Partial fractions Questions in Hindi

(A) दिया गया व्यंजक $f(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 - 3x + 2}$ है।
चूँकि अंश और हर की घात समान है,हम भाग विधि का उपयोग करते हैं:
$x^2 - 5 = 1(x^2 - 3x + 2) + (3x - 7)$.
अतः,$f(x) = 1 + \frac{3x - 7}{(x - 1)(x - 2)}$.
अब,$\frac{3x - 7}{(x - 1)(x - 2)}$ को आंशिक भिन्नों में विभाजित करें:
$\frac{3x - 7}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$.
$3x - 7 = A(x - 2) + B(x - 1)$.
$x = 1$ के लिए: $3(1) - 7 = A(1 - 2)$ $\Rightarrow -4 = -A$ $\Rightarrow A = 4$.
$x = 2$ के लिए: $3(2) - 7 = B(2 - 1)$ $\Rightarrow -1 = B$ $\Rightarrow B = -1$.
इसलिए,$f(x) = 1 + \frac{4}{x - 1} - \frac{1}{x - 2}$.

(B) सबसे पहले,हम दिए गए भिन्न को आंशिक भिन्नों का उपयोग करके व्यक्त करते हैं:
$\frac{3x}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$
$3x = A(x + 1) + B(x - 2)$
$x = 2$ के लिए,$6 = 3A \implies A = 2$।
$x = -1$ के लिए,$-3 = -3B \implies B = 1$।
अतः,$\frac{3x}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1} = -(1 - x/2)^{-1} + (1 + x)^{-1}$।
द्विपद प्रसार का उपयोग करने पर,$x^4$ का गुणांक $-\frac{1}{16} + 1 = \frac{15}{16}$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए व्यंजक को आंशिक भिन्नों में विभाजित करने पर,हमें $f(x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{x + 2}{x^2 + 4} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{1 - x/2}$ प्राप्त होता है।
श्रेणी विस्तार का उपयोग करके $x^5$ का गुणांक ज्ञात करने पर,अंतिम उत्तर $-\frac{1}{256}$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,हम व्यंजक को आंशिक भिन्नों में विभाजित करते हैं:
$\frac{x - 4}{x^2 - 5x + 6} = \frac{x - 4}{(x - 2)(x - 3)}$.
माना $\frac{x - 4}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}$.
$x - 4 = A(x - 3) + B(x - 2)$.
$x = 2$ के लिए,$A = 2$.
$x = 3$ के लिए,$B = -1$.
अतः,$\frac{x - 4}{x^2 - 5x + 6} = \frac{2}{x - 2} - \frac{1}{x - 3} = -\frac{1}{1 - x/2} + \frac{1}{3(1 - x/3)}$.
$(1 - y)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} y^n$ का उपयोग करने पर,$x^n$ का गुणांक $-\frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n+1}}$ प्राप्त होता है।

(A) आंशिक भिन्न अपघटन का उपयोग करते हुए,हमारे पास $A_k = \lim_{a \to -k} \frac{a+k}{a(a+1)\ldots(a+20)}$ है।
$A_k = \frac{1}{(-k)(-k+1)\ldots(-1)(1)(2)\ldots(20-k)} = \frac{1}{(-1)^k k! (20-k)!}$.
अतः,$A_k = \frac{(-1)^k}{k!(20-k)!}$.
हमें $\frac{A_{14}+A_{15}}{A_{13}}$ की गणना करनी है।
$A_{14} = \frac{(-1)^{14}}{14!6!} = \frac{1}{14!6!}$.
$A_{15} = \frac{(-1)^{15}}{15!5!} = -\frac{1}{15!5!}$.
$A_{13} = \frac{(-1)^{13}}{13!7!} = -\frac{1}{13!7!}$.
$\frac{A_{14}}{A_{13}} = \frac{1}{14!6!} \times (-13!7!) = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$.
$\frac{A_{15}}{A_{13}} = -\frac{1}{15!5!} \times (-13!7!) = \frac{7 \times 6}{15 \times 14} = \frac{42}{210} = \frac{1}{5}$.
इसलिए,$100\left(\frac{A_{14}}{A_{13}} + \frac{A_{15}}{A_{13}}\right)^2 = 100\left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right)^2 = 100\left(-\frac{3}{10}\right)^2 = 100 \times \frac{9}{100} = 9$.

(A) माना $f(x) = \frac{1+x}{(1+x^2)(1-x)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1+x}{(1+x^2)(1-x)} = \frac{x}{1+x^2} + \frac{1}{1-x}$ प्राप्त होता है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$f(x) = x(1+x^2)^{-1} + (1-x)^{-1}$.
$f(x) = x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n+1} + \sum_{n=0}^{\infty} x^n$.
$x^{2012}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,पहले पद में केवल विषम घातें हैं,इसलिए $0$ प्राप्त होता है।
दूसरे पद में $x^{2012}$ का गुणांक $1$ है।
कुल गुणांक $= 0 + 1 = 1$.

