Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(C) बोहर कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र है: $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$।
चूंकि $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है,इसलिए हम इस मान को गतिज ऊर्जा के व्यंजक में रख सकते हैं।
अतः,$K.E. \propto \frac{1}{n^2}$ प्राप्त होता है।
यह संबंध दर्शाता है कि जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ बढ़ती है,गतिज ऊर्जा व्युत्क्रम वर्ग वक्र के अनुसार घटती है। इसलिए,सही ग्राफ वह है जो $n$ के बढ़ने के साथ $K.E.$ में कमी को दर्शाता है।

(D) प्लांक के क्वांटम सिद्धांत के अनुसार,ऊर्जा का उत्सर्जन या अवशोषण छोटे पैकेटों के रूप में होता है जिन्हें क्वांटम कहा जाता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर $(n_{high})$ से निम्न ऊर्जा स्तर $(n_{low})$ में संक्रमण करता है,तो वह फोटॉन (क्वांटम) के रूप में ऊर्जा उत्सर्जित करता है।
चूंकि दिए गए सभी संक्रमण ($n = 4 \rightarrow n = 2$,$n = 3 \rightarrow n = 1$,और $n = 5 \rightarrow n = 3$) में इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा अवस्था से निम्न ऊर्जा अवस्था में जा रहा है,इसलिए प्रत्येक संक्रमण ऊर्जा के एक क्वांटम का उत्सर्जन करता है।

(A) उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति संक्रमण में शामिल ऊर्जा स्तरों के बीच ऊर्जा अंतर के सीधे आनुपातिक होती है।
जब एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर $(n_2)$ से निम्न ऊर्जा स्तर $(n_1)$ में कूदता है तो उत्सर्जन होता है।
आवृत्ति $\nu$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\nu = R_{H} c z^2 \left[\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right]$.
विकल्प $A$ ($n = 2$ से $n = 1$) के लिए: $\Delta E \propto \left[\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right] = 0.75$.
विकल्प $B$ ($n = 6$ से $n = 2$) के लिए: $\Delta E \propto \left[\frac{1}{2^2} - \frac{1}{6^2}\right] = 0.223$.
मानों की तुलना करने पर,$n = 2$ से $n = 1$ का संक्रमण सबसे बड़ा ऊर्जा अंतर देता है और इसलिए उत्सर्जन की अधिकतम आवृत्ति प्राप्त होती है।

(A) $H$-परमाणु की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = 0.529 \times n^2 \mathring{A}$ है।
$2^{nd}$ कक्षा $(n=2)$ के लिए: $r_2 = 0.529 \times (2)^2 = 2.116 \mathring{A}$.
$3^{rd}$ कक्षा $(n=3)$ के लिए: $r_3 = 0.529 \times (3)^2 = 4.761 \mathring{A}$.
$2^{nd}$ और $3^{rd}$ कक्षा के बीच की दूरी $r_3 - r_2 = 4.761 \mathring{A} - 2.116 \mathring{A} = 2.645 \mathring{A} \approx 2.65 \mathring{A}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(B) सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य लाइमन श्रेणी में न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होती है,जो $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ के बीच होती है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$H$ परमाणु के लिए,$Z = 1$,$n_1 = 1$,और $n_2 = 2$.
$\frac{1}{\lambda} = R \times 1^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R$.
$\lambda = \frac{4}{3R}$.
$\frac{1}{R} \approx 911.6 \mathring{A}$ लेने पर,$\lambda = \frac{4}{3} \times 911.6 \mathring{A} \approx 1215.5 \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(B) $n$ फोटॉनों की कुल ऊर्जा $E = \frac{nhc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $E = 1 \ J$,$\lambda = 4000 \ \mathring{A} = 4 \times 10^{-7} \ m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$n$ के लिए सूत्र: $n = \frac{E \lambda}{hc}$.
मान रखने पर: $n = \frac{1 \times 4 \times 10^{-7}}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n \approx 2 \times 10^{18}$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n=4$ से $n=2$ में इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण बामर श्रेणी के अनुरूप है,जो दृश्य क्षेत्र में आता है। अतः,कथन सत्य है।
हालाँकि,लाइमैन श्रेणी $n=1$ पर समाप्त होने वाले संक्रमणों के अनुरूप है,जो पराबैंगनी $(UV)$ क्षेत्र में आता है,न कि दृश्य क्षेत्र में। अतः,कारण असत्य है।

