Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(C) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ऊर्जा अंतर $\Delta E$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\lambda = \frac{hc}{\Delta E})$।
सबसे कम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,हमें सबसे अधिक ऊर्जा अंतर $\Delta E$ वाले संक्रमण की आवश्यकता है।
संक्रमणों की तुलना करने पर:
$(A)$ $n_2=\infty$ से $n_1=2$: $\Delta E \propto 0.25$
$(B)$ $n_2=4$ से $n_1=3$: $\Delta E \propto 0.0486$
$(C)$ $n_2=2$ से $n_1=1$: $\Delta E \propto 0.75$
$(D)$ $n_2=5$ से $n_1=3$: $\Delta E \propto 0.0711$
संक्रमण $n_2=2$ से $n_1=1$ में सबसे अधिक ऊर्जा अंतर है,इसलिए यह सबसे कम तरंगदैर्ध्य का विकिरण उत्सर्जित करता है।

(C) लाइमन श्रेणी के लिए,रिडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$,जहाँ $n_1 = 1$ है।
दिया गया है $\lambda = \frac{16}{15 R}$,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = \frac{15 R}{16}$।
मान रखने पर: $\frac{15 R}{16} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$।
दोनों पक्षों को $R$ से विभाजित करने पर: $\frac{15}{16} = 1 - \frac{1}{n_2^2}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{n_2^2} = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$।
अतः,$n_2^2 = 16$,जिससे $n_2 = 4$ प्राप्त होता है।

(D) . रिडबर्ग स्थिरांक $(R_H)$ की इकाई $cm^{-1}$ या $m^{-1}$ होती है,और तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ की इकाई भी $cm^{-1}$ या $m^{-1}$ होती है। अतः,यह कथन सही है।
$B$. लाइमन श्रेणी $n=1$ में होने वाले संक्रमणों के अनुरूप है,जो पराबैंगनी क्षेत्र में आती है। यह कथन सही है।
$C$. बोहर की अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है। मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,कोणीय संवेग $\frac{h}{2\pi}$ है। यह कथन सही है।
$D$. हाइड्रोजन परमाणु की पहली बोहर कक्षा की त्रिज्या $0.529 \times 10^{-8} \ cm$ (या $0.529 \ \mathring{A}$) होती है। विकल्प में दिया गया मान $(2116 \times 10^{-8} \ cm)$ गलत है।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{310 \times 10^{-9}} \approx 6.416 \times 10^{-19} \ J$.
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $E = \frac{6.416 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 4.01 \ eV$.
गतिज ऊर्जा $K.E. = E - \Phi = 4.01 \ eV - 3.55 \ eV = 0.46 \ eV$.
$K.E. = 0.46 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 0.736 \times 10^{-19} \ J$.
$K.E. = \frac{1}{2} m_e v^2$ का उपयोग करने पर:
$0.736 \times 10^{-19} = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-31} \times v^2$.
$v^2 = \frac{1.472 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-31}} \approx 0.1635 \times 10^{12} = 16.35 \times 10^{10}$.
$v \approx 4.04 \times 10^5 \ ms^{-1}$.
अतः,$x \approx 4$.

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य को मीटर में बदलने पर: $\lambda = 331.5 \times 10^{-9} \ m$.
प्रति फोटॉन ऊर्जा: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{331.5 \times 10^{-9}} = 6 \times 10^{-19} \ J$.
प्रति मोल ऊर्जा: $E_{mol} = E \times N_A = 6 \times 10^{-19} \times 6 \times 10^{23} = 3.6 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$.
प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करने पर: $E_{mol} = W + KE_{mol}$,जहाँ $W$ कार्य फलन है।
$W = 3.6 \times 10^5 - 1.2 \times 10^5 = 2.4 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$.
प्रति परमाणु $eV$ में बदलने के लिए: $W_{eV} = \frac{2.4 \times 10^5}{6 \times 10^{23} \times 1.6 \times 10^{-19}} = \frac{2.4 \times 10^5}{9.6 \times 10^4} = 2.5 \ eV$.

