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Question

(C) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k=0}^{n} {^nC_k} = 2^n$ होता है और क्रमचय $^nP_n = n!$ होता है। इन मानों को दी गई अभिव्यक्ति में रखन

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$e^2 - 1$

Vedclass · Answer

(C) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k=0}^{n} {^nC_k} = 2^n$ होता है और क्रमचय $^nP_n = n!$ होता है। इन मानों को दी गई अभिव्यक्ति में रखने पर: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} - \frac{2^0}{0!}$ चूंकि $e^x$ के लिए टेलर श्रेणी का विस्तार $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ है,$x=2$ के लिए,हमें $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2$ प्राप्त होता है। अतः,योग $e^2 - 1$ है।

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{^n{C_0} + ... + ^n{C_n}}}{{^n{P_n}}}} $ का मान क्या है?

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मान लीजिए $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3((2n)!) + (2n-1)(n!)}{(n!)((2n)!)} = ae + \frac{b}{e} + c$,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$ और $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ है। तो $a^2 - b + c$ का मान $................$ है।

$1 + x \log_e a + \frac{x^2}{2!} (\log_e a)^2 + \frac{x^3}{3!} (\log_e a)^3 + \dots = $

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