Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(A) कार्य फलन $\phi$ देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से इस समीकरण द्वारा संबंधित है: $\phi = \frac{hc}{\lambda}$.
दिया गया है $\phi = 6.63 \times 10^{-19} \ J$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$,और $c = 3 \times 10^{8} \ m \ s^{-1}$.
मान रखने पर: $6.63 \times 10^{-19} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{6.63 \times 10^{-19}} \ m$.
$\lambda = 3 \times 10^{-7} \ m$.
नैनोमीटर $(nm)$ में बदलने पर: $\lambda = 3 \times 10^{-7} \times 10^{9} \ nm = 300 \ nm$.

(B) बोर के मॉडल के अनुसार,हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन का वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_n = v_0 \times \frac{Z}{n}$,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है और $n$ कक्षा की संख्या है।
$He^{+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
प्रथम कक्षा $(n=1)$ में,वेग $v = v_0 \times \frac{2}{1} = 2v_0$ है। अतः,$v_0 = \frac{v}{2}$।
दूसरी कक्षा $(n=2)$ में,वेग $v^{\prime} = v_0 \times \frac{2}{2} = v_0$ होगा।
$v_0$ का मान रखने पर: $v^{\prime} = \frac{v}{2} = 0.5v$।

(A) एक आदर्श पिंड जो सभी आवृत्तियों के विकिरणों का उत्सर्जन और अवशोषण करता है,उसे कृष्णिका (black body) कहा जाता है और ऐसे पिंड द्वारा उत्सर्जित विकिरण को कृष्णिका विकिरण कहा जाता है।
प्लांक के नियम के अनुसार,किसी दिए गए तापमान पर कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता तरंगदैर्ध्य घटने के साथ बढ़ती है,एक विशिष्ट तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{max})$ पर अधिकतम मान तक पहुँचती है,और फिर तरंगदैर्ध्य में और कमी होने पर घटने लगती है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,विकिरण की कुल तीव्रता बढ़ती है और उत्सर्जन वक्र का शिखर छोटी तरंगदैर्ध्य की ओर स्थानांतरित हो जाता है (वीन का विस्थापन नियम)।
चूंकि $T_{2} > T_{1}$ है,इसलिए $T_{2}$ के लिए वक्र $T_{1}$ के वक्र से ऊपर होगा और इसका शिखर $T_{1}$ के शिखर की तुलना में छोटी तरंगदैर्ध्य पर होगा।
अतः,सही निरूपण पहले ग्राफ (विकल्प $A$) में दर्शाया गया है।

(B) ऊर्जा $(E)$ और तापमान $(T)$ के बीच संबंध $E = k_B T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
दिया गया है $E = 1.0 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$.
बोल्ट्जमैन स्थिरांक $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$.
मान रखने पर: $T = \frac{E}{k_B} = \frac{1.602 \times 10^{-19} \ J}{1.38 \times 10^{-23} \ J/K} \approx 1.16 \times 10^4 \ K$.
अतः,दिए गए विकल्पों में से सबसे निकटतम मान $10^4 \ K$ है।

(A) बोहर के ऊर्जा सूत्र के अनुसार,$\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ \text{eV/atom}$.
$n=1$ से $n=3$ के संक्रमण के लिए:
$\Delta E_{1}$ ${\rightarrow 3} = 13.6 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = 13.6 \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = 13.6 \left[ \frac{8}{9} \right]$.
$n=1$ से $n=2$ के संक्रमण के लिए:
$\Delta E_{1}$ ${\rightarrow 2} = 13.6 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = 13.6 \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = 13.6 \left[ \frac{3}{4} \right]$.
अतः,अनुपात है:
$\frac{\Delta E_{1 \to 3}}{\Delta E_{1 \to 2}} = \frac{13.6 \left[ \frac{8}{9} \right]}{13.6 \left[ \frac{3}{4} \right]} = \frac{8}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{32}{27}$