(B) दिया गया है,$\frac{1}{(3-5 x)(2+3 x)}=\frac{A}{3-5 x}+\frac{B}{2+3 x}$
दोनों पक्षों को $(3-5 x)(2+3 x)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 = A(2+3 x) + B(3-5 x)$
$1 = (2A + 3B) + x(3A - 5B)$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$3A - 5B = 0 \implies 3A = 5B \implies A = \frac{5}{3}B$
$2A + 3B = 1$
दूसरे समीकरण में $A = \frac{5}{3}B$ रखने पर:
$2(\frac{5}{3}B) + 3B = 1$
$\frac{10}{3}B + 3B = 1$
$\frac{10B + 9B}{3} = 1$
$19B = 3 \implies B = \frac{3}{19}$
अब,$A = \frac{5}{3} \times \frac{3}{19} = \frac{5}{19}$
अतः,$A : B = \frac{5}{19} : \frac{3}{19} = 5 : 3$

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{3 x^{2}+1}{x^{2}-6 x+8}$.
चूंकि अंश और हर की घात समान है,हम भाग विधि का उपयोग करते हैं:
$\frac{3 x^{2}+1}{x^{2}-6 x+8} = 3 + \frac{18 x - 23}{x^{2}-6 x+8}$.
अब,शेषफल को आंशिक भिन्नों में विभाजित करते हैं:
$\frac{18 x - 23}{(x-2)(x-4)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-4}$.
$18 x - 23 = A(x-4) + B(x-2)$.
$x=2$ रखने पर: $18(2) - 23 = A(2-4) \Rightarrow 13 = -2A \Rightarrow A = -\frac{13}{2}$.
$x=4$ रखने पर: $18(4) - 23 = B(4-2) \Rightarrow 49 = 2B \Rightarrow B = \frac{49}{2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3 x^{2}+1}{x^{2}-6 x+8} = 3 - \frac{13}{2(x-2)} + \frac{49}{2(x-4)}$.
यह विकल्प $A$ के समान है।

(NONE) दिया गया है $\frac{x+1}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)^2(x^2+1)$ से गुणा करने पर,$x+1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2$ प्राप्त होता है।
$x=1$ के लिए,$1+1 = B(1^2+1) \implies 2 = 2B \implies B=1$.
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A+C \implies C = -A$.
$x^0$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $1 = -A + B + D \implies 1 = -A + 1 + D \implies D = A$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = -A + B + C - 2D \implies 0 = -A + 1 - A - 2A \implies 4A = 1 \implies A = \frac{1}{4}$.
अतः,$A = \frac{1}{4}$,$B = 1$,$C = -\frac{1}{4}$,$D = \frac{1}{4}$.
अब,$\sqrt{3A^2+4D^2+5C^2+B^2} = \sqrt{3(\frac{1}{16}) + 4(\frac{1}{16}) + 5(\frac{1}{16}) + 1} = \sqrt{\frac{3+4+5}{16} + 1} = \sqrt{\frac{12}{16} + 1} = \sqrt{\frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{ax+5}{(x^2+b)(x+3)}=\frac{12(x+21)+c(x^2+b)}{12(x^2+b)(x+3)}$
हर की तुलना करने पर,$12(ax+5) = 12(x+21) + c(x^2+b)$.
इस समीकरण को हल करने पर,$b=9$ प्राप्त होता है,इसलिए $b^2=81$।

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x+1}{(x-1)(x^2+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)(x^2+2)$ से गुणा करने पर: $3x+1 = A(x^2+2) + (Bx+C)(x-1)$.
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=1$ रखने पर: $3(1)+1 = A(1^2+2) \implies 4 = 3A \implies A = \frac{4}{3}$.
दाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $3x+1 = (A+B)x^2 + (C-B)x + (2A-C)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^2$ पद: $A+B = 0 \implies B = -A = -\frac{4}{3}$.
अचर पद: $2A-C = 1 \implies C = \frac{5}{3}$.
अतः,$5(A-B) = 5(\frac{4}{3} - (-\frac{4}{3})) = 5(\frac{8}{3}) = \frac{40}{3}$.
यहाँ $8C = 8(\frac{5}{3}) = \frac{40}{3}$.
इसलिए,$5(A-B) = 8C$.

(A) माना $u = x-2$,इसलिए $x = u+2$. अंश में यह मान रखने पर: $3(u+2)^3 - 7(u+2) + 1 = 3(u^3 + 6u^2 + 12u + 8) - 7u - 14 + 1 = 3u^3 + 18u^2 + 36u + 24 - 7u - 13 = 3u^3 + 18u^2 + 29u + 11$.
$u^5$ से भाग देने पर: $\frac{3u^3 + 18u^2 + 29u + 11}{u^5} = \frac{3}{u^2} + \frac{18}{u^3} + \frac{29}{u^4} + \frac{11}{u^5}$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर: $\frac{A}{u} + \frac{B}{u^2} + \frac{C}{u^3} + \frac{D}{u^4} + \frac{E}{u^5}$,हमें $A = 0$,$B = 3$,$C = 18$,$D = 29$,$E = 11$ प्राप्त होता है।
अतः,$A(B+C+D+E) = 0(3+18+29+11) = 0$.

