Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(C) $\text{हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज में कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: } r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A} \text{ है।}$
$\text{चूंकि } 1 \mathring{A}= 100 \ pm, \text{ इसलिए } pm \text{ में सूत्र } r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \ pm \text{ होगा।}$
$He^{+}$ आयन $(Z = 2)$ के लिए, चौथी कक्षा $(n = 4)$ की त्रिज्या:
$R_1 = 52.9 \times \frac{4^2}{2} = 52.9 \times 8 = 423.2 \ pm$.
$Li^{2+}$ आयन $(Z = 3)$ के लिए, तीसरी कक्षा $(n = 3)$ की त्रिज्या:
$R_2 = 52.9 \times \frac{3^2}{3} = 52.9 \times 3 = 158.7 \ pm$.
$\text{अतः} (R_1 - R_2) = 423.2 - 158.7 = 264.5 \ pm$.

(A) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए,दूसरी कक्षा $(n=2)$ की ऊर्जा $E_2 = -13.6 \times \frac{1^2}{2^2} = -3.4 \ eV$ है।
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z=2$ है।
हमें चौथी कक्षा $(n=4)$ की ऊर्जा ज्ञात करनी है।
सूत्र में इन मानों को रखने पर: $E_4 = -13.6 \times \frac{2^2}{4^2} \ eV$.
$E_4 = -13.6 \times \frac{4}{16} \ eV$.
$E_4 = -13.6 \times \frac{1}{4} \ eV$.
$E_4 = -3.4 \ eV$.

(B) कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया कोणीय संवेग $= \frac{3h}{\pi} = \frac{6h}{2\pi}$,इसलिए $n = 6$.
कक्षा की त्रिज्या के लिए,$r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$,जहाँ $a_0 = 0.529 \ \mathring{A}$.
$r_6 = 0.529 \ \mathring{A} \times \frac{6^2}{3} = 0.529 \times 12 = 6.348 \ \mathring{A}$.
स्थिर अवस्था की ऊर्जा के लिए,$E_n = -2.18 \times 10^{-18} \ J \times \frac{Z^2}{n^2}$.
$E_6 = -2.18 \times 10^{-18} \ J \times \frac{3^2}{6^2} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{9}{36} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1}{4} = -5.45 \times 10^{-19} \ J$.

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$।
$Li^{2+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
तीसरी कक्षा के लिए,$n = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^2}{3^2} \ J$।
$E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{9}{9} \ J$।
$E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \ J$।

(C) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या $r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \ pm$ द्वारा दी जाती है।
$He^{+}$ के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
चौथी कक्षा की त्रिज्या $(n=4)$: $r_4 = 52.9 \times \frac{4^2}{2} = 52.9 \times 8 = 423.2 \ pm$.
तीसरी कक्षा की त्रिज्या $(n=3)$: $r_3 = 52.9 \times \frac{3^2}{2} = 52.9 \times 4.5 = 238.05 \ pm$.
त्रिज्याओं में अंतर: $\Delta r = r_4 - r_3 = 423.2 - 238.05 = 185.15 \ pm$.
मीटर में परिवर्तन: $185.15 \times 10^{-12} \ m = 1.8515 \times 10^{-10} \ m$.

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की मूल अवस्था ऊर्जा का सूत्र $E = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
चूंकि सभी परमाणु मूल अवस्था में हैं,इसलिए $n = 1$ है।
अतः,ऊर्जा परमाणु क्रमांक के वर्ग के समानुपाती है,$E \propto Z^2$।
$Li^{2+}$ के लिए $Z = 3$,$He^{+}$ के लिए $Z = 2$,और $H$ के लिए $Z = 1$ है।
इस प्रकार,उनकी मूल अवस्था ऊर्जा का अनुपात $E_{Li^{2+}} : E_{He^{+}} : E_{H} = (3)^2 : (2)^2 : (1)^2 = 9 : 4 : 1$ है।

(C) $H$-परमाणु के लिए ऊर्जा का सूत्र $E_n = \frac{-13.6 \ Z^2}{n^2} \ eV$ है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए: $E_1 = -13.6 \ eV$.
तीसरी अवस्था $(n=3)$ के लिए: $E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = -1.51 \ eV$.
आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.

