{3}{9!} x^{10}$ है।
इन्हें जोड़ने के लिए,दूसरे पद को $10!$ हर के साथ लिखते हैं:
$-\frac{3}{9!} = -\frac{3 \times 10}{10!} = -\frac{30}{10!}$.
अतः,$x^{10}$ का गुणांक $\frac{2}{10!} - \frac{30}{10!} = \frac{2-30}{10!} = \frac{-28}{10!}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $2 \cosh 2x + 10 \sinh 2x = 5$
घातांकीय परिभाषाओं $\cosh 2x = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ और $\sinh 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \left(\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}\right) + 10 \left(\frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}\right) = 5$
$(e^{2x} + e^{-2x}) + 5(e^{2x} - e^{-2x}) = 5$
$6e^{2x} - 4e^{-2x} = 5$
$e^{2x}$ से गुणा करने पर:
$6(e^{2x})^2 - 5e^{2x} - 4 = 0$
माना $u = e^{2x}$,तो $6u^2 - 5u - 4 = 0$
गुणनखंड करने पर: $(2u + 1)(3u - 4) = 0$
चूंकि $u = e^{2x} > 0$,इसलिए $3u - 4 = 0 \Rightarrow u = \frac{4}{3}$
$e^{2x} = \frac{4}{3} \Rightarrow 2x = \log \left(\frac{4}{3}\right)$
$x = \frac{1}{2} \log \left(\frac{4}{3}\right)$

(A) हमारे पास श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ है।
अंश को $(2n+1) - 1$ के रूप में लिखने पर:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1-1}{(2n+1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right)$.
श्रेणी का विस्तार करने पर:
$= \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} \right) + \dots$
$e^x$ के लिए टेलर श्रेणी $x=1$ पर: $e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
अतः,योग $\frac{1}{e}$ के बराबर है।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}}{n !}$ है,जहाँ $n \geq 1$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{2^n-1}{n !}$ प्राप्त होता है।
इसे $T_n = \frac{2^n}{n !} - \frac{1}{n !}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !}$ है।
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \ldots$ विस्तार का उपयोग करने पर,
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} = e^2 - 1$ और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} = e - 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$।

(B) दी गई श्रेणी $1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots = e^y$ के रूप में है,जहाँ $y = x \log_e a$ है।
$y = \log_e a^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 + \log_e a^x + \frac{(\log_e a^x)^2}{2!} + \frac{(\log_e a^x)^3}{3!} + \ldots = e^{\log_e a^x}$.
चूँकि $e^{\log_e z} = z$,इसलिए $e^{\log_e a^x} = a^x$ है।

(A) दिया गया है,$x=1+\frac{1}{2 \times 1 !}+\frac{1}{4 \times 2 !}+\frac{1}{8 \times 3 !}+\ldots$
यह $e^{1/2}$ का विस्तार है,इसलिए $x = e^{1/2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^{2} = e$ प्राप्त होता है।
अब,$y=1+\frac{x^{2}}{1 !}+\frac{x^{4}}{2 !}+\frac{x^{6}}{3 !}+\ldots$
यह $e^{x^{2}}$ का विस्तार है,इसलिए $y = e^{x^{2}}$ है।
$x^{2} = e$ प्रतिस्थापित करने पर,$y = e^{e}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $\log_{e}$ लेने पर,$\log_{e} y = \log_{e} (e^{e}) = e \log_{e} e = e \times 1 = e$।

(B) दिया गया है,$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{n!} x^n$.
हम इसे $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $e^y = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!}$,इसलिए $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = e^y - 1$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$f(x) = (e^{2x} - 1) - (e^x - 1) = e^{2x} - e^x$ प्राप्त होता है।
$f(x) = 0$ रखने पर,$e^{2x} - e^x = 0$,जिसका अर्थ है $e^x(e^x - 1) = 0$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^x > 0$ होता है,इसलिए $e^x - 1 = 0$ होना चाहिए,जिससे $e^x = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 0$ ही एकमात्र वास्तविक हल है।