(A) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
दिए गए मान हैं:
प्लांक स्थिरांक $(h) = 6.626 \times 10^{-34} \, J \, s$
प्रकाश की गति $(c) = 3 \times 10^8 \, ms^{-1}$
तरंगदैर्ध्य $(\lambda) = 1 \, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \, s \times 3 \times 10^8 \, ms^{-1}}{1 \, m}$
$E = 19.878 \times 10^{-26} \, J$
$E = 1.988 \times 10^{-25} \, J$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_1 = 400 \ nm$ के लिए: $E_1 \approx 3.1 \ eV$।
$\lambda_2 = 800 \ nm$ के लिए: $E_2 \approx 1.55 \ eV$।
धातु का कार्य फलन $\Phi = 2 \ eV$ है,इसलिए फोटोइलेक्ट्रॉन केवल तभी उत्सर्जित होते हैं यदि आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E \ge \Phi$ हो।
यहाँ,$E_1 (3.1 \ eV) > 2 \ eV$ और $E_2 (1.55 \ eV) < 2 \ eV$ है।
अतः,केवल $400 \ nm$ प्रकाश फोटोइलेक्ट्रॉन के उत्सर्जन का कारण बनता है।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा ज्ञात की जाती है।
दिया गया है $\lambda = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s \times 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{400 \times 10^{-9} \ m} = 4.97 \times 10^{-19} \ J$.
$eV$ में बदलने पर: $E = \frac{4.97 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J \ eV^{-1}} \approx 3.1 \ eV$.
यदि आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन (work function) से अधिक या उसके बराबर है,तो फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं।
सामान्य कार्य फलन मानों के आधार पर ($K \approx 2.2 \ eV$,$Li \approx 2.4 \ eV$,$Mg \approx 3.7 \ eV$,$Ag \approx 4.3 \ eV$),केवल $K$ और $Li$ का कार्य फलन $3.1 \ eV$ से कम है।

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव के अनुसार,प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की संख्या आपतित विकिरण की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते विकिरण की आवृत्ति थ्रेशोल्ड आवृत्ति से अधिक हो।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$I_{photoelectric} \propto \text{विकिरण की तीव्रता}$
यह रैखिक संबंध दर्शाता है कि जैसे-जैसे आपतित प्रकाश की तीव्रता बढ़ती है,प्रकाश-विद्युत धारा रैखिक रूप से बढ़ती है।
इसलिए,इस संबंध को दर्शाने वाला ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \, pm$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(H)$ के लिए, $n = 1$ और $Z = 1$, इसलिए $r_H = 52.9 \, pm \approx 53 \, pm$।
$He^{+}$ आयन के लिए, $n = 1$ और $Z = 2$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $r_{He^{+}} = 52.9 \times \frac{1^2}{2} = 26.45 \, pm$।
इस मान को पूर्णांकित करने पर, हमें $27 \, pm$ प्राप्त होता है।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ है।
प्रथम बोहर कक्षा के लिए,$n = 1$,इसलिए $r \propto \frac{1}{Z}$,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है।
परमाणु क्रमांक हैं: $Z_H = 1$,$Z_{He^{+}} = 2$,और $Z_{Li^{2+}} = 3$।
चूंकि त्रिज्या परमाणु क्रमांक $(Z)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए उच्च परमाणु क्रमांक का अर्थ है छोटी त्रिज्या।
अतः,त्रिज्याओं का क्रम $r_H > r_{He^{+}} > r_{Li^{2+}}$ है।

(C) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है: $r = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$।
$Li^{2+}$ आयन की $3^{rd}$ कक्षा के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ और परमाणु संख्या $Z = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r = 0.529 \times \frac{3^2}{3} \ \mathring{A}$
$r = 0.529 \times 3 \ \mathring{A}$
$r = 1.587 \ \mathring{A}$।

(B) $(B)$
$\lambda = 0.57 \times 10^{-6} \ m$
$E_{\text{photon}} = \frac{hc}{\lambda}$
$\text{Power} = \frac{\text{Total Energy}}{\text{Time}} = \frac{n \times hc}{\lambda \times t}$
$\text{Power} = \frac{14.33 \times 10^{19} \times 6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{0.57 \times 10^{-6}}$
$\text{Power} = \frac{28.49 \times 10^{-7}}{0.57 \times 10^{-6}} \approx 50 \ W$

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)$ है।
पाश्चन श्रेणी के लिए,$n_1 = 3$ है। पहली रेखा के लिए $n_2 = 4$ और दूसरी रेखा के लिए $n_2 = 5$ है।
पहली रेखा के लिए: $\frac{1}{\lambda_1} = R_H \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{16}\right) = R_H \left(\frac{7}{144}\right)$।
दिया गया है $\lambda_1 = 720 \ nm$,इसलिए $\frac{1}{720} = R_H \left(\frac{7}{144}\right)$।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{25}\right) = R_H \left(\frac{16}{225}\right)$।
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{16/225}{7/144} = \frac{2304}{1575}$।
$\lambda_2 = 720 \times \frac{1575}{2304} = 492.1875 \ nm$।
निकटतम पूर्णांक $492 \ nm$ है।