(B) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को रिडबर्ग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1$ पर होता है।
Lyman श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$,इसलिए $\frac{1}{\lambda_L} = R_H (\frac{1}{1^2} - 0) = R_H$,जिसका अर्थ है $\lambda_L = \frac{1}{R_H}$.
Balmer श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$,इसलिए $\frac{1}{\lambda_B} = R_H (\frac{1}{2^2} - 0) = \frac{R_H}{4}$,जिसका अर्थ है $\lambda_B = \frac{4}{R_H}$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{1/R_H}{4/R_H} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \ eV / n^2$ द्वारा दी जाती है।
$n = 3$ और $n = 2$ के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_3 - E_2 = -13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{2^2} \right) = -13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{4} \right) = -13.6 \left( \frac{4 - 9}{36} \right) = -13.6 \left( -\frac{5}{36} \right) = \frac{13.6 \times 5}{36} \ eV$ है।
दिया गया है कि $\Delta E = E$,इसलिए $E = \frac{68}{36} \ eV = \frac{17}{9} \ eV$।
$H$-परमाणु की आयनन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को $n = 1$ से $n = \infty$ तक ले जाने के लिए आवश्यक है,जो $E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6 \ eV) = 13.6 \ eV$ है।
$13.6 = E \times \frac{36}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $13.6 = E \times 7.2$ प्राप्त होता है।
अतः,आयनन ऊर्जा $7.2 \ E$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = \frac{52.9 \times n^2}{Z} \ pm$ है।
$B^{4+}$ आयन के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 5$ और कक्षा संख्या $n = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$r_4 = \frac{52.9 \times (4)^2}{5} \ pm$
$r_4 = \frac{52.9 \times 16}{5} \ pm$
$r_4 = \frac{846.4}{5} \ pm$
$r_4 = 169.28 \ pm \approx 169.3 \ pm$.

(D) रदरफोर्ड के परमाणु मॉडल ने प्रस्तावित किया कि इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर घूमते हैं,लेकिन यह परमाणु की स्थिरता या इलेक्ट्रॉनों के वितरण की व्याख्या नहीं कर सका। यह इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा का वर्णन करने में भी विफल रहा। बोहर का परमाणु मॉडल वह था जिसने इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा का सफलतापूर्वक वर्णन किया।

(D) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$।
$He^{+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
कक्षा संख्या $n = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{2^2}{3^2} \ J$
$E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{4}{9} \ J$
$E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \times 0.4444 \ J$
$E_3 \approx -0.9688 \times 10^{-18} \ J$
$E_3 \approx -9.69 \times 10^{-19} \ J$।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है:
$E_n = -R_H \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
चौथी कक्षा के लिए,$n = 4$ है।
मान रखने पर:
$E_4 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1^2}{4^2} \ J$
$E_4 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1}{16} \ J$
$E_4 = -0.13625 \times 10^{-18} \ J \approx -0.136 \times 10^{-18} \ J$

(D) मोनोपॉजिटिव $He^{+}$ आयन की पहली कक्षा के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ और कक्षा संख्या $n = 1$ है।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है:
$E_n = -2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{Z^2}{n^2} \right) \ J$
$Z = 2$ और $n = 1$ मान रखने पर:
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{2^2}{1^2} \right) \ J$
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times 4 \ J$
$E_1 = -8.72 \times 10^{-18} \ J$