(B) दी गई देहली आवृत्ति,$\nu_0 = 1.0 \times 10^{15} \ s^{-1}$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E._{max})$ को $K.E._{max} = h(\nu - \nu_0)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है।
$\nu_1 = 1.5 \times 10^{15} \ s^{-1}$ के लिए:
$K.E._1 = h(1.5 \times 10^{15} - 1.0 \times 10^{15}) = h(0.5 \times 10^{15})$
$\nu_2 = 2.0 \times 10^{15} \ s^{-1}$ के लिए:
$K.E._2 = h(2.0 \times 10^{15} - 1.0 \times 10^{15}) = h(1.0 \times 10^{15})$
अधिकतम गतिज ऊर्जाओं का अनुपात है:
$\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{h(0.5 \times 10^{15})}{h(1.0 \times 10^{15})} = \frac{0.5}{1.0} = 1:2$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ बोहर के अभिधारणा द्वारा दिया जाता है:
$L = \frac{nh}{2\pi}$
मूल अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
मान रखने पर:
$L = \frac{1 \times 6.625 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159} \ J \ s$
$L \approx \frac{6.625 \times 10^{-34}}{6.283} \ J \ s$
$L \approx 1.0545 \times 10^{-34} \ J \ s$
विकल्पों के अनुसार इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$1.0545 \times 10^{-34} = 1055 \times 10^{-37} \ J \ s$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) शक्ति $(P) = 100 \ W = 100 \ J \cdot s^{-1}$.
प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $(n) = 2.0 \times 10^{20} \ s^{-1}$.
एक फोटॉन की ऊर्जा $(E) = \frac{hc}{\lambda}$.
कुल उत्सर्जित शक्ति $P = n \times E = n \times \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $100 = \frac{2.0 \times 10^{20} \times 6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{2.0 \times 6.63 \times 3 \times 10^{20-34+8}}{100} \ m$.
$\lambda = \frac{39.78 \times 10^{-6}}{100} \ m = 39.78 \times 10^{-8} \ m$.
$\mathring{A}$ में बदलने पर: $\lambda = 39.78 \times 10^{-8} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 3978 \ \mathring{A}$.
अतः,$x = 3978$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E._{\max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K.E._{\max} = hv - \phi$
जहाँ $h$ प्लैंक स्थिरांक है,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
चूंकि स्टॉपिंग पोटेंशियल $(V_0)$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K.E._{\max} = eV_0$ समीकरण द्वारा संबंधित है,हम इसे प्रकाश-विद्युत समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$eV_0 = hv - \phi$
दोनों पक्षों को इलेक्ट्रॉन के आवेश $(e)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V_0 = \frac{hv}{e} - \frac{\phi}{e}$
यह समीकरण स्टॉपिंग पोटेंशियल $(V_0)$ और आवृत्ति $(v)$ के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है।

(A) Lyman श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_2$ से $n_1 = 1$ में होता है। Rydberg सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
उच्चतम तरंगदैर्ध्य (न्यूनतम ऊर्जा) के लिए,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ में होता है: $\frac{1}{\lambda_{max}} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4} R_H$,इसलिए $\lambda_{max} = \frac{4}{3 R_H}$।
निम्नतम तरंगदैर्ध्य (उच्चतम ऊर्जा) के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ में होता है: $\frac{1}{\lambda_{min}} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R_H$,इसलिए $\lambda_{min} = \frac{1}{R_H}$।
उच्चतम तरंगदैर्ध्य और निम्नतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = \frac{4 / (3 R_H)}{1 / R_H} = \frac{4}{3}$ है।

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव के संबंध में,विकल्प-$(C)$ का कथन सही नहीं है।
क्योंकि,जैसे ही प्रकाश की किरण सतह से टकराती है,धातु की सतह से इलेक्ट्रॉन तुरंत उत्सर्जित हो जाते हैं,अर्थात इसमें कोई समय अंतराल नहीं होता है।

