Condition for common roots Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $\alpha$,$x^2-5x+\lambda=0$ और $x^2-8x-2\lambda=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है।
दोनों समीकरणों में $\alpha$ रखने पर:
$\alpha^2-5\alpha+\lambda=0$ ... $(i)$
$\alpha^2-8\alpha-2\lambda=0$ ... (ii)
$(i)$ में से (ii) को घटाने पर:
$3\alpha+3\lambda=0 \Rightarrow \alpha=-\lambda$.
चूंकि $\alpha$,$x^2-5x+\lambda=0$ का मूल है,$\alpha=-\lambda$ रखने पर:
$(-\lambda)^2-5(-\lambda)+\lambda=0$
$\lambda^2+6\lambda=0$.
चूंकि $\lambda \neq 0$,इसलिए $\lambda=-6$.
अतः,$\alpha = 6$.
$x^2-5x-6=0$ के लिए,मूल $\alpha=6$ और $\beta=-1$ हैं।
$x^2-8x+12=0$ के लिए,मूल $\alpha=6$ और $\gamma=2$ हैं।
अंत में,$\alpha+\beta+\gamma+\lambda = 6 - 1 + 2 - 6 = 1$.

(C) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। तब हमारे पास है:
$1) \alpha^3 + a\alpha + 1 = 0$
$2) \alpha^4 + a\alpha^2 + 1 = 0$
समीकरण $(1)$ को $\alpha$ से गुणा करने पर:
$\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha = 0$
इस परिणाम से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha) - (\alpha^4 + a\alpha^2 + 1) = 0$
$\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$
चूंकि $\alpha = 1$ एक उभयनिष्ठ मूल है,यह पहले समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(1)^3 + a(1) + 1 = 0$
$1 + a + 1 = 0$
$a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$

(A) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2+ax+b=0$ और $x^2+bx+a=0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2+a\alpha+b=0$ और $\alpha^2+b\alpha+a=0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\alpha^2+a\alpha+b) - (\alpha^2+b\alpha+a) = 0$
$a\alpha - b\alpha + b - a = 0$
$\alpha(a-b) - (a-b) = 0$
$(a-b)(\alpha-1) = 0$.
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $\alpha-1=0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\alpha=1$.
$\alpha=1$ को पहले समीकरण में रखने पर:
$1^2 + a(1) + b = 0$
$1 + a + b = 0$
$a + b = -1$.

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2-ax+b=0$ और $x^2+bx-a=0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2-a\alpha+b=0$ और $\alpha^2+b\alpha-a=0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\alpha^2-a\alpha+b) - (\alpha^2+b\alpha-a) = 0$
$-a\alpha-b\alpha+b+a = 0$
$-(a+b)\alpha + (a+b) = 0$
$(a+b)(1-\alpha) = 0$.
इसका अर्थ है कि या तो $a+b=0$ या $\alpha=1$.
यदि $\alpha=1$ एक मूल है,तो $1^2-a(1)+b=0$,जिससे $1-a+b=0$,या $a-b=1$ प्राप्त होता है।
अतः,उभयनिष्ठ मूल के लिए शर्त $a+b=0$ या $a-b=1$ है।

(B) माना दिए गए समीकरण $f(x) = x^3+x^2-2x-2=0$ और $g(x) = x^3-x^2-2x+2=0$ हैं।
$f(x)$ का गुणनखंड करने पर:
$x^2(x+1) - 2(x+1) = 0 \Rightarrow (x^2-2)(x+1) = 0$।
मूल $x = -1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ हैं।
$g(x)$ का गुणनखंड करने पर:
$x^2(x-1) - 2(x-1) = 0 \Rightarrow (x^2-2)(x-1) = 0$।
मूल $x = 1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ हैं।
उभयनिष्ठ मूल $x = \sqrt{2}$ और $x = -\sqrt{2}$ हैं।
अतः,उभयनिष्ठ मूलों की संख्या $2$ है।

