Integral power of iota, Algebraic operations and Equality of complex numbers Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि,$\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{96}=a+ib$.
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
अब,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(-i)^{96} = a+ib$.
चूंकि $96$ एक सम संख्या है,इसलिए $(-i)^{96} = i^{96}$.
$i^{96} = (i^4)^{24} = (1)^{24} = 1$.
अतः,$1 = a+ib$,जिसे $1+0i = a+ib$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$a=1$ और $b=0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$(a, b) = (1, 0)$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $i^{n} + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3}$
$i^{n}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $i^{n}(1 + i + i^{2} + i^{3})$
हम जानते हैं कि $i^{2} = -1$ और $i^{3} = -i$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $i^{n}(1 + i - 1 - i)$
कोष्ठक के भीतर के पदों को सरल करने पर: $i^{n}(0) = 0$
अतः,सरलीकृत रूप $0$ है।

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}$
$= \frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n}} \times (1-i)^{2}$
$= \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{n} \times (1 + i^{2} - 2i)$
$= \left(\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right)^{n} \times (1 - 1 - 2i)$
$= \left(\frac{1 + i^{2} + 2i}{1 - i^{2}}\right)^{n} \times (-2i)$
$= \left(\frac{2i}{2}\right)^{n} \times (-2i)$
$= i^{n} \times (-2i) = -2i^{n+1}$
व्यंजक को धनात्मक वास्तविक संख्या होने के लिए,$-2i^{n+1}$ धनात्मक होना चाहिए।
यदि $n=1$ रखें,तो $-2i^{1+1} = -2i^{2} = -2(-1) = 2$,जो धनात्मक है।
अतः,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n = 1$ है।

(C) माना $z = \frac{1-i \sin \alpha}{1+2 i \sin \alpha}$ है।
$z$ को पूर्णतः वास्तविक होने के लिए,इसका काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1-2i \sin \alpha)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1-i \sin \alpha)(1-2i \sin \alpha)}{(1+2i \sin \alpha)(1-2i \sin \alpha)}$
$z = \frac{1 - 2i \sin \alpha - i \sin \alpha + 2i^2 \sin^2 \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमारे पास है:
$z = \frac{1 - 3i \sin \alpha - 2 \sin^2 \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha} = \frac{1 - 2 \sin^2 \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha} - i \frac{3 \sin \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha}$
$z$ के पूर्णतः वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग $0$ होना चाहिए:
$-\frac{3 \sin \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha} = 0$
$\Rightarrow 3 \sin \alpha = 0$
$\Rightarrow \sin \alpha = 0$
$\Rightarrow \alpha = n \pi, n \in N$.

(C) दिया गया समीकरण: $3x + i(4x - y) = 6 - i$
$LHS$ और $RHS$ के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$3x = 6$ और $4x - y = -1$
$3x = 6$ से,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ को समीकरण $4x - y = -1$ में रखने पर:
$4(2) - y = -1$
$8 - y = -1$
$y = 8 + 1 = 9$
अतः,$x = 2$ और $y = 9$ प्राप्त होते हैं।

(D) दिया है,$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{x}=1$
आधार का परिमेयकरण करने पर:
$\left[\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i}\right]^{x}=1$
$\left[\frac{1+i^2+2i}{1^2-i^2}\right]^{x}=1$
चूँकि $i^2 = -1$:
$\left[\frac{1-1+2i}{1+1}\right]^{x}=1$
$\left[\frac{2i}{2}\right]^{x}=1$
$i^x = 1$
हम जानते हैं कि $i^k = 1$ तभी होता है जब $k$,$4$ का गुणज हो।
अतः,$x = 4n$ जहाँ $n \in N$।

(C) दिया गया है कि,$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{m} = 1$।
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को हर के संयुग्मी $(1+i)$ से गुणा करके सरल करें:
$\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^{2}}{1^{2}-i^{2}} = \frac{1+i^{2}+2i}{1-(-1)} = \frac{1-1+2i}{2} = \frac{2i}{2} = i$।
अब,समीकरण $i^{m} = 1$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $i$ की घातें एक चक्र का पालन करती हैं:
$i^{1} = i$
$i^{2} = -1$
$i^{3} = -i$
$i^{4} = 1$
अतः,$m$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान जिसके लिए $i^{m} = 1$ है,वह $m = 4$ है।

(A) दिया गया है $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^k = -i$.
सबसे पहले,आधार को सरल करने पर: $\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$.
अतः,समीकरण $(-i)^k = -i$ हो जाता है।
$(-i)^k = -i$ के लिए,$k$ को $k \equiv 1 \pmod 4$ को संतुष्ट करना चाहिए।
न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $m = 1$ है।
अधिकतम ऋणात्मक पूर्णांक $n = 1 - 4 = -3$ है।
अतः,$m - n = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$.

