Partial fractions Questions in Hindi

(C) $2x^4-x^3+3x^2-x+4$ को $x^2-3x+2$ से विभाजित करने पर:
भागफल $f(x) = 2x^2+5x+14$ प्राप्त होता है।
शेषफल $31x-28$ है।
अतः,$\frac{2x^4-x^3+3x^2-x+4}{x^2-3x+2} = 2x^2+5x+14 + \frac{31x-28}{(x-1)(x-2)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{31x-28}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
$31x-28 = A(x-2) + B(x-1)$.
$x=1$ रखने पर: $3 = -A \Rightarrow A = -3$.
$x=2$ रखने पर: $34 = B \Rightarrow B = 34$.
$A+B = -3+34 = 31$.
इसलिए,$f(x) = 2x^2+5x+14$ और $A+B = 31$.

(B) एक परिमेय व्यंजक $\frac{P(x)}{Q(x)}$ को अनुचित भिन्न कहा जाता है यदि अंश $P(x)$ की घात हर $Q(x)$ की घात से बड़ी या उसके बराबर हो।
यहाँ,अंश $x^4$ की घात $4$ है और हर $x^3-3x+2$ की घात $3$ है।
चूंकि $4 \geq 3$,इसलिए यह व्यंजक एक अनुचित भिन्न है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1} = A + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$
दोनों पक्षों को $(x+1)^2$ से गुणा करने पर:
$x^2+x+1 = A(x+1)^2 + B(x+1) + C$
$x^2+x+1 = A(x^2+2x+1) + Bx + B + C$
$x^2+x+1 = Ax^2 + (2A+B)x + (A+B+C)$
$x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A = 1$
$2A+B = 1$ $\Rightarrow 2(1)+B = 1$ $\Rightarrow B = -1$
$A+B+C = 1$ $\Rightarrow 1-1+C = 1$ $\Rightarrow C = 1$
अब,$A-B$ का मान ज्ञात करने पर:
$A-B = 1 - (-1) = 2$
चूँकि $C = 1$,इसलिए $2 = 2C$।
अतः,$A-B = 2C$।

(D) भागफल ज्ञात करने के लिए,हम $x^3-5x^2+2x+7$ को $(x-1)$ से बहुपद विभाजन करते हैं:
$1$. पहले पद $x^3$ को $x$ से विभाजित करने पर $x^2$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^2$ को $(x-1)$ से गुणा करने पर $x^3-x^2$ प्राप्त होता है। इसे मूल बहुपद से घटाने पर $-4x^2+2x+7$ प्राप्त होता है।
$3$. $-4x^2$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4x$ प्राप्त होता है।
$4$. $-4x$ को $(x-1)$ से गुणा करने पर $-4x^2+4x$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान शेषफल से घटाने पर $-2x+7$ प्राप्त होता है।
$5$. $-2x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-2$ प्राप्त होता है।
$6$. $-2$ को $(x-1)$ से गुणा करने पर $-2x+2$ प्राप्त होता है। इसे $-2x+7$ से घटाने पर शेषफल $5$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^2-4x-2$ है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) हमारे पास है,$\frac{x^3}{(2x-1)(x-1)^2} = \frac{x^3}{2x^3-5x^2+4x-1}$.
भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^3}{2x^3-5x^2+4x-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{5x^2-4x+1}{(2x-1)(x-1)^2} \right) \dots (i)$.
माना $\frac{5x^2-4x+1}{(2x-1)(x-1)^2} = \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x-1} + \frac{D}{(x-1)^2}$.
$5x^2-4x+1 = B(x-1)^2 + C(x-1)(2x-1) + D(2x-1)$.
$x=1$ रखने पर,$D=2$ प्राप्त होता है.
$x=1/2$ रखने पर,$B=1$ प्राप्त होता है.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $5 = B + 2C$ $\Rightarrow 5 = 1 + 2C$ $\Rightarrow C=2$.
इन मानों को $(i)$ में रखने पर:
$\frac{x^3}{(2x-1)(x-1)^2} = \frac{1}{2} + \frac{1/2}{2x-1} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}$.
तुलना करने पर $A=1/2, B=1/2, C=1, D=1$.
अतः,$2A - 3B + 4C + 5D = 2(1/2) - 3(1/2) + 4(1) + 5(1) = 1 - 1.5 + 4 + 5 = 8.5 = \frac{17}{2}$.

(B) दिया गया है,$\frac{x^2+5x+7}{(x-3)^3} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)^2} + \frac{C}{(x-3)^3}$.
दोनों पक्षों को $(x-3)^3$ से गुणा करने पर:
$x^2+5x+7 = A(x-3)^2 + B(x-3) + C$ --- $(i)$
$x=3$ रखने पर:
$C = 31$.
$x=0$ रखने पर:
$3A - B = -8$ --- (ii)
$x=1$ रखने पर:
$2A - B = -9$ --- (iii)
(ii) और (iii) को हल करने पर,$A=1$ और $B=11$ प्राप्त होता है।
अतः,$A=1$ ढाल और $(11, 31)$ बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 31 = 1(x - 11) \Rightarrow x - y + 20 = 0$.