(C) मान लीजिए $\alpha$ दिए गए समीकरणों का उभयनिष्ठ मूल है:
$\alpha^2 - 8\alpha + 7 = 0$ $(i)$
$\alpha^2 - 2a\alpha + 49 = 0$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$(\alpha^2 - 8\alpha + 7) - (\alpha^2 - 2a\alpha + 49) = 0$
$(2a - 8)\alpha - 42 = 0$
$2(a - 4)\alpha = 42$
$\alpha = \frac{21}{a - 4}$
$\alpha$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$(\frac{21}{a - 4})^2 - 8(\frac{21}{a - 4}) + 7 = 0$
$(a - 4)^2$ से गुणा करने पर:
$441 - 168(a - 4) + 7(a - 4)^2 = 0$
$441 - 168a + 672 + 7(a^2 - 8a + 16) = 0$
$7a^2 - 224a + 1225 = 0$
$7$ से भाग देने पर:
$a^2 - 32a + 175 = 0$
$(a - 7)(a - 25) = 0$
अतः,$a = 7$ या $a = 25$ है।
$a$ के $2$ संभावित मान हैं।

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $2ax^2 - 3bx + 4c = 0$ और $3x^2 - 4x + 5 = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$2a\alpha^2 - 3b\alpha + 4c = 0$ और $3\alpha^2 - 4\alpha + 5 = 0$.
गुणांकों के अनुपात की तुलना करने पर,$\frac{2a}{3} = \frac{-3b}{-4} = \frac{4c}{5} = k$.
इससे $2a = 3k$,$3b = 4k$,और $4c = 5k$ प्राप्त होता है।
अतः $a = \frac{3k}{2}$,$b = \frac{4k}{3}$,और $c = \frac{5k}{4}$.
अब,$\frac{a+b}{b+c} = \frac{\frac{3k}{2} + \frac{4k}{3}}{\frac{4k}{3} + \frac{5k}{4}} = \frac{\frac{17k}{6}}{\frac{31k}{12}} = \frac{34}{31}$.

(C) दिए गए समीकरण $3x^2 - 7x + 2 = 0$ $(i)$ और $15x^2 - 11x + a = 0$ (ii) हैं।
$(i)$ को हल करने पर: $3x^2 - 6x - x + 2 = 0 \implies 3x(x - 2) - 1(x - 2) = 0 \implies (3x - 1)(x - 2) = 0$.
अतः,$(i)$ के मूल $x = \frac{1}{3}$ और $x = 2$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $x = 2$ उभयनिष्ठ मूल है,तो $15(2)^2 - 11(2) + a = 0 \implies 60 - 22 + a = 0 \implies a = -38$. चूँकि $a > 0$,यह संभव नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $x = \frac{1}{3}$ उभयनिष्ठ मूल है,तो $15(\frac{1}{3})^2 - 11(\frac{1}{3}) + a = 0 \implies 15(\frac{1}{9}) - \frac{11}{3} + a = 0 \implies \frac{5}{3} - \frac{11}{3} + a = 0 \implies -2 + a = 0 \implies a = 2$.
अब,समीकरण $15x^2 - ax + 7 = 0$ के लिए,$a = 2$ रखने पर,हमें $15x^2 - 2x + 7 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $-\frac{b}{A} = -(\frac{-2}{15}) = \frac{2}{15}$ है।