(D) दिया गया योग $\sum_{k=0}^{40} i^k = x + iy$ है।
चूंकि $i$ की चार लगातार घातों का योग शून्य होता है,अर्थात $i^n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3} = 0$।
यहाँ $k=0$ से $k=40$ तक कुल $41$ पद हैं।
$\sum_{k=0}^{40} i^k = i^0 + (i^1 + i^2 + i^3 + i^4) + \dots + (i^{37} + i^{38} + i^{39} + i^{40}) = 1 + 0 + \dots + 0 = 1$।
अतः,$x + iy = 1 + 0i$,जिससे $x = 1$ और $y = 0$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$x^{100} + x^{99}y + x^{242}y^2 + x^{97}y^3 = (1)^{100} + (1)^{99}(0) + (1)^{242}(0)^2 + (1)^{97}(0)^3 = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$।

(C) दिया गया व्यंजक: $i^{18}-3i^7+i^2(1+i^4)(i)^{22}$
हम जानते हैं कि $i^2 = -1$,$i^3 = -i$,$i^4 = 1$.
$i^{18} = (i^4)^4 \times i^2 = (1)^4 \times (-1) = -1$
$i^7 = (i^4) \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$
$i^{22} = (i^4)^5 \times i^2 = (1)^5 \times (-1) = -1$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-1 - 3(-i) + (-1)(1+1)(-1)$
$= -1 + 3i + (-1)(2)(-1)$
$= -1 + 3i + 2$
$= 1 + 3i$

(B) दिया गया है $(x+iy) = \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3 - \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3$.
सबसे पहले,आधार भिन्नों को सरल करने पर:
$\frac{1+i}{1-i} = i$ और $\frac{1-i}{1+i} = -i$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$x+iy = (i)^3 - (-i)^3 = -i - (i) = -2i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = 0$ और $y = -2$.
चूंकि $0 > -2$,इसलिए $x > y$ है।

(A) दिया गया है कि,$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^m=1$.
सबसे पहले,आधार का सरलीकरण करने पर:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1+i^2+2i}{1-(-1)} = \frac{1-1+2i}{2} = \frac{2i}{2} = i$.
अतः,समीकरण $i^m = 1$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $i^n = 1$ तभी होता है जब $n$,$4$ का गुणज हो।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$1934 \div 4 = 483.5$ ($4$ का गुणज नहीं है)।
$2024 \div 4 = 506$ ($4$ का गुणज है)।
$2172 \div 4 = 543$ ($4$ का गुणज है)।
$10^{100} = (2 \times 5)^{100} = 2^{100} \times 5^{100}$,जो $4$ से विभाज्य है क्योंकि $2^{100}$,$4$ से विभाज्य है।
अतः,$m$,$1934$ के बराबर नहीं हो सकता है।

(B) दिया गया समीकरण $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n=1$ है।
सबसे पहले,$\frac{1+i}{1-i}$ को सरल करने पर:
$\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i^2+2i}{1-i^2} = \frac{1-1+2i}{1-(-1)} = \frac{2i}{2} = i$.
अतः,समीकरण $i^n = 1$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $i^n = 1$ तभी होता है जब $n$,$4$ का गुणज हो।
हमें $1 \leq n \leq 2021$ के बीच $4$ के गुणजों की संख्या ज्ञात करनी है।
गुणज $4, 8, 12, \ldots, 2020$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 4$,$d = 4$,और $l = 2020$ है।
सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$2020 = 4 + (n-1)4$ $\Rightarrow 2016 = (n-1)4$ $\Rightarrow n-1 = 504$ $\Rightarrow n = 505$.
अतः,ऐसी $505$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