(C) हाइड्रोजन और हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n \propto \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $n$ कक्षा की संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
हाइड्रोजन परमाणु $(H)$ के लिए,$Z = 1$ है। दूसरी कक्षा $(n = 2)$ की त्रिज्या $r_2 = \frac{2^2}{1} = 4$ है।
हीलियम आयन $(He^{+})$ के लिए,$Z = 2$ है। चौथी कक्षा $(n = 4)$ की त्रिज्या $r_4 = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ है।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_2}{r_4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है,जो $1: 2$ के बराबर है।

(C) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज के लिए $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$Li^{2+}$ के लिए,$n = 1$ और $Z = 3$,इसलिए $r_{Li^{2+}} = 0.529 \times \frac{1^2}{3} = X \mathring{A}$।
इसका अर्थ है कि $0.529 = 3X$।
$He^{+}$ के लिए,$n = 3$ और $Z = 2$,इसलिए $r_{He^{+}} = 0.529 \times \frac{3^2}{2} = 0.529 \times \frac{9}{2} \mathring{A}$।
$r_{He^{+}}$ के व्यंजक में $0.529 = 3X$ प्रतिस्थापित करने पर:
$r_{He^{+}} = (3X) \times \frac{9}{2} = \frac{27}{2} X = 13.5X \mathring{A}$।

(D) बोर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ है।
$1^{st}$ कक्षा $(n=1)$ के लिए,$r_1 = a_0 \frac{1^2}{Z} = \frac{a_0}{Z}$।
$3^{rd}$ कक्षा $(n=3)$ के लिए,$r_3 = a_0 \frac{3^2}{Z} = 9 \times \frac{a_0}{Z}$।
अतः,$r_3 = 9 \times r_1$।
इसलिए,$3^{rd}$ कक्षा की त्रिज्या $1^{st}$ कक्षा की त्रिज्या की $9$ गुनी होती है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में कक्षक की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है,$E_n$ का मान कम ऋणात्मक होता जाता है,जिसका अर्थ है कि कक्षक की कुल ऊर्जा बढ़ती है।
इसलिए,अभिकथन गलत है।
कारण बताता है कि ऋणावेशित इलेक्ट्रॉन को धनावेशित नाभिक से दूर ले जाने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता होती है,जो सही है क्योंकि स्थिर वैद्युत आकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।
अतः,अभिकथन गलत है,लेकिन कारण सही है।
सही विकल्प $(D)$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$Li^{+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ और दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
$E = -13.6 \times \frac{3^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{9}{4} = -30.6 \ eV$.
जूल में परिवर्तन: $E = -30.6 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J \approx -4.905 \times 10^{-18} \ J$.
ऊर्जा का परिमाण $4.905 \times 10^{-18} \ J$ है।
$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
$r_2 = 0.529 \times \frac{2^2}{3} = 0.529 \times \frac{4}{3} = 0.7053 \ \mathring{A}$.
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 0.1 \ nm$,इसलिए $r_2 = 0.07053 \ nm \approx 0.0705 \ nm$.
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) हाइड्रोजन-जैसे आयन में कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0 = 52.9 \ pm$ बोहर त्रिज्या है।
दिया गया है $r_n = 52.9 \ pm$, इसलिए $52.9 = 52.9 \times \frac{n^2}{Z}$, जिसका अर्थ है $\frac{n^2}{Z} = 1$ या $n^2 = Z$ है।
हाइड्रोजन-जैसे आयन में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = E_1 \times \frac{Z^2}{n^2}$ है, जहाँ $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \ J$ है।
ऊर्जा समीकरण में $Z = n^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $E_n = E_1 \times \frac{(n^2)^2}{n^2} = E_1 \times n^2$ प्राप्त होता है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n = 2)$ के लिए, $E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times 2^2 = -2.18 \times 10^{-18} \times 4 = -8.72 \times 10^{-18} \ J$ है।
अतः, सही विकल्प $(C)$ है।

