Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(A) બોહર કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$ છે.
ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $K.E. = -\frac{1}{2} P.E.$
તેથી,ગતિ ઉર્જાનું મૂલ્ય એ સ્થિતિ ઉર્જાના મૂલ્યના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $|K.E.| = \frac{1}{2} |P.E.|$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે સૌથી સંભવિત ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_{mp} = \frac{a_0}{Z}$ છે, જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા $(52.9 \ pm)$ છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે。
હિલિયમ આયન $(He^{+})$ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે。
કિંમતો મૂકતા: $r_{mp} = \frac{52.9 \ pm}{2} = 26.45 \ pm$.
નજીકની કિંમત લેતા, આપણને $26.5 \ pm$ મળે છે。

(B) રધરફોર્ડના $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગે દર્શાવ્યું કે પરમાણુનો મોટાભાગનો ભાગ ખાલી છે,જેમાં કેન્દ્રમાં એક નાનું,ઘન,ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસ છે. આનાથી એ નિષ્કર્ષ નીકળ્યો કે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસના વધારાના પરમાણ્વીય વિસ્તારમાં ફરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) બોહરનું મોડેલ માત્ર હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે લાગુ પડે છે,જે એવા પરમાણુઓ અથવા આયનો છે જેમાં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે,જેમ કે $H$,$He^+$,$Li^{2+}$,વગેરે.

(D) . પરમાણુના કદની સરખામણીમાં ન્યુક્લિયસ ખૂબ જ નાનું કદ ધરાવે છે.
ન્યુક્લિયસ અત્યંત નાનું અને ધન વીજભારિત હોવાથી,પરમાણુનો મોટાભાગનો વિસ્તાર ખાલી હોય છે,જેના કારણે મોટાભાગના આલ્ફા કણો કોઈપણ વિચલન વગર પસાર થઈ જાય છે.

(B) રિડબર્ગ અચળાંક $R$ એ સિસ્ટમના રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_e M}{m_e + M}$ છે,જ્યાં $M$ એ ન્યુક્લિયસનું દળ છે. $M \gg m_e$ હોવાથી,$\mu \approx m_e$ અને $R_\infty = \frac{m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}$ થાય છે.
પોઝિટ્રોનિયમ માટે,સિસ્ટમમાં એક ઇલેક્ટ્રોન $(m_e)$ અને એક પોઝિટ્રોન $(m_p = m_e)$ હોય છે.
પોઝિટ્રોનિયમ માટે રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu$:
$\mu = \frac{m_e \times m_p}{m_e + m_p} = \frac{m_e \times m_e}{m_e + m_e} = \frac{m_e^2}{2m_e} = \frac{m_e}{2}$.
$R \propto \mu$ હોવાથી,પોઝિટ્રોનિયમ માટે રિડબર્ગ અચળાંક $(R_{pos})$ અને અનંત ન્યુક્લિયર દળ માટેના રિડબર્ગ અચળાંક $(R_\infty)$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$R_{pos} = \frac{\mu}{m_e} R_\infty = \frac{m_e / 2}{m_e} R_\infty = \frac{R_\infty}{2}$.

(C) સાચો જવાબ $(C)$ છે.
રધરફોર્ડના $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગમાં,એવું અવલોકન કરવામાં આવ્યું હતું કે મોટાભાગના $\alpha$-કણો કોઈપણ વિચલન વગર સોનાના વરખમાંથી પસાર થઈ ગયા હતા.
આ સૂચવે છે કે પરમાણુની અંદરનો મોટાભાગનો ભાગ ખાલી છે.

(B) $K$ કક્ષા એ પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ છે અને $L$ કક્ષા એ બીજી કક્ષા $(n=2)$ છે.
$K$ કક્ષા કેન્દ્રની નજીક હોવાથી,તેની ઉર્જા $L$ કક્ષા કરતા ઓછી હોય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર ($L$ કક્ષા) થી નીચા ઉર્જા સ્તર ($K$ કક્ષા) માં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે ઉર્જાનો તફાવત ફોટોન તરીકે ઉત્સર્જિત થાય છે.
તેથી,ઉર્જા મુક્ત થાય છે.