(B) हम जानते हैं कि $i$ की चार क्रमागत घातों का योग $i^k + i^{k+1} + i^{k+2} + i^{k+3} = i^k(1 + i - 1 - i) = 0$ होता है।
प्रथम योग के लिए: $\sum_{n=2}^{30} i^n = i^2 + i^3 + \dots + i^{30}$। पदों की संख्या $30 - 2 + 1 = 29$ है।
चूंकि $29 = 4 \times 7 + 1$,योग $i^2 + (i^3 + i^4 + i^5 + i^6) + \dots + (i^{27} + i^{28} + i^{29} + i^{30}) = -1 + 0 = -1$ होगा।
दूसरे योग के लिए: $\sum_{n=30}^{65} i^{n+3} = i^{33} + i^{34} + \dots + i^{68}$। पदों की संख्या $68 - 33 + 1 = 36$ है।
चूंकि $36$,$4$ का गुणज है,इसलिए $i$ की इन $36$ क्रमागत घातों का योग $0$ है।
अतः,कुल योग $-1 + 0 = -1$ है।

(D) माना $Z = \frac{(1-i)^3}{(2-i)(3-2i)}$.
अंश का विस्तार करने पर: $(1-i)^3 = -2 - 2i$.
हर का विस्तार करने पर: $(2-i)(3-2i) = 4 - 7i$.
अतः,$Z = \frac{-2 - 2i}{4 - 7i}$.
हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करने पर: $Z = \frac{-2 - 2i}{4 - 7i} \times \frac{4 + 7i}{4 + 7i} = \frac{6 - 22i}{65}$.
इस प्रकार,$Z = \frac{6}{65} - \frac{22}{65}i$.
काल्पनिक भाग $-\frac{22}{65}$ है।

(A) दिया गया है $z = (1-i)^3(x+i)$.
सबसे पहले,$(1-i)^3$ का विस्तार करें:
$(1-i)^3 = 1^3 - 3(1)^2(i) + 3(1)(i)^2 - i^3 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i$.
अब,इसे $z$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$z = (-2 - 2i)(x + i) = -2x - 2i - 2ix - 2i^2 = -2x - 2i - 2ix + 2 = (2 - 2x) - i(2 + 2x)$.
$z$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$2 - 2x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$.
$z$ के शुद्ध वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$-(2 + 2x_2) = 0 \Rightarrow x_2 = -1$.
अतः,$x_1 x_2 = 1 \times (-1) = -1$.

(A) दिया गया है: $\frac{x-1}{3+i} + \frac{y-1}{3-i} = i$
हर $(3+i)(3-i) = 10$ से गुणा करने पर:
$(x-1)(3-i) + (y-1)(3+i) = 10i$
$3x - ix - 3 + i + 3y + iy - 3 - i = 10i$
$(3x + 3y - 6) + i(y - x) = 10i$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$3x + 3y - 6 = 0 \Rightarrow x + y = 2$
$y - x = 10$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2y = 12 \Rightarrow y = 6$
$x + y = 2$ में $y = 6$ रखने पर: $x + 6 = 2 \Rightarrow x = -4$
अतः,$x = -4$ और $y = 6$।

(A) दिया गया है: $\frac{(1+i)x-2i}{3+i} + \frac{(2-3i)y}{3-i} = i$
$(3+i)(3-i) = 10$ से गुणा करने पर:
$((1+i)x-2i)(3-i) + (2-3i)y(3+i) = 10i$
$(4x - 2 + 9y) + i(2x - 6 - 7y) = 10i$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$4x + 9y = 2$
$2x - 7y = 16$
समीकरणों को हल करने पर:
$y = -30/23$ और $x = 79/23$
अतः,$x+y = 79/23 - 30/23 = 49/23$.

(A) हम जानते हैं कि $i^2 = -1$,$i^4 = 1$ होता है।
सबसे पहले,$i^{22}$ की गणना करें: $i^{22} = (i^4)^5 \times i^2 = 1^5 \times (-1) = -1$।
अगला,$(\frac{1}{i})^{35}$ की गणना करें: $\frac{1}{i} = -i$।
अतः,$(-i)^{35} = -(i^{35}) = -(i^{32} \times i^3) = -(1 \times -i) = i$।
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $\{i^{22} - (\frac{1}{i})^{35}\}^2 = \{-1 - i\}^2$।
वर्ग का विस्तार करें: $(-1 - i)^2 = (-1)^2 + (-i)^2 + 2(-1)(-i) = 1 + i^2 + 2i$।
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए हमें $1 - 1 + 2i = 2i$ प्राप्त होता है।