(A) दिया गया है,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE) = 1.986 \times 10^{-19} \ J$.
विकिरण की आवृत्ति $(\nu) = 1.0 \times 10^{15} \ s^{-1}$.
प्लांक नियतांक $(h) = 6.62 \times 10^{-34} \ J \ s$.
प्रकाश-विद्युत प्रभाव समीकरण के अनुसार: $h\nu = h\nu_0 + KE$,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
$\nu_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $h\nu_0 = h\nu - KE$.
$\nu_0 = \nu - \frac{KE}{h}$.
मान रखने पर: $\nu_0 = 1.0 \times 10^{15} \ s^{-1} - \frac{1.986 \times 10^{-19} \ J}{6.62 \times 10^{-34} \ J \ s}$.
$\nu_0 = 1.0 \times 10^{15} \ s^{-1} - 0.3 \times 10^{15} \ s^{-1}$.
$\nu_0 = 0.7 \times 10^{15} \ s^{-1} = 7.0 \times 10^{14} \ s^{-1}$.

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ क्वांटाइज्ड होता है और इसे $L = n \frac{h}{2 \pi}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है $(n = 1, 2, 3, \dots)$.
इसे $L = \frac{n}{2} \cdot \frac{h}{\pi}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$n = 1$ के लिए,$L = 0.5 \frac{h}{\pi}$।
$n = 2$ के लिए,$L = 1.0 \frac{h}{\pi}$।
$n = 3$ के लिए,$L = 1.5 \frac{h}{\pi}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$1.25 \frac{h}{\pi}$ का मान $n$ के किसी भी पूर्णांक मान के अनुरूप नहीं है,इसलिए यह एक अनुमत मान नहीं है।

(A) $1 \ mol$ इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $6.023 \times 10^4 \ J$ है।
चूंकि $1 \ mol = 6.023 \times 10^{23} \ \text{परमाणु}$,इसलिए $1 \ \text{इलेक्ट्रॉन}$ की $KE$:
$KE = \frac{6.023 \times 10^4 \ J}{6.023 \times 10^{23}} = 1.0 \times 10^{-19} \ J$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{600 \times 10^{-9} \ m} = 3.313 \times 10^{-19} \ J$.
थ्रेशोल्ड ऊर्जा $(Phi)$ आपतित फोटॉन ऊर्जा और गतिज ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$\Phi = E - KE = 3.313 \times 10^{-19} \ J - 1.0 \times 10^{-19} \ J = 2.313 \times 10^{-19} \ J$.

(A) दिया गया है: $E = 3 \times 10^{-12} \ erg$,$h = 6.62 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$,$c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$.
सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करने पर,$\lambda = \frac{hc}{E}$.
$\lambda = \frac{6.62 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^{10}}{3 \times 10^{-12}} \ cm$.
$\lambda = 6.62 \times 10^{-5} \ cm$.
चूंकि $1 \ cm = 10^7 \ nm$,इसलिए $\lambda = 6.62 \times 10^{-5} \times 10^7 \ nm = 6.62 \times 10^2 \ nm = 662 \ nm$.

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E$ को $E = h \nu = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\lambda = 2000 \ \text{Å} = 2000 \times 10^{-8} \ \text{cm} = 2 \times 10^{-5} \ \text{cm}$.
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{10} \ \text{cm/s}$.
प्लांक स्थिरांक $h = 6.626 \times 10^{-27} \ \text{erg} \cdot \text{s}$.
आवृत्ति $\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^{10}}{2 \times 10^{-5}} = 1.5 \times 10^{15} \ \text{s}^{-1}$.
ऊर्जा $E = h \nu = (6.626 \times 10^{-27} \ \text{erg} \cdot \text{s}) \times (1.5 \times 10^{15} \ \text{s}^{-1}) \approx 9.94 \times 10^{-12} \ \text{erg}$.