(B) $1$. कथन $A$ गलत है क्योंकि तापमान के साथ विकिरण की तीव्रता बढ़ती है,इसलिए $T_1 > T_2 > T_3 > T_4$.
$2$. कथन $B$ सही है; मैक्स प्लैंक ने प्रस्तावित किया था कि कृष्णिका में परमाणु सरल आवर्त गति करने वाले दोलकों के रूप में व्यवहार करते हैं।
$3$. कथन $C$ सही है; वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{max} \propto \frac{1}{T}$,इसलिए जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,शिखर तरंगदैर्ध्य छोटे मानों की ओर स्थानांतरित हो जाती है।
$4$. कथन $D$ गलत है; वीन का विस्थापन नियम कहता है $\lambda_{max} T = \text{constant}$,जिसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\lambda_{max}}$. चूंकि आवृत्ति $\nu = \frac{c}{\lambda}$,हमारे पास $T \propto \nu_{max}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{T}{\nu_{max}} = \text{constant}$.
$5$. कथन $E$ सही है; प्लैंक के क्वांटम सिद्धांत ने कृष्णिका विकिरण स्पेक्ट्रम को सफलतापूर्वक समझाया।
अतः,सही कथन $B$,$C$ और $E$ हैं। सही कथनों की कुल संख्या $3$ है।

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ कक्षा की संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$Li^{2+}$ के लिए,$Z = 3$ और $n = 2$ है। दिया गया है कि $r_2 = x$,इसलिए $x = a_0 \times \frac{2^2}{3} = \frac{4a_0}{3}$,जिसका अर्थ है $a_0 = \frac{3x}{4}$।
$Be^{3+}$ के लिए,$Z = 4$ और $n = 3$ है। त्रिज्या $r_3 = a_0 \times \frac{3^2}{4} = \frac{9a_0}{4}$ है।
$a_0 = \frac{3x}{4}$ को $r_3$ के समीकरण में रखने पर:
$r_3 = \frac{9}{4} \times (\frac{3x}{4}) = \frac{27}{16} x$।

(B) $H$ परमाणु के लिए लाइमैन श्रेणी में,सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda} = R_H \times 1^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2}) = R_H$ $(1)$
$He^{+}$ आयन के लिए बामर श्रेणी में,सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_{He^{+}}} = R_H \times 2^2 \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R_H \times 4 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = R_H \times 4 \times \frac{5}{36} = R_H \times \frac{5}{9}$ $(2)$
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda_{He^{+}}}{\lambda} = \frac{R_H}{R_H \times \frac{5}{9}} = \frac{9}{5}$
अतः,$\lambda_{He^{+}} = \frac{9 \lambda}{5}$.

(C) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0$ हाइड्रोजन परमाणु की पहली बोहर कक्षा की त्रिज्या है।
दिया गया है $a_0 = 0.6 \mathring{A} = 60 \, pm$.
$He^{+}$ की तीसरी बोहर कक्षा के लिए,$n = 3$ और $Z = 2$.
$r = 60 \times \frac{3^2}{2} \, pm$.
$r = 60 \times \frac{9}{2} \, pm$.
$r = 30 \times 9 = 270 \, pm$.

(A) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
$He^+$ $(Z = 2)$ के लिए,$n_2 = 4$ से $n_1 = 2$ का संक्रमण:
$\frac{1}{\lambda} = R (2)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 4R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 4R \left( \frac{3}{16} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
हाइड्रोजन $(Z = 1)$ के लिए,हम ऐसा संक्रमण खोजते हैं जिससे:
$\frac{1}{\lambda} = R (1)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
तुलना करने पर,$\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} = \frac{3}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}$.
अतः,संक्रमण $n = 2$ से $n = 1$ है।

(B) हेनरी मोसले का नियम बताता है कि किसी तत्व द्वारा उत्सर्जित अभिलक्षणिक $X$-रे की आवृत्ति का वर्गमूल उसके परमाणु क्रमांक $(Z)$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\sqrt{\nu} = a(Z - b)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं।
इसलिए,$\sqrt{\nu}$ बनाम $Z$ का आलेख एक सीधी रेखा देता है।
अतः,सही ग्राफ $\sqrt{\nu}$ बनाम $Z$ है।