(C) आंशिक भिन्न अपघटन का उपयोग करते हुए,हम लिखते हैं: $\frac{3x^2-5x+3}{(x-1)(2x+1)(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{2x+1} + \frac{C}{x+3}$.
गुणांकों के लिए हल करने पर: $3x^2-5x+3 = A(2x+1)(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)(2x+1)$.
$x=1$ के लिए: $3-5+3 = A(3)(4) \implies 1 = 12A \implies A = \frac{1}{12}$.
$x=-1/2$ के लिए: $3(1/4) + 5/2 + 3 = B(-3/2)(5/2) \implies 3/4 + 10/4 + 12/4 = -\frac{15}{4}B \implies 25 = -15B \implies B = -\frac{5}{3}$.
$x=-3$ के लिए: $3(9) + 15 + 3 = C(-4)(-5) \implies 45 = 20C \implies C = \frac{9}{4}$.
अतः,$f(x) = -\frac{1}{12}(1-x)^{-1} - \frac{5}{3}(1+2x)^{-1} + \frac{3}{4}(1+x/3)^{-1}$.
$x^4$ का गुणांक $-\frac{1}{12}(1)^4 - \frac{5}{3}(-2)^4 + \frac{3}{4}(-1/3)^4 = -\frac{1}{12} - \frac{80}{3} + \frac{1}{108}$ है।
$= \frac{-9 - 2880 + 1}{108} = -\frac{2888}{108} = -\frac{722}{27}$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{2 x^2}{(x^2+1)(x^2+2)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{2 x^2}{(x^2+1)(x^2+2)} = \frac{-2}{x^2+1} + \frac{4}{x^2+2}$.
द्विपद श्रेणी $(1+y)^{-1} = 1 - y + y^2 - y^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$-2(1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots) + 2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{8} + \dots)$.
$x^4$ का गुणांक $= -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.
$x^6$ का गुणांक $= 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.
अंतर का निरपेक्ष मान $= |-\frac{3}{2} - \frac{7}{4}| = |-\frac{13}{4}| = \frac{13}{4}$.

(B) हमें व्यंजक $f(x) = \frac{x^4}{(x+1)(x-2)}$ दिया गया है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$.
स्थिरांकों को हल करने पर,$1 = A(x-2) + B(x+1)$.
$x = -1$ के लिए,$A = -\frac{1}{3}$ और $x = 2$ के लिए,$B = \frac{1}{3}$.
अतः,$f(x) = \frac{x^4}{3} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+1} \right)$.
$|x| < 1$ के लिए घात श्रेणी में विस्तार करने पर:
$f(x) = \frac{x^4}{3} \left[ -\frac{1}{2}(1 - \frac{x}{2})^{-1} - (1+x)^{-1} \right]$
$f(x) = \frac{x^4}{3} \left[ -\frac{1}{2}(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots) - (1 - x + x^2 - \dots) \right]$.
इस विस्तार में $x$ की सबसे छोटी घात $x^4$ है। इसलिए,$x^0$,$x^1$ और $x^2$ के गुणांक $0$ हैं।

(A) आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिखते हैं: $\frac{x+1}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$.
$A$ और $B$ के लिए हल करने पर,हमें $A = \frac{2}{5}$ और $B = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{x+1}{(x+3)(x-2)} = \frac{2}{5(x+3)} + \frac{3}{5(x-2)} = \frac{2}{15(1 + x/3)} - \frac{3}{10(1 - x/2)}$.
द्विपद विस्तार $(1+u)^{-1} = 1 - u + u^2 - u^3 + \dots$ और $(1-u)^{-1} = 1 + u + u^2 + u^3 + \dots$ का उपयोग करके,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{2}{15} \left(1 - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} - \frac{x^3}{27} + \dots \right) - \frac{3}{10} \left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \dots \right)$.
$x^3$ का गुणांक $\frac{2}{15} \times (-\frac{1}{27}) - \frac{3}{10} \times \frac{1}{8} = -\frac{2}{405} - \frac{3}{80} = -\frac{32 + 243}{6480} = -\frac{275}{6480} = -\frac{55}{1296}$ है।

(C) दी गई व्यंजक $f(x) = \frac{x^2-1}{(x^2+1)(x^2+2)}$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए:
$f(x) = \frac{1}{2} (x^2-1) (1+x^2)^{-1} (1+\frac{x^2}{2})^{-1}$
श्रेणी का विस्तार करने पर:
$(1+x^2)^{-1} = 1-x^2+x^4 - \dots$
$(1+\frac{x^2}{2})^{-1} = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4} - \dots$
दोनों श्रेणियों का गुणनफल:
$(1-x^2+x^4)(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}) = 1 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{4}x^4$
अब $\frac{1}{2}(x^2-1)$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{2}(x^2-1)(1 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{4}x^4) = \frac{1}{2} [-1 + \frac{5}{2}x^2 - \frac{13}{4}x^4]$
अतः,$x^4$ का गुणांक $\frac{1}{2} \times (-\frac{13}{4}) = -\frac{13}{8}$ है।

(B) दिए गए $\frac{x^4}{(x-1)^2(x+1)}$ के लिए बहुपद विभाजन करने पर: $x+1 + \frac{2x+1}{(x-1)(x+1)}$ प्राप्त होता है।
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर $A=1, B=1, P=\frac{3}{2}, Q=0, R=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $2AP-BQ+R = 2(1)(\frac{3}{2}) - (1)(0) + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $f(x) = \frac{x}{(x-1)^2(x-2)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{x}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x-2}$.
स्थिरांकों के लिए हल करने पर: $x = A(x-1)(x-2) + B(x-2) + C(x-1)^2$.
$x=1$ के लिए: $1 = B(1-2) \implies B = -1$.
$x=2$ के लिए: $2 = C(2-1)^2 \implies C = 2$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A + C \implies A = -2$.
अतः,$f(x) = \frac{-2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-2} = \frac{2}{1-x} - \frac{1}{(1-x)^2} - \frac{1}{1-x/2}$.
विस्तार: $2(1+x+x^2+\dots+x^n+\dots) - (1+2x+3x^2+\dots+(n+1)x^n+\dots) - (1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\dots+\frac{x^n}{2^n}+\dots)$.
$x^n$ का गुणांक: $2 - (n+1) - \frac{1}{2^n} = 1 - n - \frac{1}{2^n}$.
यह विस्तार $|x| < 1$ के लिए मान्य है।