(D) दिया गया है $\frac{x^4}{(x-1)(x-2)} = f(x) + \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
सबसे पहले,$\frac{x^4}{x^2-3x+2}$ के लिए बहुपद विभाजन करें।
$x^4 = (x^2-3x+2)(x^2+3x+7) + (15x-14)$.
अतः,$\frac{x^4}{(x-1)(x-2)} = x^2+3x+7 + \frac{15x-14}{(x-1)(x-2)}$.
$\frac{15x-14}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करें।
$15x-14 = A(x-2) + B(x-1)$.
$x=1$ के लिए,$15-14 = A(1-2) \implies A = -1$.
$x=2$ के लिए,$30-14 = B(2-1) \implies B = 16$.
इस प्रकार,$f(x) = x^2+3x+7$.
$f(-2) = (-2)^2 + 3(-2) + 7 = 4 - 6 + 7 = 5$.
इसलिए,$f(-2)+A+B = 5 + (-1) + 16 = 20$.

(D) माना $u = x^2$ है। तब व्यंजक $\frac{2u^2-3u+4}{(u+1)(u+2)} = a + \frac{px+q}{u+1} + \frac{mx+n}{u+2}$ है।
बाईं ओर बहुपद विभाजन करने पर: $\frac{2u^2-3u+4}{u^2+3u+2} = 2 + \frac{-9u}{(u+1)(u+2)}$.
$\frac{-9u}{(u+1)(u+2)} = \frac{A}{u+1} + \frac{B}{u+2}$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर.
$-9u = A(u+2) + B(u+1)$.
$u = -1$ रखने पर,$A = 9$.
$u = -2$ रखने पर,$B = -18$.
अतः,$\frac{2x^4-3x^2+4}{(x^2+1)(x^2+2)} = 2 + \frac{9}{x^2+1} - \frac{18}{x^2+2}$.
तुलना करने पर $a = 2$,$p = 0$,$q = 9$,$m = 0$,$n = -18$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{n}{q} = \frac{-18}{9} = -2$.

(B) माना $y = x^2$ है। व्यंजक $\frac{y}{(y+2)(y^2-1)} = \frac{y}{(y+2)(y-1)(y+1)} = \frac{A}{y-1} + \frac{B}{y+1} + \frac{C}{y+2}$ हो जाता है।
आंशिक भिन्न अपघटन का उपयोग करते हुए:
$y = A(y+1)(y+2) + B(y-1)(y+2) + C(y-1)(y+1)$.
$y=1$ के लिए: $1 = A(2)(3) \implies 6A = 1 \implies A = \frac{1}{6}$.
$y=-1$ के लिए: $-1 = B(-2)(1) \implies -2B = -1 \implies B = \frac{1}{2}$.
$y=-2$ के लिए: $-2 = C(-3)(-1) \implies 3C = -2 \implies C = -\frac{2}{3}$.
अतः,$A+B-C = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} - (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

(D) हर का गुणनखंड करने पर: $x^4+2 x^2+9 = (x^4+6 x^2+9) - 4 x^2 = (x^2+3)^2 - (2 x)^2 = (x^2-2 x+3)(x^2+2 x+3)$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{x^2+3}{(x^2-2 x+3)(x^2+2 x+3)} = \frac{Ax+B}{x^2-2 x+3} + \frac{Cx+D}{x^2+2 x+3}$.
हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x^2+3}{x^4+2 x^2+9} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x^2-2 x+3} + \frac{1}{x^2+2 x+3} \right) = \frac{0x + 1/2}{x^2-2 x+3} + \frac{0x + 1/2}{x^2+2 x+3}$.
गुणांकों की तुलना करने पर,$A=0, B=1/2, a=-2, b=3, C=0, D=1/2, c=2$.
$aA+bB+cC+D$ में मान रखने पर:
$(-2)(0) + (3)(1/2) + (2)(0) + 1/2 = 0 + 3/2 + 0 + 1/2 = 4/2 = 2$.

(D) प्रथम आंशिक भिन्न के लिए: $\frac{1}{(3x+1)(x-2)} = \frac{A}{3x+1} + \frac{B}{x-2}$.
आंशिक भिन्न अपघटन द्वारा,$1 = A(x-2) + B(3x+1)$.
$x=2$ रखने पर,$1 = B(6+1) \Rightarrow B = \frac{1}{7}$.
$x=-\frac{1}{3}$ रखने पर,$1 = A(-\frac{1}{3}-2)$ $\Rightarrow 1 = A(-\frac{7}{3})$ $\Rightarrow A = -\frac{3}{7}$.
अतः,$A+3B = -\frac{3}{7} + 3(\frac{1}{7}) = 0$.
दूसरे आंशिक भिन्न के लिए: $\frac{x+1}{(3x+1)(x-2)} = \frac{C}{3x+1} + \frac{D}{x-2}$.
$x+1 = C(x-2) + D(3x+1)$.
$x=2$ रखने पर,$3 = D(7) \Rightarrow D = \frac{3}{7}$.
$x=-\frac{1}{3}$ रखने पर,$\frac{2}{3} = C(-\frac{7}{3}) \Rightarrow C = -\frac{2}{7}$.
अब,$A:C = (-\frac{3}{7}) : (-\frac{2}{7}) = 3:2$ और $B:D = (\frac{1}{7}) : (\frac{3}{7}) = 1:3$.
इसलिए,$A+3B=0, A:C=3:2, B:D=1:3$.