(C) क्वांटाइजेशन का अर्थ है भौतिक राशियों का निरंतर मान के बजाय अलग-अलग,विशिष्ट मानों तक सीमित होना।
सीढ़ी के मामले में,एक व्यक्ति केवल विशिष्ट पायदानों ($1^{st}, 2^{nd}, 3^{rd}$,आदि) पर ही खड़ा हो सकता है,जो परमाणु में अलग-अलग ऊर्जा स्तरों के अनुरूप है।
इसके विपरीत,सड़क पर चलती कार,गिरता हुआ सेब,या फेंकी गई डिस्क निरंतर गति का प्रतिनिधित्व करती है जहाँ कोई भी स्थिति या वेग संभव है।
इसलिए,सीढ़ी के पायदानों पर खड़ा होना इलेक्ट्रॉनों के क्वांटाइज्ड ऊर्जा स्तरों के लिए सबसे अच्छा सादृश्य है।

(C) $h \nu / K_{B}$ राशि तापमान के अनुरूप है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} K_{B} T$ होती है।
ऊर्जा के क्वांटम $h \nu$ को तापीय ऊर्जा $K_{B} T$ के बराबर रखने पर,$h \nu = K_{B} T$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{h \nu}{K_{B}} = T$।
इसलिए,$\frac{h \nu}{K_{B}}$ राशि तापमान की विमा रखती है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = v_0 \frac{Z}{n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है और $n$ कक्षा की संख्या है।
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
पहली कक्षा $(n=1)$ के लिए,वेग $v_1 = v_0 \frac{2}{1} = 2v_0$ है।
तीसरी कक्षा $(n=3)$ के लिए,वेग $v_3 = v_0 \frac{2}{3} = \frac{2}{3}v_0$ है।
अतः,अनुपात $v_3 : v_1 = \frac{2}{3}v_0 : 2v_0 = \frac{1}{3} : 1 = 1 : 3$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजाति के लिए $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की $1^{st}$ बोहर कक्षा के लिए $(n=1, Z=1)$: $r = 0.529 \times \frac{1^2}{1} = 0.529 \mathring{A}$।
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
$Be^{3+}$ $(Z=4)$ के लिए $n=2$ लेने पर: $r = 0.529 \times \frac{2^2}{4} = 0.529 \times \frac{4}{4} = 0.529 \mathring{A}$।
अतः,$Be^{3+}$ की $2^{nd}$ कक्षा की त्रिज्या हाइड्रोजन की $1^{st}$ कक्षा के समान है।

(D) बोहर मॉडल में कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए मूल अवस्था में $(n=1)$: $r_1 = a_0 \times \frac{1^2}{1} = a_0$.
$He^{+}$ आयन $(Z=2)$ के लिए मूल अवस्था में $(n=1)$: $r_2 = a_0 \times \frac{1^2}{2} = \frac{a_0}{2}$.
चूंकि $r_1 = a_0$,इसलिए $r_2 = \frac{r_1}{2}$.
अतः,$\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}$.

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_n = 2.188 \times 10^8 \times \frac{Z}{n} \ cm \ s^{-1}$।
हाइड्रोजन परमाणु की पहली बोहर कक्षा के लिए,$Z = 1$ और $n = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $v_1 = 2.188 \times 10^8 \times \frac{1}{1} \ cm \ s^{-1} = 2.188 \times 10^8 \ cm \ s^{-1}$।

(C) एक चक्कर में तय की गई दूरी कक्षा की परिधि है,जो $2 \pi r$ है।
वेग $(v)$ दूरी और समय $(T)$ का अनुपात है: $v = \frac{2 \pi r}{T}$।
बोहर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ है,जिससे $v = \frac{nh}{2 \pi mr}$ प्राप्त होता है।
वेग के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{2 \pi r}{T} = \frac{nh}{2 \pi mr}$।
$T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{2 \pi r \times 2 \pi mr}{nh} = \frac{4 \pi^2 m r^2}{nh}$।

