Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(A) बोर कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का मान $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$ होता है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का मान $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $K.E. = -\frac{1}{2} P.E.$
अतः,गतिज ऊर्जा का परिमाण स्थितिज ऊर्जा के परिमाण का आधा होता है,अर्थात $|K.E.| = \frac{1}{2} |P.E.|$।

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन के लिए सबसे संभावित त्रिज्या का सूत्र $r_{mp} = \frac{a_0}{Z}$ है, जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या $(52.9 \ pm)$ है और $Z$ परमाणु क्रमांक है。
हीलियम आयन $(He^{+})$ के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है。
मान रखने पर: $r_{mp} = \frac{52.9 \ pm}{2} = 26.45 \ pm$。
निकटतम मान लेने पर, हमें $26.5 \ pm$ प्राप्त होता है。

(B) रदरफोर्ड के $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग ने प्रदर्शित किया कि परमाणु का अधिकांश भाग खाली है,जिसके केंद्र में एक छोटा,सघन,धनावेशित नाभिक होता है। इससे यह निष्कर्ष निकला कि इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर अतिरिक्त-नाभिकीय क्षेत्र में स्थित होते हैं। अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) बोर का मॉडल केवल हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों पर लागू होता है,जो ऐसे परमाणु या आयन हैं जिनमें केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है,जैसे $H$,$He^+$,$Li^{2+}$,आदि।

(D) . परमाणु के आयतन की तुलना में नाभिक बहुत छोटा आयतन घेरता है।
चूंकि नाभिक अत्यंत छोटा और धनावेशित होता है,इसलिए परमाणु का अधिकांश स्थान खाली होता है,जिससे अधिकांश अल्फा कण बिना किसी विक्षेपण के निकल जाते हैं।

(B) रिडबर्ग स्थिरांक $R$ प्रणाली के समानित द्रव्यमान (reduced mass) $\mu$ के समानुपाती होता है।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,समानित द्रव्यमान $\mu = \frac{m_e M}{m_e + M}$ है,जहाँ $M$ नाभिक का द्रव्यमान है। चूँकि $M \gg m_e$,इसलिए $\mu \approx m_e$ और $R_\infty = \frac{m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}$ होता है।
पॉज़िट्रोनियम के लिए,प्रणाली में एक इलेक्ट्रॉन $(m_e)$ और एक पॉज़िट्रॉन $(m_p = m_e)$ होता है।
पॉज़िट्रोनियम के लिए समानित द्रव्यमान $\mu$:
$\mu = \frac{m_e \times m_p}{m_e + m_p} = \frac{m_e \times m_e}{m_e + m_e} = \frac{m_e^2}{2m_e} = \frac{m_e}{2}$.
चूँकि $R \propto \mu$,पॉज़िट्रोनियम के लिए रिडबर्ग स्थिरांक $(R_{pos})$ और अनंत नाभिकीय द्रव्यमान के लिए रिडबर्ग स्थिरांक $(R_\infty)$ के बीच संबंध:
$R_{pos} = \frac{\mu}{m_e} R_\infty = \frac{m_e / 2}{m_e} R_\infty = \frac{R_\infty}{2}$.

(C) सही उत्तर $(C)$ है।
रदरफोर्ड के $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग में,यह देखा गया कि अधिकांश $\alpha$-कण बिना किसी विक्षेपण के सोने की पन्नी से होकर गुजर गए।
यह इंगित करता है कि परमाणु के भीतर का अधिकांश भाग खाली स्थान है।

(B) $K$ कोश पहला कोश $(n=1)$ है और $L$ कोश दूसरा कोश $(n=2)$ है।
चूंकि $K$ कोश नाभिक के करीब है,इसलिए इसकी ऊर्जा $L$ कोश से कम होती है।
जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर ($L$ कोश) से निम्न ऊर्जा स्तर ($K$ कोश) में संक्रमण करता है,तो ऊर्जा का अंतर फोटॉन के रूप में उत्सर्जित होता है।
इसलिए,ऊर्जा मुक्त होती है।

(A) प्लांक के क्वांटम सिद्धांत के अनुसार,ऊर्जा हमेशा क्वांटम के पूर्ण संख्या गुणज में अवशोषित या उत्सर्जित होती है $(E = nh\nu)$।
इसलिए,यह कथन कि ऊर्जा क्वांटम के पूर्ण संख्या या गुणज में अवशोषित या उत्सर्जित नहीं होती है,गलत है।