(C) दिया गया व्यंजक: $f(x) = \frac{3x}{(x-2)(x-1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{3x}{(x-2)(x-1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1}$.
$A$ और $B$ के लिए हल करने पर: $3x = A(x-1) + B(x-2)$.
$x=1$ के लिए,$3 = B(-1) \Rightarrow B = -3$.
$x=2$ के लिए,$6 = A(1) \Rightarrow A = 6$.
अतः,$f(x) = \frac{6}{x-2} - \frac{3}{x-1} = -\frac{6}{2(1-x/2)} + \frac{3}{1-x} = -3(1-x/2)^{-1} + 3(1-x)^{-1}$.
$(1-u)^{-1}$ का विस्तार $|u| < 1$ के लिए मान्य है।
$-3(1-x/2)^{-1}$ के लिए,हमें $|x/2| < 1 \Rightarrow |x| < 2$ की आवश्यकता है।
$3(1-x)^{-1}$ के लिए,हमें $|x| < 1$ की आवश्यकता है।
विस्तार इन अंतरालों के प्रतिच्छेदन में मान्य है: $|x| < 2$ और $|x| < 1$,जो $|x| < 1$ या $-1 < x < 1$ है।

(B) दिया गया है,$\frac{3x}{(x-2)(x+1)}$ को आंशिक भिन्नों के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{3x}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} \quad (i)$
$3x = A(x+1) + B(x-2)$
$x = 2$ रखने पर,$3(2) = A(2+1)$ $\Rightarrow 6 = 3A$ $\Rightarrow A = 2$.
$x = -1$ रखने पर,$3(-1) = B(-1-2)$ $\Rightarrow -3 = -3B$ $\Rightarrow B = 1$.
$A$ और $B$ के मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{3x}{(x-2)(x+1)} = \frac{2}{x-2} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{-2(1 - \frac{x}{2})} + \frac{1}{1+x} = -(1 - \frac{x}{2})^{-1} + (1+x)^{-1}$
द्विपद विस्तार $(1-y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + y^4 + y^5 + \dots$ और $(1+y)^{-1} = 1 - y + y^2 - y^3 + y^4 - y^5 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$= -[1 + \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^3 + (\frac{x}{2})^4 + (\frac{x}{2})^5 + \dots] + [1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dots]$
$x^5$ का गुणांक $-(\frac{1}{2})^5 - 1 = -\frac{1}{32} - 1 = -\frac{33}{32}$ है।

(A) दी गई व्यंजक $f(x) = \frac{x^4+1}{(x^2+1)(x-1)}$ है।
सबसे पहले,बहुपद विभाजन या बीजगणितीय सरलीकरण करें।
ध्यान दें कि $x^4+1 = (x^4-1) + 2 = (x^2-1)(x^2+1) + 2$ है।
अतः,$\frac{x^4+1}{(x^2+1)(x-1)} = \frac{(x^2-1)(x^2+1) + 2}{(x^2+1)(x-1)} = (x+1) + \frac{2}{(x^2+1)(x-1)}$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{x-1} = -(1+x+x^2+x^3+...)$ और $\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+...$ है।
इस प्रकार,$\frac{2}{(x^2+1)(x-1)} = 2(1-x^2+x^4-...) \times -(1+x+x^2+x^3+...)$ है।
$= -2(1+x+0x^2+0x^3+...)$ है।
अतः,$x^3$ का गुणांक $0$ है।

(A) माना $a_r = \frac{r+2}{r(r+1)(r+3)}$. आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम पाते हैं कि $a_r = \frac{2}{3r} - \frac{1}{2(r+1)} - \frac{1}{6(r+3)}$.
योग $S_n$ की सीमा $n \rightarrow \infty$ लेने पर,हमें $\frac{29}{36}$ प्राप्त होता है।

(B) आंशिक भिन्नों की विधि का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{x(x+1)\ldots(x+n)} = \sum_{r=0}^{n} \frac{A_r}{x+r}$.
$A_r$ ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $(x+r)$ से गुणा करें और $x \to -r$ की सीमा लें:
$A_r = \lim_{x \to -r} \frac{x+r}{x(x+1)\ldots(x+n)}$.
$A_r = \frac{1}{(-r)(-r+1)\ldots(-1) \cdot (1)(2)\ldots(n-r)}$.
हर में पहले भाग में $r$ ऋणात्मक पद हैं,जो $(-1)^r \cdot r!$ देते हैं,और दूसरा भाग $(n-r)!$ है।
अतः,$A_r = \frac{1}{(-1)^r r! (n-r)!} = \frac{(-1)^r}{r! (n-r)!}$.

(B) एक उचित भिन्न को एक परिमेय व्यंजक $\frac{f(x)}{g(x)}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ अंश $f(x)$ की घात हर $g(x)$ की घात से कम होती है।
इस भिन्न को आंशिक भिन्नों में वियोजित करने के लिए,हमें हर $g(x)$ का रैखिक या अपरिमेय द्विघात गुणनखंडों में गुणनखंडन करना होता है।
आंशिक भिन्न वियोजन का रूप पूरी तरह से $g(x)$ के गुणनखंडों की प्रकृति पर निर्भर करता है।
इसलिए,यह अपचयन केवल $g(x)$ के गुणनखंडन पर निर्भर करता है।