(C) दिया गया है कि हाइड्रोजन परमाणु में बोहर की कक्षा से जुड़ी ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
बोहर की कक्षा की त्रिज्या $r_n = r_1 n^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r_1$ पहली कक्षा की त्रिज्या है।
यहाँ $r_n = 9 r_1$ दिया गया है,इसलिए $r_1 n^2 = 9 r_1$,जिसका अर्थ है $n^2 = 9$,यानी $n = 3$।
ऊर्जा व्यंजक में $n = 3$ रखने पर:
$E_3 = -\frac{13.6}{3^2} \ eV = -\frac{13.6}{9} \ eV = -1.51 \ eV$।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए $n$वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र:
$E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J/\text{ion}$
$He^{+}$ आयन के लिए:
परमाणु क्रमांक $Z = 2$,कक्षा संख्या $n = 1$.
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{2^2}{1^2} = -8.72 \times 10^{-18} \ J$.
$Li^{2+}$ आयन के लिए:
परमाणु क्रमांक $Z = 3$,कक्षा संख्या $n = 3$.
$E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^2}{3^2} = -2.18 \times 10^{-18} \ J$.
अतः,ऊर्जा क्रमशः $-8.72 \times 10^{-18} \ J$ और $-2.18 \times 10^{-18} \ J$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए, $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 \times a_0$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0 = 52.9 \ pm$ है।
दिया गया है $r_n = 476.1 \ pm$, इसलिए $n^2 = 476.1 / 52.9 = 9$, जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = E_1 / n^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर, $E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \ J / 3^2 = -2.18 \times 10^{-18} / 9 \ J$ है।
$E_3 = -0.2422 \times 10^{-18} \ J = -2.422 \times 10^{-19} \ J$।

(A) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{\lambda}$।
बोर मॉडल के अनुसार,कक्षा की ऊर्जा $E_n \propto Z^2$ होती है। समान संक्रमण के लिए,ऊर्जा का अंतर $\Delta E \propto Z^2$ होता है।
इसलिए,$\frac{1}{\lambda} \propto Z^2$,या $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$।
हाइड्रोजन $(H)$ के लिए,$Z = 1$ और $\lambda_H = 912 \mathring{A}$।
लिथियम आयन $(Li^{2+})$ के लिए,$Z = 3$।
संबंध $\frac{\lambda_{Li}}{\lambda_H} = \frac{Z_H^2}{Z_{Li}^2}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_{Li} = \lambda_H \times \frac{1^2}{3^2} = \frac{912}{9} \mathring{A} = 101.3 \mathring{A}$।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
समान उत्तेजित अवस्था के लिए,$n$ स्थिर है,इसलिए $E \propto Z^2$।
ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_H}{E_{Li^{2+}}} = \frac{1}{9}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{Z_H^2}{Z_{Li^{2+}}^2} = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$,जो दिए गए डेटा के अनुरूप है।
हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
समान उत्तेजित अवस्था के लिए,$n$ स्थिर है,इसलिए $r \propto \frac{1}{Z}$।
अतः,त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_H}{r_{Li^{2+}}} = \frac{Z_{Li^{2+}}}{Z_H} = \frac{3}{1} = 3: 1$ है।