(A) कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे हम नाभिक से दूर जाते हैं,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है।
चूंकि $E_n$,$n^2$ के व्युत्क्रमानुपाती है और इसका मान ऋणात्मक है,इसलिए जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$E_n$ का मान कम ऋणात्मक होता जाता है,जिसका अर्थ है कि ऊर्जा बढ़ती है।

(D) $Bohr$ मॉडल हाइड्रोजन के रेखीय स्पेक्ट्रम को समझाने में सफल रहा था,जिसमें उत्सर्जन और अवशोषण स्पेक्ट्रम शामिल हैं। हालाँकि,यह उच्च-रिज़ॉल्यूशन स्पेक्ट्रोस्कोपी में देखी गई स्पेक्ट्रल रेखाओं की सूक्ष्म संरचना (fine structure) को समझाने में विफल रहा,जो ऊर्जा स्तरों के विभाजन के कारण उत्पन्न होती है।

(B) धनावेशित नाभिक के अस्तित्व की स्थापना अर्नेस्ट रदरफोर्ड द्वारा उनके प्रसिद्ध $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग (जिसे गीगर-मार्सडेन प्रयोग के रूप में भी जाना जाता है) के माध्यम से की गई थी। इस प्रयोग में,उन्होंने सोने की एक पतली पन्नी पर $\alpha$-कणों की बौछार की और देखा कि कणों का एक छोटा सा अंश बड़े कोणों पर विक्षेपित हो गया,जिससे यह निष्कर्ष निकला कि परमाणु का धनावेश और द्रव्यमान एक बहुत छोटे केंद्रीय क्षेत्र में केंद्रित है जिसे नाभिक कहा जाता है।

(C) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के लिए एक स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य संक्रमण में शामिल ऊर्जा के अंतर के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
संबंध $\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda}$ के अनुसार,जहाँ $\Delta E$ ऊर्जा का अंतर है,$h$ प्लांक स्थिरांक है,$c$ प्रकाश की गति है,और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
अतः,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\Delta E}$।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर $(n_2)$ से निम्न ऊर्जा स्तर $(n_1)$ में संक्रमण करता है,तो ऊर्जा का अंतर फोटॉन के रूप में मुक्त होता है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = \Delta E = E_2 - E_1 = hc / \lambda$ समीकरण द्वारा दी जाती है।
इसके विपरीत,जब एक इलेक्ट्रॉन निम्न ऊर्जा स्तर से उच्च ऊर्जा स्तर में जाता है,तो उसे दोनों स्तरों के बीच के अंतर के बराबर ऊर्जा अवशोषित करनी पड़ती है।
इलेक्ट्रॉन के लिए सबसे कम ऊर्जा वाली अवस्था को ग्राउंड स्टेट कहा जाता है।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन निचली ऊर्जा स्तर $(n_1)$ से उच्च ऊर्जा स्तर $(n_2)$ पर जाता है,तो उसे दोनों स्तरों के बीच के अंतर के बराबर ऊर्जा का अवशोषण करना पड़ता है,$\Delta E = E_2 - E_1$.
इसलिए,इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा बढ़ती है.

(C) तेजी से गति करने वाले इलेक्ट्रॉनों को $\beta$-कण कहा जाता है।
वे टिन धातु की पन्नी से होकर गुजरते हैं क्योंकि परमाणु का अधिकांश भाग खाली स्थान होता है,जैसा कि रदरफोर्ड ने अपने स्वर्ण पन्नी प्रयोग में समझाया था।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में कक्षा की ऊर्जा का सूत्र $E_n = \frac{-1312}{n^2} \ kJ \ mol^{-1}$ है।
दिया गया है,दूसरी कक्षा $(n=2)$ के लिए,$E_2 = -328 \ kJ \ mol^{-1}$।
चौथी कक्षा $(n=4)$ के लिए,ऊर्जा $E_4$ और $E_2$ के बीच का संबंध $\frac{E_4}{E_2} = \frac{n_2^2}{n_4^2} = \frac{2^2}{4^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$E_4 = \frac{E_2}{4} = \frac{-328}{4} = -82 \ kJ \ mol^{-1}$।