(A) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है।
$2b\alpha^2 + 3c\alpha - d = 0$
$2a\alpha^2 + 3b\alpha + 4c = 0$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha^2}{12c^2 + 3bd} = \frac{-\alpha}{8bc + 2ad} = \frac{1}{6b^2 - 6ac}$
प्रथम और द्वितीय अनुपात से:
$\alpha = -\frac{12c^2 + 3bd}{8bc + 2ad}$
द्वितीय और तृतीय अनुपात से:
$\alpha = -\frac{8bc + 2ad}{6b^2 - 6ac}$
$\alpha$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{12c^2 + 3bd}{8bc + 2ad} = \frac{8bc + 2ad}{6(b^2 - ac)}$
$18(4c^2 + bd)(b^2 - ac) = 4(4bc + ad)^2$
$\frac{4bc + ad}{\frac{9}{2}(b^2 - ac)} = \frac{4c^2 + bd}{4bc + ad}$
अतः,$k = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2+px+2=0$ और $x^2+x+2p=0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2+p\alpha+2=0$ और $\alpha^2+\alpha+2p=0$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर,$(p-1)\alpha + (2-2p) = 0$ प्राप्त होता है,जिसे $(p-1)\alpha - 2(p-1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इससे $(p-1)(\alpha-2) = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $p=1$ है,तो समीकरण $x^2+x+2=0$ और $x^2+x+2=0$ बन जाते हैं,जो समान हैं। लेकिन विविक्तकर $D = 1^2 - 4(1)(2) = -7 < 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक नहीं हैं।
स्थिति $2$: यदि $\alpha=2$ है,तो $x^2+px+2=0$ में $\alpha=2$ रखने पर $4+2p+2=0$ प्राप्त होता है,जिससे $2p = -6$,अर्थात $p=-3$।
अब,$p=-3$ को समीकरण $x^2+2px+8=0$ में रखने पर $x^2+2(-3)x+8=0$ प्राप्त होता है,जो $x^2-6x+8=0$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूलों का योग $-b/a$ होता है।
अतः $x^2-6x+8=0$ के लिए,मूलों का योग $-(-6)/1 = 6$ है।

(D) माना $\alpha$ समीकरणों $2x^2+ax-2=0$ और $x^2+x+2a=0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
तब $2\alpha^2+a\alpha-2=0$ और $\alpha^2+\alpha+2a=0$ होगा।
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2\alpha^2+2\alpha+4a=0$ प्राप्त होता है।
इसे पहले समीकरण से घटाने पर: $(a-2)\alpha - 2 - 4a = 0$,अतः $\alpha = \frac{4a+2}{a-2}$।
$\alpha$ का मान $x^2+x+2a=0$ में रखने पर: $(\frac{4a+2}{a-2})^2 + \frac{4a+2}{a-2} + 2a = 0$।
$a \neq 0$ के लिए इस समीकरण को हल करने पर,हमें $a = -3$ प्राप्त होता है।
$a = -3$ को $ax^2-4x-2a=0$ में रखने पर,हमें $-3x^2-4x+6=0$ या $3x^2+4x-6=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-6)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{22}}{3}$।
अतः,एक मूल $\frac{-2+\sqrt{22}}{3}$ है।

(B) चूंकि $(x-2)$,$x^2+ax+b$ का एक गुणनखंड है,इसलिए $x=2$ इसका एक मूल है,अतः $(2)^2+2a+b=0$,जिससे $2a+b=-4$ प्राप्त होता है ... $(i)$.
इसी प्रकार,चूंकि $(x-2)$,$x^2+cx+d$ का एक गुणनखंड है,अतः $(2)^2+2c+d=0$,जिससे $2c+d=-4$ प्राप्त होता है ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(2a+b) - (2c+d) = -4 - (-4)$
$2(a-c) + (b-d) = 0$
$b-d = -2(a-c)$
$b-d = 2(c-a)$
अतः,$\frac{b-d}{c-a} = 2$.

(C) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। समीकरण $x^2-6x+a=0$ और $x^2-cx+6=0$ हैं।
माना अन्य मूल क्रमशः $\beta_1$ और $\beta_2$ हैं। दिया गया है कि $\beta_1 : \beta_2 = 4:3$,इसलिए $\beta_1 = 4k$ और $\beta_2 = 3k$ है।
मूलों के गुणों से:
पहले समीकरण के लिए: $\alpha + 4k = 6$ और $\alpha \cdot 4k = a$ है।
दूसरे समीकरण के लिए: $\alpha + 3k = c$ और $\alpha \cdot 3k = 6$ है।
$\alpha \cdot 3k = 6$ से,$k = \frac{2}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
$k$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $\alpha + 4(\frac{2}{\alpha}) = 6 \Rightarrow \alpha + \frac{8}{\alpha} = 6$ है।
$\alpha$ से गुणा करने पर: $\alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(\alpha - 4)(\alpha - 2) = 0$,इसलिए $\alpha = 4$ या $\alpha = 2$ है।
यदि $\alpha = 4$ है,तो $4k = 6 - 4 = 2 \Rightarrow k = 0.5$ है। तब $\beta_1 = 2$ और $\beta_2 = 1.5$ है। चूँकि $\beta_2$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए यह संभव नहीं है।
यदि $\alpha = 2$ है,तो $4k = 6 - 2 = 4 \Rightarrow k = 1$ है। तब $\beta_1 = 4$ और $\beta_2 = 3$ है। दोनों पूर्णांक हैं।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $2$ है।

