Exponential series Questions in Hindi

(B) दी गई श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ के रूप में है,जहाँ $x = 2 \log_e 2$ है।
हम जानते हैं कि $e^x$ का विस्तार $1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ होता है।
इसलिए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$ है।
$x = 2 \log_e 2 = \log_e(2^2) = \log_e 4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
योग $= e^{\log_e 4} - 1$।
चूँकि $e^{\log_e a} = a$,इसलिए योग $4 - 1 = 3$ है।

(B) दी गई श्रेणी $1 + \frac{y}{1!} + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \dots = e^y$ के रूप में है,जहाँ $y = \log_e x$ है।
$e^y$ के विस्तार में $y = \log_e x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{\log_e x} = x$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + 3^n}{n!} (\log_e 3)^n$ है।
हम इसे दो अलग-अलग श्रेणियों में विभाजित कर सकते हैं:
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\log_e 3)^n}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 \log_e 3)^n}{n!}$.
घातांकीय श्रेणी विस्तार $e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$.
पहले भाग के लिए,$x = \log_e 3$,इसलिए $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\log_e 3)^n}{n!} = e^{\log_e 3} - 1 = 3 - 1 = 2$.
दूसरे भाग के लिए,$x = 3 \log_e 3 = \log_e 3^3 = \log_e 27$,इसलिए $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\log_e 27)^n}{n!} = e^{\log_e 27} - 1 = 27 - 1 = 26$.
अतः,$S = 2 + 26 = 28$.

(D) हम जानते हैं कि $3^x = e^{\log(3^x)} = e^{x \log 3}$।
$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$ श्रेणी का उपयोग करने पर,जहाँ $u = x \log 3$:
$3^x = 1 + \frac{x \log 3}{1!} + \frac{(x \log 3)^2}{2!} + \frac{(x \log 3)^3}{3!} + \dots$
$3^x = 1 + x \log 3 + \frac{x^2 (\log 3)^2}{2} + \frac{x^3 (\log 3)^3}{6} + \dots$
अतः $x^3$ का गुणांक $\frac{(\log 3)^3}{6}$ है।

(B) हम जानते हैं कि चरघातांकी श्रेणी इस प्रकार है:
$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty$
$e^{-1} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots \infty$
इनका योग करने पर,$e + e^{-1} = 2(1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty)$,अतः $\frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty = \frac{e + e^{-1} - 2}{2}$.
इनका अंतर करने पर,$e - e^{-1} = 2(\frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \infty)$,अतः $1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \infty = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\frac{e + e^{-1} - 2}{2}}{\frac{e - e^{-1}}{2}} = \frac{e + \frac{1}{e} - 2}{e - \frac{1}{e}} = \frac{\frac{e^2 + 1 - 2e}{e}}{\frac{e^2 - 1}{e}} = \frac{(e - 1)^2}{(e - 1)(e + 1)} = \frac{e - 1}{e + 1}$.

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{3n - 2}{n!}$ है।
हम सामान्य पद को $T_n = \frac{3n}{n!} - \frac{2}{n!} = \frac{3}{(n - 1)!} - \frac{2}{n!}$ के रूप में लिख सकते हैं।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{(n - 1)!} - \frac{2}{n!} \right)$ है।
$S = 3 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!} - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$.
हम जानते हैं कि $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots$ और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!} = e$ है।
साथ ही,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$S = 3(e) - 2(e - 1) = 3e - 2e + 2 = e + 2$।

(C) दी गई श्रेणी $S = \frac{1 + x}{1!} + \frac{(1 + x)^2}{2!} + \frac{(1 + x)^3}{3!} + \dots \infty$ है।
हम जानते हैं कि चरघातांकी श्रेणी $e^y = 1 + \frac{y}{1!} + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \dots$ होती है।
अतः,$S = e^{1 + x} - 1 = e \cdot e^x - 1$.
$e^x$ का विस्तार रखने पर,$S = e \left( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots \right) - 1$.
इस प्रकार,$x^n$ का गुणांक $\frac{e}{n!}$ है।

(C) $n^{th}$ पद $T_n = \frac{n(n+1)}{2(n-1)!}$ है।
इसे सरल करने पर $T_n = \frac{1}{2} [\frac{1}{(n-3)!} + \frac{3}{(n-2)!} + \frac{2}{(n-1)!}]$ प्राप्त होता है।
योग $S = \frac{7e}{2}$ है।

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{(n+1)(n+4)}{n!}$ है।
$T_n = \frac{n^2 + 5n + 4}{n!} = \frac{n(n-1) + 6n + 4}{n!} = \frac{1}{(n-2)!} + \frac{6}{(n-1)!} + \frac{4}{n!}$
योग करने पर,$S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)(n+4)}{n!} = 11e$.