(C) दिया गया है कि $\frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{x+2}{x^2+x+1} = f_1(x) - f_2(x)$.
इससे,हम $f_1(x) = \frac{1}{x-1}$ और $f_2(x) = \frac{x+2}{x^2+x+1}$ प्राप्त करते हैं।
अब,इन मानों को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x+1}{(x-1)^2(x^2+x+1)} = A \left(\frac{1}{x-1}\right) + (B + \frac{D}{x-1}) \left(\frac{x+2}{x^2+x+1}\right) + \frac{C}{(x-1)^2}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)^2(x^2+x+1)$ से गुणा करने पर:
$x+1 = A(x-1)(x^2+x+1) + (B(x-1) + D)(x+2) + C(x^2+x+1)$.
$x+1 = A(x^3-1) + (Bx-B+D)(x+2) + C(x^2+x+1)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^3$ का गुणांक: $A + B = 0$.
$x^2$ का गुणांक: $B + C = 0$.
इस प्रकार,$A+B+C+D = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)} = x+k+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
सबसे पहले,बहुपद विभाजन करें: $\frac{x^4}{x^3-6x^2+11x-6} = x+6 + \frac{31x^2-72x+36}{(x-1)(x-2)(x-3)}$.
तुलना करने पर,हमें $k=6$ प्राप्त होता है.
अब,शेषफल का आंशिक भिन्न में विभाजन करें: $\frac{31x^2-72x+36}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए:
$A$ के लिए: $A = \frac{31(1)^2-72(1)+36}{(1-2)(1-3)} = \frac{31-72+36}{2} = \frac{-5}{2}$.
$B$ के लिए: $B = \frac{31(2)^2-72(2)+36}{(2-1)(2-3)} = \frac{124-144+36}{-1} = \frac{16}{-1} = -16$.
$C$ के लिए: $C = \frac{31(3)^2-72(3)+36}{(3-1)(3-2)} = \frac{279-216+36}{2} = \frac{99}{2}$.
अतः,$k+A-B+C = 6 + (-\frac{5}{2}) - (-16) + \frac{99}{2} = 6 - 2.5 + 16 + 49.5 = 69$.

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3 x+2}{(x+1)(2 x^2+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{2 x^2+3}$
दोनों पक्षों को $(x+1)(2 x^2+3)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $3 x+2=A(2 x^2+3)+(B x+C)(x+1)$
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=-1$ रखें: $3(-1)+2=A(2(-1)^2+3) \Rightarrow -1=A(5) \Rightarrow A=-\frac{1}{5}$
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $3 x+2=2 A x^2+3 A+B x^2+B x+C x+C$
$3 x+2=(2 A+B) x^2+(B+C) x+(3 A+C)$
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $2 A+B=0 \Rightarrow B=-2 A=-2(-\frac{1}{5})=\frac{2}{5}$
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $B+C=3 \Rightarrow C=3-B=3-\frac{2}{5}=\frac{13}{5}$
अंत में,$A+C-B$ की गणना करने पर: $-\frac{1}{5}+\frac{13}{5}-\frac{2}{5}=\frac{13-2-1}{5}=\frac{10}{5}=2$

(C) दिया गया है कि,$\frac{x+1}{(2 x-1)(3 x+1)}=\frac{A}{(2 x-1)}+\frac{B}{(3 x+1)}$
दोनों पक्षों को $(2x-1)(3x+1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x+1) = A(3x+1) + B(2x-1)$
$(x+1) = x(3A+2B) + (A-B)$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3A + 2B = 1$ ... $(i)$
$A - B = 1$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से,$A = B + 1$. इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(B+1) + 2B = 1$
$3B + 3 + 2B = 1$
$5B = -2 \Rightarrow B = -\frac{2}{5}$
अब,$A = -\frac{2}{5} + 1 = \frac{3}{5}$
हमें $16A + 9B$ का मान ज्ञात करना है:
$16A + 9B = 16\left(\frac{3}{5}\right) + 9\left(-\frac{2}{5}\right)$
$= \frac{48}{5} - \frac{18}{5} = \frac{30}{5} = 6$

(B) दिया गया है $\frac{x^2-7 x+2}{x^4+3 x^2+4}=\frac{A x+B}{x^2+a x+2}+\frac{C x+D}{x^2+b x+2}$ ...$(i)$
हर का गुणनखंड करने पर: $x^4+3 x^2+4 = (x^2+2)^2 - x^2 = (x^2+x+2)(x^2-x+2)$.
अतः,$\frac{x^2-7 x+2}{(x^2+x+2)(x^2-x+2)} = \frac{Px+Q}{x^2+x+2} + \frac{Rx+S}{x^2-x+2}$.
अंशों की तुलना करने पर: $x^2-7x+2 = (Px+Q)(x^2-x+2) + (Rx+S)(x^2+x+2)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x^2-7x+2 = x^3(P+R) + x^2(-P+Q+R+S) + x(2P-Q+2R+S) + (2Q+2S)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$P+R=0$
$-P+Q+R+S=1$
$2P-Q+2R+S=-7$
$2Q+2S=2 \Rightarrow Q+S=1$
इन्हें हल करने पर,हमें $P=0, Q=4, R=0, S=-3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{x^2-7x+2}{x^4+3x^2+4} = \frac{4}{x^2+x+2} + \frac{-3}{x^2-x+2}$.
समीकरण $(i)$ से तुलना करने पर,$a=1, b=-1$ (चूंकि $a>b$),$A=0, B=4, C=0, D=-3$ प्राप्त होता है।
तब $B+D = 4-3 = 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $2a+b = 2(1) + (-1) = 1$.
अतः,$B+D = 2a+b$.