(D) दिया है,$a+bi = \frac{i}{1-i}$
हर के संयुग्मी $(1+i)$ से अंश और हर को गुणा करने पर:
$a+bi = \frac{i(1+i)}{(1-i)(1+i)}$
$a+bi = \frac{i+i^2}{1^2-i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$:
$a+bi = \frac{i-1}{1-(-1)} = \frac{-1+i}{2}$
$a+bi = \frac{-1}{2} + \frac{1}{2}i$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $a = \frac{-1}{2}$ और $b = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है
अतः,$(a, b) = (\frac{-1}{2}, \frac{1}{2})$

(B) सम्मिश्र संख्या को सरल बनाने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $1+i$ से गुणा करते हैं:
$\frac{1+2i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i+2i+2i^2}{1^2-i^2}$
चूँकि $i^2 = -1$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1+3i-2}{1-(-1)} = \frac{-1+3i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$
वास्तविक भाग $-\frac{1}{2}$ (ऋणात्मक) है और काल्पनिक भाग $\frac{3}{2}$ (धनात्मक) है।
ऋणात्मक वास्तविक भाग और धनात्मक काल्पनिक भाग वाली सम्मिश्र संख्या द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होती है।

(D) दिया गया है $(x+iy)^{\frac{1}{3}} = 5+3i$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $x+iy = (5+3i)^3$.
सर्वसमिका $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ का उपयोग करने पर:
$x+iy = 5^3 + 3(5^2)(3i) + 3(5)(3i)^2 + (3i)^3$.
$x+iy = 125 + 225i + 135(-1) + 27(-i)$.
$x+iy = -10 + 198i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$x = -10$ और $y = 198$.
अब,$3x+5y = 3(-10) + 5(198) = -30 + 990 = 960$.

(B) प्रत्येक पद को अलग-अलग सरल करें:
$1$. $\frac{5+2i}{2-5i} = \frac{(5+2i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)} = \frac{10 + 25i + 4i + 10i^2}{4 + 25} = \frac{10 + 29i - 10}{29} = \frac{29i}{29} = i$
$2$. $\frac{3-4i}{4+3i} = \frac{(3-4i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{12 - 9i - 16i + 12i^2}{16 + 9} = \frac{12 - 25i - 12}{25} = \frac{-25i}{25} = -i$
$3$. $\frac{1}{i} = \frac{1 \times i}{i \times i} = \frac{i}{-1} = -i$
$z$ के व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$z = (i) - (-i) - (-i) = i + i + i = 3i$
सम्मिश्र संख्या $z = 0 + 3i$ है।
अतः,$z$ का वास्तविक भाग $0$ है।

(C) सबसे पहले,$\frac{1+i}{1-i}$ पद को अंश और हर में $(1+i)$ से गुणा करके सरल करें:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i^2+2i}{1-i^2} = \frac{1-1+2i}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$
इसी प्रकार,दूसरे पद के लिए:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1+i^2-2i}{1-i^2} = \frac{1-1-2i}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$
अब,इन मानों को मूल व्यंजक में रखें:
$(i)^4 + (-i)^4 = i^4 + i^4 = 1 + 1 = 2$

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{(1+i) x-i}{2+i}+\frac{(1+2 i) y+i}{2-i}=1$
पहले पद को $\frac{2-i}{2-i}$ से और दूसरे पद को $\frac{2+i}{2+i}$ से गुणा करने पर:
$\frac{[(1+i)x-i](2-i)}{5} + \frac{[(1+2i)y+i](2+i)}{5} = 1$
अंश का विस्तार करने पर:
$\frac{(2-i+2i-i^2)x - 2i + i^2}{5} + \frac{(2+i+4i+2i^2)y + 2i + i^2}{5} = 1$
चूँकि $i^2 = -1$:
$\frac{(3+i)x - 2i - 1}{5} + \frac{(5i)y + 2i - 1}{5} = 1$
$(3+i)x + (5i)y - 2 = 5$
$(3x-7) + i(x+5y) = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$3x-7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$
$x+5y = 0 \Rightarrow y = -\frac{x}{5} = -\frac{7}{15}$
अतः,$(x, y) = \left(\frac{7}{3}, -\frac{7}{15}\right)$.