(B) अंश का $n^{th}$ पद $a_n = 2n^2 + n + 1$ है।
अतः,श्रेणी का $n^{th}$ पद $T_n = \frac{2n^2 + n + 1}{n!}$ है।
अंश को $2n(n-1) + 3n + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$T_n = \frac{2n(n-1)}{n(n-1)(n-2)!} + \frac{3n}{n(n-1)!} + \frac{1}{n!} = \frac{2}{(n-2)!} + \frac{3}{(n-1)!} + \frac{1}{n!}$ ($n \ge 2$ के लिए)।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = T_1 + \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{2}{(n-2)!} + \frac{3}{(n-1)!} + \frac{1}{n!} \right)$ है।
$T_1 = 4$ है।
$S = 4 + 2(e) + 3(e-1) + (e-2) = 6e - 1$।

(A) व्यंजक $(a + bx + cx^2)e^{-x}$ है।
$e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \dots + \frac{(-1)^k x^k}{k!} + \dots$ का उपयोग करते हुए।
$(a + bx + cx^2) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^k}{k!} = a \sum \frac{(-1)^k x^k}{k!} + bx \sum \frac{(-1)^k x^k}{k!} + cx^2 \sum \frac{(-1)^k x^k}{k!}$।
$x^n$ का गुणांक प्राप्त करने के लिए,हम उन पदों को जोड़ते हैं जहाँ $x$ की घात $n$ है:
$a \cdot \frac{(-1)^n}{n!} + b \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} + c \cdot \frac{(-1)^{n-2}}{(n-2)!}$।
अतः,$x^n$ का गुणांक $\frac{a(-1)^n}{n!} + \frac{b(-1)^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{c(-1)^{n-2}}{(n-2)!}$ है।

(B) $\cosh(x)$ का विस्तार $\frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots \infty$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई श्रेणी को $1 + \frac{(1/2)^2}{2!} + \frac{(1/2)^4}{4!} + \frac{(1/2)^6}{6!} + \dots \infty$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $\cosh(x)$ के विस्तार से करने पर,हम $x = \frac{1}{2}$ रखते हैं।
अतः,योग $\frac{e^{1/2} + e^{-1/2}}{2} = \frac{\sqrt{e} + \frac{1}{\sqrt{e}}}{2} = \frac{e + 1}{2\sqrt{e}}$ है।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{2^n - 1}{n!}$ है,जहाँ $n \ge 1$ है।
योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{n!}$ है।
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$।
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots$ विस्तार का उपयोग करने पर।
अतः,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = (e^2 - 1)$ और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = (e - 1)$।
$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e = e(e - 1)$।

(B) हम जानते हैं कि $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots \infty$.
$x = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{e^1 + e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \infty$.
$\frac{1}{2} \left( e + \frac{1}{e} \right) = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \infty$.
अतः,$\frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \infty = \frac{1}{2} \left( \frac{e^2 + 1}{e} \right) - 1$.
$= \frac{e^2 + 1 - 2e}{2e} = \frac{(e - 1)^2}{2e}$.

(B) हम जानते हैं कि $e^x$ का विस्तार इस प्रकार है:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + \infty$
विस्तार में $x = -1$ रखने पर:
$e^{-1} = 1 + (-1) + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} + \dots$
$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
$e^{-1} = 0 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
अतः,श्रेणी $\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$ का योग $e^{-1}$ है।

(D) हम जानते हैं कि $e^x$ का विस्तार इस प्रकार है:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
$x = -1$ रखने पर:
$e^{-1} = 1 + (-1) + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} + \dots$
$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
सरल करने पर:
$e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
अतः,श्रेणी का योग $e^{-1}$ है।

(C) श्रेणी का $n^{th}$ पद $T_n = \frac{1 + 2 + 2^2 + .... + 2^{n-1}}{n!}$ द्वारा दिया गया है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{2^n - 1}{(2 - 1)n!} = \frac{2^n}{n!} - \frac{1}{n!}$.
$n=1$ से $\infty$ तक श्रेणी का योग करने पर:
$S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2^n}{n!} - \frac{1}{n!} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$.
हम जानते हैं कि $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$,इसलिए $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$.
$x=2$ के लिए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2 - 1$.
$x=1$ के लिए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1^n}{n!} = e^1 - 1 = e - 1$.
अतः,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$.