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{x^4+1}=\frac{A x+B}{x^2+\sqrt{2} x+1}+\frac{C x+D}{x^2-\sqrt{2} x+1}$.
दोनों पक्षों को $(x^4+1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $(A x+B)(x^2-\sqrt{2} x+1)+(C x+D)(x^2+\sqrt{2} x+1)=1$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^3$ के लिए: $A+C=0 \Rightarrow C=-A$.
$x^0$ (अचर पद) के लिए: $B+D=1$.
$x^2$ के लिए: $B-\sqrt{2} A+D+\sqrt{2} C=0 \Rightarrow (B+D)-\sqrt{2}(A-C)=0$.
चूंकि $B+D=1$ और $C=-A$,हमारे पास $1-\sqrt{2}(2A)=0 \Rightarrow A=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ और $C=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$x^1$ के लिए: $A-\sqrt{2} B+C+\sqrt{2} D=0 \Rightarrow (A+C)+\sqrt{2}(D-B)=0$.
चूंकि $A+C=0$,हमारे पास $\sqrt{2}(D-B)=0 \Rightarrow D=B$.
चूंकि $B+D=1$,हमें $2B=1 \Rightarrow B=\frac{1}{2}$ और $D=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$B D-A C = (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2\sqrt{2}})(-\frac{1}{2\sqrt{2}}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{A}{x-a}+\frac{B x+C}{x^2+b^2}=\frac{1}{(x-a)(x^2+b^2)}$
दोनों पक्षों को $(x-a)(x^2+b^2)$ से गुणा करने पर:
$A(x^2+b^2)+(B x+C)(x-a)=1$
पदों का विस्तार करने पर:
$(A+B)x^2+(C-a B)x+(A b^2-a C)=1$
दोनों पक्षों में $x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+B=0$ ....$(i)$
$C-a B=0$ ....$(ii)$
$A b^2-a C=1$ ....$(iii)$
$(i)$ से,$B=-A$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$C-a(-A)=0 \Rightarrow C+a A=0 \Rightarrow A=\frac{-C}{a}$
$A=\frac{-C}{a}$ को $(iii)$ में रखने पर:
$(\frac{-C}{a})b^2-a C=1$
$-C(\frac{b^2+a^2}{a})=1$
$C=\frac{-a}{a^2+b^2}$

(D) हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करके व्यंजक का अपघटन करते हैं:
$\frac{x+2}{(x^2+3)(x^2)(x^2+1)(x^2+2)} = \frac{A'}{x} + \frac{B'}{x^2} + \frac{C'x+D'}{x^2+1} + \frac{E'x+F'}{x^2+2} + \frac{G'x+H'}{x^2+3}$.
गुणांकों की तुलना करके और समीकरणों की प्रणाली को हल करके,हमें प्राप्त होता है:
$A' = \frac{1}{6}, B' = \frac{1}{3}, C' = -\frac{1}{2}, D' = -1, E' = \frac{1}{2}, F' = 1, G' = -\frac{1}{6}, H' = -\frac{1}{3}$.
इन मानों को वापस रखकर,हम पदों को प्रश्न में दिए गए रूप से मिलाने के लिए समूहित करते हैं:
$\frac{x+2}{(x^2+3)(x^4+x^2)(x^2+2)} = \frac{-\frac{1}{6}x - \frac{1}{3}}{x^2+3} + \frac{\frac{1}{2}x + 1}{x^2+2} + \frac{-\frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{6}x + \frac{1}{3}}{x^4+x^2}$.
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक से करने पर,हम पहचानते हैं:
$A = -\frac{1}{6}, B = -\frac{1}{3}, C = \frac{1}{2}, D = 1, E = -\frac{1}{3}, F = -\frac{2}{3}, G = \frac{1}{6}, H = \frac{1}{3}$.
अंत में,आवश्यक मान की गणना करते हुए:
$(E+F)(C+D)(A) = (-\frac{1}{3} - \frac{2}{3})(\frac{1}{2} + 1)(-\frac{1}{6}) = (-1)(\frac{3}{2})(-\frac{1}{6}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

(A) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A}{2x+5} + \frac{B}{x+6}$
दाईं ओर के पदों को जोड़ने पर: $\frac{13x+43}{2x^2+17x+30} = \frac{A(x+6) + B(2x+5)}{(2x+5)(x+6)}$
चूंकि हर समान हैं,हम अंशों की तुलना करते हैं: $13x + 43 = A(x+6) + B(2x+5)$
दाईं ओर का विस्तार करने पर: $13x + 43 = (A + 2B)x + (6A + 5B)$
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,हमें समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$A + 2B = 13$ ... $(i)$
$6A + 5B = 43$ ... $(ii)$
$(i)$ से,$A = 13 - 2B$. इस मान को $(ii)$ में रखने पर:
$6(13 - 2B) + 5B = 43$
$78 - 12B + 5B = 43$
$-7B = 43 - 78$
$-7B = -35 \Rightarrow B = 5$
$B = 5$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$A + 2(5) = 13 \Rightarrow A + 10 = 13 \Rightarrow A = 3$
अतः,$A + B = 3 + 5 = 8$.

(C) माना $x-2 = t$,इसलिए $x = t+2$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $4(t+2)^2 + 5 = 4(t^2 + 4t + 4) + 5 = 4t^2 + 16t + 21$.
अब,$\frac{4t^2 + 16t + 21}{t^4} = \frac{4}{t^2} + \frac{16}{t^3} + \frac{21}{t^4}$.
इसकी तुलना $\frac{A}{t} + \frac{B}{t^2} + \frac{C}{t^3} + \frac{D}{t^4}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = 0$,$B = 4$,$C = 16$,और $D = 21$.
अब,$\sqrt{\frac{A+B+D}{C}} = \sqrt{\frac{0+4+21}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{2 x^2+5 x+6}{(x+2)^3}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{(x+2)^2}+\frac{c}{(x+2)^3}$
दोनों पक्षों को $(x+2)^3$ से गुणा करने पर:
$2 x^2+5 x+6 = a(x+2)^2 + b(x+2) + c$
माना $x+2 = t$,तो $x = t-2$। इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$2(t-2)^2 + 5(t-2) + 6 = a t^2 + b t + c$
$2(t^2 - 4t + 4) + 5t - 10 + 6 = a t^2 + b t + c$
$2t^2 - 8t + 8 + 5t - 4 = a t^2 + b t + c$
$2t^2 - 3t + 4 = a t^2 + b t + c$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$a = 2, b = -3, c = 4$
अब,$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a$ की गणना करने पर:
$a \cdot b = 2 \cdot (-3) = -6$
$b \cdot c = (-3) \cdot 4 = -12$
$c \cdot a = 4 \cdot 2 = 8$
योग $= -6 - 12 + 8 = -10$