(C) संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta E = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
मान रखने पर: $1.47 \times 10^{-17} = 2.18 \times 10^{-18} \times 3^2 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$.
$1.47 \times 10^{-17} = 1.962 \times 10^{-17} \left( \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right)$.
$\frac{1.47}{1.962} \approx 0.75 = \frac{3}{4} = \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$.
$n = 1$ के लिए: $\frac{2(1)+1}{1^2(2^2)} = \frac{3}{4}$.
अतः,$n = 1$।

(B) अभिकथन $A$ सही है क्योंकि प्रकाश-विद्युत प्रभाव एक तात्कालिक प्रक्रिया है जो केवल तभी होती है जब आपतित प्रकाश की आवृत्ति $v$,देहली आवृत्ति $v_0$ से अधिक होती है।
कारण $R$ गलत है क्योंकि किसी भी ऊर्जा का फोटॉन इलेक्ट्रॉन का उत्सर्जन नहीं करा सकता है। इलेक्ट्रॉन को उत्सर्जित करने के लिए आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन (work function) के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए। इसके अलावा,फोटॉन से इलेक्ट्रॉन में ऊर्जा का स्थानांतरण एक 'ऑल-ऑर-नथिंग' प्रक्रिया है,न कि 'किसी भी' ऊर्जा के लिए सामान्य स्थानांतरण।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \ J \ s \times 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{400 \times 10^{-9} \ m} = 4.95 \times 10^{-19} \ J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन वोल्ट $(eV)$ में बदलने पर: $E = \frac{4.95 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV} \approx 3.1 \ eV$.
प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(W_0)$ से अधिक होती है $(E > W_0)$.
$3.1 \ eV$ की तुलना दिए गए कार्य फलनों से करने पर:
$Li (2.42 \ eV) < 3.1 \ eV$ (हाँ)
$Na (2.3 \ eV) < 3.1 \ eV$ (हाँ)
$K (2.25 \ eV) < 3.1 \ eV$ (हाँ)
$Mg (3.7 \ eV) > 3.1 \ eV$ (नहीं)
$Cu (4.8 \ eV) > 3.1 \ eV$ (नहीं)
$Ag (4.3 \ eV) > 3.1 \ eV$ (नहीं)
अतः,$3$ धातुएं $(Li, Na, K)$ प्रकाश-विद्युत प्रभाव दिखाएंगी।

(D) $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$.
अतः,$E_n \propto \frac{1}{n^2}$.
पहली कक्षा $(n_1 = 1)$ के लिए,$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \ J$.
तीसरी कक्षा $(n_3 = 3)$ के लिए,$E_3 = E_1 \times \frac{n_1^2}{n_3^2} = E_1 \times \frac{1^2}{3^2} = \frac{E_1}{9}$.
इस प्रकार,तीसरी बोहर कक्षा में ऊर्जा,पहली बोहर कक्षा की ऊर्जा का $1/9$ भाग है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रमी श्रेणियों को उस विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के क्षेत्र के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है जिसमें वे दिखाई देती हैं:
$A$. लाइमन श्रेणी: $n=1$ पर संक्रमण,जो $UV$ क्षेत्र $(II)$ में आता है।
$B$. बामर श्रेणी: $n=2$ पर संक्रमण,जो दृश्य क्षेत्र $(IV)$ में आता है।
$C$. पाश्चन श्रेणी: $n=3$ पर संक्रमण,जो अवरक्त क्षेत्र $(III)$ में आता है।
$D$. फुंड श्रेणी: $n=5$ पर संक्रमण,जो अवरक्त क्षेत्र $(I)$ में आता है।
अतः,सही मिलान $A-II, B-IV, C-III, D-I$ है।

(B) $5^{th}$ उत्तेजित अवस्था का अर्थ है $n_2 = 5 + 1 = 6$.
$1^{st}$ उत्तेजित अवस्था का अर्थ है $n_1 = 1 + 1 = 2$.
जब एक इलेक्ट्रॉन $n_2$ से $n_1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित वर्णक्रमीय रेखाओं की संख्या का सूत्र $\frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$ है।
मान रखने पर: $\Delta n = n_2 - n_1 = 6 - 2 = 4$.
वर्णक्रमीय रेखाओं की संख्या $= \frac{4(4 + 1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = 10$.