(A) हम जानते हैं कि $e^x$ का विस्तार $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ है।
दिया गया है $a = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n}}{(3n)!}$,$b = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n-2}}{(3n-2)!}$,और $c = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n-1}}{(3n-1)!}$।
इनका योग करने पर,$a+b+c = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$।
इकाई के घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ का उपयोग करते हुए:
$a + b\omega + c\omega^2 = e^{\omega x}$।
$a + b\omega^2 + c\omega = e^{\omega^2 x}$।
सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega)$ का उपयोग करने पर:
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = e^x \cdot e^{\omega x} \cdot e^{\omega^2 x} = e^{x(1+\omega+\omega^2)}$।
चूंकि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए हमें $e^{x(0)} = e^0 = 1$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\sum_{1 \le i < j \le n} ij = \frac{1}{2} [(\sum_{i=1}^n i)^2 - \sum_{i=1}^n i^2]$.
$S_n = \frac{1}{2} [(\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}]$
$S_n = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$.
$n=0, 1$ के लिए,$S_n = 0$. $n \ge 2$ के लिए,$\frac{S_n}{(n+1)!} = \frac{3n+2}{24(n-2)!}$.
$\sum_{n=2}^\infty \frac{3n+2}{24(n-2)!} = \frac{1}{24} [3 \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{(n-3)!} + 8 \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-2)!}] = \frac{1}{24} [3e + 8e] = \frac{11e}{24}$.

(C) सम्मिश्र श्रेणी $C + iS$ पर विचार करें:
$C + iS = 1 + \frac{(\cos x + i\sin x)}{1!} + \frac{(\cos 2x + i\sin 2x)}{2!} + \frac{(\cos 3x + i\sin 3x)}{3!} + \dots$
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ का उपयोग करते हुए:
$C + iS = 1 + \frac{e^{ix}}{1!} + \frac{e^{i2x}}{2!} + \frac{e^{i3x}}{3!} + \dots$
$C + iS = 1 + \frac{(e^{ix})}{1!} + \frac{(e^{ix})^2}{2!} + \frac{(e^{ix})^3}{3!} + \dots$
यह घातांकीय श्रेणी $e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ का विस्तार है,जहाँ $z = e^{ix}$ है।
अतः,$C + iS = e^{(e^{ix})} = \exp[\exp(ix)]$.

(B) हम जानते हैं कि $\cosh(x)$ का विस्तार $\frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots$ है।
$x = 1$ रखने पर:
$\frac{e + \frac{1}{e}}{2} = 1 + \left( \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \right)$
$\frac{e^2 + 1}{2e} = 1 + \left( \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \right)$
अतः,श्रेणी का योग:
$\frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots = \frac{e^2 + 1}{2e} - 1 = \frac{(e - 1)^2}{2e}$.

(B) माना $T_n = \frac{n^2+6n+10}{(2n+1)!}$.
अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$n^2+6n+10 = \frac{1}{4}((2n+1)^2 + 10(2n+1) + 29)$.
अतः,$T_n = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{(2n-1)!} + \frac{11}{(2n)!} + \frac{29}{(2n+1)!} \right]$.
$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:
$S = \frac{1}{4} \left[ \frac{e-e^{-1}}{2} + 11 \frac{e+e^{-1}-2}{2} + 29 \frac{e-e^{-1}-2}{2} \right]$
$S = \frac{41}{8}e - \frac{19}{8}e^{-1} - 10$.