(D) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2+3x-2k=0$ और $x^2-2x-7k=0$ का शून्येतर उभयनिष्ठ मूल है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(x^2+3x-2k) - (x^2-2x-7k) = 0$ $\Rightarrow 5x+5k=0$ $\Rightarrow x=-k$.
चूंकि $x=-k$ एक मूल है,इसे पहले समीकरण में रखने पर: $(-k)^2+3(-k)-2k=0$ $\Rightarrow k^2-5k=0$ $\Rightarrow k(k-5)=0$.
चूंकि मूल शून्येतर है,$k \neq 0$,इसलिए $k=5$.
$k=5$ को तीसरे समीकरण में रखने पर: $5x^2+(5+2)x-(5+1)=0 \Rightarrow 5x^2+7x-6=0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $5x^2+10x-3x-6=0$ $\Rightarrow 5x(x+2)-3(x+2)=0$ $\Rightarrow (5x-3)(x+2)=0$.
मूल $x=\frac{3}{5}$ और $x=-2$ हैं।
अतः धनात्मक मूल $x=\frac{3}{5}$ है।

(B) मान लीजिए उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है।
दिए गए समीकरण $ax^2-7x+c=0$ और $ax^2+5x-c=0$ हैं।
चूंकि $\alpha$ उभयनिष्ठ मूल है,इसलिए $a\alpha^2-7\alpha+c=0$ और $a\alpha^2+5\alpha-c=0$ होगा।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$-12\alpha + 2c = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{c}{6}$।
$\alpha = \frac{c}{6}$ को $ax^2-7x+c=0$ में रखने पर,$ac=6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $3$ एक अन्य मूल है,इसलिए $9a-21+c=0$ होगा।
$c=21-9a$ को $ac=6$ में रखने पर $3a^2-7a+2=0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $a=2$ या $a=\frac{1}{3}$ हैं।
$a=2$ के लिए $c=3$ प्राप्त होता है,जिससे समीकरण $2x^2-7x+3=0$ बनता है,जिसके मूल $3$ और $\frac{1}{2}$ हैं।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $\frac{1}{2}$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$x^3-2x-25\lambda=0 \quad (1)$
$3x^3-8x-\frac{175}{3}\lambda=0 \quad (2)$
चूँकि $\alpha$ एक उभयनिष्ठ मूल है,हमारे पास है:
$25\lambda = \alpha^3-2\alpha \Rightarrow \lambda = \frac{\alpha^3-2\alpha}{25}$
$\frac{175}{3}\lambda = 3\alpha^3-8\alpha \Rightarrow \lambda = \frac{9\alpha^3-24\alpha}{175}$
$\lambda$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\alpha^3-2\alpha}{25} = \frac{9\alpha^3-24\alpha}{175}$
$7(\alpha^3-2\alpha) = 9\alpha^3-24\alpha$
$2\alpha^3-10\alpha = 0$
$2\alpha(\alpha^2-5) = 0$
चूँकि $\lambda > 0$,हम $\alpha = \sqrt{5}$ लेते हैं:
$\lambda = \frac{5\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{25} = \frac{3\sqrt{5}}{25} = \frac{3}{5\sqrt{5}}$.