(C) हाइड्रोजन-समान प्रजातियों की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ है।
पहली कक्षा के लिए $n = 1$ है,इसलिए $r_1 \propto \frac{1}{Z}$।
$He^{+}$ $(Z = 2)$ के लिए,$r_{He^+} \propto \frac{1}{2}$।
$Li^{2+}$ $(Z = 3)$ के लिए,$r_{Li^{2+}} \propto \frac{1}{3}$।
$Be^{3+}$ $(Z = 4)$ के लिए,$r_{Be^{3+}} \propto \frac{1}{4}$।
अनुपात $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ है।
इसे सरल बनाने के लिए,$2, 3, 4$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ से गुणा करने पर:
अनुपात $= (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{1}{3} \times 12) : (\frac{1}{4} \times 12) = 6 : 4 : 3$।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए ऊर्जा का सूत्र $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \times Z^2 \text{ eV}$।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ के लिए,$E_2 = -13.6 \times \frac{Z^2}{4} \text{ eV}$।
$He^{+}(E_1)$ के लिए $(Z=2, n=1)$,$E = -13.6 \times 4 = -54.4 \text{ eV}$।
$Be^{3+}(E_2)$ के लिए $(Z=4, n=2)$,$E = -13.6 \times \frac{16}{4} = -54.4 \text{ eV}$।
अतः,$He^{+}(E_1)$ और $Be^{3+}(E_2)$ की ऊर्जा समान है।

(D) $\text{He}^{+}$ आयन के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 2$ और कक्षा संख्या $n = 2$ है।
$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{2^2}{2^2} = -2.18 \times 10^{-18} \ J$.
$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \ pm$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $r_2 = 52.9 \times \frac{2^2}{2} = 52.9 \times 2 = 105.8 \ pm$.
अतः, ऊर्जा $-2.18 \times 10^{-18} \ J$ और त्रिज्या $105.8 \ pm$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ सूत्र द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0 = 52.9 \ pm = 0.0529 \ nm$ और $He^{+}$ के लिए $Z = 2$ है।
दिया गया है $r_n = 0.4232 \ nm$, इसलिए $0.4232 = 0.0529 \times \frac{n^2}{2}$।
$n^2 = \frac{0.4232 \times 2}{0.0529} = 8 \times 2 = 16$, अतः $n = 4$।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$ है।
$Z = 2$ और $n = 4$ रखने पर, $E_4 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{2^2}{4^2} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{4}{16} = -2.18 \times 10^{-18} \times 0.25 = -5.45 \times 10^{-19} \ J$।

(B) तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र $\bar{\nu} = R_H Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
$H$ $(Z=1, n_1=2, n_2=3)$ की बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए: $\bar{\nu}_1 = R_H (1)^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R_H (\frac{5}{36})$.
अतः,$R_H = \frac{36 \bar{\nu}_1}{5}$.
$He^{+}$ $(Z=2, n_1=2, n_2=4)$ की बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए: $\bar{\nu}_2 = R_H (2)^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = R_H (4) (\frac{3}{16}) = R_H (\frac{3}{4})$.
$R_H = \frac{36 \bar{\nu}_1}{5}$ को $\bar{\nu}_2$ के समीकरण में रखने पर: $\bar{\nu}_2 = (\frac{36 \bar{\nu}_1}{5}) \times (\frac{3}{4}) = \frac{27 \bar{\nu}_1}{5}$.

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए रिडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$।
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
बामर श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 2$ पर समाप्त होता है,और $n_2 = n$ ($n > 2$ के लिए)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = 4R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n^2} \right) = \frac{R(n^2 - 4)}{n^2}$
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{n^2}{R(n^2 - 4)}$ या $\frac{n^2}{R(n-2)(n+2)}$ है।

(C) तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
समान संक्रमण के लिए,पद $(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ स्थिर रहता है।
इसलिए,$\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
$He^{+}$ के लिए,$Z = 2$,इसलिए $\lambda_{He^+} \propto \frac{1}{4}$.
$H$ के लिए,$Z = 1$,इसलिए $\lambda_{H} \propto 1$.
अतः,$\frac{\lambda_{H}}{\lambda_{He^+}} = \frac{Z_{He^+}^2}{Z_{H}^2} = \frac{2^2}{1^2} = 4$.
दिया गया है कि $\lambda_{He^+} = 100 \ nm = 1000 \ \mathring{A}$.
इसलिए,$\lambda_{H} = 4 \times 1000 \ \mathring{A} = 4000 \ \mathring{A}$.

