Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Hindi

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव के समीकरण के अनुसार:
$h\nu = KE_{max} + h\nu_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक $(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ है,$\nu$ आपतित आवृत्ति है,$KE_{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है और $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
$\nu_0$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$h\nu_0 = h\nu - KE_{max}$
$\nu_0 = \nu - \frac{KE_{max}}{h}$
दिए गए मान रखने पर:
$\nu_0 = (4 \times 10^{14} \ s^{-1}) - \frac{6.63 \times 10^{-20} \ J}{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}$
$\nu_0 = 4 \times 10^{14} \ s^{-1} - 1 \times 10^{14} \ s^{-1}$
$\nu_0 = 3 \times 10^{14} \ s^{-1}$

(A) $1 \ mol$ इलेक्ट्रॉनों के लिए बंधन ऊर्जा $250 \ kJ \ mol^{-1}$ है।
एक इलेक्ट्रॉन के लिए ऊर्जा ज्ञात करने हेतु,आवोगाद्रो संख्या $(N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{250 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}} = 4.151 \times 10^{-19} \ J$.
देहली ऊर्जा $E = h \nu_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ है।
$\nu_0 = \frac{E}{h} = \frac{4.151 \times 10^{-19} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s} \approx 6.26 \times 10^{14} \ s^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) एक फोटॉन की ऊर्जा $E = h \nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $\nu = 3 \times 10^{12} \ Hz$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $= 6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{12} = 1.9878 \times 10^{-21} \ J$ है।
एक मोल फोटॉन में $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ फोटॉन होते हैं।
इसलिए,आधे मोल फोटॉन में $\frac{1}{2} \times 6.022 \times 10^{23} = 3.011 \times 10^{23}$ फोटॉन होते हैं।
आधे मोल के लिए कुल ऊर्जा $= (1.9878 \times 10^{-21} \ J) \times (3.011 \times 10^{23}) = 598.5 \ J \approx 0.598 \ kJ$ है।
अतः,ऊर्जा $0.598 \ kJ \ mol^{-1}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $KE = h v - h v_0$.
प्रथम स्थिति के लिए: $KE_1 = h(4.0 \times 10^{16}) - h v_0$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $KE_2 = h(2.0 \times 10^{16}) - h v_0$.
दिया गया है कि $KE_1 = 4 KE_2$,इसलिए:
$h(4.0 \times 10^{16}) - h v_0 = 4(h(2.0 \times 10^{16}) - h v_0)$.
$h$ से विभाजित करने पर: $4.0 \times 10^{16} - v_0 = 8.0 \times 10^{16} - 4 v_0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3 v_0 = 4.0 \times 10^{16}$.
$v_0 = \frac{4.0 \times 10^{16}}{3} = 1.33 \times 10^{16} \ s^{-1}$.

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन (देहली ऊर्जा) और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$h\nu = h\nu_0 + \frac{1}{2}m_ev^2$
गतिज ऊर्जा के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2}m_ev^2 = h\nu - h\nu_0 = h(\nu - \nu_0)$
वेग $(v)$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{2h(\nu - \nu_0)}{m_e}$
$v = \sqrt{\frac{2h(\nu - \nu_0)}{m_e}}$

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ धातु के कार्य फलन $(W_0)$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए,अर्थात $E \ge W_0$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E) = \frac{hc}{\lambda}$.
यहाँ $\lambda = 540 \ nm = 540 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{540 \times 10^{-9}} \ J = 3.68 \times 10^{-19} \ J$.
$E$ को $eV$ में बदलने पर: $E = \frac{3.68 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \ eV \approx 2.297 \ eV$.
$E = 2.297 \ eV$ की तुलना कार्य फलन से करने पर:
$Li (2.42 \ eV) > 2.297 \ eV$ (नहीं)
$K (2.25 \ eV) < 2.297 \ eV$ (हाँ)
$Mg (3.70 \ eV) > 2.297 \ eV$ (नहीं)
$Ag (4.30 \ eV) > 2.297 \ eV$ (नहीं)
$Cu (4.80 \ eV) > 2.297 \ eV$ (नहीं)
केवल $K$ प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रदर्शित करता है। अतः,धातुओं की संख्या $1$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K.E. = h(v - v_0)$.
$v_1 = 1.6 \times 10^{16} \ Hz$ आवृत्ति के लिए,$K.E._1 = h(1.6 \times 10^{16} - v_0) \longrightarrow \text{Eq. } (i)$.
$v_2 = 1.0 \times 10^{16} \ Hz$ आवृत्ति के लिए,$K.E._2 = h(1.0 \times 10^{16} - v_0) \longrightarrow \text{Eq. } (ii)$.
दिया गया है कि $K.E._1 = 2 \times K.E._2$,इसलिए:
$h(1.6 \times 10^{16} - v_0) = 2 \times h(1.0 \times 10^{16} - v_0)$.
$1.6 \times 10^{16} - v_0 = 2.0 \times 10^{16} - 2v_0$.
$2v_0 - v_0 = 2.0 \times 10^{16} - 1.6 \times 10^{16}$.
$v_0 = 0.4 \times 10^{16} \ Hz = 4 \times 10^{15} \ Hz$.