(B) दिया गया है कि $-3+ix^2y$ और $x^2+y+4i$ सम्मिश्र संयुग्मी हैं।
अतः,$-3-ix^2y = x^2+y+4i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x^2+y = -3$ $(i)$
$-x^2y = 4$ $(ii)$
$(ii)$ से,$y = -\frac{4}{x^2}$.
$y$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$x^2 - \frac{4}{x^2} = -3$
माना $x^2 = t$,तो $t - \frac{4}{t} = -3 \implies t^2 + 3t - 4 = 0$.
$(t+4)(t-1) = 0$.
चूंकि $t = x^2$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = 1$.
$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

(B) दिया है,$u+iv = \frac{3i}{(x+2)+iy}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{1}{u+iv} = \frac{(x+2)+iy}{3i}$.
बाईं ओर के अंश और हर को संयुग्मी $(u-iv)$ से गुणा करने पर:
$\frac{u-iv}{u^2+v^2} = \frac{(x+2)+iy}{3i}$.
दोनों पक्षों को $3i$ से गुणा करने पर:
$(x+2)+iy = \frac{3i(u-iv)}{u^2+v^2} = \frac{3ui - 3vi^2}{u^2+v^2} = \frac{3v + 3ui}{u^2+v^2}$.
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$y = \frac{3u}{u^2+v^2}$.

(B) हम जानते हैं कि $(1+i)^2 = 2i$ और $(1-i)^2 = -2i$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1+i)^{2024} + (1-i)^{2024} = [(1+i)^2]^{1012} + [(1-i)^2]^{1012}$
$= (2i)^{1012} + (-2i)^{1012}$
$= 2^{1012} \cdot i^{1012} + (-2)^{1012} \cdot i^{1012}$
चूंकि $1012$ एक सम संख्या है,इसलिए $(-2)^{1012} = 2^{1012}$ और $i^{1012} = (i^4)^{253} = 1$ होता है।
$= 2^{1012} \cdot 1 + 2^{1012} \cdot 1$
$= 2 \cdot 2^{1012} = 2^{1013}$.

(D) माना $z = \frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$ है।
$z$ को वास्तविक होने के लिए,इसका काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+2 i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(3+2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}{(1-2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6 i \sin \theta + 2 i \sin \theta + 4 i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
चूंकि $i^2 = -1$:
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + i(8 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ के वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$8 \sin \theta = 0$
$\sin \theta = 0$
अतः,$\theta = n \pi, n \in \mathbb{Z}$।

(D) सबसे पहले,आधार व्यंजकों को सरल करें:
$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1-2i-1}{1+1} = \frac{-2i}{2} = -i$
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$
अब इन मानों को व्यंजक में रखें:
$(-i)^{2022} + (i)^{2021}$
$= (i)^{2022} + (i)^{2021}$
$= (i^{4})^{505} \cdot i^2 + (i^{4})^{505} \cdot i^1$
$= (1)^{505} \cdot (-1) + (1)^{505} \cdot i$
$= -1 + i$

(C) दी गई श्रेणी $S = 1+i^2+i^4+i^6+\ldots+i^{2024}$ है।
हम जानते हैं कि $i^2 = -1$,$i^4 = 1$,$i^6 = -1$ आदि।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a=1$,सार्व अनुपात $r=i^2=-1$ और पदों की संख्या $n = \frac{2024-0}{2} + 1 = 1013$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ होता है।
मान रखने पर: $S = \frac{1((-1)^{1013} - 1)}{-1 - 1} = \frac{-1 - 1}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$.

(B) दिया गया है,$\frac{(1+i)^n}{(1-i)^n} = -i$
$\Rightarrow \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n = -i$
कोष्ठक के अंदर के पद का परिमेयकरण करने पर:
$\Rightarrow \left[\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right]^n = -i$
$\Rightarrow \left[\frac{1+i^2+2i}{1-i^2}\right]^n = -i$
चूंकि $i^2 = -1$:
$\Rightarrow \left[\frac{1-1+2i}{1+1}\right]^n = -i$
$\Rightarrow \left(\frac{2i}{2}\right)^n = -i$
$\Rightarrow i^n = -i$
हम जानते हैं कि $i^1 = i$,$i^2 = -1$,$i^3 = -i$,और $i^4 = 1$ होता है।
$i^n = -i$ का मान तब प्राप्त होता है जब $n$ का रूप $4k-1$ हो,जहाँ $k \in N$ है।