(D) मोनोपॉजिटिव $He^{+}$ आयन की पहली कक्षा के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ और मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
कक्षा की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \left(\frac{Z^2}{n^2}\right) \ J$।
मान रखने पर: $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \left(\frac{2^2}{1^2}\right) \ J$।
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times 4 \ J = -8.72 \times 10^{-18} \ J$।

(C) $\text{n}^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = \frac{52.9 \times n^2}{Z} \ pm$ है।
$He^{+}$ के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 2$ और प्रथम कक्षा के लिए $n = 1$ है।
इन मानों को रखने पर: $r_1 = \frac{52.9 \times (1)^2}{2} \ pm = 26.45 \ pm$.

(B) बोर के परमाणु मॉडल के अनुसार,स्थिर कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ क्वांटाइज्ड होता है और इसे निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$L = mvr = \frac{nh}{2 \pi}$
जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$v$ वेग है,$r$ कक्षा की त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है $(n = 1, 2, 3, ...)$,और $h$ प्लांक स्थिरांक है।

(C) बोहर का परमाणु मॉडल चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में स्पेक्ट्रल रेखाओं के विभाजन (ज़ीमैन प्रभाव) को नहीं समझा सका। इसलिए,यह कथन कि यह ज़ीमैन प्रभाव की व्याख्या करता है,गलत है।

(C) हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज के लिए $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है: $r_n = \frac{52.9 \times n^2}{Z} \ pm$।
$Li^{2+}$ आयन के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
प्रथम कक्षा के लिए, मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $r_1 = \frac{52.9 \times (1)^2}{3} \ pm = 17.63 \ pm$।

(A) हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है: $r_n = \frac{52.9 \times n^2}{Z} \ pm$।
$He^{+}$ के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है और प्रथम कक्षा के लिए, $n = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $r_1 = \frac{52.9 \times (1)^2}{2} \ pm = 26.45 \ pm$।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \ pm$ है।
$Be^{3+}$ के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 4$ और कक्षा संख्या $n = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r_4 = 52.9 \times \frac{4^2}{4} \ pm$
$r_4 = 52.9 \times \frac{16}{4} \ pm$
$r_4 = 52.9 \times 4 \ pm = 211.6 \ pm$.

(D) $Bohr$ का परमाणु मॉडल रासायनिक बंधों द्वारा अणुओं को बनाने की परमाणुओं की क्षमता की व्याख्या नहीं कर सका।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है: $r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \ pm$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
चौथी कक्षा के लिए, $n = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $r_4 = 52.9 \times \frac{4^2}{1} \ pm$।
$r_4 = 52.9 \times 16 \ pm = 846.4 \ pm$।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 a_0$ है, जहाँ $a_0$ पहली कक्षा की त्रिज्या है।
दिया गया है कि पहली कक्षा की त्रिज्या $R \text{ pm}$ है, इसलिए $a_0 = R \text{ pm}$ है।
चौथी कक्षा $(n = 4)$ के लिए, त्रिज्या $r_4 = (4)^2 \times R \text{ pm} = 16 \ R \text{ pm}$ होगी।

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है: $r_n = \frac{52.9 \times n^2}{Z} \ pm$।
$He^{+}$ के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
तीसरी कक्षा के लिए, $n = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r_3 = \frac{52.9 \times (3)^2}{2} \ pm$
$r_3 = \frac{52.9 \times 9}{2} \ pm$
$r_3 = \frac{476.1}{2} \ pm = 238.05 \ pm \approx 238.1 \ pm$।

(C) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ की गणना रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\bar{\nu} = R_{H} (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$
दिया गया है $n_1 = 1$,$n_2 = 2$,और $R_{H} = 109677 \ cm^{-1}$।
मान रखने पर: $\bar{\nu} = 109677 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2})$
$\bar{\nu} = 109677 \times (1 - 0.25) = 109677 \times 0.75$
$\bar{\nu} = 82257.75 \ cm^{-1} \approx 82258 \ cm^{-1}$।