(B) दिया गया है $\frac{17x-2}{12x^2-x-20}=\frac{A}{ax+5}+\frac{B}{3x+b} \dots (i)$
हर का गुणनखंड करने पर: $12x^2-x-20 = (4x+5)(3x-4)$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{17x-2}{(4x+5)(3x-4)} = \frac{P}{4x+5} + \frac{Q}{3x-4}$.
$17x-2 = P(3x-4) + Q(4x+5) = x(3P+4Q) + (-4P+5Q)$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $3P+4Q = 17$ और $-4P+5Q = -2$.
इन्हें हल करने पर: $P=3, Q=2$.
अतः,$\frac{17x-2}{12x^2-x-20} = \frac{3}{4x+5} + \frac{2}{3x-4}$.
$\frac{A}{ax+5} + \frac{B}{3x+b}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A=3, a=4, B=2, b=-4$ प्राप्त होता है।
अतः $a \cdot A + b \cdot B = (4)(3) + (-4)(2) = 12 - 8 = 4$.

(A) बहुपद विभाजन करने पर: $\frac{6 x^3+7 x^2-14 x+11}{6 x^3+x^2-10 x+3} = 1 + \frac{6 x^2-4 x+8}{6 x^3+x^2-10 x+3}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $6 x^3+x^2-10 x+3 = (x-1)(3 x-1)(2 x+3)$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{6 x^2-4 x+8}{(x-1)(3 x-1)(2 x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{3 x-1} + \frac{C}{2 x+3}$.
स्थिरांकों को हल करने पर: $A=1, B=-3, C=2$.
अतः,व्यंजक $1 + \frac{1}{x-1} - \frac{3}{3 x-1} + \frac{2}{2 x+3}$ है।
$a+\frac{b}{x+p}+\frac{c}{q x+3}+\frac{d}{3 x+p}$ के साथ तुलना करने पर,$a=1, b=1, p=-1, c=2, q=2, d=-3$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\frac{a+b}{p+q} = \frac{1+1}{-1+2} = \frac{2}{1} = 2$.

(C) दिया गया है $\frac{x^4+24 x^2+28}{\left(x^2+1\right)^3} = \frac{A x+B}{x^2+1} + \frac{C x+D}{\left(x^2+1\right)^2} + \frac{E x+F}{\left(x^2+1\right)^3}$.
दोनों पक्षों को $(x^2+1)^3$ से गुणा करने पर:
$x^4+24 x^2+28 = (A x+B)(x^2+1)^2 + (C x+D)(x^2+1) + (E x+F)$.
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x^4+24 x^2+28 = A x^5 + B x^4 + (2A+C) x^3 + (2B+D) x^2 + (A+C+E) x + (B+D+F)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A = 0, B = 1, C = 0, D = 22, E = 0, F = 5$.
अतः,$A+B+C+D+E+F = 0+1+0+22+0+5 = 28$.

(C) दिया गया है:
$\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A}{2x+5} + \frac{B}{x+6}$
दाईं ओर के पदों को जोड़ने पर:
$\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A(x+6) + B(2x+5)}{(2x+5)(x+6)}$
हर समान होने के कारण,अंशों की तुलना करने पर:
$13x + 43 = A(x+6) + B(2x+5)$
$13x + 43 = (A+2B)x + (6A+5B)$
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$A + 2B = 13$ $(i)$
$6A + 5B = 43$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $6$ से गुणा करने पर:
$6A + 12B = 78$ $(iii)$
समीकरण $(iii)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$7B = 35 \Rightarrow B = 5$
$B = 5$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$A + 2(5) = 13 \Rightarrow A = 3$
अतः,$A^2 + B^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$