(A) $S_{n}$ के योग का सामान्य पद $T_{r} = r(n-r)$ है,जहाँ $r = 1$ से $n-1$ तक।
$S_{n} = \sum_{r=1}^{n-1} (nr - r^{2}) = n \sum_{r=1}^{n-1} r - \sum_{r=1}^{n-1} r^{2}$.
$S_{n} = n \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$.
अब,योग के अंदर के पद पर विचार करें: $\frac{2 S_{n}}{n!} - \frac{1}{(n-2)!} = \frac{2 n(n-1)(n+1)}{6 n(n-1)(n-2)!} - \frac{1}{(n-2)!}$.
$= \frac{n+1}{3(n-2)!} - \frac{1}{(n-2)!} = \frac{n+1-3}{3(n-2)!} = \frac{n-2}{3(n-2)!} = \frac{1}{3(n-3)!}$.
$n=4$ से $\infty$ तक योग करने पर: $\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{3(n-3)!} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{3} (e-1)$.

(D) दिया गया है $C(\theta) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n\theta)}{n!}$.
$C(0) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e$.
$C(\pi) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1}$.
$(A)$ $C(0) \cdot C(\pi) = e \cdot e^{-1} = 1$ (सत्य).
$(B)$ $C(0) + C(\pi) = e + \frac{1}{e} > 2$ (सत्य).
$(C)$ $C(\theta) = e^{\cos \theta} \cos(\sin \theta) > 0$ (सत्य).
$(D)$ $C^{\prime}(\theta) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\theta)}{(n-1)!}$. $\theta = 0$ पर $C^{\prime}(0) = 0$ होता है,इसलिए यह कथन असत्य है.

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n^3}{(n!)} + \frac{2n-1}{(2n)!} \right)$ है।
हम जानते हैं कि $n^3 = n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) + n$.
अतः,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3}{n!} = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(n-3)!} + 3\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e + 3e + e = 5e$.
दूसरे भाग के लिए,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n-1}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}$.
$e$ और $e^{-1}$ की श्रेणी का उपयोग करते हुए,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} = \frac{e + e^{-1}}{2}$ और $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
यहाँ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
अतः,योग $5e + \frac{e - e^{-1}}{2} - \frac{e + e^{-1}}{2} = 5e - e^{-1}$ है।
$ae + be^{-1} + c$ के साथ तुलना करने पर,$a=5, b=-1, c=0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a^2 - b + c = 5^2 - (-1) + 0 = 25 + 1 = 26$.

(B) यहाँ $S = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2+3n+4}{(2n)!}$ है।
अंश को $2n(2n-1)$ के रूप में लिखने पर:
$2n^2+3n+4 = \frac{1}{2}(2n)(2n-1) + 2(2n) + 4$.
अतः,$S = \frac{1}{2} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-2)!} + 2 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} + 4 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}$.
श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{2}(\frac{e+e^{-1}}{2}) + 2(\frac{e-e^{-1}}{2}) + 4(\frac{e+e^{-1}-2}{2})$
$S = \frac{13}{4}e + \frac{5}{4e} - 4$.

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} {}^n C_r = 2^n$.
अतः,$b = 1 + \frac{2^1}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2$.
अब,$a = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{{}^n C_2}{(n+1)!}$.
${}^n C_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ का उपयोग करने पर,$a = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{2(n+1)!} = 1 + \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{(n+1)!}$.
श्रेणी का योग करने पर $a = e/2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{2b}{a^2} = \frac{2(e^2)}{(e/2)^2} = \frac{2e^2}{e^2/4} = 8$.

(D) श्रेणी का $r$-वां पद $T_r = \frac{1+3+5+\ldots+(2r-1)}{r!}$ है।
चूंकि प्रथम $r$ विषम संख्याओं का योग $r^2$ होता है,इसलिए $T_r = \frac{r^2}{r!} = \frac{r}{(r-1)!}$ है।
हम $r$ को $(r-1+1)$ के रूप में लिख सकते हैं,अतः $T_r = \frac{r-1+1}{(r-1)!} = \frac{r-1}{(r-1)!} + \frac{1}{(r-1)!} = \frac{1}{(r-2)!} + \frac{1}{(r-1)!}$ ($r \ge 2$ के लिए)।
योग $S = \sum_{r=1}^{\infty} T_r = T_1 + \sum_{r=2}^{\infty} \left( \frac{1}{(r-2)!} + \frac{1}{(r-1)!} \right)$ है।
$S = 1 + \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-2)!} + \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-1)!}$ है।
$S = 1 + (\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots) + (\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots) = 1 + e + (e-1) = 2e$।