(A) પ્લાન્કના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત મુજબ,ઉર્જા હંમેશા ક્વોન્ટમના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં શોષાય છે અથવા ઉત્સર્જિત થાય છે $(E = nh\nu)$.
તેથી,એ વિધાન કે ઉર્જા ક્વોન્ટમના પૂર્ણાંક કે ગુણાંકમાં શોષાતી કે ઉત્સર્જિત થતી નથી,તે ખોટું છે.

(A) કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ આપણે કેન્દ્રથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે.
$E_n$ એ $n^2$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે અને તેની કિંમત ઋણ હોવાથી,જેમ $n$ વધે છે તેમ $E_n$ ની કિંમત ઓછી ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે ઉર્જા વધે છે.

(D) $Bohr$ મોડેલ હાઇડ્રોજનના રેખીય વર્ણપટને સમજાવવામાં સફળ રહ્યું હતું,જેમાં ઉત્સર્જન અને શોષણ વર્ણપટનો સમાવેશ થાય છે. જોકે,તે ઉચ્ચ-રિઝોલ્યુશન સ્પેક્ટ્રોસ્કોપીમાં જોવા મળતા વર્ણપટ રેખાઓના ફાઇન સ્ટ્રક્ચર (સૂક્ષ્મ બંધારણ) ને સમજાવવામાં નિષ્ફળ ગયું હતું,જે ઉર્જા સ્તરોના વિભાજનને કારણે ઉદ્ભવે છે.

(B) ધનભારિત ન્યુક્લિયસનું અસ્તિત્વ અર્નેસ્ટ રધરફોર્ડ દ્વારા તેમના પ્રખ્યાત $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગ (જેને ગાઇગર-માર્સડેન પ્રયોગ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું. આ પ્રયોગમાં,તેમણે સોનાના પાતળા વરખ પર $\alpha$-કણોનો મારો ચલાવ્યો અને અવલોકન કર્યું કે કણોનો એક નાનો અંશ મોટા ખૂણા પર વિચલિત થયો હતો,જેનાથી એ નિષ્કર્ષ નીકળ્યો કે પરમાણુનો ધનભાર અને દળ એક ખૂબ જ નાના કેન્દ્રીય ભાગમાં કેન્દ્રિત છે જેને ન્યુક્લિયસ કહેવામાં આવે છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ માટે વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ સંક્રમણમાં સામેલ ઉર્જાના તફાવતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
સંબંધ $\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda}$ મુજબ,જ્યાં $\Delta E$ એ ઉર્જાનો તફાવત છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
આમ,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$,જે દર્શાવે છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\Delta E}$.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n_2)$ થી નીચા ઉર્જા સ્તર $(n_1)$ માં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે ઉર્જાનો તફાવત ફોટોનના સ્વરૂપમાં મુક્ત થાય છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = \Delta E = E_2 - E_1 = hc / \lambda$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેનાથી વિપરીત,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન નીચા ઉર્જા સ્તરથી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરમાં જાય છે,ત્યારે તેણે બંને સ્તરો વચ્ચેના તફાવત જેટલી ઉર્જાનું શોષણ કરવું પડે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવતી અવસ્થાને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ કહેવામાં આવે છે.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન નીચલી ઉર્જા સપાટી $(n_1)$ થી ઉપલી ઉર્જા સપાટી $(n_2)$ પર જાય છે,ત્યારે તેણે બે સપાટીઓ વચ્ચેના તફાવત જેટલી ઉર્જાનું શોષણ કરવું પડે છે,$\Delta E = E_2 - E_1$.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા વધે છે.

(C) ઝડપથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને $\beta$-કણો કહેવામાં આવે છે.
તેઓ ટીન મેટલ ફોઇલમાંથી પસાર થાય છે કારણ કે પરમાણુનો મોટાભાગનો ભાગ ખાલી છે,જે રધરફોર્ડ દ્વારા તેમના ગોલ્ડ ફોઇલ પ્રયોગમાં સમજાવવામાં આવ્યું હતું.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં કક્ષાની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = \frac{-1312}{n^2} \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
આપેલ છે કે,બીજી કક્ષા $(n=2)$ માટે,$E_2 = -328 \ kJ \ mol^{-1}$.
ચોથી કક્ષા $(n=4)$ માટે,ઉર્જા $E_4$ અને $E_2$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{E_4}{E_2} = \frac{n_2^2}{n_4^2} = \frac{2^2}{4^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ છે.
તેથી,$E_4 = \frac{E_2}{4} = \frac{-328}{4} = -82 \ kJ \ mol^{-1}$.