(C) दिया गया है कि $f(x)=x^2+ax+2=0$ और $g(x)=x^2+2x+a=0$ का केवल एक वास्तविक उभयनिष्ठ मूल है। उभयनिष्ठ मूल ज्ञात करने के लिए दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$f(x)-g(x)=(a-2)x+(2-a)=0$
$(a-2)(x-1)=0$
चूंकि $a \neq 2$,इसलिए उभयनिष्ठ मूल $x=1$ है।
$x=1$ को $f(x)=0$ में रखने पर:
$1+a+2=0 \Rightarrow a=-3$.
अब,$f(x)=x^2-3x+2=0$ और $g(x)=x^2+2x-3=0$.
अतः $f(x)+g(x) = 2x^2-x-1=0$.
द्विघात समीकरण $Ax^2+Bx+C=0$ के मूलों का योग $-\frac{B}{A}$ होता है।
अतः,$2x^2-x-1=0$ के लिए मूलों का योग $-\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$ है।

(A) माना $\alpha$ समीकरणों $3x^2 - 7x + 2 = 0$ और $kx^2 + 7x - 3 = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$3\alpha^2 - 7\alpha + 2 = 0$ $\dots(i)$
और $k\alpha^2 + 7\alpha - 3 = 0$ $\dots(ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$(k+3)\alpha^2 - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha^2 = \frac{1}{k+3}$।
$(i)$ से,$3\alpha^2 + 2 = 7\alpha$,इसलिए $3(\frac{1}{k+3}) + 2 = 7\alpha$,जिससे $\alpha = \frac{2k+9}{7(k+3)}$ प्राप्त होता है।
$\alpha^2$ का मान रखने पर,$\frac{1}{k+3} = \left(\frac{2k+9}{7(k+3)}\right)^2$।
$49(k+3) = (2k+9)^2 = 4k^2 + 36k + 81$।
$4k^2 - 13k - 66 = 0$।
$(k-6)(4k+11) = 0$।
चूंकि $k$ धनात्मक है,इसलिए $k = 6$।

(D) दिया गया है $\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=3$,$abc$ से गुणा करने पर $a^3+b^3+c^3=3abc$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $a+b+c=0$ या $a=b=c$ है।
यदि $a=b=c$ है,तो $E_1=E_2=E_3=a(x^2+x+1)$,जिनके मूल समान हैं।
यदि $a+b+c=0$ है,तो $x=1$ $E_1, E_2, E_3$ का एक मूल है क्योंकि $a(1)^2+b(1)+c = a+b+c=0$ है।
$E_2$ और $E_3$ के लिए,मूल $x=1$ और $x=\frac{a}{b}$ ($E_2$ से) तथा $x=\frac{a}{c}$ ($E_3$ से) हैं।
उभयनिष्ठ मूल $x=1$ है। अन्य मूल $x=\frac{a}{b}$ और $x=\frac{a}{c}$ हैं।
$x=\frac{a}{b}$ और $x=\frac{a}{c}$ मूलों वाला द्विघात व्यंजक $(x-\frac{a}{b})(x-\frac{a}{c}) = x^2 - (\frac{a}{b}+\frac{a}{c})x + \frac{a^2}{bc} = x^2 - \frac{a(b+c)}{bc}x + \frac{a^2}{bc}$ है।

(B) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है।
तब,$\alpha^2-3a\alpha+14=0$ और $\alpha^2+2a\alpha-16=0$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\alpha^2-3a\alpha+14) - (\alpha^2+2a\alpha-16) = 0$
$-5a\alpha + 30 = 0
$ $\Rightarrow 5a\alpha = 30
$ $\Rightarrow \alpha = \frac{6}{a}$।
प्रथम समीकरण में $\alpha = \frac{6}{a}$ रखने पर:
$(\frac{6}{a})^2 - 3a(\frac{6}{a}) + 14 = 0$
$\frac{36}{a^2} - 18 + 14 = 0$
$\frac{36}{a^2} = 4
\Rightarrow a^2 = 9$।
अब,$a^4+a^2 = (a^2)^2 + a^2 = (9)^2 + 9 = 81 + 9 = 90$।