(C) दिया गया है: कार्य फलन $(W_0) = 4.80 \ eV$ और गतिज ऊर्जा $(KE) = 0.20 \ eV$।
प्रकाश वैद्युत प्रभाव समीकरण के अनुसार:
कुल ऊर्जा $(E_T) = W_0 + KE = 4.80 \ eV + 0.20 \ eV = 5.0 \ eV$।
ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E_T = 5.0 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J = 8.01 \times 10^{-19} \ J$।
संबंध $E_T = h\nu$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$:
$\nu = \frac{E_T}{h} = \frac{8.01 \times 10^{-19} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s} \approx 1.21 \times 10^{15} \ Hz$।

(A) बोर की अभिधारणा के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ क्वांटाइज्ड होता है और इसे $L = \frac{n h}{2 \pi}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक $(n = 1, 2, 3, \dots)$ है।
इसे $L = n \times (0.5 \frac{h}{\pi})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए विकल्पों के लिए:
$A) 1.25 \frac{h}{\pi} = 2.5 \times \frac{h}{2 \pi}$ (यह $\frac{h}{2 \pi}$ का पूर्णांक गुणज नहीं है)
$B) 1 \frac{h}{\pi} = 2 \times \frac{h}{2 \pi}$ ($n = 2$,अनुमत है)
$C) 1.5 \frac{h}{\pi} = 3 \times \frac{h}{2 \pi}$ ($n = 3$,अनुमत है)
$D) 0.5 \frac{h}{\pi} = 1 \times \frac{h}{2 \pi}$ ($n = 1$,अनुमत है)
अतः,$1.25 \frac{h}{\pi}$ एक अनुमत मान नहीं है।

(C) कथन-$I$ सही है क्योंकि शास्त्रीय विद्युतचुंबकीय सिद्धांत के अनुसार,एक त्वरित आवेशित कण को ऊर्जा उत्सर्जित करनी चाहिए। इस प्रकार,नाभिक के चारों ओर घूमते हुए इलेक्ट्रॉन को ऊर्जा खोनी चाहिए और अंततः नाभिक में गिर जाना चाहिए,जिसे रदरफोर्ड का मॉडल नहीं समझा सका।
कथन-$II$ गलत है क्योंकि विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम में,$X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य ($10^{-10} \ m$ से $10^{-8} \ m$) माइक्रोवेव की तरंगदैर्ध्य ($10^{-3} \ m$ से $10^{-1} \ m$) से काफी कम होती है।
अतः,कथन-$I$ सही है,लेकिन कथन-$II$ सही नहीं है।

(D) थॉमसन के मॉडल ने प्रस्तावित किया कि एक परमाणु में एक धनावेशित गोला होता है जिसमें इलेक्ट्रॉन धंसे होते हैं,जो तरबूज या प्लम पुडिंग के समान है।
इसने परमाणु की समग्र विद्युत तटस्थता को सही ढंग से समझाया था।
हालाँकि,यह मॉडल बाद के प्रयोगों,जैसे रदरफोर्ड के अल्फा-कण प्रकीर्णन प्रयोग के परिणामों को समझाने में विफल रहा।
इसलिए,यह कथन कि 'यह मॉडल परमाणु की समग्र तटस्थता को नहीं समझा सका' गलत है,क्योंकि यह मॉडल विशेष रूप से इसे समझाने के लिए ही बनाया गया था।