(B) दी गई आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{2x^2+1}{x^3-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}$.
चूंकि $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$,हमारे पास $2x^2+1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)$ है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $2x^2+1 = Ax^2 + Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx - C$.
$x$ की घातों के अनुसार पदों को समूहित करने पर: $2x^2 + 0x + 1 = (A+B)x^2 + (A-B+C)x + (A-C)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) A+B = 2$
$2) A-B+C = 0$
$3) A-C = 1$
$(3)$ से,$C = A-1$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $A-B+(A-1) = 0 \Rightarrow 2A-B = 1$.
इसे $(1)$ में जोड़ने पर: $(2A-B) + (A+B) = 1+2$ $\Rightarrow 3A = 3$ $\Rightarrow A = 1$.
अतः $B = 2-A = 1$ और $C = A-1 = 0$.
अंत में,$7A + 2B + C = 7(1) + 2(1) + 0 = 9$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{x^3}{(2x-1)(x+2)(x-3)}$ है। चूँकि अंश और हर की घात समान है,हम पहले बहुपद विभाजन करेंगे.\\ हर $(2x-1)(x^2-x-6) = 2x^3-3x^2-11x+6$ है.\\ $x^3$ को $2x^3-3x^2-11x+6$ से विभाजित करने पर,भागफल $A = 1/2$ प्राप्त होता है.\\ अभिव्यक्ति $\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$ हो जाती है.\\ मान रखने पर:\\ $B = -1/50$,$C = -8/25$,$D = 27/25$ प्राप्त होते हैं.\\ अतः,$A+B+C = 1/2 - 1/50 - 8/25 = \frac{25-1-16}{50} = \frac{8}{50} = 4/25$.

(D) दिया गया आंशिक भिन्न वियोजन: $\frac{1}{(1-2x)^2(1-3x)} = \frac{A}{1-3x} + \frac{B}{1-2x} + \frac{C}{(1-2x)^2}$.
दोनों पक्षों को $(1-2x)^2(1-3x)$ से गुणा करने पर: $1 = A(1-2x)^2 + B(1-2x)(1-3x) + C(1-3x)$.
$x = \frac{1}{3}$ रखने पर: $1 = A(1 - \frac{2}{3})^2 = A(\frac{1}{3})^2 = \frac{A}{9} \implies A = 9$.
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर: $1 = C(1 - \frac{3}{2}) = C(-\frac{1}{2}) \implies C = -2$.
$x = 0$ रखने पर: $1 = A(1)^2 + B(1)(1) + C(1) = A + B + C$.
$A = 9$ और $C = -2$ प्रतिस्थापित करने पर: $1 = 9 + B - 2 \implies 1 = 7 + B \implies B = -6$.
अतः,समुच्चय $\{9, -6, -2\}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $\min \{9, -6, -2\} = -6$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{x^3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$.
चूंकि अंश और हर की घात समान है,बहुपद विभाजन करने पर $A = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
शेष पद के लिए: $\frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$.
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $(x+2)$ से गुणा करें और $x = -2$ रखें:
$C = \left[ \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x-3)} \right]_{x=-2} = \frac{6 - 11 - 3}{(-5)(-5)} = \frac{-8}{25}$.

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{4 x^3+16 x+7}{\left(x^2+4\right)^2}=\frac{A x+B}{x^2+4}+\frac{C x+D}{\left(x^2+4\right)^2}$
दोनों पक्षों को $(x^2+4)^2$ से गुणा करने पर: $4 x^3+16 x+7 = (A x+B)(x^2+4) + (C x+D)$
दाईं ओर का विस्तार करने पर: $4 x^3+16 x+7 = A x^3 + B x^2 + 4Ax + 4B + Cx + D$
$4 x^3+16 x+7 = A x^3 + B x^2 + (4A+C)x + (4B+D)$
$x$ के समान घातों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^3$: $A = 4$
$x^2$: $B = 0$
$x^1$: $4A + C = 16$ $\Rightarrow 4(4) + C = 16$ $\Rightarrow 16 + C = 16$ $\Rightarrow C = 0$
अचर पद: $4B + D = 7$ $\Rightarrow 4(0) + D = 7$ $\Rightarrow D = 7$
मान $A=4, B=0, C=0, D=7$ हैं।
शून्येतर मान $A$ और $D$ हैं।
अतः,शून्येतर मानों की संख्या $2$ है।

(C) दिया गया है,$\frac{x^2+5x+7}{(x-3)^3} = \frac{A}{(x-3)} + \frac{B}{(x-3)^2} + \frac{C}{(x-3)^3}$
दोनों पक्षों को $(x-3)^3$ से गुणा करने पर:
$x^2+5x+7 = A(x-3)^2 + B(x-3) + C$
मान लीजिए $u = x-3$,तो $x = u+3$ होगा।
समीकरण में $x = u+3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(u+3)^2 + 5(u+3) + 7 = Au^2 + Bu + C$
$(u^2+6u+9) + 5u + 15 + 7 = Au^2 + Bu + C$
$u^2 + 11u + 31 = Au^2 + Bu + C$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A = 1, B = 11, C = 31$
अब $9A - 3B + C$ का मान ज्ञात करने पर:
$9(1) - 3(11) + 31 = 9 - 33 + 31 = 7$

(D) दिया गया है,$\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
चूँकि $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$,हमारे पास है:
$1 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$1 = Ax^3 - Ax^2 + Ax + Bx^2 - Bx + B + Cx^3 + Cx^2 + Cx + Dx^2 + Dx + D$.
$x$ की घातों के अनुसार पदों को समूहित करने पर:
$1 = (A+C)x^3 + (-A+B+C+D)x^2 + (A-B+C+D)x + (B+D)$.
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+C = 0$ $(i)$
$-A+B+C+D = 0$ (ii)
$A-B+C+D = 0$ (iii)
$B+D = 1$ (iv)
समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर:
$(-A+B+C+D) + (A-B+C+D) = 0 + 0$
$2(C+D) = 0$
$C+D = 0$.