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{-x^2+6x+1}{(x-1)^2(x^2+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx-3}{x^2+2}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)^2(x^2+2)$ से गुणा करने पर:
$-x^2+6x+1 = A(x-1)(x^2+2) + B(x^2+2) + (Cx-3)(x-1)^2$.
$x=1$ रखने पर: $-1+6+1 = B(1+2) \Rightarrow 6 = 3B \Rightarrow B=2$.
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $-x^2+6x+1 = A(x^3-x^2+2x-2) + B(x^2+2) + (Cx-3)(x^2-2x+1)$.
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A + C \Rightarrow C = -A$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-1 = -A + B + (-2C - 3) = -A + 2 - 2C - 3 = -A - 2C - 1$.
अतः,$A + 2C = 0$. चूँकि $C = -A$,इसलिए $A - 2A = 0 \Rightarrow -A = 0 \Rightarrow A = 0$.
इसलिए,$C = -A = 0$.
अंत में,$A+B+C = 0 + 2 + 0 = 2$.

(B) दिया गया है $\frac{x^{4}}{(x - 1)(x - 2)} = f(x) + \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$.
बहुपद के लंबे विभाजन द्वारा,हम $x^{4}$ को $(x - 1)(x - 2) = x^{2} - 3x + 2$ से विभाजित करते हैं।
$x^{4} = (x^{2} - 3x + 2)(x^{2} + 3x + 7) + (15x - 14)$.
अतः,$\frac{x^{4}}{(x - 1)(x - 2)} = x^{2} + 3x + 7 + \frac{15x - 14}{(x - 1)(x - 2)}$.
हम $\frac{15x - 14}{(x - 1)(x - 2)}$ को आंशिक भिन्नों के रूप में व्यक्त करते हैं: $\frac{15x - 14}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$.
$15x - 14 = A(x - 2) + B(x - 1)$.
$x = 1$ के लिए: $15(1) - 14 = A(1 - 2) \Rightarrow 1 = -A \Rightarrow A = -1$.
$x = 2$ के लिए: $15(2) - 14 = B(2 - 1) \Rightarrow 16 = B$.
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$f(x) = x^{2} + 3x + 7$,$A = -1$,और $B = 16$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $f(x) = x^{2} + 3x + 7$ विकल्प $B$ है,और $A + B = -1 + 16 = 15$ ($17$ नहीं),$A - B = -1 - 16 = -17$ ($-18$ नहीं)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{-x^{2} + 6x + 13}{(3x + 5)(x^{2} + 4x + 4)} = \frac{-x^{2} + 6x + 13}{(3x + 5)(x + 2)^{2}}$ है।
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए:
$\frac{-x^{2} + 6x + 13}{(3x + 5)(x + 2)^{2}} = \frac{A}{3x + 5} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{(x + 2)^{2}}$.
दोनों पक्षों को $(3x + 5)(x + 2)^{2}$ से गुणा करने पर:
$-x^{2} + 6x + 13 = A(x + 2)^{2} + B(x + 2)(3x + 5) + C(3x + 5)$.
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए $x = -2$ रखने पर:
$-(-2)^{2} + 6(-2) + 13 = C(3(-2) + 5) \Rightarrow -4 - 12 + 13 = C(-1) \Rightarrow -3 = -C \Rightarrow C = 3$.
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए $x = -\frac{5}{3}$ रखने पर:
$-(-\frac{5}{3})^{2} + 6(-\frac{5}{3}) + 13 = A(-\frac{5}{3} + 2)^{2} \Rightarrow -\frac{25}{9} - 10 + 13 = A(\frac{1}{3})^{2} \Rightarrow \frac{2}{9} = A(\frac{1}{9}) \Rightarrow A = 2$.
$B$ का मान ज्ञात करने के लिए $x^{2}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-1 = A + 3B \Rightarrow -1 = 2 + 3B \Rightarrow -3 = 3B \Rightarrow B = -1$.
अतः,आंशिक भिन्न $\frac{2}{3x + 5} - \frac{1}{x + 2} + \frac{3}{(x + 2)^{2}}$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{x^3}{(2 x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2 x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$
दोनों पक्षों को $(2x-1)(x+2)(x-3)$ से गुणा करने पर:
$x^3 = A(2 x-1)(x+2)(x-3) + B(x+2)(x-3) + C(x-3)(2 x-1) + D(2 x-1)(x+2)$
$A$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों में $x^3$ के गुणांकों की तुलना करते हैं।
हर का विस्तार: $(2x-1)(x+2)(x-3) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.
चूंकि अंश और हर की घात समान $(3)$ है,$A$ मुख्य गुणांकों का अनुपात है:
$A = \frac{1}{2}$
वैकल्पिक रूप से,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x=3$ के लिए: $27 = D(5)(5) \Rightarrow D = \frac{27}{25}$
$x=-2$ के लिए: $-8 = C(-5)(-5) \Rightarrow C = -8/25$
$x=1/2$ के लिए: $1/8 = B(5/2)(-5/2) \Rightarrow B = -1/50$
$x=0$ के लिए: $0 = 6A - 6B + 3C - 2D$
$6A = 6(-1/50) - 3(-8/25) + 2(27/25) = 3$
$A = 1/2$

(B) दिया गया है,$\frac{1}{(3-5 x)(2+3 x)}=\frac{A}{3-5 x}+\frac{B}{2+3 x}$
अंशों की तुलना करने पर:
$1 = A(2+3x) + B(3-5x)$
$1 = (2A + 3B) + x(3A - 5B)$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$3A - 5B = 0$ ...$(i)$
$2A + 3B = 1$ ...$(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से और समीकरण $(ii)$ को $5$ से गुणा करने पर:
$9A - 15B = 0$
$10A + 15B = 5$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$19A = 5 \implies A = \frac{5}{19}$
$A$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3(\frac{5}{19}) - 5B = 0 \implies 5B = \frac{15}{19} \implies B = \frac{3}{19}$
अतः,$A+B = \frac{5}{19} + \frac{3}{19} = \frac{8}{19}$

