मान लीजिए E_1 और E_2 दो दीर्घवृत्त हैं जिनके | vedclass

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Question

(A) रेखा $x+y=3$ के लिए,$E_1: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ का स्पर्श बिंदु $(\frac{a^2}{3}, \frac{b^2}{3})$ है और $E_2: \frac{x^2}{B^2}+\frac{y^

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$(A, B)$

Vedclass · Answer

(A) रेखा $x+y=3$ के लिए,$E_1: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ का स्पर्श बिंदु $(\frac{a^2}{3}, \frac{b^2}{3})$ है और $E_2: \frac{x^2}{B^2}+\frac{y^2}{A^2}=1$ का स्पर्श बिंदु $(\frac{B^2}{3}, \frac{A^2}{3})$ है।वृत्त $x^2+(y-1)^2=2$ का स्पर्श बिंदु $(1, 2)$ है।रेखा $x+y=3$ पर $(1, 2)$ से $r$ दूरी पर सामान्य बिंदु $(1 \mp \frac{r}{\sqrt{2}}, 2 \pm \frac{r}{\sqrt{2}})$ है। $r=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ रखने पर,बिंदु $Q$ और $R$ $(\frac{1}{3}, \frac{8}{3})$ और $(\frac{5}{3}, \frac{4}{3})$ प्राप्त होते हैं।इन बिंदुओं की तुलना करने पर,$E_1$ के लिए $a^2=5, b^2=4$ और $E_2$ के लिए $B^2=1, A^2=8$ प्राप्त होते हैं।$E_1$ के लिए,$e_1^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$। $E_2$ के लिए,$e_2^2 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$।अतः $e_1^2+e_2^2 = \frac{1}{5} + \frac{7}{8} = \frac{43}{40}$ और $e_1 e_2 = \frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$।इस प्रकार,विकल्प $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

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