Mix Examples-Exponential and Logarithmic Series Questions in Hindi

(C) दी गई लघुगणकीय श्रेणी का विस्तार: $b = a - \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{3} - \frac{a^4}{4} + \dots = \log_e(1 + a)$.
इसका अर्थ है $1 + a = e^b$.
$e^b$ के लिए घातांकीय श्रेणी के विस्तार का उपयोग करने पर:
$e^b = 1 + \frac{b}{1!} + \frac{b^2}{2!} + \frac{b^3}{3!} + \dots$
$e^b$ के स्थान पर $1 + a$ रखने पर:
$1 + a = 1 + b + \frac{b^2}{2!} + \frac{b^3}{3!} + \dots$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$a = b + \frac{b^2}{2!} + \frac{b^3}{3!} + \dots$
अतः,मान $a$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $e^{2x} - 11e^{x} - 45e^{-x} + \frac{81}{2} = 0$
पूरे समीकरण को $2e^{x}$ से गुणा करने पर:
$2e^{3x} - 22e^{2x} + 81e^{x} - 90 = 0$
माना $e^{x} = t$ है। तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$2t^{3} - 22t^{2} + 81t - 90 = 0$
माना इस त्रिघात समीकरण के मूल $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ हैं,जो $e^{x_{1}}, e^{x_{2}}, e^{x_{3}}$ के संगत हैं।
त्रिघात समीकरण $at^{3} + bt^{2} + ct + d = 0$ के मूलों का गुणनफल $t_{1}t_{2}t_{3} = -\frac{d}{a}$ होता है।
यहाँ,$t_{1}t_{2}t_{3} = -\frac{-90}{2} = 45$.
$e^{x_{i}}$ का मान रखने पर:
$e^{x_{1}} \cdot e^{x_{2}} \cdot e^{x_{3}} = 45$
$e^{x_{1} + x_{2} + x_{3}} = 45$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$x_{1} + x_{2} + x_{3} = \log_{e} 45$
दिया गया है कि मूलों का योग $\log_{e} P$ है,इसलिए $\log_{e} P = \log_{e} 45$.
अतः,$P = 45$.

(B) दिया गया है $x = \log_e 3$,अतः $e^x = 3$ है।
हम जानते हैं कि $\tanh 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^{2x} + e^{-2x}}$ और $\operatorname{sech} 2x = \frac{2}{e^{2x} + e^{-2x}}$ होता है।
अतः,$\tanh 2x + \operatorname{sech} 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x} + 2}{e^{2x} + e^{-2x}}$।
चूँकि $e^x = 3$ है,इसलिए $e^{2x} = 9$ और $e^{-2x} = \frac{1}{9}$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tanh 2x + \operatorname{sech} 2x = \frac{9 - \frac{1}{9} + 2}{9 + \frac{1}{9}} = \frac{98}{82} = \frac{49}{41}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।