(A) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। तब $\alpha^3 + a\alpha + 1 = 0$ और $\alpha^4 + a\alpha^2 + 1 = 0$.
प्रथम समीकरण से,$a\alpha = -\alpha^3 - 1$.
प्रथम समीकरण को $\alpha$ से गुणा करने पर: $\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha = 0$.
दूसरे समीकरण से इसे घटाने पर: $(\alpha^4 + a\alpha^2 + 1) - (\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha) = 0$.
इससे $1 - \alpha = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = 1$.
$\alpha = 1$ को प्रथम समीकरण में रखने पर: $1^3 + a(1) + 1 = 0$.
$1 + a + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $a = -2$.

(A) माना $\alpha$ दोनों समीकरणों का उभयनिष्ठ मूल है। तब:
$\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ $(1)$
$\alpha^2 + b\alpha + a = 0$ $(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(\alpha^2 - \alpha^2) + (a\alpha - b\alpha) + (b - a) = 0$
$(a - b)\alpha - (a - b) = 0$
$(a - b)(\alpha - 1) = 0$
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $\alpha - 1 = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\alpha = 1$।
$\alpha = 1$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(1)^2 + a(1) + b = 0$
$1 + a + b = 0$
$a + b = -1$

(D) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 - 7x + 3c = 0$ और $x^2 + x - 5c = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 - 7\alpha + 3c = 0$ और $\alpha^2 + \alpha - 5c = 0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha^2 - 7\alpha + 3c) - (\alpha^2 + \alpha - 5c) = 0$ $\Rightarrow -8\alpha + 8c = 0$ $\Rightarrow \alpha = c$.
$\alpha = c$ को पहले समीकरण में रखने पर: $c^2 - 7c + 3c = 0$ $\Rightarrow c^2 - 4c = 0$ $\Rightarrow c(c - 4) = 0$.
चूंकि $c$ अशून्य है,इसलिए $c = 4$.
व्यंजक $x^2 - 3x + 4$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$.
चूंकि $x^2$ का गुणांक $1 > 0$ है और $D < 0$ है,इसलिए व्यंजक $x^2 - 3x + 4$ सभी $x \in R$ के लिए हमेशा धनात्मक रहेगा।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2b = a+c$।
समीकरणों $(b-c)x^2 + (c-a)x + (a-b) = 0$ और $2(c+a)x^2 + (b+c)x = 0$ के लिए,यदि $x=1$ एक उभयनिष्ठ मूल है,तो यह दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
गणना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $a^2, c^2, b^2$ $A$.$P$. में हैं।

(B) माना कि $\alpha$ उभयनिष्ठ मूल है।
तब,$\alpha^{2}+\alpha+a=0$ ... $(i)$
और $\alpha^{2}+a\alpha+1=0$ ... (ii)
$(i)$ में से (ii) को घटाने पर:
$(\alpha^{2}+\alpha+a) - (\alpha^{2}+a\alpha+1) = 0$
$\alpha(1-a) + (a-1) = 0$
$\alpha(1-a) - (1-a) = 0$
$(1-a)(\alpha-1) = 0$
इससे $a=1$ या $\alpha=1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $a=1$ है,तो समीकरण $x^{2}+x+1=0$ बन जाते हैं,जिसका कोई वास्तविक मूल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $\alpha=1$ है,तो $(i)$ में रखने पर $1^{2}+1+a=0$,जिससे $a=-2$ प्राप्त होता है।
$a=-2$ के लिए,समीकरण $x^{2}+x-2=0$ और $x^{2}-2x+1=0$ हैं।
$x^{2}+x-2=0$ के मूल $x=1, -2$ हैं।
$x^{2}-2x+1=0$ के मूल $x=1, 1$ हैं।
उभयनिष्ठ मूल $x=1$ है,जो वास्तविक है।
अतः,$a$ के ठीक एक मान $(a=-2)$ के लिए समीकरणों का एक उभयनिष्ठ वास्तविक मूल है।