(B) रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ के लिए पाश्चन श्रेणी की सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य हेतु $n_1 = 3$ और $n_2 = 4$ लेने पर,
$\frac{1}{x} = R_H \times 9 \times (\frac{1}{9} - \frac{1}{16}) = R_H \times \frac{7}{16}$।
अतः,$x = \frac{16}{7 R_H}$ ...$(i)$।
हाइड्रोजन $(Z=1)$ के लिए लाइमन श्रेणी की सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य हेतु $n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ लेने पर,
$\frac{1}{\lambda} = R_H \times 1 \times (1 - \frac{1}{4}) = R_H \times \frac{3}{4}$।
अतः,$\lambda = \frac{4}{3 R_H}$ ...$(ii)$।
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda}{x} = \frac{4 / (3 R_H)}{16 / (7 R_H)} = \frac{7}{12}$।
इस प्रकार,$\lambda = \frac{7}{12} x$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में दो ऊर्जा स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए,ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$ है।
संक्रमणों की तुलना करने पर:
$(A)$ $n=4 \rightarrow n=5$: $\Delta E \approx 0.306 \text{ eV}$.
$(B)$ $n=1 \rightarrow n=2$: $\Delta E = 10.2 \text{ eV}$.
$(C)$ $n=3 \rightarrow n=5$: $\Delta E \approx 0.967 \text{ eV}$.
$(D)$ $n=2 \rightarrow n=3$: $\Delta E \approx 1.889 \text{ eV}$.
चूंकि मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ने पर ऊर्जा का अंतर कम हो जाता है,इसलिए मूल अवस्था $(n=1)$ से प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में संक्रमण में सबसे अधिक ऊर्जा परिवर्तन होता है।

(A) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान मुक्त ऊर्जा रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$E = 2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ J$
यहाँ,$n_1 = 1$ (मूल अवस्था) और $n_2 = 5$ (उत्तेजित अवस्था)।
मान रखने पर:
$E = 2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{5^2} \right)$
$E = 2.18 \times 10^{-18} \left( 1 - 0.04 \right)$
$E = 2.18 \times 10^{-18} \times 0.96$
$E = 2.0928 \times 10^{-18} \ J$
निकटतम मान $2.091 \times 10^{-18} \ J$ है।

(B)

\text{स्पेक्ट्रल श्रृंखला का नाम}	\text{हाइड्रोजन के उत्तेजित इलेक्ट्रॉन किस कक्षा में वापस आते हैं}
\text{लाइमन श्रृंखला}	$1$
\text{बामर श्रृंखला}	$2$
\text{पाश्चन श्रृंखला}	$3$
\text{ब्रैकेट श्रृंखला}	$4$
\text{फंड श्रृंखला}	$5$

जब इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तरों $(n_2 > 3)$ से $n = 3$ कक्षा में वापस आते हैं,तो बनने वाली स्पेक्ट्रल श्रृंखला को पाश्चन श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए,दो निकटवर्ती स्तरों $n$ और $n+1$ के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_{n+1} - E_n = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \ eV$ है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$\frac{1}{n^2}$ पद तेजी से घटता है,और $\frac{1}{n^2}$ तथा $\frac{1}{(n+1)^2}$ के बीच का अंतर भी कम हो जाता है।
इसलिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ने के साथ ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ घटता है।