(D) बोर के परमाणु मॉडल के अनुसार,इलेक्ट्रॉन विशिष्ट कक्षाओं में घूमते हैं जिन्हें स्थिर कक्षाएं कहा जाता है। इन कक्षाओं में घूमते समय,इलेक्ट्रॉन न तो ऊर्जा खोता है और न ही प्राप्त करता है। इसलिए,इसकी ऊर्जा स्थिर रहती है।

(A) बोर के सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन निश्चित ऊर्जा स्तरों वाली स्थिर कक्षाओं में घूमते हैं। जब एक इलेक्ट्रॉन एक कक्षा से दूसरी कक्षा में जाता है,तो वह दो ऊर्जा स्तरों के बीच के अंतर के बराबर ऊर्जा का अवशोषण या उत्सर्जन करके ऐसा करता है। इस प्रक्रिया को क्वांटम जंप या संक्रमण के रूप में जाना जाता है,जिसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन कक्षाओं के बीच के स्थान में मौजूद नहीं होता है। यह अवधारणा मौलिक रूप से ऊर्जा के $quantisation$ पर आधारित है,जहाँ ऊर्जा स्तर असतत (discrete) होते हैं,न कि निरंतर (continuous)।

(B) विकिरण के क्वांटम सिद्धांत के अनुसार,एक गर्म पिंड विकिरण ऊर्जा का उत्सर्जन निरंतर नहीं बल्कि असतत रूप से ऊर्जा के छोटे पैकेटों के रूप में करता है,जिन्हें क्वांटा या फोटॉन कहा जाता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है:
$E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$
जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है जो कक्षा की संख्या को दर्शाती है।

(A) बोहर के सिद्धांत के अनुसार,हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m k Z e^2}$ है।
अतः,दिए गए विकल्पों में से $A$ और $B$ सही संबंध दर्शाते हैं।

(C) बोहर के सिद्धांत के अनुसार,हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा का सूत्र है:
$E_n = - \frac{2\pi^2 m e^4 z^2}{n^2 h^2}$
जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$z$ परमाणु क्रमांक है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $h$ प्लांक स्थिरांक है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही व्यंजक है।

(D) आर्नोल्ड $Sommerfeld$ ने $1916$ में $Bohr$ के परमाणु मॉडल को संशोधित किया। उन्होंने प्रस्तावित किया कि इलेक्ट्रॉन $Bohr$ द्वारा प्रस्तावित वृत्ताकार कक्षाओं के अलावा नाभिक के चारों ओर दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं। इस संशोधन ने हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं में स्पेक्ट्रल रेखाओं की सूक्ष्म संरचना को समझाने में मदद की।

(B) बोर की त्रिज्या का व्यंजक $r_n = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m e^2 Z}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $n$,$h$,$\pi$,$m$,$e$,और $Z$ सभी स्थिरांक या धनात्मक पूर्णांक हैं,इसलिए त्रिज्या $r_n$ का मान हमेशा धनात्मक ($+$ve) होता है।

(B) $1913$ में नील्स बोर ने परमाणु की स्थिरता को प्रस्तुत किया और प्लांक के क्वांटम सिद्धांत की मदद से स्पेक्ट्रल लाइनों का कारण समझाया।
बोर ने सबसे पहले परमाणुओं की संरचना को समझाने के लिए क्वांटम सिद्धांत का उपयोग किया और प्रस्तावित किया कि परमाणु में इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा क्वांटाइज्ड होती है।

(C) कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूर जाता है,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है। चूंकि ऊर्जा का व्यंजक ऋणात्मक है,जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$E_n$ का मान कम ऋणात्मक होता जाता है,जिसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा बढ़ती है।

(C) रदरफोर्ड के $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग के निष्कर्ष निम्नलिखित हैं:
$(i)$ परमाणु के अंदर का अधिकांश स्थान खाली है क्योंकि अधिकांश $\alpha$-कण बिना विक्षेपित हुए सोने की पन्नी से गुजर गए।
$(ii)$ बहुत कम कण अपने पथ से विक्षेपित हुए,जो यह दर्शाता है कि परमाणु का धनात्मक आवेश बहुत कम स्थान घेरता है।
$(iii)$ $\alpha$-कणों का एक बहुत छोटा अंश $180^{\circ}$ पर विक्षेपित हुआ,जिससे यह पुष्टि हुई कि धनात्मक आवेश बहुत छोटे स्थान में केंद्रित है।