(D) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -R_H \times \frac{Z^2}{n^2}$।
$Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है और पहली कक्षा के लिए,$n = 1$ है।
मान रखने पर: $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^2}{1^2} \ J$।
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times 9 \ J$।
$E_1 = -19.62 \times 10^{-18} \ J$।

(A) हाइड्रोजन जैसी स्पीशीज की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$।
$Be^{3+}$ के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 4$ और प्रथम कक्षा के लिए, $n = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $r_1 = 0.529 \times \frac{1^2}{4} \ \mathring{A}$।
$r_1 = 0.529 \times 0.25 \ \mathring{A} = 0.13225 \ \mathring{A}$।
चूंकि $1 \ \mathring{A} = 100 \ pm$, इसलिए $r_1 = 0.13225 \times 100 \ pm = 13.225 \ pm$, जो लगभग $13.23 \ pm$ है।

$(A)$ हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र निम्नलिखित है:
$r_n = a_0 \frac{n^2}{z}$
जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या $(0.529 \ \mathring{A})$ है, $n$ मुख्य क्वांटम संख्या (कक्षा का क्रम) है, और $z$ परमाणु क्रमांक (नाभिकीय आवेश) है।

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार,दो स्थिर अवस्थाओं के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित या अवशोषित विकिरण की आवृत्ति $(v)$,जिनके बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ है,निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी जाती है:
$h v = \Delta E$
जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है।
आवृत्ति के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$v = \frac{\Delta E}{h}$

(B) स्थिर अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $E_n = -R_H \times \frac{1}{n^2}$
जहाँ $R_H$ रिडबर्ग स्थिरांक है,जिसका मान $2.18 \times 10^{-18} \ J$ है।
$n=2$ के लिए:
$E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1}{2^2}$
$E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1}{4}$
$E_2 = -0.545 \times 10^{-18} \ J$

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
लाइमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ है।
सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य सबसे कम ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होती है,जो $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ तक होती है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = 109677 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) \ cm^{-1}$।
$\frac{1}{\lambda} = 109677 \times \frac{3}{4} = 82257.75 \ cm^{-1}$।
$\lambda = \frac{1}{82257.75} \ cm \approx 1.216 \times 10^{-5} \ cm$।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के लिए तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R_{H} \times Z^2 \times \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यहाँ,$R_{H} = 109677 \ cm^{-1}$,$Z = 1$ (हाइड्रोजन परमाणु के लिए),$n_1 = 2$,और $n_2 = 5$ है।
मान रखने पर: $\bar{\nu} = 109677 \times 1^2 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right)$.
$\bar{\nu} = 109677 \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right)$.
$\bar{\nu} = 109677 \times \left( \frac{25 - 4}{100} \right) = 109677 \times \frac{21}{100}$.
$\bar{\nu} = 109677 \times 0.21 = 23032.17 \ cm^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $23032 \ cm^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) बामर श्रेणी में सबसे कम ऊर्जा वाला संक्रमण $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के बीच होता है।
तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर: $\overline{v} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
मान रखने पर: $\overline{v} = R_H \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right]$.
$\overline{v} = R_H \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R_H \left[ \frac{9-4}{36} \right] = R_H \left( \frac{5}{36} \right)$.

(A) Lyman श्रेणी के लिए,इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था में संक्रमण करता है,इसलिए $n_1 = 1$ है।
Lyman श्रेणी में सबसे कम ऊर्जा संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप है।
तरंग संख्या $\bar{v}$ के लिए Rydberg सूत्र $\bar{v} = R_{H} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ मान रखने पर:
$\bar{v} = R_{H} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) \ cm^{-1}$
$\bar{v} = R_{H} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \ cm^{-1}$
$\bar{v} = R_{H} \left( \frac{3}{4} \right) \ cm^{-1}$