(D) तरंग दैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_{H} Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
$He^{+}$ आयन के लिए,$Z=2$ है। $n_2=4$ से $n_1=2$ के संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda} = R_{H} (2)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = 4 R_{H} \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = 4 R_{H} \left( \frac{3}{16} \right) = \frac{3}{4} R_{H}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(H)$ के लिए,$Z=1$ है। विकल्प $(d)$ के लिए,$n_2=2$ से $n_1=1$:
$\frac{1}{\lambda} = R_{H} (1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R_{H} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R_{H}$ है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही उत्तर है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ के लिए,ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ eV$ है।
जब इलेक्ट्रॉन $\Delta E = 12.75 \ eV$ ऊर्जा अवशोषित करता है,तो वह उच्च कक्षा $n_2$ में चला जाता है।
अंतिम अवस्था की ऊर्जा $E_{n_2} = E_1 + \Delta E = -13.6 + 12.75 = -0.85 \ eV$ है।
सूत्र $E_{n_2} = -\frac{13.6}{n_2^2}$ का उपयोग करने पर:
$-0.85 = -\frac{13.6}{n_2^2}$
$n_2^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n_2 = 4$.
अतः,इलेक्ट्रॉन $4^{th}$ कक्षा में कूद जाएगा।

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में श्रेणियाँ लाइमैन $(n_1=1)$,बामर $(n_1=2)$,पाशन $(n_1=3)$,ब्रैकेट $(n_1=4)$ और फंड $(n_1=5)$ हैं।
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए,ऊर्जा संक्रमण अधिकतम होना चाहिए,जो लाइमैन श्रेणी $(n_1=1)$ के लिए $n_2=\infty$ पर होता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$n_1=1$ और $n_2=\infty$ रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R_H$.
चूंकि $R_H \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$,इसलिए $\lambda = \frac{1}{R_H} \approx 9.117 \times 10^{-8} \ m = 91.2 \ nm$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए रिडबर्ग सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$.
पहली रेखा के लिए,$n_2 = 3$. दिया गया है $\lambda_1 = 656 \ nm$,अतः $\frac{1}{656} = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_H \left( \frac{5}{36} \right) \dots (i)$.
दूसरी रेखा के लिए,$n_2 = 4$. अतः,$\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R_H \left( \frac{3}{16} \right) \dots (ii)$.
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर,$\frac{\lambda_2}{656} = \frac{5/36}{3/16} = \frac{20}{27}$.
$\lambda_2 = 656 \times \frac{20}{27} \approx 485.9 \ nm$.
सीमांत रेखा के लिए,$n_2 = \infty$. अतः,$\frac{1}{\lambda_{\infty}} = R_H \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R_H}{4}$.
$(i)$ से,$R_H = \frac{36}{5 \times 656}$.
$\frac{1}{\lambda_{\infty}} = \frac{9}{5 \times 656} = \frac{9}{3280}$.
$\lambda_{\infty} = \frac{3280}{9} \approx 364.4 \ nm$.

(C) ऊर्जा संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ के अनुसार,$E \propto \frac{1}{\lambda}$ होता है।
चूंकि उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा उसकी तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए जिस संक्रमण में ऊर्जा का अंतर सबसे अधिक होगा,उसकी तरंगदैर्ध्य सबसे कम होगी।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए संक्रमणों की तुलना करने पर,$n_4 \longrightarrow n_1$ संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर सबसे अधिक है,इसलिए इसकी तरंगदैर्ध्य सबसे कम होगी।

(A) तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R \cdot Z^2 \left( \frac{1}{n_{L}^2} - \frac{1}{n_{H}^2} \right)$.
हाइड्रोजन के लिए,$Z = 1$.
बामर श्रेणी में न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के लिए,$n_{L} = 2$ और $n_{H} = 3$:
$\bar{\nu}_{Balmer} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5}{36} R$.
लाइमन श्रेणी में न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के लिए,$n_{L} = 1$ और $n_{H} = 2$:
$\bar{\nu}_{Lyman} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R$.
बामर श्रेणी और लाइमन श्रेणी की तरंग संख्या का अनुपात:
$\frac{\bar{\nu}_{Balmer}}{\bar{\nu}_{Lyman}} = \frac{5/36}{3/4} = \frac{5}{36} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{27}$.
अतः,अनुपात $5 : 27$ है।