(A) अपने प्रसिद्ध $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग में,अर्नेस्ट रदरफोर्ड ने परमाणु की संरचना का अध्ययन करने के लिए $Gold$ $(Au)$ की एक पतली पन्नी का उपयोग किया था।
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में ऊर्जा स्तरों के बीच इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के दौरान उत्सर्जित ऊर्जा का सूत्र है: $\Delta E = 13.6 \, \text{eV} \times \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$।
यहाँ $n_i = 3$ और $n_f = 2$ दिया गया है,इसलिए:
$\Delta E = 13.6 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) \, \text{eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) \, \text{eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times \left( \frac{9 - 4}{36} \right) \, \text{eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times \frac{5}{36} \, \text{eV} \approx 1.89 \, \text{eV}$,जो $1.9 \, \text{eV}$ के बराबर है।

(D) बोहर के मॉडल की मुख्य अभिधारणा यह है कि इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं वृत्ताकार कक्षाओं में घूम सकते हैं जहाँ उनका कोणीय संवेग $\frac{h}{2\pi}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
इसे $mvr = n \frac{h}{2\pi}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ (एक पूर्णांक है)।

(B) बोर के सिद्धांत के अनुसार,जिन वृत्ताकार पथों में इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर घूमते हैं,उन्हें $Orbits$ (कक्षाएं) या $Stationary$ $states$ कहा जाता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रल रेखाएं ऊर्जा स्तरों के बीच इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण द्वारा बनती हैं।
उच्च ऊर्जा स्तरों $(n_2 > 2)$ से दूसरे ऊर्जा स्तर $(n_1 = 2)$ तक के संक्रमण के परिणामस्वरूप लगभग $365 \, nm$ से $656 \, nm$ तक की तरंग दैर्ध्य वाले विकिरण का उत्सर्जन होता है।
ये तरंग दैर्ध्य विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में आते हैं और $Balmer$ श्रेणी का निर्माण करते हैं।

(D) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = \frac{n^2 \times 0.529 \mathring{A}}{Z}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ और पहली कक्षा के लिए,$n = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $r_1 = \frac{1^2 \times 0.529 \mathring{A}}{1} = 0.529 \mathring{A}$ प्राप्त होता है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.53 \mathring{A}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) बामर श्रेणी में,संक्रमण $n_1 = 2$ ऊर्जा स्तर पर होते हैं।
पहली रेखा $n_2 = 3 \rightarrow n_1 = 2$ के अनुरूप है।
दूसरी रेखा $n_2 = 4 \rightarrow n_1 = 2$ के अनुरूप है।
तीसरी रेखा $n_2 = 5 \rightarrow n_1 = 2$ के अनुरूप है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = - \frac{2.178 \times 10^{-18} \ J}{n^2}$ है।
दूसरी बोहर कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$E_2 = - \frac{2.178 \times 10^{-18}}{2^2} \ J$
$E_2 = - \frac{2.178 \times 10^{-18}}{4} \ J$
$E_2 = - 5.445 \times 10^{-19} \ J$।
अतः,ऊर्जा लगभग $- 5.44 \times 10^{-19} \ J$ है।

(C) ऊर्जा और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$.
तरंगदैर्ध्य के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{6.64 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{3 \times 10^{-8} \ J}$.
$\lambda = 6.64 \times 10^{-18} \ m$.
चूंकि $1 \ m = 10^{10} \ \mathring{A}$,इसलिए $\lambda = 6.64 \times 10^{-18} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 6.64 \times 10^{-8} \ \mathring{A}$.

(D) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = r_1 \times n^2$ है,जहाँ $r_1$ प्रथम कक्षा की त्रिज्या है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
तीसरी बोहर कक्षा के लिए,$n = 3$ है।
मान रखने पर: $r_3 = 0.53 \ \mathring{A} \times (3)^2$.
$r_3 = 0.53 \times 9 = 4.77 \ \mathring{A}$.