(C) हाइड्रोजन-समान प्रजातियों के लिए आयनन ऊर्जा $(IE)$ का सूत्र है: $IE_n = 13.6 \times Z^2 / n^2 \ eV$।
$He$ के द्वितीय आयनन $(He^+ \rightarrow He^{2+} + e^-)$ के लिए,इलेक्ट्रॉन $He^+$ आयन की $n=1$ अवस्था से निकाला जाता है,जिसका परमाणु क्रमांक $Z=2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $IE = 13.6 \times (2^2 / 1^2) \ eV = 13.6 \times 4 \ eV = 54.4 \ eV$।

(B) सोमरफेल्ड ने हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखाओं की सूक्ष्म संरचना को समझाने के लिए दीर्घवृत्तीय कक्षाओं को प्रस्तुत किया। उनके मॉडल के अनुसार,इलेक्ट्रॉन नाभिक को एक फोकस पर रखकर दीर्घवृत्तीय कक्षा में गति करता है। प्रक्षेप पथ एक बंद दीर्घवृत्त जैसा वक्र है,जो पेरिहेलियन (नाभिक के सबसे निकटतम बिंदु) पर संकीर्ण और एफेलियन (नाभिक से सबसे दूरस्थ बिंदु) पर चपटा होता है।

(D) $1885$ में,जोहान बामर ने पहली बार दिखाया कि हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में मौजूद स्पेक्ट्रल लाइनों की तरंग संख्या इस सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\bar{v} (cm^{-1}) = 109677 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$
यहाँ,$n = 3, 4, 5, \dots$
इस प्रकार,हाइड्रोजन का बामर स्पेक्ट्रम सबसे पहले खोजा गया था और यह विद्युत चुंबकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में स्थित है।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$।
$Li^{2+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
पहली उत्तेजित अवस्था के लिए $n = 2$ होता है।
सूत्र में मान रखने पर: $E_2 = -13.6 \times \frac{3^2}{2^2} \ eV$।
$E_2 = -13.6 \times \frac{9}{4} \ eV$।
$E_2 = -13.6 \times 2.25 \ eV = -30.6 \ eV$।

(A) तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = Z^2 \cdot R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
$n=2$ से $n=1$ संक्रमण के लिए: $\frac{1}{\lambda} = Z^2 \cdot R_H \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = Z^2 \cdot R_H \left( \frac{3}{4} \right)$
इसका अर्थ है $\lambda = \frac{4}{3 Z^2 R_H}$,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,परमाणु क्रमांक $Z$ अधिकतम होना चाहिए।
दी गई प्रजातियों की तुलना करने पर: $H$ $(Z=1)$,$He^{+}$ $(Z=2)$,और $Li^{2+}$ $(Z=3)$.
चूंकि $Li^{2+}$ का $Z$ सबसे अधिक है,इसलिए यह सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य उत्पन्न करेगा।

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए रिडबर्ग सूत्र $\Delta E = R h c \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
पाश्चन श्रेणी के लिए,इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तरों से तीसरे ऊर्जा स्तर में संक्रमण करते हैं।
इसलिए,$n_1$ का मान $3$ है और $n_2$ का मान $3$ से बड़ा कोई भी पूर्णांक हो सकता है,अर्थात $n_2 = 4, 5, 6, \dots$।