(D) इलेक्ट्रॉन संक्रमण के दौरान उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $\nu = R_H c \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
उत्तेजित अवस्था $n$ से मूल अवस्था $n_1 = 1$ के लिए,$\nu_1 = R_H c \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) = \frac{3X}{4}$ है।
$n$ के लिए हल करने पर,$1 - \frac{1}{n^2} = \frac{3}{4} \implies \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4} \implies n = 2$ प्राप्त होता है।
अतः उत्तेजित अवस्था $n = 2$ है।
अगली तत्काल उत्तेजित अवस्था $n = 3$ है।
$n = 2$ से $n = 3$ के संक्रमण के लिए अवशोषित विकिरण की आवृत्ति $\nu_2 = R_H c \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H c \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_H c \left( \frac{5}{36} \right)$ होगी।
चूंकि $R_H c = X$,इसलिए $\nu_2 = \frac{5X}{36} \ Hz$ है।

(A) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R_H Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
हाइड्रोजन $(Z=1)$ के लिए,$n_2$ उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था $n_1=1$ में संक्रमण के लिए $\bar{\nu}_1 = R_H (1 - \frac{1}{n_2^2}) = \frac{5x}{36}$.
उपरोक्त उत्तेजित अवस्था $n_2=3$ से $n_3=4$ में संक्रमण के लिए,$\bar{\nu}_2 = R_H (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2}) = R_H (\frac{7}{144})$.
अनुपात लेने पर,$\bar{\nu}_2 = \frac{7}{144} \times \frac{36}{5} \times \frac{5x}{36} = \frac{7x}{144}$.

(C) लाइमैन श्रेणी के लिए,रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
दिया गया है $\lambda = \frac{16}{15 R}$,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = \frac{15 R}{16}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{15 R}{16} = R \left[ 1 - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
दोनों पक्षों को $R$ से विभाजित करने पर: $\frac{15}{16} = 1 - \frac{1}{n_2^2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{n_2^2} = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.
अतः,$n_2^2 = 16$,जिससे $n_2 = 4$ प्राप्त होता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K.E. = h\nu - h\nu_0$,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
प्रथम स्थिति के लिए: $z = hx - h\nu_0$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{z}{3} = hy - h\nu_0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $z = 3hy - 3h\nu_0$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ की तुलना करने पर: $hx - h\nu_0 = 3hy - 3h\nu_0$
$2h\nu_0 = 3hy - hx$
$2\nu_0 = 3y - x$
$\nu_0 = \frac{3y-x}{2}$

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \ Js \times 3 \times 10^8 \ m/s}{300 \times 10^{-9} \ m} = 6.6 \times 10^{-19} \ J$.
इस ऊर्जा को $eV$ में बदलने पर: $E = \frac{6.6 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV} = 4.125 \ eV$.
इलेक्ट्रॉन तब उत्सर्जित होते हैं जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक या उसके बराबर होती है।
$4.125 \ eV$ की तुलना दिए गए कार्य फलनों से करने पर:
$Mg (3.7 \ eV) < 4.125 \ eV$ (उत्सर्जित होंगे)
$Cu (4.8 \ eV) > 4.125 \ eV$ (उत्सर्जित नहीं होंगे)
$Ag (4.3 \ eV) > 4.125 \ eV$ (उत्सर्जित नहीं होंगे)
$Na (2.3 \ eV) < 4.125 \ eV$ (उत्सर्जित होंगे)
अतः,$2$ धातुओं ($Mg$ और $Na$) से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होंगे।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J s \times 3 \times 10^8 \ m s^{-1}}{221 \times 10^{-9} \ m} = 9.00 \times 10^{-19} \ J$.
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = E - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
$KE = 9.00 \times 10^{-19} \ J - 7.68 \times 10^{-19} \ J = 1.32 \times 10^{-19} \ J$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$h\nu = h\nu_0 + K.E.$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
$v^2 = \frac{2hc}{m}(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0})$
$v^2 = \frac{2hc}{m}(\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda\lambda_0})$
$v = \sqrt{\frac{2hc}{m}(\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda\lambda_0})}$