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
सूत्र $E = \frac{1240}{\lambda (nm)} \ eV$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{1240}{242} \ eV \approx 5.124 \ eV$.
इसे $J \ mol^{-1}$ में बदलने के लिए,हम $1.602 \times 10^{-19} \ J/eV$ और आवोगाद्रो संख्या $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ से गुणा करते हैं।
$E = 5.124 \times 1.602 \times 10^{-19} \times 6.022 \times 10^{23} \ J \ mol^{-1}$.
$E \approx 494,300 \ J \ mol^{-1} = 494 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_n = 2.18 \times 10^6 \times \frac{Z}{n} \ ms^{-1}$.
हाइड्रोजन परमाणु की पहली कक्षा के लिए,$Z = 1$ और $n = 1$ है।
इन मानों को रखने पर: $v_1 = 2.18 \times 10^6 \times \frac{1}{1} \ ms^{-1}$.
$v_1 = 2.18 \times 10^6 \ ms^{-1} = 21.8 \times 10^5 \ ms^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $22 \times 10^5 \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,किसी कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(E)$ उसकी गतिज ऊर्जा $(KE)$ से $E = -KE$ संबंध द्वारा संबंधित होती है।
दिया गया है कि प्रथम उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $-3.4 \ eV$ है,इसलिए $E = -3.4 \ eV$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा $KE = -E = -(-3.4 \ eV) = 3.4 \ eV$ होगी।
हमें $KE = x \ eV$ दिया गया है,इसलिए $x = 3.4$ है।
हमें $x$ को $x \times 10^{-1} \ eV$ के रूप में व्यक्त करना है।
$3.4 = 34 \times 10^{-1}$ है।
इस प्रकार,$x$ का मान $34$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -R_H \left( \frac{Z^2}{n^2} \right) \ J$।
$He^{+}$ आयन के लिए,$Z=2$ और $n=1$: $E_1 = -R_H \left( \frac{2^2}{1^2} \right) = -4 R_H$।
दिया गया है कि $E_1 = -x \ J$,इसलिए $-4 R_H = -x$,जिसका अर्थ है $R_H = \frac{x}{4}$।
$Be^{3+}$ आयन के लिए,$Z=4$ और $n=2$: $E_2 = -R_H \left( \frac{4^2}{2^2} \right) = -R_H \left( \frac{16}{4} \right) = -4 R_H$।
$E_2$ के व्यंजक में $R_H = \frac{x}{4}$ रखने पर: $E_2 = -4 \left( \frac{x}{4} \right) = -x \ J$।

(D) बोर के सिद्धांत के अनुसार:
$1$. किसी भी कक्षा के लिए,$V_{n} = -2K_{n}$,इसलिए $V_{n} / K_{n} = -2$. अतः,$A-R$.
$2$. त्रिज्या $r_{n} \propto n^{2}/Z$ और $E_{n} \propto -Z^{2}/n^{2}$. इसलिए,$r_{n} \propto 1/E_{n}$,जिसका अर्थ है $r_{n} \propto E_{n}^{-1}$. अतः,$x = -1$. अतः,$B-Q$.
$3$. कोणीय संवेग $L = nh / (2\pi)$. निम्नतम कक्षा $(n=1)$ के लिए,$L = h / (2\pi)$. दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$C$ का मिलान $P$ $(0)$ से होता है। अतः,$C-P$.
$4$. चूंकि $r_{n} \propto 1/Z$,इसलिए $1/r_{n} \propto Z^{1}$. अतः,$y = 1$. अतः,$D-S$.
इसलिए,सही मिलान $A-R, B-Q, C-P, D-S$ है।

(C) बोहर के अभिधारणा के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $m v r_n = \frac{n h}{2 \pi}$ होता है।
दूसरी कक्षा $(n = 2)$ के लिए,त्रिज्या $r_2 = n^2 a_0 = 2^2 a_0 = 4 a_0$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $m v (4 a_0) = \frac{2 h}{2 \pi} = \frac{h}{\pi}$।
वेग $v$ के लिए हल करने पर: $v = \frac{h}{4 m \pi a_0}$।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m v^2$ है।
$v$ का मान रखने पर: $KE = \frac{1}{2} m \left( \frac{h}{4 m \pi a_0} \right)^2 = \frac{1}{2} m \cdot \frac{h^2}{16 m^2 \pi^2 a_0^2} = \frac{h^2}{32 m \pi^2 a_0^2}$।