(A) $N$ मोल फोटॉन के लिए कुल ऊर्जा $E = N_A \times h \times \nu$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,और $\nu = 2500 \ s^{-1}$ है।
$E = (6.022 \times 10^{23}) \times (6.626 \times 10^{-34}) \times 2500 \ J$.
$E \approx 9.97 \times 10^{-7} \ J$.
चूँकि $1 \ J = 10^7 \ erg$,इसलिए $E \approx 9.97 \times 10^{-7} \times 10^7 \ erg = 9.97 \ erg \approx 10 \ erg$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$KE_{max} = E - \phi$।
दिया गया है कि कार्य फलनों का अनुपात $\phi_A : \phi_B = 1:2$ है,इसलिए मान लीजिए $\phi_A = \phi$ और $\phi_B = 2\phi$।
धातु $M_A$ के लिए: $(KE_{max})_A = 6 - \phi$।
धातु $M_B$ के लिए: $(KE_{max})_B = 6 - 2\phi$।
गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{(KE_{max})_A}{(KE_{max})_B} = \frac{2.642}{1}$ दिया गया है।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{6 - \phi}{6 - 2\phi} = 2.642$।
$6 - \phi = 2.642(6 - 2\phi)$।
$6 - \phi = 15.852 - 5.284\phi$।
$4.284\phi = 9.852$।
$\phi \approx 2.3 \ eV$।
अतः,$\phi_A = 2.3 \ eV$ और $\phi_B = 4.6 \ eV$।

(D) माना $n_1$ निम्न ऊर्जा स्तर है और $n_2$ उच्च ऊर्जा स्तर है।
दिया गया है: $n_1 + n_2 = 4$ और $n_2 - n_1 = 2$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2n_2 = 6 \implies n_2 = 3$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2n_1 = 2 \implies n_1 = 1$।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$।
$Li^{2+}$ के लिए,$Z = 3$। मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R_H (3)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right]$।
$\frac{1}{\lambda} = 9 R_H \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = 9 R_H \left( \frac{8}{9} \right) = 8 R_H$।
$\lambda = \frac{1}{8 R_H}$।
$R_H \approx 1.1 \times 10^5 \ cm^{-1}$ लेने पर:
$\lambda = \frac{1}{8 \times 1.1 \times 10^5} \ cm \approx 1.14 \times 10^{-6} \ cm$।

(D) स्थिर अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_{n} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^{2}}{n^{2}} \ J/atom$.
$Li^{2+}$ आयन $(Z=3)$ की $3^{rd}$ कक्षा $(n=3)$ के लिए:
$E_{3} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^{2}}{3^{2}} = -2.18 \times 10^{-18} \ J$.
अतः,विकल्प $D$ सही है.

(A) बामर श्रेणी के लिए,तरंग संख्या $\bar{v}$ का सूत्र है: $\bar{v} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$
$n = 3$ के लिए: $\bar{v} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{5R}{36}$
$n = 4$ के लिए: $\bar{v} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$
$n = 5$ के लिए: $\bar{v} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right] = \frac{21R}{100}$
अतः,स्पेक्ट्रमी रेखाओं का समूह $\frac{5R}{36}, \frac{3R}{16}, \frac{21R}{100}$ है।

(B) स्पेक्ट्रल रेखा की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \times Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
लायमैन श्रेणी के लिए,सबसे कम ऊर्जा वाली रेखा $(L_1)$ $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के अनुरूप है: $\Delta E(L_1) = 13.6 \times 1^2 (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
बामर श्रेणी के लिए,सबसे कम ऊर्जा वाली रेखा $(B_1)$ $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के अनुरूप है: $\Delta E(B_1) = 13.6 \times 1^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = 13.6 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = 13.6 \times \frac{5}{36} \text{ eV}$.
दिया गया है कि $\Delta E(L_1) = x \times \Delta E(B_1)$,इसलिए $x = \frac{\Delta E(L_1)}{\Delta E(B_1)} = \frac{3/4}{5/36} = \frac{3}{4} \times \frac{36}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$.
$x$ को $x \times 10^{-1}$ के रूप में व्यक्त करने पर,$5.4 = 54 \times 10^{-1}$.
अतः,मान $54$ है।

(D) स्पेक्ट्रमी रेखा की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है। हाइड्रोजन $(Z=1)$ के लिए,$\Delta E \propto (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.

