यदि $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $\frac{4x^2 + 1}{64x^2 - 96x \sin \alpha + 5} < \frac{1}{32}$ है,तो $\alpha$ किस अंतराल में स्थित है?

मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - (t^2 - 5t + 6)x + 1 = 0$ के भिन्न मूल हैं,जहाँ $t \in \mathbb{R}$,और $a_n = \alpha^n + \beta^n$ है। तो $\frac{a_{2023} + a_{2025}}{a_{2024}}$ का न्यूनतम मान क्या है?

$x \in R-\{-6\}$ के लिए,$\frac{(x+2)(x+5)}{(x+6)}$ का मान किस अंतराल में नहीं है?

कथन $(I)$: $|x|^2 - 4|x| + 3 < 0$ के हलों का समुच्चय अंतराल $(-3, 3)$ है।
कथन $(II)$: यदि $x < 3$ या $x > 5$ है,तो $x^2 - 8x + 15 > 0$ है।
उपर्युक्त में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?

यदि $\alpha_1, \alpha_2$ और $\alpha_3$,$x^3+3x+2=0$ के मूल हैं,तो $\alpha_1^5+\alpha_2^5+\alpha_3^5=$

यदि $a$ और $b$ समीकरण $x^2-7x-1=0$ के मूल हैं,तो $\frac{a^{21}+b^{21}+a^{17}+b^{17}}{a^{19}+b^{19}}$ का मान $........$ के बराबर है।