(D) બોહરના પરમાણુ મોડેલ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ચોક્કસ કક્ષાઓમાં પરિભ્રમણ કરે છે જેને સ્થિર કક્ષાઓ કહેવામાં આવે છે. આ કક્ષાઓમાં પરિભ્રમણ કરતી વખતે,ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા ગુમાવતો કે મેળવતો નથી. તેથી,તેની ઉર્જા અચળ રહે છે.

(A) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન નિશ્ચિત ઉર્જા સ્તરો ધરાવતી સ્થિર કક્ષાઓમાં ફરે છે. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન એક કક્ષામાંથી બીજી કક્ષામાં જાય છે,ત્યારે તે બે ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના તફાવત જેટલી ઉર્જાનું શોષણ અથવા ઉત્સર્જન કરીને જાય છે. આ પ્રક્રિયાને ક્વોન્ટમ જમ્પ અથવા સંક્રમણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોન કક્ષાઓની વચ્ચેની જગ્યામાં અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી. આ ખ્યાલ મૂળભૂત રીતે ઉર્જાના $quantisation$ પર આધારિત છે,જ્યાં ઉર્જા સ્તરો અલગ-અલગ (discrete) હોય છે,સતત (continuous) હોતા નથી.

(B) વિકિરણના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત મુજબ,ગરમ પદાર્થ વિકિરણ ઉર્જાનું ઉત્સર્જન સતત નહીં પરંતુ અસતત રીતે ઉર્જાના નાના પેકેટના સ્વરૂપમાં કરે છે,જેને ક્વોન્ટા અથવા ફોટોન કહેવામાં આવે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$
જ્યાં $n$ એ કક્ષાનો ક્રમાંક દર્શાવતો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.

(A) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m k Z e^2}$ છે.
આમ,આપેલા વિકલ્પોમાંથી $A$ અને $B$ સાચો સંબંધ દર્શાવે છે.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E_n = - \frac{2\pi^2 m e^4 z^2}{n^2 h^2}$
જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચું સમીકરણ દર્શાવે છે.

(D) આર્નોલ્ડ $Sommerfeld$ એ $1916$ માં $Bohr$ ના પરમાણુ મોડેલમાં સુધારો કર્યો. તેમણે સૂચવ્યું કે ઇલેક્ટ્રોન $Bohr$ દ્વારા સૂચિત વર્તુળાકાર કક્ષાઓ ઉપરાંત ન્યુક્લિયસની આસપાસ લંબગોળ કક્ષાઓમાં ફરે છે. આ સુધારાએ હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓમાં વર્ણપટ રેખાઓની ઝીણી રચના સમજાવવામાં મદદ કરી.

(B) બોહરની ત્રિજ્યા માટેનું સૂત્ર $r_n = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m e^2 Z}$ છે.
અહીં $n$,$h$,$\pi$,$m$,$e$,અને $Z$ બધા અચળાંકો અથવા ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,ત્રિજ્યા $r_n$ હંમેશા ધન ($+$ve) મૂલ્ય ધરાવે છે.

(B) $1913$ માં નીલ્સ બોહરે પરમાણુની સ્થિરતા રજૂ કરી હતી અને પ્લાન્કના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતની મદદથી વર્ણપટ રેખાઓનું કારણ સમજાવ્યું હતું.
બોહરે સૌપ્રથમ પરમાણુના બંધારણને સમજાવવા માટે ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કર્યો હતો અને પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો કે પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે.

(C) કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસથી દૂર જાય છે,તેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે. ઉર્જાનું સૂત્ર ઋણ હોવાથી,જેમ $n$ વધે છે,તેમ $E_n$ નું મૂલ્ય ઓછું ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા વધે છે.

(C) રધરફોર્ડના $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગના તારણો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ પરમાણુની અંદરની મોટાભાગની જગ્યા ખાલી છે કારણ કે મોટાભાગના $\alpha$-કણો વિચલિત થયા વિના સોનાના વરખમાંથી પસાર થઈ ગયા.
$(ii)$ ખૂબ ઓછા કણો તેમના માર્ગથી વિચલિત થયા હતા,જે દર્શાવે છે કે પરમાણુનો ધન વીજભાર ખૂબ જ ઓછી જગ્યા રોકે છે.
$(iii)$ $\alpha$-કણોનો ખૂબ જ નાનો અંશ $180^{\circ}$ ના ખૂણે વિચલિત થયો હતો,જે સાબિત કરે છે કે ધન વીજભાર ખૂબ જ નાની જગ્યામાં કેન્દ્રિત છે.