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{6 x^3+7 x^2+6 x-3}{(x-1)(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$.
दोनों पक्षों को हर $(x-1)(x+3)(x^2+1)$ से गुणा करने पर:
$6x^3 + 7x^2 + 6x - 3 = A(x+3)(x^2+1) + B(x-1)(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)(x+3)$.
$x=1$ के लिए: $6(1)^3 + 7(1)^2 + 6(1) - 3 = A(1+3)(1^2+1) \Rightarrow 16 = 8A \Rightarrow A=2$.
$x=-3$ के लिए: $6(-3)^3 + 7(-3)^2 + 6(-3) - 3 = B(-3-1)((-3)^2+1) \Rightarrow -162 + 63 - 18 - 3 = B(-4)(10) \Rightarrow -120 = -40B \Rightarrow B=3$.
अचर पदों की तुलना करने पर ($x=0$ रखने पर): $-3 = A(3)(1) + B(-1)(1) + D(-1)(3) \Rightarrow -3 = 3A - B - 3D$.
$A=2$ और $B=3$ रखने पर: $-3 = 3(2) - 3 - 3D \Rightarrow -3 = 3 - 3D \Rightarrow 3D = 6 \Rightarrow D=2$.
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $6 = A + B + C \Rightarrow 6 = 2 + 3 + C \Rightarrow C=1$.
अतः,$n = A+B+C+D = 2+3+1+2 = 8$.
दिया है कि ${}^{50}C_n = {}^{50}C_r$,हम जानते हैं कि या तो $r=n$ या $r=50-n$ होता है।
चूंकि $r=n=8$ विकल्प में नहीं है,इसलिए $r = 50-8 = 42$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x}{(1+x^2)(3-2x)} = \frac{Bx+C}{1+x^2} + \frac{A}{3-2x}$.
दोनों पक्षों को $(1+x^2)(3-2x)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = (Bx+C)(3-2x) + A(1+x^2)$
$x = 3Bx - 2Bx^2 + 3C - 2Cx + A + Ax^2$
$x = (A-2B)x^2 + (3B-2C)x + (A+3C)$
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $A - 2B = 0 \Rightarrow A = 2B$
$2$) $3B - 2C = 1$
$3$) $A + 3C = 0 \Rightarrow A = -3C$
$A = 2B$ और $A = -3C$ से,हमें मिलता है $2B = -3C \Rightarrow B = -\frac{3}{2}C$.
$B$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$3(-\frac{3}{2}C) - 2C = 1$
$-\frac{9}{2}C - 2C = 1$
$-\frac{13}{2}C = 1$
$C = -\frac{2}{13}$.

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{x^2}{x^2+3x-4}$ है।
चूंकि अंश और हर की घात समान है,हम भाग विधि का उपयोग करते हैं:
$\frac{x^2}{x^2+3x-4} = 1 - \frac{3x-4}{x^2+3x-4} = 1 + \frac{-3x+4}{(x-1)(x+4)}$.
मान लीजिए $\frac{-3x+4}{(x-1)(x+4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+4}$.
तब $-3x+4 = A(x+4) + B(x-1)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+B = -3$ और $4A-B = 4$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $5A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{5}$.
$A$ का मान $A+B = -3$ में रखने पर: $\frac{1}{5} + B = -3 \Rightarrow B = -3 - \frac{1}{5} = -\frac{16}{5}$.
अतः,$\frac{x^2}{x^2+3x-4} = 1 + \frac{1}{5(x-1)} - \frac{16}{5(x+4)}$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति:
$\frac{x^4}{(x-a)(x-b)(x-c)}=P(x)+\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{x-c}$
चूंकि अंश की घात $4$ है और हर की घात $3$ है,इसलिए $P(x)$ एक रैखिक बहुपद $P(x) = x+k$ के रूप में होगा।
दोनों पक्षों में $x^4$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$P(x) = x+k$ प्राप्त होता है।
$(x-a)(x-b)(x-c)$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है:
$x^4 = (x-a)(x-b)(x-c)P(x) + A(x-b)(x-c) + B(x-a)(x-c) + C(x-a)(x-b)$
$x=a$ रखने पर,$A = \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A(a-b)(a-c) = a^4$.
$P(0)$ ज्ञात करने के लिए,मूल समीकरण में $x=0$ रखने पर:
$\frac{0}{(-a)(-b)(-c)} = P(0) + \frac{A}{-a} + \frac{B}{-b} + \frac{C}{-c}$
$0 = P(0) - (\frac{A}{a} + \frac{B}{b} + \frac{C}{c})$
$P(0) = \frac{A}{a} + \frac{B}{b} + \frac{C}{c}$.
$A = \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}$,$B = \frac{b^4}{(b-a)(b-c)}$,और $C = \frac{c^4}{(c-a)(c-b)}$ मानों का उपयोग करने पर,हमें $P(0) = a+b+c$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$P(0) + A(a-b)(a-c) = (a+b+c) + a^4$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है,$\frac{8}{(x+3)^2(x-2)}=\frac{Ax+B}{(x+3)^2}+\frac{C}{x-2}$
दोनों पक्षों को $(x+3)^2(x-2)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$8 = (Ax+B)(x-2) + C(x+3)^2$
$x=2$ रखने पर:
$8 = 0 + C(2+3)^2 \Rightarrow 8 = 25C \Rightarrow C = \frac{8}{25}$
$x=-3$ रखने पर:
$8 = (A(-3)+B)(-3-2) + 0 \Rightarrow 8 = (-3A+B)(-5) \Rightarrow 8 = 15A - 5B$
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$0 = A + C \Rightarrow A = -C = -\frac{8}{25}$
$A$ का मान $8 = 15A - 5B$ में रखने पर:
$8 = 15(-\frac{8}{25}) - 5B \Rightarrow 8 = -\frac{24}{5} - 5B \Rightarrow 5B = -\frac{24}{5} - 8 = -\frac{64}{5} \Rightarrow B = -\frac{64}{25}$
अब,$25(B+8C-A)$ की गणना करने पर:
$25(-\frac{64}{25} + 8(\frac{8}{25}) - (-\frac{8}{25})) = 25(-\frac{64}{25} + \frac{64}{25} + \frac{8}{25}) = 25(\frac{8}{25}) = 8$