(D) हम जानते हैं कि $i$ की चार क्रमागत घातों का योग शून्य होता है,अर्थात किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0$।
दी गई श्रेणी $S = i^2+i^3+i^4+\ldots+i^{4000}$ है।
इस श्रेणी में $3999$ पद हैं।
इन पदों को चार के समूहों में विभाजित करने पर,$3999 = 4 \times 999 + 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $999$ समूहों का योग $0$ होगा और $3$ पद शेष रहेंगे।
योग $\sum_{k=2}^{4000} i^k = \frac{i^2(1-i^{3999})}{1-i} = \frac{-1(1-(-i))}{1-i} = \frac{-(1+i)}{1-i} = -i$ होता है।

(D) हम जानते हैं कि $(1+i)^2 = 2i$ और $(1-i)^2 = -2i$ होता है।
दिया गया व्यंजक: $E = \frac{(1+i)^{2011}}{(1-i)^{2009}} = \frac{(1+i)^{2009} \cdot (1+i)^2}{(1-i)^{2009}}$.
$E = \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2009} \cdot (1+i)^2$.
$\frac{1+i}{1-i}$ को सरल करने पर: $\frac{1+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{2i}{2} = i$.
मान रखने पर: $E = (i)^{2009} \cdot (2i) = 2 \cdot i^{2010}$.
चूंकि $i^4 = 1$,इसलिए $i^{2010} = (i^4)^{502} \cdot i^2 = 1^{502} \cdot (-1) = -1$.
अतः,$E = 2 \cdot (-1) = -2$.

(B) दिया गया व्यंजक $\frac{2+3 i}{i-2}-\frac{4 i-3}{3+4 i}=x+i y$ है।
प्रथम पद का सरलीकरण: $\frac{2+3 i}{-2+i} \times \frac{-2-i}{-2-i} = \frac{-4-2i-6i-3i^2}{4+1} = \frac{-4-8i+3}{5} = \frac{-1-8i}{5} = -0.2 - 1.6i$.
द्वितीय पद का सरलीकरण: $\frac{-3+4i}{3+4i} \times \frac{3-4i}{3-4i} = \frac{-9+12i+12i-16i^2}{9+16} = \frac{-9+24i+16}{25} = \frac{7+24i}{25} = 0.28 + 0.96i$.
दोनों को घटाने पर: $(-0.2 - 1.6i) - (0.28 + 0.96i) = -0.48 - 2.56i$.
अतः,$x = -0.48$ और $y = -2.56$.
$3x+y = 3(-0.48) + (-2.56) = -1.44 - 2.56 = -4$.

(C) सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$.
अब,इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$i^{228} = (i^4)^{57} = 1^{57} = 1$.
अब,विकल्पों की जाँच करें कि कौन सा विकल्प $1$ के बराबर है:
विकल्प $C$ के लिए: $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{228} = \left(\frac{1}{i}\right)^{228} = \frac{1}{i^{228}} = \frac{1}{1} = 1$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $(a+ib)^{\frac{1}{4}}=2+3i$।
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$(a+ib)=(2+3i)^4$।
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$(a+ib)=[(2+3i)^2]^2 = [4+9i^2+12i]^2$।
चूँकि $i^2=-1$,हमें प्राप्त होता है:
$(a+ib)=[4-9+12i]^2 = [-5+12i]^2$।
आगे विस्तार करने पर:
$a+ib = (-5)^2 + (12i)^2 + 2(-5)(12i) = 25 - 144 - 120i = -119 - 120i$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$a=-119$ और $b=-120$ प्राप्त होता है।
अब,$3b-2a$ की गणना करने पर:
$3b-2a = 3(-120) - 2(-119) = -360 + 238 = -122$।

(B) दिया गया है,$\sqrt{x^2 - 2x + 8} + (x + 4)i = y(2 + i)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$\sqrt{x^2 - 2x + 8} = 2y$ $(1)$
$x + 4 = y$ $(2)$
समीकरण $(2)$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$\sqrt{x^2 - 2x + 8} = 2(x + 4)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 - 2x + 8 = 4(x^2 + 8x + 16)$
$3x^2 + 34x + 56 = 0$
$(3x + 28)(x + 2) = 0$
अतः,$x = -2$ या $x = -\frac{28}{3}$.
यदि $x = -2$,तो $y = 2$. अतः,$Z = -2 + 2i$.
यदि $x = -\frac{28}{3}$,तो $y = -\frac{16}{3}$. अतः,$Z = -\frac{28}{3} - \frac{16}{3}i$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$Z = -2 + 2i$ सही विकल्प है।