(C) $e^{z}$ का विस्तार $e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}$ द्वारा दिया जाता है।
$z = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^{n}}{n!}$ प्राप्त होता है।
$x^{6}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $n=6$ वाला पद देखते हैं:
$\frac{(2x)^{6}}{6!} = \frac{2^{6} \cdot x^{6}}{720}$.
मान की गणना करने पर: $\frac{64}{720} = \frac{64 \div 16}{720 \div 16} = \frac{4}{45}$.
अतः,$x^{6}$ का गुणांक $\frac{4}{45}$ है।

(B) निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज के लिए सूत्र $A = Pe^{rt}$ है।
यहाँ $P = 400$,$t = 6$ वर्ष के लिए $A = 800$ है।
$800 = 400e^{6r} \implies e^{6r} = 2 \implies 6r = \ln(2) \implies r = \frac{\ln(2)}{6}$.
$33$ वर्षों के अंत में राशि $A$ ज्ञात करने के लिए:
$A = 400e^{33r} = 400e^{33 \times \frac{\ln(2)}{6}} = 400(2^{5.5})$.
$2^{5.5} = 32 \times \sqrt{2} = 32 \times 1.4142 = 45.2544$.
$A = 400 \times 45.2544 = 18101.76$.
अतः,$33$ वर्षों के अंत में राशि ₹ $18101.76$ होगी।

(D) दिया गया फलन $f(x) = b^{x}$ जहाँ $b > 1$ है।
$f(x) = b^{x}$ के रूप के किसी भी चरघातांकी फलन के लिए,बिंदु $(0, 1)$ हमेशा ग्राफ पर स्थित होता है क्योंकि $f(0) = b^{0} = 1$ होता है।
बिंदु $(1, b)$ ग्राफ पर स्थित होता है क्योंकि $f(1) = b^{1} = b$ होता है।
इसलिए,बिंदु $(1, 0)$ फलन $f(x) = b^{x}$ के ग्राफ पर स्थित नहीं है।
अतः,विकल्प $D$ सही नहीं है।

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1+2+3+\ldots+n}{(n+1)!}$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{n(n+1)}{2(n+1)!} = \frac{n(n+1)}{2(n+1)n(n-1)!} = \frac{1}{2(n-1)!}$।
$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2(n-1)!} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$।
मान लीजिए $k = n-1$,तब जब $n=1, k=0$ और जब $n \to \infty, k \to \infty$।
$S = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots \right) = \frac{1}{2} e$।
अतः,योग $\frac{e}{2}$ है।

(D) दिया गया योग $S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !} \left(\sum_{n=1}^k 2^{n-1}\right)$ है।
कोष्ठक के अंदर,हमारे पास $a=1$,$r=2$ और $k$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,इसलिए $\sum_{n=1}^k 2^{n-1} = \frac{1(2^k-1)}{2-1} = 2^k-1$ है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k-1}{k !}$ प्राप्त होता है।
इसे दो योगों में विभाजित किया जा सकता है: $S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k !} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !}$।
हम जानते हैं कि $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k !} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k !}$,इसलिए $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k !} = e^x - 1$ है।
पहले योग के लिए,$x=2$,इसलिए $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k !} = e^2 - 1$ है।
दूसरे योग के लिए,$x=1$,इसलिए $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1^k}{k !} = e^1 - 1 = e - 1$ है।
अतः,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$।

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{2+4+6+\dots+2n}{(n+1)!}$ है।
प्रथम $n$ सम संख्याओं का योग $\sum_{k=1}^{n} 2k = n(n+1)$ होता है।
अतः,$T_n = \frac{n(n+1)}{(n+1)!} = \frac{1}{(n-1)!}$ जहाँ $n \geq 1$ है।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$ है।
माना $m = n-1$,तो $S = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots = e$.