(B) फोटॉन की ऊर्जा का समीकरण $E = \frac{hc}{\lambda}$ है,जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है,$c$ प्रकाश की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\lambda = \frac{hc}{E}$।
अतः,उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य फोटॉन की ऊर्जा के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda \propto \frac{1}{E}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \ eV$ है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n = 1$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 2$ है।
सूत्र में $n = 2$ रखने पर:
$E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.40 \ eV$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में,पाश्चन श्रेणी वह है जहाँ उच्च ऊर्जा अवस्थाओं से तीसरी ऊर्जा अवस्था में संक्रमण होता है।
अर्थात,$n_1 = 3$ और $n_2 = 4, 5, 6, \dots$।

(C) बोहर के मॉडल के अनुसार हाइड्रोजन परमाणु के लिए,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और कुल ऊर्जा $(T.E.)$ के बीच संबंध $K.E. = -T.E.$ होता है।
इसलिए,गतिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात $K.E. / T.E. = 1 / -1$ है।
अतः,अनुपात $1:-1$ है।

(C) बोर के सिद्धांत के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है:
$E_n = - \frac{R_H}{n^2} \ J \ atom^{-1}$
जहाँ $R_H$ ऊर्जा के लिए रिडबर्ग स्थिरांक है,जिसका मान लगभग $2.18 \times 10^{-18} \ J$ होता है।
इसे $kJ \ mol^{-1}$ में बदलने पर:
$E_n = - \frac{2.18 \times 10^{-18} \times 6.022 \times 10^{23}}{n^2} \ J \ mol^{-1} \approx - \frac{1312 \ kJ \ mol^{-1}}{n^2}$।
दिए गए विकल्पों में से,मानक स्थिरांक के सबसे निकटतम मान $1313.3 \ kJ \ mol^{-1}$ है।

(B) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \times n^2$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
पहली कक्षा $(n_1 = 1)$ के लिए,$r_1 = a_0 \times (1)^2 = a_0$ है।
दूसरी कक्षा $(n_2 = 2)$ के लिए,$r_2 = a_0 \times (2)^2 = 4a_0$ है।
दूसरी कक्षा और पहली कक्षा की त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_2}{r_1} = \frac{4a_0}{a_0} = 4$ है।

(B) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ संक्रमण के लिए,$\bar{\nu} = 109677 \ cm^{-1} \times (1 - 1/4) = 82257.75 \ cm^{-1}$.
मीटर में परिवर्तित करने पर: $\bar{\nu} = 8225775 \ m^{-1}$.
आवृत्ति $\nu$ की गणना $\nu = c \times \bar{\nu}$ द्वारा की जाती है।
$\nu = (3 \times 10^8 \ m/s) \times (8225775 \ m^{-1}) = 2.4677 \times 10^{15} \ Hz \approx 24.66 \times 10^{14} \ Hz$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 a_0$ है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $a_0$ बोहर त्रिज्या है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n = 1$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप होती है।
सूत्र में $n = 2$ रखने पर: $r_2 = (2)^2 a_0 = 4a_0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(D) $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r_n^2$ होता है।
$r_n$ का मान रखने पर,हमें $A_n \propto (n^2)^2 = n^4$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरी कक्षा $(n=2)$ और पहली कक्षा $(n=1)$ के क्षेत्रफल का अनुपात है:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{2^4}{1^4} = \frac{16}{1} = 16:1$।

(A) एक चक्कर के लिए समय अवधि $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दी जाती है।
बोहर के कोणीय संवेग के सिद्धांत से,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,जिससे $v = \frac{nh}{2\pi mr}$ प्राप्त होता है।
$T$ के व्यंजक में $v$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi r}{(nh / 2\pi mr)} = \frac{4\pi^2 mr^2}{nh}$.

(D) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ है।
हाइड्रोजन $(H)$ परमाणु की प्रथम बोहर कक्षा के लिए: $n = 1$ और $Z = 1$ है। अतः,$r_H = 0.529 \times \frac{1^2}{1} = 0.529 \ \mathring{A}$।
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
$Be^{3+}$ के लिए: $Z = 4$ और $n = 2$ है। अतः,$r = 0.529 \times \frac{2^2}{4} = 0.529 \times \frac{4}{4} = 0.529 \ \mathring{A}$।
चूंकि $Be^{3+}$ $(n = 2)$ की त्रिज्या हाइड्रोजन की प्रथम बोहर कक्षा की त्रिज्या के बराबर है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{R_H}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_H = 2.18 \times 10^{-18} \ J$ है।
$n_2 = 4$ से $n_1 = 1$ में संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_4 - E_1 = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 2.18 \times 10^{-18} \times \frac{15}{16} \ J$.
चूँकि $\Delta E = h\nu$,आवृत्ति $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ होगी।
$\nu = \frac{2.18 \times 10^{-18} \times 15}{16 \times 6.625 \times 10^{-34}} \approx 3.08 \times 10^{15} \ s^{-1}$.