(C) दिया गया है,$(1+i)^n=(1-i)^n$
$\Rightarrow \frac{(1+i)^n}{(1-i)^n}=1$
$\Rightarrow \left[\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right]^n=1$
$\Rightarrow \left[\frac{1+i^2+2i}{1-i^2}\right]^n=1$
$\Rightarrow \left[\frac{1-1+2i}{1+1}\right]^n=1$
$\Rightarrow \left(\frac{2i}{2}\right)^n=1$
$\Rightarrow i^n=1$
चूँकि $i^n=1$ के लिए सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$,$4$ है,इसलिए $n=4$।

(A) माना $z = \frac{3+2i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$। हर के संयुग्मी $(1+2i \sin \theta)$ से अंश और हर में गुणा करने पर:
$z = \frac{(3+2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6i \sin \theta + 2i \sin \theta + 4i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमें प्राप्त होता है:
$z = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} + i \left( \frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} \right)$
$z$ के वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
इसका अर्थ है $\sin \theta = 0$।
चूंकि $0 < \theta < 2\pi$,इसलिए $\theta = \pi$।

(D) दिया गया है $(2x - y + 1) + i(x - 2y - 1) = 2 - 3i$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$2x - y + 1 = 2 \implies 2x - y = 1$ (समीकरण $1$)
$x - 2y - 1 = -3 \implies x - 2y = -2$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर,$2x - 4y = -4$ (समीकरण $3$) प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ से समीकरण $3$ को घटाने पर:
$3y = 5 \implies y = \frac{5}{3}$।
$y = \frac{5}{3}$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$2x = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3} \implies x = \frac{4}{3}$।
हमें $(x - iy) = (\frac{4}{3} - i\frac{5}{3})$ का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात करना है।
प्रतिलोम $\frac{1}{\frac{4}{3} - i\frac{5}{3}} = \frac{3}{4 - 5i}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{3(4 + 5i)}{16 + 25} = \frac{12 + 15i}{41} = \frac{12}{41} + \frac{15}{41}i$।

(C) हमारे पास $(1+i)^2 = 1+i^2+2i = 1-1+2i = 2i$ है।
इसी प्रकार,$(1-i)^2 = 1+i^2-2i = 1-1-2i = -2i$ है।
अब,$(1+i)^{10} = ((1+i)^2)^5 = (2i)^5 = 2^5 \times i^5 = 32i$ है।
और $(1-i)^{10} = ((1-i)^2)^5 = (-2i)^5 = (-2)^5 \times i^5 = -32i$ है।
अतः,$(1+i)^{10} + (1-i)^{10} = 32i + (-32i) = 0$ है।

(C) दिया गया सारणिक: $\left|\begin{array}{cc}1-i & i \\ 1+2 i & -i\end{array}\right|=x+i y$
सारणिक का विस्तार करने पर: $(1-i)(-i) - (i)(1+2i) = x+iy$
$-i + i^2 - (i + 2i^2) = x+iy$
चूँकि $i^2 = -1$,मान प्रतिस्थापित करने पर: $-i - 1 - (i - 2) = x+iy$
$-i - 1 - i + 2 = x+iy$
$1 - 2i = x+iy$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x = 1$ और $y = -2$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास $\sum_{n=1}^{13}(i^{n}+i^{n+1}) = \sum_{n=1}^{13} i^{n} + \sum_{n=1}^{13} i^{n+1}$ है।
चूंकि $i^{n}$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=i$ और सार्व अनुपात $r=i$ है,तो $13$ पदों का योग $S_{13} = i \frac{1-i^{13}}{1-i}$ है।
ध्यान दें कि $i^{13} = (i^{4})^{3} \times i = 1^{3} \times i = i$.
अतः,$\sum_{n=1}^{13} i^{n} = i \frac{1-i}{1-i} = i$.
इसी प्रकार,$\sum_{n=1}^{13} i^{n+1} = i^{2} \frac{1-i^{13}}{1-i} = -1 \frac{1-i}{1-i} = -1$.
इसलिए,कुल योग $i + (-1) = i-1$ है।