(B) दिया है: $\cosh (x-\log 3)=\sinh x$
परिभाषा $\cosh \theta = \frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}$ और $\sinh \theta = \frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{e^{x-\log 3}+e^{-(x-\log 3)}}{2} = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$
$e^x \cdot e^{-\log 3} + e^{-x} \cdot e^{\log 3} = e^x - e^{-x}$
चूंकि $e^{-\log 3} = \frac{1}{3}$ और $e^{\log 3} = 3$:
$\frac{1}{3} e^x + 3 e^{-x} = e^x - e^{-x}$
$3 e^{-x} + e^{-x} = e^x - \frac{1}{3} e^x$
$4 e^{-x} = \frac{2}{3} e^x$
$e^{2x} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$
$2x = \log 6$
$x = \frac{1}{2} \log 6$

(C) दिया गया है $2 \sinh x = \cosh x$।
परिभाषाओं $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ और $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
$e^x - e^{-x} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
$2e^x - 2e^{-x} = e^x + e^{-x}$
$e^x = 3e^{-x}$
$e^{2x} = 3$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2x = \log_e 3$
$x = \frac{1}{2} \log_e 3$

(A) हमारे पास श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ है।
अंश को $(2n+1) - 1$ के रूप में लिखने पर:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1-1}{(2n+1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right)$.
श्रेणी का विस्तार करने पर:
$= \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} \right) + \dots$
$e^x$ के टेलर श्रेणी विस्तार में $x = -1$ रखने पर:
$e^{-1} = \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots$
अतः,योग $e^{-1} = 1/e$ है।

(A) श्रेणी का $n$वाँ पद $T_n = \frac{1+2+3+\ldots+n}{(n+1) !}$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{n(n+1)}{2(n+1)!} = \frac{n}{2(n)!} = \frac{1}{2(n-1)!}$.
$n=1, 2, 3, \ldots$ के लिए,पद $T_1 = \frac{1}{2(0!)}, T_2 = \frac{1}{2(1!)}, T_3 = \frac{1}{2(2!)}, \ldots$ हैं।
योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots \right]$.
चूंकि $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots$,इसलिए $S = \frac{1}{2} e$.

(C) हमारे पास $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2+n+1}{n!}$ है।
चूंकि $n^2 = n(n-1) + n$,हम अंश को $2n(n-1) + 3n + 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\frac{2n^2+n+1}{n!} = \frac{2}{(n-2)!} + \frac{3}{(n-1)!} + \frac{1}{n!}$।
$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$।
श्रेणी विस्तार $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ का उपयोग करने पर:
$S = 2e + 3e + (e-1) = 6e - 1$।

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{2+4+6+\ldots+2n}{(n+1)!}$ है।
प्रथम $n$ सम संख्याओं का योग $\sum_{k=1}^{n} 2k = n(n+1)$ होता है।
अतः,$T_n = \frac{n(n+1)}{(n+1)!} = \frac{1}{(n-1)!}$ जहाँ $n \ge 1$ है।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$ है।
माना $m = n-1$,तो $S = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots = e$।

(A) हमारे पास $\frac{1-2x-x^2}{e^{-x}} = (1-2x-x^2)e^x$ है।
$e^x$ को $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ के रूप में विस्तारित करने पर:
$(1-2x-x^2) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$ प्राप्त होता है।
$x^k$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
प्रथम पद से गुणांक $\frac{1}{k!}$ है।
दूसरे पद से $n+1=k$ रखने पर,गुणांक $-2 \times \frac{1}{(k-1)!}$ है।
तीसरे पद से $n+2=k$ रखने पर,गुणांक $-1 \times \frac{1}{(k-2)!}$ है।
कुल गुणांक: $\frac{1}{k!} - \frac{2}{(k-1)!} - \frac{1}{(k-2)!} = \frac{1-k-k^2}{k!}$।

(B) हमारे पास $\frac{1-2x}{e^x} = (1-2x)e^{-x}$ है।
$e^{-x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$ विस्तार का उपयोग करने पर:
$(1-2x) \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!} - 2x \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$।
$x^n$ का गुणांक पहले पद से $k=n$ के लिए और दूसरे पद से $k=n-1$ के लिए प्राप्त होता है:
$x^n$ का गुणांक $= \frac{(-1)^n}{n!} - 2 \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}$।
चूंकि $(-1)^{n-1} = -(-1)^n$,इसलिए:
$x^n$ का गुणांक $= \frac{(-1)^n}{n!} + 2 \cdot \frac{(-1)^n}{(n-1)!} = \frac{(-1)^n}{n!} [1 + 2n] = (-1)^n \cdot \frac{(1+2n)}{n!}$।