$A$. पाश्चन ($1^{st}$ रेखा)	$n_1=3, n_2=4 \rightarrow \Delta E \propto (\frac{1}{9} - \frac{1}{16}) = \frac{7}{144} \approx 0.0486$
$B$. बामर ($2^{nd}$ रेखा)	$n_1=2, n_2=4 \rightarrow \Delta E \propto (\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = \frac{3}{16} = 0.1875$
$C$. पाश्चन ($3^{rd}$ रेखा)	$n_1=3, n_2=6 \rightarrow \Delta E \propto (\frac{1}{9} - \frac{1}{36}) = \frac{3}{36} = 0.0833$
$D$. ब्रैकेट ($4^{th}$ रेखा)	$n_1=4, n_2=8 \rightarrow \Delta E \propto (\frac{1}{16} - \frac{1}{64}) = \frac{3}{64} = 0.0468$

मानों की तुलना करने पर: $0.0468 (D) < 0.0486 (A) < 0.0833 (C) < 0.1875 (B)$.
अतः,सही बढ़ता क्रम $D < A < C < B$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में संक्रमण की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ eV$ द्वारा दी जाती है।
पहली बामर रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ है:
$x = 13.6 \times (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \quad \dots(i)$
दूसरी बामर रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 4$ से $n_1 = 2$ है:
$\Delta E = 13.6 \times (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{3}{16} \right) \quad \dots(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\Delta E}{x} = \frac{3/16}{5/36} = \frac{3}{16} \times \frac{36}{5} = 1.35$
अतः,$\Delta E = 1.35x$.

(B) इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_{n} = -R_{H} \times \frac{Z^{2}}{n^{2}}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए पहली $(n=1)$ और दूसरी $(n=2)$ कक्षा के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_{2} - E_{1} = R_{H} \times \left[ \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} \right]$ है।
दिया गया है $R_{H} = 2.18 \times 10^{-11} \ ergs = 2.18 \times 10^{-18} \ J$.
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \times \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = 2.18 \times 10^{-18} \times 0.75 = 1.635 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$.
$J \ mol^{-1}$ में बदलने के लिए,आवोगाद्रो संख्या $(N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ से गुणा करें:
$\Delta E = 1.635 \times 10^{-18} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 9.846 \times 10^{5} \ J \ mol^{-1}$.
दिए गए विकल्प के अनुसार,सही उत्तर $9.835 \times 10^{5} \ J \ mol^{-1}$ है।

(C) हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज की आयनन ऊर्जा का सूत्र $E = E_H \times Z^2 / n^2$ है,जहाँ $E_H$ मूल अवस्था में हाइड्रोजन परमाणु की आयनन ऊर्जा $(2.18 \times 10^{-18} \text{ J atom}^{-1})$ है,$Z$ परमाणु क्रमांक है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
प्रक्रिया $Li^{2+}(g) \to Li^{3+}(g) + e^-$ के लिए,इलेक्ट्रॉन लिथियम आयन $(Li^{2+})$ की $n=1$ अवस्था से निकाला जाता है।
लिथियम $(Li)$ का परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$E = 2.18 \times 10^{-18} \times (3)^2 / (1)^2$
$E = 2.18 \times 10^{-18} \times 9$
$E = 1.962 \times 10^{-17} \text{ J atom}^{-1}$।

(B) बोर के सिद्धांत के अनुसार,कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \cdot n^2 / Z$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
हम प्रत्येक प्रजाति के लिए $n^2 / Z$ अनुपात की तुलना करते हैं:
$A$. $H$ (पहली कक्षा): $n=1, Z=1 \implies n^2/Z = 1^2/1 = 1$
$B$. $He^+$ (पहली कक्षा): $n=1, Z=2 \implies n^2/Z = 1^2/2 = 0.5$
$C$. $He^+$ (दूसरी कक्षा): $n=2, Z=2 \implies n^2/Z = 2^2/2 = 2$
$D$. $Li^{2+}$ (पहली कक्षा): $n=1, Z=3 \implies n^2/Z = 1^2/3 = 0.33$
$E$. $Be^{3+}$ (दूसरी कक्षा): $n=2, Z=4 \implies n^2/Z = 2^2/4 = 1$
मानों की तुलना करने पर,प्रजाति $A$ और $E$ दोनों का अनुपात $1$ है। इसलिए,उनकी त्रिज्या समान है।