(A) તેમના પ્રખ્યાત $\alpha$-કણ સ્કેટરિંગ પ્રયોગમાં,અર્નેસ્ટ રધરફોર્ડે પરમાણુના બંધારણનો અભ્યાસ કરવા માટે $Gold$ $(Au)$ ના પાતળા વરખનો ઉપયોગ કર્યો હતો.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(C) હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં ઈલેક્ટ્રોન જ્યારે ઉર્જા સ્તરો વચ્ચે સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત ઉર્જાનું સૂત્ર: $\Delta E = 13.6 \, \text{eV} \times \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
અહીં $n_i = 3$ અને $n_f = 2$ આપેલ છે,તેથી:
$\Delta E = 13.6 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) \, \text{eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) \, \text{eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times \left( \frac{9 - 4}{36} \right) \, \text{eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times \frac{5}{36} \, \text{eV} \approx 1.89 \, \text{eV}$,જે $1.9 \, \text{eV}$ ની નજીક છે.

(D) બોહરના મોડેલની મુખ્ય અભિધારણા એ છે કે ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત તે જ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરી શકે છે જ્યાં તેનું કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2\pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય.
આને $mvr = n \frac{h}{2\pi}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ (એક પૂર્ણાંક છે).

(B) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,જે વર્તુળાકાર માર્ગોમાં ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ ફરે છે તેને $Orbits$ (કક્ષા) અથવા $Stationary$ $states$ કહેવામાં આવે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ રેખાઓ ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણો દ્વારા રચાય છે.
ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો $(n_2 > 2)$ થી બીજા ઉર્જા સ્તર $(n_1 = 2)$ પરના સંક્રમણોને કારણે આશરે $365 \, nm$ થી $656 \, nm$ ની તરંગલંબાઇ ધરાવતા વિકિરણોનું ઉત્સર્જન થાય છે.
આ તરંગલંબાઇઓ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના દ્રશ્યમાન વિસ્તારમાં આવે છે અને તે $Balmer$ શ્રેણી બનાવે છે.

(D) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = \frac{n^2 \times 0.529 \mathring{A}}{Z}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ અને પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $r_1 = \frac{1^2 \times 0.529 \mathring{A}}{1} = 0.529 \mathring{A}$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.53 \mathring{A}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) બામર શ્રેણીમાં,સંક્રાંતિ $n_1 = 2$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
પ્રથમ રેખા $n_2 = 3 \rightarrow n_1 = 2$ ને અનુરૂપ છે.
બીજી રેખા $n_2 = 4 \rightarrow n_1 = 2$ ને અનુરૂપ છે.
ત્રીજી રેખા $n_2 = 5 \rightarrow n_1 = 2$ ને અનુરૂપ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = - \frac{2.178 \times 10^{-18} \ J}{n^2}$ છે.
બીજી બોહર કક્ષા માટે,$n = 2$ લેતા.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_2 = - \frac{2.178 \times 10^{-18}}{2^2} \ J$
$E_2 = - \frac{2.178 \times 10^{-18}}{4} \ J$
$E_2 = - 5.445 \times 10^{-19} \ J$.
આમ,ઉર્જા આશરે $- 5.44 \times 10^{-19} \ J$ થાય છે.

(C) ઉર્જા અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$.
તરંગલંબાઈ માટે સૂત્ર: $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.64 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{3 \times 10^{-8} \ J}$.
$\lambda = 6.64 \times 10^{-18} \ m$.
$1 \ m = 10^{10} \ \mathring{A}$ હોવાથી,$\lambda = 6.64 \times 10^{-18} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 6.64 \times 10^{-8} \ \mathring{A}$.

(D) $n^{mi}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = r_1 \times n^2$ છે,જ્યાં $r_1$ એ પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
ત્રીજી બોહર કક્ષા માટે,$n = 3$.
કિંમતો મૂકતા: $r_3 = 0.53 \ \mathring{A} \times (3)^2$.
$r_3 = 0.53 \times 9 = 4.77 \ \mathring{A}$.