(A) बोहर के एक-इलेक्ट्रॉन परमाणु के मॉडल के अनुसार:
$1.$ $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या,$r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2} \propto n^2$. अतः,$(I)$ का मिलान $(T)$ से होता है।
$2.$ कोणीय संवेग,$L = \frac{nh}{2\pi} \propto n^1$. अतः,$(II)$ का मिलान $(S)$ से होता है।
$3.$ गतिज ऊर्जा,$KE = \frac{m Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2} \propto n^{-2}$. अतः,$(III)$ का मिलान $(P)$ से होता है।
$4.$ स्थितिज ऊर्जा,$PE = - \frac{m Z^2 e^4}{4 \epsilon_0^2 n^2 h^2} \propto n^{-2}$. अतः,$(IV)$ का मिलान $(P)$ से होता है।
प्रश्न $(1)$ के लिए,सही संयोजन $(I), (T)$ है,जो विकल्प $(3)$ है।
प्रश्न $(2)$ के लिए,सही संयोजन $(III), (P)$ है,जो विकल्प $(4)$ है।
अतः,उत्तर $3, 4$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है: $r_n = a_0 \cdot \frac{n^2}{Z}$।
$He^+$ की प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ और परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
इन मानों को रखने पर: $r = a_0 \cdot \frac{2^2}{2} = a_0 \cdot \frac{4}{2} = 2 a_0$।

(A) दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda = 900 \ nm = 9 \times 10^{-5} \ cm$.
रिडबर्ग नियतांक $R_{H} = 10^5 \ cm^{-1}$.
$H$-परमाणु $(Z=1)$ के लिए रिडबर्ग समीकरण का उपयोग करने पर: $\frac{1}{\lambda} = R_{H} \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
मान रखने पर: $\frac{1}{9 \times 10^{-5}} = 10^5 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
$\frac{1}{9} = \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}$.
इस समानता के लिए,$n_1 = 3$ और $n_2 = \infty$ होना चाहिए।
यह पाश्चन श्रेणी में $\infty \rightarrow 3$ संक्रमण के अनुरूप है।

(B) हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज के लिए स्थिर अवस्था की ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
स्थिर मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के लिए,ऊर्जा $E$ परमाणु क्रमांक $Z$ के वर्ग के सीधे समानुपाती होती है (ऋणात्मक चिह्न के साथ):
$E \propto -Z^2$
इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे $Z$ बढ़ता है,$E$ अधिक ऋणात्मक होता जाता है (अर्थात,यह घटता है)।
संबंध $E = -kZ^2$ (जहाँ $k = \frac{13.6}{n^2}$ एक धनात्मक स्थिरांक है) ऋणात्मक $E$ क्षेत्र में मूल बिंदु से शुरू होने वाले नीचे की ओर खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है।
इसलिए,बढ़ते $Z$ के साथ $E$ में परवलयिक कमी दर्शाने वाला ग्राफ सही निरूपण है।

(C) बोहर मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
किन्हीं दो कक्षाओं $n_1$ और $n_2$ के लिए,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_{n_2}}{r_{n_1}} = (\frac{n_2}{n_1})^2$ होता है।
$(A)$ $\frac{r_3}{r_1} = (\frac{3}{1})^2 = 9$. (सही)
$(B)$ $\frac{r_8}{r_4} = (\frac{8}{4})^2 = 2^2 = 4$. (सही)
$(C)$ $\frac{r_6}{r_4} = (\frac{6}{4})^2 = (1.5)^2 = 2.25$. कथन में कहा गया है कि यह $3$ गुना बड़ी है,जो गलत है।
$(D)$ $\frac{r_4}{r_2} = (\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$. (सही)

(D) परमाणु के क्वांटम यांत्रिक मॉडल के अनुसार,इलेक्ट्रॉन बोहर द्वारा प्रस्तावित एक अच्छी तरह से परिभाषित वृत्ताकार कक्षा में नहीं घूमता है।
इसके बजाय,इलेक्ट्रॉन एक कक्षक (orbital) में मौजूद होता है,जो अंतरिक्ष का एक त्रि-आयामी क्षेत्र है जहाँ इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की संभावना अधिकतम होती है।
इसलिए,यह अभिधारणा कि इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर एक वृत्त में घूमता है,क्वांटम यांत्रिक मॉडल के साथ सहमत नहीं है।