(B) श्रेणी का सामान्य पद $t_n = \frac{2n}{(2n+1)!}$ है।
हम इसे $t_n = \frac{(2n+1) - 1}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right) = \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots \right)$ प्राप्त होता है।
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ के विस्तार के अनुसार,$x = -1$ के लिए,$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots$ होता है।
अतः,योग $e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots$ है।
इसलिए,मान $e^{-1}$ है।

(C) माना दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1 \cdot 3}{4!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{6!} + \dots$ है।
सामान्य पद $T_n$ ($n \ge 1$ के लिए) $T_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{(2n)!}$ है।
अंश को $\frac{(2n)!}{2^n n!}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$T_n = \frac{(2n)!}{2^n n! (2n)!} = \frac{1}{2^n n!}$।
श्रेणी $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n n!}$ है,जहाँ $n=0$ के लिए पद $1$ है।
यह $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ का विस्तार है,जहाँ $x = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$S = e^{1/2} = \sqrt{e}$।

(C) अंश में दी गई श्रेणी $1, 8, 21, 40, 65, \ldots$ का सामान्य पद $T_n$ अंतर विधि द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। प्रथम अंतर $7, 13, 19, 25, \ldots$ हैं,जो $6$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं।
अतः,$T_n = an^2 + bn + c$।
$n=1$ के लिए,$T_1 = a+b+c = 1$।
$n=2$ के लिए,$T_2 = 4a+2b+c = 8$।
$n=3$ के लिए,$T_3 = 9a+3b+c = 21$।
इन्हें हल करने पर,हमें $a=3, b=-2, c=0$ प्राप्त होता है। इसलिए,$T_n = 3n^2 - 2n = n(3n-2)$।
श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(3n-2)}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2-2n}{n!}$ है।
चूंकि पहला पद $1$ ($n=1$ के लिए) है,हम $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n-2}{(n-1)!}$ लिख सकते हैं।
मान लीजिए $k = n-1$,तो $n = k+1$।
$S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3(k+1)-2}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3k+1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!} + e = 3e + e = 4e$।
चूंकि $2 < e < 3$,इसलिए $8 < 4e < 12$।
अतः,$8 < S < 12$।

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $t_n = \frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^2}{(n+2)!}$ है।
सूत्र $\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,$t_n = \frac{(n+1)(2n+3)}{6(n+2)!}$ प्राप्त होता है।
इस श्रेणी का योग करने पर,$S = \frac{5e}{6} - \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{e^{7x}+e^x}{e^{3x}} = e^{4x} + e^{-2x}$.
$e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए:
$e^{4x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n x^n}{n!}$.
$e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^n}{n!}$.
इन दोनों श्रेणियों को जोड़ने पर,$x^n$ का गुणांक $\frac{4^n + (-2)^n}{n!}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रथम $(r-1)$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{(r-1)r}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sum_{r=2}^{\infty} \frac{(r-1)r}{2 \cdot r!}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r! = r(r-1)(r-2)!$,व्यंजक सरल होकर $\sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{2(r-2)!}$ हो जाता है।
अचर $\frac{1}{2}$ को बाहर निकालने पर,हमें $\frac{1}{2} \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-2)!}$ प्राप्त होता है।
माना $k = r-2$. जैसे $r$,$2$ से $\infty$ तक जाता है,$k$,$0$ से $\infty$ तक जाता है।
अतः,व्यंजक $\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{2} e$ हो जाता है।

(B) हमें श्रेणी $S = \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{k(k+1)}{k!}$ दी गई है।
ध्यान दें कि $\frac{k(k+1)}{k!} = \frac{k(k-1+2)}{k!} = \frac{k(k-1)}{k!} + \frac{2k}{k!} = \frac{1}{(k-2)!} + \frac{2}{(k-1)!}$ जहाँ $k \ge 2$ है।
$k=1$ के लिए,पद $(-1)^{1+1}\frac{1(2)}{1!} = 2$ है।
योग का विस्तार करने पर: $S = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{k(k-1)}{k!} + \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{2k}{k!}$.
$S = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k-2)!} + 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k-1)!}$.
पहले योग में $j = k-2$ और दूसरे योग में $m = k-1$ रखने पर:
$S = -\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{j!} + 2 \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m!}$.
चूँकि $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1} = \frac{1}{e}$,इसलिए:
$S = -(\frac{1}{e}) + 2(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}$.