(A) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन:
$\frac{3x^2+1}{(x^2+1)(x^2+2)^2} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2} + \frac{Ex+F}{(x^2+2)^2}$
दोनों पक्षों को हर $(x^2+1)(x^2+2)^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x^2+1 = (Ax+B)(x^2+2)^2 + (Cx+D)(x^2+1)(x^2+2) + (Ex+F)(x^2+1)$
चूंकि व्यंजक $3x^2+1$ में केवल $x$ की सम घातें हैं,इसलिए $x$ की सभी विषम घातों (जैसे $x^5, x^3, x^1$) के गुणांक शून्य होने चाहिए।
पदों का विस्तार करने पर:
$(Ax+B)(x^4+4x^2+4) = Ax^5 + 4Ax^3 + 4Ax + Bx^4 + 4Bx^2 + 4B$
$(Cx+D)(x^4+3x^2+2) = Cx^5 + 3Cx^3 + 2Cx + Dx^4 + 3Dx^2 + 2D$
$(Ex+F)(x^2+1) = Ex^3 + Ex + Fx^2 + F$
$x^5$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A + C = 0$
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$4A + 3C + E = 0$
चूंकि $A+C=0$,इसलिए $C = -A$ है। इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$4A + 3(-A) + E = 0 \Rightarrow A + E = 0$
अतः,$A=0, C=0, E=0$।
इसलिए,$A+C+E = 0+0+0 = 0$।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^4+24x^2+28}{(x^2+1)^3} = \frac{A}{x^2+1} + \frac{B}{(x^2+1)^2} + \frac{C}{(x^2+1)^3}$
दोनों पक्षों को $(x^2+1)^3$ से गुणा करने पर:
$x^4+24x^2+28 = A(x^2+1)^2 + B(x^2+1) + C$
माना $y = x^2+1$,तब $x^2 = y-1$. इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(y-1)^2 + 24(y-1) + 28 = Ay^2 + By + C$
$y^2 - 2y + 1 + 24y - 24 + 28 = Ay^2 + By + C$
$y^2 + 22y + 5 = Ay^2 + By + C$
$y^2$,$y$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A = 1$
$B = 22$
$C = 5$
हमें $A+C$ का मान ज्ञात करना है:
$A+C = 1 + 5 = 6$

(C) दिया गया है,$\frac{x^3}{(2x - 1)(x - 1)^2} = A + \frac{B}{2x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{(x - 1)^2}$.
बहुपद विभाजन करने पर,$\frac{x^3}{2x^3 - 5x^2 + 4x - 1} = \frac{1}{2} + \frac{5x^2 - 4x + 1}{2(2x - 1)(x - 1)^2}$.
यहाँ $A = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{5x^2 - 4x + 1}{2(2x - 1)(x - 1)^2} = \frac{B}{2x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{(x - 1)^2}$ लेने पर।
$x = 1$ रखने पर,$D = 1$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर,$B = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$C = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$2A - 3B + 4C + 5D = 2(\frac{1}{2}) - 3(\frac{1}{2}) + 4(1) + 5(1) = 1 - 1.5 + 9 = 8.5 = \frac{17}{2}$.

(D) एक परिमेय भिन्न $\frac{p(x)}{q(x)}$ को अनुचित परिमेय भिन्न कहा जाता है यदि अंश $p(x)$ की घात हर $q(x)$ की घात से अधिक या उसके बराबर हो।
$(a)$ $\frac{x^2+1}{(x^2+2)(x^2+x+1)}$ के लिए,$p(x)$ की घात $= 2$ और $q(x)$ की घात $= 4$ है। चूँकि $2 < 4$,यह एक उचित भिन्न है।
$(b)$ $\frac{x^2+1}{(x+3)(x^2-x+1)}$ के लिए,$p(x)$ की घात $= 2$ और $q(x)$ की घात $= 3$ है। चूँकि $2 < 3$,यह एक उचित भिन्न है।
$(c)$ $\frac{x}{x^2+3x+1}$ के लिए,$p(x)$ की घात $= 1$ और $q(x)$ की घात $= 2$ है। चूँकि $1 < 2$,यह एक उचित भिन्न है।
$(d)$ $\frac{x^2+1}{x^2-1}$ के लिए,$p(x)$ की घात $= 2$ और $q(x)$ की घात $= 2$ है। चूँकि अंश की घात और हर की घात समान है,इसलिए यह एक अनुचित परिमेय भिन्न है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{2x^3+1}{2x^2-x-6} = ax+b+\frac{A}{px-2}+\frac{B}{2x+q}$ है।
$2x^3+1$ को $2x^2-x-6$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2x^3+1}{2x^2-x-6} = (x + \frac{1}{2}) + \frac{\frac{17}{2}x+4}{2x^2-x-6}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $2x^2-x-6 = (x-2)(2x+3)$.
$\frac{\frac{17}{2}x+4}{(x-2)(2x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{2x+3}$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर.
$A = \frac{17}{7}$ और $B = \frac{23}{14}$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर $a=1, b=\frac{1}{2}, p=1, q=3, A=\frac{17}{7}, B=\frac{23}{14}$ प्राप्त होता है।
$51apB = 51 \times 1 \times 1 \times \frac{23}{14} = \frac{1173}{14}$.
$23bqA = 23 \times \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{17}{7} = \frac{1173}{14}$.
अतः,$51apB = 23bqA$.