(C) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 3000 \ \mathring{A} = 3 \times 10^{-7} \ m$. कार्य फलन $\phi = 2.13 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $K.E. = E - \phi = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{3 \times 10^{-7}} = 6.626 \times 10^{-19} \ J$.
$E$ को $eV$ में बदलने पर: $E = \frac{6.626 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 4.136 \ eV$.
गतिज ऊर्जा $K.E. = 4.136 \ eV - 2.13 \ eV = 2.006 \ eV \approx 2.0 \ eV$.

(B) बोर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ है।
दिया गया है $L = \frac{h}{\pi}$,इसलिए $\frac{nh}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$,जिससे $n = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,संक्रमण $n_1 = 2$ से $n_2 = 3$ तक है।
$n^{th}$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{n^2} \ J = -\frac{x}{n^2} \ J$ है।
उत्तेजना के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_{n+1} - E_n = -\frac{x}{3^2} - (-\frac{x}{2^2}) = x(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = x(\frac{9-4}{36}) = \frac{5x}{36} \ J$ है।

(D) कार्य फलन $(\phi)$ का सूत्र $\phi = h \nu_0$ है,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
सबसे पहले,कार्य फलन को $eV$ से जूल में बदलें:
$\phi = 3.1 \ eV = 3.1 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J = 4.966 \times 10^{-19} \ J$.
अब,देहली आवृत्ति $\nu_0$ की गणना करें:
$\nu_0 = \frac{\phi}{h} = \frac{4.966 \times 10^{-19} \ J}{6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s} \approx 7.49 \times 10^{14} \ Hz$.

(C) धातु $M$ का कार्य फलन $(\Phi)$ $6.3 \ eV$ है।
इलेक्ट्रॉनों को बाहर निकालने के लिए,आपतित विकिरण की ऊर्जा $(E)$ कार्य फलन के बराबर होनी चाहिए: $E = \Phi = 6.3 \ eV$।
$eV$ में ऊर्जा और $nm$ में तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध का उपयोग करते हुए:
$E (eV) = \frac{1240}{\lambda (nm)}$
अतः,$\lambda (nm) = \frac{1240}{E (eV)} = \frac{1240}{6.3} \approx 196.8 \ nm$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $197 \ nm$ प्राप्त होता है।

(B) प्लांक के क्वांटम सिद्धांत के अनुसार,फोटॉन की ऊर्जा को निम्नलिखित संबंध द्वारा व्यक्त किया जाता है:
$E = \frac{hc}{\lambda}$
इसका अर्थ है कि ऊर्जा तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$E \propto \frac{1}{\lambda} \Rightarrow \lambda \propto \frac{1}{E}$
दी गई ऊर्जा $E_1 = 25 \ eV$ और $E_2 = 100 \ eV$ के लिए,उनकी तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{E_2}{E_1}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{100 \ eV}{25 \ eV} = \frac{4}{1}$
अतः,अनुपात $\lambda_1: \lambda_2$ का मान $4:1$ है।

(C) धातु का कार्य फलन $\phi = 3.75 \ eV$ है।
जूल में परिवर्तन: $\phi = 3.75 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J \approx 6.0075 \times 10^{-19} \ J$.
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ की गणना सूत्र $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$ का उपयोग करके की जाती है।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_0 = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6.0075 \times 10^{-19}} \approx 3.308 \times 10^{-7} \ m$.
नैनोमीटर में परिवर्तन: $\lambda_0 \approx 330.8 \ nm$.
अतः,देहली तरंगदैर्ध्य लगभग $330 \ nm$ है।