(B) ફોટોનની ઉર્જાનું સમીકરણ $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ પ્રકાશની ગતિ છે અને $\lambda$ તરંગલંબાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda = \frac{hc}{E}$.
તેથી,ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઈ એ ફોટોનની ઉર્જાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda \propto \frac{1}{E}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \ eV$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ (ભૂમિ અવસ્થા) માટે,$n = 1$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા:
$E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.40 \ eV$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં,પાશ્ચન શ્રેણી ત્યારે મળે છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોમાંથી ત્રીજા ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરે છે.
એટલે કે,$n_1 = 3$ અને $n_2 = 4, 5, 6, \dots$.

(C) બોહરના મોડેલ મુજબ હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ અને કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K.E. = -T.E.$ છે.
તેથી,ગતિ ઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $K.E. / T.E. = 1 / -1$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1:-1$ છે.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર:
$E_n = - \frac{R_H}{n^2} \ J \ atom^{-1}$
જ્યાં $R_H$ એ ઉર્જા માટેનો રિડબર્ગ અચળાંક છે,જે આશરે $2.18 \times 10^{-18} \ J$ છે.
તેને $kJ \ mol^{-1}$ માં ફેરવતા:
$E_n = - \frac{2.18 \times 10^{-18} \times 6.022 \times 10^{23}}{n^2} \ J \ mol^{-1} \approx - \frac{1312 \ kJ \ mol^{-1}}{n^2}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,પ્રમાણિત અચળાંકની સૌથી નજીકની કિંમત $1313.3 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.

(B) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \times n^2$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n_1 = 1)$ માટે,$r_1 = a_0 \times (1)^2 = a_0$.
બીજી કક્ષા $(n_2 = 2)$ માટે,$r_2 = a_0 \times (2)^2 = 4a_0$.
બીજી કક્ષા અને પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_2}{r_1} = \frac{4a_0}{a_0} = 4$ થાય છે.

(B) તરંગ સંખ્યા $\bar{\nu}$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ સંક્રમણ માટે,$\bar{\nu} = 109677 \ cm^{-1} \times (1 - 1/4) = 82257.75 \ cm^{-1}$.
મીટરમાં રૂપાંતરિત કરતા: $\bar{\nu} = 8225775 \ m^{-1}$.
આવૃત્તિ $\nu$ ની ગણતરી $\nu = c \times \bar{\nu}$ મુજબ થાય છે.
$\nu = (3 \times 10^8 \ m/s) \times (8225775 \ m^{-1}) = 2.4677 \times 10^{15} \ Hz \approx 24.66 \times 10^{14} \ Hz$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 a_0$ છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ (ભૂમિ અવસ્થા) માટે,$n = 1$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા: $r_2 = (2)^2 a_0 = 4a_0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r_n^2$ છે.
$r_n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A_n \propto (n^2)^2 = n^4$ મળે છે.
તેથી,બીજી કક્ષા $(n=2)$ અને પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{2^4}{1^4} = \frac{16}{1} = 16:1$ છે.

(A) એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના કોણીય વેગમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,જેમાંથી $v = \frac{nh}{2\pi mr}$ મળે છે.
$T$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2\pi r}{(nh / 2\pi mr)} = \frac{4\pi^2 mr^2}{nh}$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
હાઇડ્રોજન $(H)$ પરમાણુની પ્રથમ બોહર કક્ષા માટે: $n = 1$ અને $Z = 1$. તેથી,$r_H = 0.529 \times \frac{1^2}{1} = 0.529 \ \mathring{A}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$Be^{3+}$ માટે: $Z = 4$ અને $n = 2$. તેથી,$r = 0.529 \times \frac{2^2}{4} = 0.529 \times \frac{4}{4} = 0.529 \ \mathring{A}$.
આમ,$Be^{3+}$ $(n = 2)$ ની ત્રિજ્યા હાઇડ્રોજનની પ્રથમ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{R_H}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_H = 2.18 \times 10^{-18} \ J$ છે.
$n_2 = 4$ થી $n_1 = 1$ માં સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E_4 - E_1 = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 2.18 \times 10^{-18} \times \frac{15}{16} \ J$.
$\Delta E = h\nu$ હોવાથી,આવૃત્તિ $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ થાય.
$\nu = \frac{2.18 \times 10^{-18} \times 15}{16 \times 6.625 \times 10^{-34}} \approx 3.08 \times 10^{15} \ s^{-1}$.