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,तरंग संख्या $\bar{\nu}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\bar{\nu} = R_H \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] \ cm^{-1}$
यहाँ $n_i = 2$ और $n_f = 1$ है:
$\bar{\nu} = 109677 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] \ cm^{-1}$
$\bar{\nu} = 109677 \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] \ cm^{-1}$
$\bar{\nu} = 109677 \left[ \frac{3}{4} \right] \ cm^{-1}$
$\bar{\nu} = 82257.75 \ cm^{-1} \approx 82257.8 \ cm^{-1}$

(A) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R_{H} [\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}]$
यहाँ $n_1 = 2$,$n_2 = 4$,और $R_{H} = 109677 \ cm^{-1}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\bar{\nu} = 109677 [\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}] \ cm^{-1}$
$= 109677 [\frac{1}{4} - \frac{1}{16}] \ cm^{-1}$
$= 109677 [\frac{4-1}{16}] \ cm^{-1}$
$= 109677 [\frac{3}{16}] \ cm^{-1}$
$= 20564.44 \ cm^{-1}$

(A) तरंग संख्या $(\bar{\nu})$ का सूत्र रिडबर्ग समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\bar{\nu} = R_{H} \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] \ cm^{-1}$
यहाँ $n_f = 2$,$n_i = 3$,और $R_{H} = 109677 \ cm^{-1}$ है।
मान रखने पर: $\bar{\nu} = 109677 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] \ cm^{-1}$
$= 109677 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] \ cm^{-1}$
$= 109677 \left[ \frac{9-4}{36} \right] \ cm^{-1}$
$= 109677 \left[ \frac{5}{36} \right] \ cm^{-1}$
$= 15232.9 \ cm^{-1}$

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $E_n = -3.4 \ eV$,इसलिए $-3.4 = -13.6 / n^2$,जिससे $n^2 = 4$ प्राप्त होता है,अर्थात $n = 2$ है।
बोहर की अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{n h}{2 \pi}$ होता है।
$n = 2$ रखने पर,हमें $L = \frac{2 h}{2 \pi} = \frac{h}{\pi}$ प्राप्त होता है।

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $L = \frac{nh}{2\pi}$.
पहली कक्षा के लिए,$n = 1$.
मान रखने पर: $L = \frac{1 \times 6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159}$.
$L = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.28318} \approx 1.0545 \times 10^{-34} \ J \ s$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर की अभिधारणा के अनुसार,इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूमता है जिनके लिए कोणीय संवेग $\frac{h}{2 \pi}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
गणितीय रूप से,इसे $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$v$ वेग है,$r$ कक्षा की त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है $(n = 1, 2, 3, ...)$,और $h$ प्लांक स्थिरांक है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की एक स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ बोहर के अभिधारणा द्वारा दिया जाता है: $L = mvr = \frac{nh}{2 \pi}$।
चौथी कक्षा के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर: $L = \frac{4h}{2 \pi} = \frac{2h}{\pi}$।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है:
$E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$
$He^{+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ और पहली कक्षा के लिए $n = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{2^2}{1^2} \ J$
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times 4 \ J$
$E_1 = -8.72 \times 10^{-18} \ J$

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{th}}$ बोहर कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा इस सूत्र द्वारा दी जाती है:
$E_n = -\frac{13.6 \times Z^2}{n^2} \text{ eV}$
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
सूत्र में $Z = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_n = -\frac{13.6 \times (1)^2}{n^2} \text{ eV} = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$.