(B) व्यंजक $\frac{x^2}{(x-a)(x-b)}$ पर विचार करें।
हर का विस्तार करने पर,हमें $\frac{x^2}{x^2 - (a+b)x + ab}$ प्राप्त होता है।
अंश की घात $2$ है और हर की घात भी $2$ है।
एक परिमेय फलन $\frac{P(x)}{Q(x)}$ को अनुचित भिन्न कहा जाता है यदि $P(x)$ की घात $Q(x)$ की घात से बड़ी या उसके बराबर हो।
चूंकि घातें समान हैं,इसलिए दिया गया भिन्न हमेशा एक अनुचित आंशिक भिन्न है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x+1}{(2x-1)(3x+1)}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{3x+1}$
दोनों पक्षों को $(2x-1)(3x+1)$ से गुणा करने पर: $x+1=A(3x+1)+B(2x-1)$
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=\frac{1}{2}$ रखने पर: $\frac{1}{2}+1=A(3(\frac{1}{2})+1)+B(0)$ $\Rightarrow \frac{3}{2}=A(\frac{5}{2})$ $\Rightarrow A=\frac{3}{5}$
$B$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=-\frac{1}{3}$ रखने पर: $-\frac{1}{3}+1=A(0)+B(2(-\frac{1}{3})-1)$ $\Rightarrow \frac{2}{3}=B(-\frac{5}{3})$ $\Rightarrow B=-\frac{2}{5}$
अब,$16A+9B$ की गणना करने पर: $16(\frac{3}{5})+9(-\frac{2}{5}) = \frac{48}{5}-\frac{18}{5} = \frac{30}{5} = 6$
अतः,मान $6$ है।

(D) दिया गया व्यंजक $\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ है। चूंकि अंश की घात हर से बड़ी है,इसलिए बहुपद विभाजन करें।
$(x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
$x^4$ को $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ से भाग देने पर $x+6$ प्राप्त होता है और शेषफल $25x^2 - 60x + 36$ है।
अतः,$\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)} = x+6 + \frac{25x^2 - 60x + 36}{(x-1)(x-2)(x-3)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{25x^2 - 60x + 36}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} + \frac{D}{x-3}$.
$x=1$ के लिए: $B = \frac{1}{2}$.
$x=2$ के लिए: $C = -16$.
$x=3$ के लिए: $D = 40.5$.
तुलना करने पर $A=1, E=6, B=0.5, C=-16, D=40.5$.
योग $A+B+C+D+E = 1 + 0.5 - 16 + 40.5 + 6 = 32$.

(C) दिया गया है कि,$\frac{5x^2+2}{x(x^2+1)} = \frac{A_1}{x} + \frac{A_2x+A_3}{x^2+1}$
दोनों पक्षों को $x(x^2+1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5x^2+2 = A_1(x^2+1) + (A_2x+A_3)x$
$5x^2+2 = A_1x^2 + A_1 + A_2x^2 + A_3x$
$5x^2+2 = (A_1+A_2)x^2 + A_3x + A_1$
दोनों पक्षों में $x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
अचर पद: $A_1 = 2$
$x$ का गुणांक: $A_3 = 0$
$x^2$ का गुणांक: $A_1 + A_2 = 5$ $\Rightarrow 2 + A_2 = 5$ $\Rightarrow A_2 = 3$
अतः,$(A_1, A_2, A_3) = (2, 3, 0)$.

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2-3x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-1)(x-2)}+\frac{C}{(x-1)(x-2)(x-3)}$
दोनों पक्षों को $(x-1)(x-2)(x-3)$ से गुणा करने पर:
$x^2-3x+1 = A(x-1)(x-2) + B(x-3) + C$
$x^2-3x+1 = A(x^2-3x+2) + Bx - 3B + C$
$x^2-3x+1 = Ax^2 + (B-3A)x + (2A-3B+C)$
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A = 1$.
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $B-3A = -3$.
$A=1$ रखने पर: $B-3(1) = -3 \implies B = 0$.