(D) $Cs$ की देहली आवृत्ति $\nu_0 = 5.16 \times 10^{14} \ Hz$ है।
पीले प्रकाश की आवृत्ति $\nu_0$ से अधिक होती है,इसलिए यह प्रकाश-विद्युत प्रभाव दर्शाता है ($A$ सही है)।
प्रकाश की तीव्रता कम करने से फोटोकरंट कम हो जाता है ($B$ सही है)।
लाल प्रकाश की आवृत्ति देहली आवृत्ति से कम होती है,इसलिए यह प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न नहीं कर सकता ($C$ गलत है)।
नीले प्रकाश की आवृत्ति पीले प्रकाश से अधिक होती है,इसलिए यह धारा उत्पन्न करता है ($D$ सही है)।
सफेद प्रकाश में सभी आवृत्तियाँ होती हैं,इसलिए यह धारा उत्पन्न करता है ($E$ सही है)।
अतः,कथन $A, B, D$ और $E$ सही हैं।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ है।
$H$ परमाणु के लिए,पहली बोहर कक्षा $(n=1, Z=1)$ की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ eV$ है।
$Be^{3+}$ आयन $(Z=4)$ के लिए,पहली उत्तेजित अवस्था $n=2$ के अनुरूप है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $E = -13.6 \times \frac{4^2}{2^2} \ eV$ प्राप्त होता है।
$E = -13.6 \times \frac{16}{4} \ eV = -13.6 \times 4 \ eV = -54.4 \ eV$ है।
ऊर्जा का परिमाण $|E| = 54.4 \ eV$ है।
निकटतम पूर्णांक मान $54$ है।

(D) अवशोषित या उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$.
$n=2 \rightarrow n=3$ संक्रमण के लिए: $\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$.
$n=4 \rightarrow n=6$ संक्रमण के लिए: $\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{36} \right) = \frac{5R}{144}$.
अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5R/144}{5R/36} = \frac{36}{144} = \frac{1}{4}$.

$(A)$ $\text{$n^{th}$ कक्षा की ऊर्जा } E_{n} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^{2}}{n^{2}} \ J$ $\text{सूत्र द्वारा दी जाती है।}$
$He^{+}$ $(Z=2, n=1)$ $\text{के लिए: } E_{1} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{2^{2}}{1^{2}} = -8.72 \times 10^{-18} \ J$.
$Li^{2+}$ $(Z=3, n=1)$ $\text{के लिए: } E_{1} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^{2}}{1^{2}} = -19.62 \times 10^{-18} \ J$.
$\text{$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या } r_{n} = 52.9 \times \frac{n^{2}}{Z} \ pm$ $\text{सूत्र द्वारा दी जाती है।}$
$He^{+}$ $(Z=2, n=1)$ $\text{के लिए: } r_{1} = 52.9 \times \frac{1^{2}}{2} = 26.45 \ pm \approx 26.4 \ pm$.
$Li^{2+}$ $(Z=3, n=1)$ $\text{के लिए: } r_{1} = 52.9 \times \frac{1^{2}}{3} = 17.63 \ pm \approx 17.6 \ pm$.

(C) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ है।
$He^{+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
$4^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $(r_4)$ $r_4 = 0.529 \times \frac{4^2}{2} = 4.232 \ \mathring{A}$ है।
$3^{rd}$ कक्षा की त्रिज्या $(r_3)$ $r_3 = 0.529 \times \frac{3^2}{2} = 2.3805 \ \mathring{A}$ है।
$4^{th}$ और $3^{rd}$ कक्षाओं के बीच की दूरी $\Delta r = r_4 - r_3 = 4.232 - 2.3805 = 1.8515 \ \mathring{A}$ है।
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,इसलिए दूरी $1.8515 \times 10^{-10} \ m$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ eV$ है।
जब $12.75 \ eV$ की इलेक्ट्रॉन बीम हाइड्रोजन गैस पर टकराती है,तो उत्तेजित हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा $E = -13.6 + 12.75 = -0.85 \ eV$ हो जाती है।
$E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $-0.85 = -13.6 / n^2$ प्राप्त होता है,जिससे $n^2 = 16$,अतः $n = 4$ मिलता है।
$n = 4$ अवस्था से संभावित संक्रमण हैं:
$n = 4$ $\rightarrow 3, 4$ $\rightarrow 2, 4$ $\rightarrow 1, 3$ $\rightarrow 2, 3$ $\rightarrow 1, 2$ $\rightarrow 1$।
$n = 1$ पर समाप्त होने वाले संक्रमण लाइमन श्रेणी में आते हैं $(4$ $\rightarrow 1, 3$ $\rightarrow 1, 2$ $\rightarrow 1)$।
$n = 2$ पर समाप्त होने वाले संक्रमण बामर श्रेणी में आते हैं $(4$ $\rightarrow 2, 3$ $\rightarrow 2)$।
$n = 3$ पर समाप्त होने वाला संक्रमण पाश्चन श्रेणी में आता है $(4 \rightarrow 3)$।
अतः,उत्सर्जित तरंग दैर्ध्य लाइमन,बामर और पाश्चन श्रेणी में आते हैं।