(B) तरंग संख्या रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R_H Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
$H$ परमाणु के लिए,$Z = 1$.
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ है। अतः,$\bar{\nu}_B = R_H (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R_H (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = R_H (\frac{9-4}{36}) = R_H (\frac{5}{36})$.
ब्रैकेट श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 4$ और $n_2 = 5$ है। अतः,$\bar{\nu}_{Br} = R_H (\frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2}) = R_H (\frac{1}{16} - \frac{1}{25}) = R_H (\frac{25-16}{400}) = R_H (\frac{9}{400})$.
अनुपात $\frac{\bar{\nu}_B}{\bar{\nu}_{Br}} = \frac{R_H (5/36)}{R_H (9/400)} = \frac{5}{36} \times \frac{400}{9} = \frac{5 \times 100}{9 \times 9} = \frac{500}{81}$.
मान की गणना करने पर,$\frac{500}{81} \approx 6.1728$.
विकल्प $B$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{5}{0.81} = \frac{500}{81} \approx 6.1728$. अतः,सही अनुपात $5 : 0.81$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ की लाइमैन श्रेणी के लिए,सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $n_2 = \infty$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के लिए प्राप्त होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $1/\lambda = R Z^2 (1/n_1^2 - 1/n_2^2)$.
$1/x = R(1)^2 (1/1^2 - 1/\infty^2) = R$.
अतः,$x = 1/R$.
$He^+$ $(Z=2)$ की बामर श्रेणी के लिए,सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के संक्रमण के लिए प्राप्त होती है।
$1/\lambda' = R Z^2 (1/n_1^2 - 1/n_2^2) = R(2)^2 (1/2^2 - 1/3^2)$.
$1/\lambda' = 4R (1/4 - 1/9) = 4R (5/36) = 5R/9$.
$R = 1/x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1/\lambda' = 5/(9x)$.
इस प्रकार,$\lambda' = 9x/5$.

(D) हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज के लिए बोहर त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0 = 52.9 \text{ pm}$ हाइड्रोजन परमाणु की बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
दिया गया है कि $r_n = 70.53 \text{ pm}$,इसलिए $70.53 = 52.9 \times \frac{n^2}{Z}$।
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{n^2}{Z} = \frac{70.53}{52.9} = 1.333... = \frac{4}{3}$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $D$ के लिए: $Li^{2+}$ के लिए $Z = 3$ है। यदि $n = 2$ लिया जाए,तो $\frac{n^2}{Z} = \frac{2^2}{3} = \frac{4}{3}$ होता है।
यह गणना किए गए अनुपात से मेल खाता है। अतः,स्पीशीज $Li^{2+}$ है और स्थिर अवस्था $n = 2$ है।

(D) प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = \phi + K.E.$
सबसे पहले,कार्य फलन $\phi$ को eV से जूल में परिवर्तित करें: $\phi = 2.3 \text{ eV} = 2.3 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ J} \approx 3.6846 \times 10^{-19} \text{ J}$.
दी गई गतिज ऊर्जा $K.E. = 2.8 \times 10^{-20} \text{ J} = 0.28 \times 10^{-19} \text{ J}$.
आपतित विकिरण की कुल ऊर्जा $E = 3.6846 \times 10^{-19} + 0.28 \times 10^{-19} = 3.9646 \times 10^{-19} \text{ J}$.
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$ और $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$:
$\lambda = \frac{hc}{E} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{3.9646 \times 10^{-19}} \approx 5.01 \times 10^{-7} \text{ m} = 501 \text{ nm}$.
दिए गए प्रारूप के अनुसार निकटतम पूर्णांक लेने पर,$x = 5$,अतः $x = 5 \times 10^2$ nm.