(A) हाइड्रोजन उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में स्पेक्ट्रल रेखा की तरंग संख्या $\bar{\nu} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\bar{\nu} = \frac{8}{9} R_H$,इसलिए $\frac{8}{9} R_H = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
दोनों पक्षों को $R_H$ से विभाजित करने पर,$\frac{8}{9} = \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}$.
यदि हम $n_1 = 1$ लेते हैं,तो $\frac{8}{9} = 1 - \frac{1}{n_2^2} \implies \frac{1}{n_2^2} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
अतः $n_2^2 = 9$,जिसका अर्थ है $n_2 = 3$.
इस प्रकार,इलेक्ट्रॉन $n=3$ से $n=1$ में कूदता है।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
$H$ $(Z=1, n=1)$ की मूल अवस्था के लिए,$E_1 = -13.6 \times \frac{1^2}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$।
अब,विकल्पों के लिए ऊर्जा की गणना करें:
$A$: $He^{+}$ $(Z=2)$,प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$: $E_2 = -13.6 \times \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \text{ eV}$।
अतः,$H$ की मूल अवस्था ऊर्जा $He^{+}$ की प्रथम उत्तेजित अवस्था की ऊर्जा के बराबर है।

(C) रदरफोर्ड के $\alpha-$कण प्रकीर्णन प्रयोग ने परमाणु के केंद्र में एक छोटे,सघन और धनावेशित नाभिक के अस्तित्व का प्रमाण दिया।
इससे यह निष्कर्ष निकला कि परमाणु में अधिकांश स्थान खाली है और परमाणु के आकार की तुलना में नाभिक का आकार बहुत छोटा है।
हालाँकि,यह अवधारणा कि इलेक्ट्रॉन निश्चित ऊर्जा के वृत्ताकार पथों (कक्षाओं) में घूमते हैं,नील्स बोहर द्वारा प्रस्तावित की गई थी,रदरफोर्ड द्वारा नहीं।
रदरफोर्ड का मॉडल परमाणु की स्थिरता की व्याख्या नहीं कर सका,क्योंकि शास्त्रीय भौतिकी के अनुसार घूमते हुए इलेक्ट्रॉन ऊर्जा खो देंगे और नाभिक में गिर जाएंगे।

(B) $J.J.$ थॉमसन के कैथोड रे ट्यूब के प्रयोगों ने दिखाया कि सभी परमाणुओं में छोटे ऋणात्मक आवेशित उप-परमाणु कण या इलेक्ट्रॉन होते हैं।
थॉमसन ने परमाणु का प्लम पुडिंग मॉडल प्रस्तावित किया,जो यह बताता है कि धनात्मक आवेश समान रूप से वितरित होता है और इलेक्ट्रॉन इसमें धंसे होते हैं।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) $I$) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था $(n=1)$ में ऊर्जा $E_n = -13.6 \ eV / n^2$ द्वारा दी जाती है। $n=1$ के लिए,$E_1 = -13.6 \ eV$ है। अतः,कथन $I$ सही है।
$II$) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = 52.9 \times n^2 / Z \ pm$ द्वारा दी जाती है। $H$ $(Z=1)$ और $n=3$ के लिए,$r_3 = 52.9 \times 3^2 / 1 = 476.1 \ pm$ है। अतः,कथन $II$ गलत है।
$III$) पहली कक्षा $(n=1)$ की त्रिज्या $r_1 = 52.9 \times (1^2 / Z) \ pm$ है। जैसे-जैसे $Z$ बढ़ता है,$r_1$ घटता है। परमाणु क्रमांक $H(1), He^{+}(2), Li^{2+}(3), Be^{3+}(4)$ हैं। इसलिए,त्रिज्या का क्रम $H > He^{+} > Li^{2+} > Be^{3+}$ है। अतः,कथन $III$ सही है।
निष्कर्ष: $I$ और $III$ सही हैं।

(B) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या $(52.9 \text{ pm})$ है।
$H$ परमाणु के लिए $(Z=1)$: $x = r_3 - r_2 = a_0 \times (3^2 - 2^2) / 1 = a_0 \times (9 - 4) = 5a_0$.
$Li^{2+}$ आयन के लिए $(Z=3)$: $y = r_4 - r_3 = a_0 \times (4^2 - 3^2) / 3 = a_0 \times (16 - 9) / 3 = \frac{7}{3}a_0$.
अनुपात $y:x = (\frac{7}{3}a_0) : (5a_0) = \frac{7}{3} : 5 = 7 : 15$.