(A) फोटॉन की ऊर्जा: $E_1 = \frac{1240}{248} = 5 \ eV$ और $E_2 = \frac{1240}{310} = 4 \ eV$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $K.E. = E - W$।
दिया गया है $u_1 : u_2 = 2 : 1$,इसलिए गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K.E._1}{K.E._2} = (\frac{u_1}{u_2})^2 = (\frac{2}{1})^2 = 4$।
अतः,$\frac{5 - W}{4 - W} = 4$।
$5 - W = 16 - 4W$।
$3W = 11$।
$W = \frac{11}{3} \approx 3.67 \ eV \approx 3.7 \ eV$।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ द्वारा दी जाती है।
$H^{-}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
$3^{rd}$ और $2^{nd}$ कक्षा के बीच की दूरी $\Delta r = r_3 - r_2$ है।
$\Delta r = \frac{0.529}{1} \times (3^2 - 2^2) \mathring{A}$.
$\Delta r = 0.529 \times (9 - 4) \mathring{A} = 0.529 \times 5 \mathring{A} = 2.645 \mathring{A}$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.65 \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = v_0 \times \frac{Z}{n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_0$ एक स्थिरांक है,$Z$ परमाणु क्रमांक है और $n$ कक्षा की संख्या है।
$He^{+}$ $(Z_1 = 2)$ के लिए दूसरी कक्षा $(n_1 = 2)$: $v_1 = v_0 \times \frac{2}{2} = v_0$.
$B^{4+}$ $(Z_2 = 5)$ के लिए तीसरी कक्षा $(n_2 = 3)$: $v_2 = v_0 \times \frac{5}{3}$.
वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{v_0}{v_0 \times \frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) $Pfund$ श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 5$ में होता है।
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R (2)^2 (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{\infty^2})$।
$\frac{1}{\lambda} = R \times 4 \times (\frac{1}{25} - 0) = \frac{4R}{25}$।
अतः,$\lambda = \frac{25}{4R}$।

(A) किसी भी हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज के लिए,कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$,और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ इस प्रकार संबंधित हैं:
$E = -K.E.$
$P.E. = 2 \times E = -2 \times K.E.$
दिया गया है कि $2^{nd}$ कक्षा की कुल ऊर्जा $E = -13.6 \ eV/atom$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा $K.E. = -E = -(-13.6 \ eV) = +13.6 \ eV$ होगी।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \ eV$ है।
चूंकि $\Delta E = \frac{hc}{\lambda} = hv$,$\lambda$ ऊर्जा $\Delta E$ के व्युत्क्रमानुपाती है,और $v$ ऊर्जा $\Delta E$ के समानुपाती है।
$(P). \text{Lyman series में } \lambda_{\max }$: न्यूनतम $\Delta E$ की आवश्यकता होती है,जो $2 \rightarrow 1$ है।
$(Q). \text{Balmer series में } v_{\min }$: न्यूनतम $\Delta E$ की आवश्यकता होती है,जो $3 \rightarrow 2$ है।
$(R). \text{Lyman series में } \lambda_{\min }$: अधिकतम $\Delta E$ की आवश्यकता होती है,जो $\infty \rightarrow 1$ है।
$(S). \text{Balmer series में } v_{\max }$: अधिकतम $\Delta E$ की आवश्यकता होती है,जो $\infty \rightarrow 2$ है।
अतः,सही मिलान $P-ii, Q-iii, R-i, S-iv$ है।