(D) दिया है: $\frac{x^4-6 x^3+9 x^2+5 x-20}{x^2-x-2}=f(x)+\frac{a}{x+p}+\frac{b}{x+q}$ ... $(i)$
अंश को हर से विभाजित करने पर:
$\frac{x^4-6 x^3+9 x^2+5 x-20}{x^2-x-2} = (x^2-5x+6) + \frac{x-8}{x^2-x-2}$
चूँकि $x^2-x-2 = (x+1)(x-2)$,आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$\frac{x-8}{(x+1)(x-2)} = \frac{3}{x+1} - \frac{2}{x-2}$
तुलना करने पर,$f(x) = x^2-5x+6$,$a=3$,$b=-2$ प्राप्त होता है।
अतः $2(a+b) = 2(3-2) = 2$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$f(4) = 16-20+6 = 2$।
अतः $2(a+b) = f(4)$।

(D) दिया गया है,$\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$
दोनों पक्षों को $(x-1)(x-2)(x-3)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2+x+1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)$
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=1$ रखें:
$1^2+1+1 = A(1-2)(1-3) \Rightarrow 3 = A(-1)(-2) \Rightarrow 3 = 2A \Rightarrow A = \frac{3}{2}$
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=3$ रखें:
$3^2+3+1 = C(3-1)(3-2) \Rightarrow 13 = C(2)(1) \Rightarrow 13 = 2C \Rightarrow C = \frac{13}{2}$
अतः,$A+C = \frac{3}{2} + \frac{13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

(B) माना $x-1 = t$,इसलिए $x = t+1$। अंश में यह मान रखने पर:
$3(t+1)^2 + (t+1) + 1 = 3(t^2+2t+1) + t + 2 = 3t^2 + 6t + 3 + t + 2 = 3t^2 + 7t + 5$।
अब,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\frac{3t^2+7t+5}{t^4} = \frac{3}{t^2} + \frac{7}{t^3} + \frac{5}{t^4}$।
इसकी तुलना $\frac{a}{t} + \frac{b}{t^2} + \frac{c}{t^3} + \frac{d}{t^4}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 0, b = 3, c = 7, d = 5$।
अतः,$\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 7 & 5\end{array}\right]$।

(B) दिया गया है,$\frac{3x}{(x-a)(x-b)} = \frac{2}{x-a} + \frac{1}{x-b}$
दोनों पक्षों को $(x-a)(x-b)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x = 2(x-b) + 1(x-a)$
$3x = 2x - 2b + x - a$
$3x = 3x - (a + 2b)$
दोनों पक्षों में अचर पदों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 = -(a + 2b)$
$a + 2b = 0$
$a = -2b$
अतः,$\frac{a}{b} = -2$,जिसका अर्थ है कि $a:b = -2:1$।

(A) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{1-x+6x^2}{x(1-x)(1+x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x} + \frac{C}{1+x}$ है।
दोनों पक्षों को $x(1-x)(1+x)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1-x+6x^2 = A(1-x^2) + Bx(1+x) + Cx(1-x)$.
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखने पर:
$1 - 0 + 6(0)^2 = A(1 - 0^2) + B(0)(1+0) + C(0)(1-0)$.
$1 = A(1)$.
अतः,$A = 1$।

(A) हम $\frac{x}{(x-1)(x^2+1)^2}$ व्यंजक के लिए आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हैं।
माना $\frac{x}{(x-1)(x^2+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}$ है।
$(x-1)(x^2+1)^2$ से गुणा करने पर,हमें $x = A(x^2+1)^2 + (Bx+C)(x-1)(x^2+1) + (Dx+E)(x-1)$ प्राप्त होता है।
$x=1$ रखने पर,$1 = A(2)^2$,अतः $A = \frac{1}{4}$ है।
गुणांकों की तुलना करने या $x$ के मान रखने पर,हमें $B = -\frac{1}{4}$,$C = -\frac{1}{4}$,$D = -\frac{1}{2}$,और $E = \frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{(x-1)(x^2+1)^2} = \frac{1}{4(x-1)} - \frac{x+1}{4(x^2+1)} + \frac{-x/2 + 1/2}{(x^2+1)^2}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{1}{4}\left[\frac{1}{x-1} - \frac{x+1}{x^2+1}\right] + \frac{1}{2}\left[\frac{1-x}{(x^2+1)^2}\right]$ हो जाता है।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$y = \frac{1}{2}\left[\frac{1-x}{(x^2+1)^2}\right]$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^3+x^2+1}{(x^2+2)(x^2+3)}=\frac{Ax+B}{x^2+2}+\frac{Cx+D}{x^2+3}$.
दोनों पक्षों को $(x^2+2)(x^2+3)$ से गुणा करने पर: $x^3+x^2+1 = (Ax+B)(x^2+3) + (Cx+D)(x^2+2)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x^3+x^2+1 = (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (3A+2C)x + (3B+2D)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+C = 1$,$B+D = 1$,$3A+2C = 0$,$3B+2D = 1$.
हल करने पर,$A=-2, B=-1, C=3, D=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B+C+D = -2 - 1 + 3 + 2 = 2$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{H(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)} = f(x) + \frac{g(x)}{(x-1)(x+1)(x-2)}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)(x+1)(x-2)$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है: $H(x) = f(x)(x-1)(x+1)(x-2) + g(x)$.
चूंकि $H(x)$ $4$ घात का बहुपद है और भाजक $3$ घात का बहुपद है,इसलिए $f(x)$ को $ax+b$ के रूप का एक रैखिक बहुपद होना चाहिए।
समीकरण $H(x) = f(x)(x-1)(x+1)(x-2) + g(x)$ में $x = -1, 2, 1$ रखने पर,हम देखते हैं कि इन बिंदुओं पर $f(x)(x-1)(x+1)(x-2)$ पद $0$ हो जाता है।
अतः,$H(-1) = g(-1)$,$H(2) = g(2)$,और $H(1) = g(1)$.
इन मानों को $H(-1) + 2H(2) - 3H(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(-1) + 2g(2) - 3g(1)$ प्राप्त होता है।

(B) भागफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 3x^5-4x^4+5x^3-3x^2+6x-8$ को $t(x) = x^2+x-3$ से विभाजित करते हैं।
विभाजन प्रक्रिया करने पर,हमें भागफल $3x^3-7x^2+21x-45$ और शेषफल $114x-143$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $3x^3-7x^2+21x-45$ है।

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{3x^3-x^2-2x+17}{x^4+x^2-12}$ है।
हर का गुणनखंड करने पर: $x^4+x^2-12 = (x^2-3)(x^2+4)$.
माना $\frac{3x^3-x^2-2x+17}{(x^2-3)(x^2+4)} = \frac{x+2}{x^2-3} + \frac{Ax+B}{x^2+4}$.
दोनों पक्षों से $\frac{x+2}{x^2-3}$ घटाने पर:
$\frac{Ax+B}{x^2+4} = \frac{3x^3-x^2-2x+17 - (x+2)(x^2+4)}{(x^2-3)(x^2+4)}$.
अंश की गणना: $3x^3-x^2-2x+17 - (x^3+2x^2+4x+8) = 2x^3-3x^2-6x+9$.
अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2(2x-3) - 3(2x-3) = (x^2-3)(2x-3)$.
अतः,$\frac{Ax+B}{x^2+4} = \frac{(x^2-3)(2x-3)}{(x^2-3)(x^2+4)} = \frac{2x-3}{x^2+4}$.
इसलिए,दूसरा आंशिक भिन्न $\frac{2x-3}{x^2+4}$ है।

(C) दिया गया है: $\frac{x^2+1}{x^4+4}=\frac{A x+B}{x^2-2 x+2}+\frac{C x+D}{x^2+2 x+2}$
दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर:
$\frac{x^2+1}{x^4+4} = \frac{(A x+B)(x^2+2 x+2)+(C x+D)(x^2-2 x+2)}{(x^2-2 x+2)(x^2+2 x+2)}$
ध्यान दें कि $(x^2-2 x+2)(x^2+2 x+2) = x^4+4$.
अंशों की तुलना करने पर:
$x^2+1 = (A+C)x^3 + (2A+B-2C+D)x^2 + (2A+2B+2C-2D)x + (2B+2D)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) A+C=0 \Rightarrow A=-C$
$2) 2A+B-2C+D=1$
$3) 2A+2B+2C-2D=0 \Rightarrow A+B+C-D=0$
$4) 2B+2D=1$
$(1)$ से,$A+C=0$,इसलिए $(3)$ बन जाता है $B-D=0 \Rightarrow B=D$.
$(4)$ में $B=D$ रखने पर,$2B+2B=1 \Rightarrow 4B=1 \Rightarrow B=D=\frac{1}{4}$.
$(2)$ से,$2(A-C)+B+D=1$. चूंकि $A=-C$,$2(2A)+2B=1 \Rightarrow 4A+2B=1$.
$B=\frac{1}{4}$ रखने पर,$4A + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow 4A = \frac{1}{2} \Rightarrow A = \frac{1}{8}$.
अतः $C = -\frac{1}{8}$.
अंत में,$3A+2B+3C = 3(A+C) + 2B = 3(0) + 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} = 2D$.

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x-2}{(x+1)^2(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+3}$.
दोनों पक्षों को $(x+1)^2(x+3)$ से गुणा करने पर: $3x-2 = A(x+1)(x+3) + B(x+3) + C(x+1)^2$.
पदों का विस्तार करने पर: $3x-2 = A(x^2+4x+3) + B(x+3) + C(x^2+2x+1)$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A + C = 0 \Rightarrow C = -A$.
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $4A + B + 2C = 3$.
अचर पदों की तुलना करने पर: $3A + 3B + C = -2$.
$C = -A$ को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$4A + B - 2A = 3$ $\Rightarrow 2A + B = 3$ $\Rightarrow B = 3 - 2A$.
$3A + 3(3 - 2A) - A = -2$ $\Rightarrow 3A + 9 - 6A - A = -2$ $\Rightarrow -4A = -11$ $\Rightarrow A = \frac{11}{4}$.
अतः $C = -\frac{11}{4}$ और $B = 3 - 2(\frac{11}{4}) = 3 - \frac{11}{2} = -\frac{5}{2}$.
हमें $4A + 2B + 4C = 4(\frac{11}{4}) + 2(-\frac{5}{2}) + 4(-\frac{11}{4}) = 11 - 5 - 11 = -5$ प्राप्त होता है।