(A) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज की $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए $n=2$ पर: $x = a_0 \times \frac{2^2}{1} = 4a_0$,जिसका अर्थ है कि $a_0 = \frac{x}{4}$।
$He^{+}$ आयन $(Z=2)$ के लिए $n=3$ पर: $r_3 = a_0 \times \frac{3^2}{2} = a_0 \times \frac{9}{2}$।
$r_3$ के समीकरण में $a_0 = \frac{x}{4}$ रखने पर: $r_3 = (\frac{x}{4}) \times \frac{9}{2} = \frac{9}{8} x$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = 0.529 \times n^2 \mathring{A} = 52.9 \times n^2 \text{ pm}$ है।
दिया गया है $r_n = 476.1 \text{ pm}$, इसलिए $52.9 \times n^2 = 476.1$.
$n^2 = \frac{476.1}{52.9} = 9$.
अतः, $n = 3$.
$n = 3$ कक्षा में संक्रमण पाश्चन श्रेणी के अनुरूप है।

(D) $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{E_1}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \ J$ है।
पांचवीं कक्षा $(n = 5)$ के लिए,$E_5 = \frac{-2.18 \times 10^{-18}}{5^2} = \frac{-2.18 \times 10^{-18}}{25} = -0.0872 \times 10^{-18} \ J$ है।
उत्तेजना के लिए आवश्यक ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_5 - E_1 = (-0.0872 \times 10^{-18}) - (-2.18 \times 10^{-18}) = 2.0928 \times 10^{-18} \ J$ है।
$\Delta E = h \nu$ संबंध का उपयोग करते हुए,आवृत्ति $\nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{2.0928 \times 10^{-18}}{6.6 \times 10^{-34}} \approx 3.17 \times 10^{15} \ Hz$ प्राप्त होती है।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु $(H)$ की दूसरी कक्षा के लिए,$n_1 = 2$ और $Z_1 = 1$ है। अतः,$r_1 = 0.529 \times \frac{2^2}{1} = 0.529 \times 4$ है।
परमाणु क्रमांक $Z_2$ वाले आयन $x$ की $n$ वीं कक्षा के लिए,$r_2 = 0.529 \times \frac{n^2}{Z_2}$ है।
दिया गया है कि $r_1 = r_2$,इसलिए $4 = \frac{n^2}{Z_2}$,जिसका अर्थ है $n^2 = 4Z_2$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$ के लिए: $Be^{3+}$ का $Z=4$ है। $n^2 = 4 \times 4 = 16$,इसलिए $n=4$ है। यह सही है।
$B$ के लिए: $Li^{2+}$ का $Z=3$ है। $n^2 = 4 \times 3 = 12$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
$C$ के लिए: $Be^{2+}$ का $Z=4$ है। $n^2 = 16$,$n=4$ है। हालाँकि,$Be^{2+}$ हाइड्रोजन जैसी प्रजाति नहीं है (इसमें $2$ इलेक्ट्रॉन हैं)।
$D$ के लिए: $He^{+}$ का $Z=2$ है। $n^2 = 4 \times 2 = 8$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में कक्षा की त्रिज्या $r_n = 0.0529 \times n^2 \ nm$ द्वारा दी जाती है।
$r_1 = 1.3225 \ nm$ के लिए,$n_1^2 = 1.3225 / 0.0529 = 25$,अतः $n_1 = 5$।
$r_2 = 0.2116 \ nm$ के लिए,$n_2^2 = 0.2116 / 0.0529 = 4$,अतः $n_2 = 2$।
$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -2.18 \times 10^{-18} / n^2 \ J$ होती है।
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = -2.18 \times 10^{-18} \times (1/n_2^2 - 1/n_1^2)$।
$\Delta E = -2.18 \times 10^{-18} \times (1/4 - 1/25) = -2.18 \times 10^{-18} \times (0.25 - 0.04) = -2.18 \times 10^{-18} \times 0.21 = -0.4578 \times 10^{-18} \ J$।
उत्सर्जित विकिरण की ऊर्जा $|\Delta E| = 0.4578 \times 10^{-18} \ J$ है।

(B) एक-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों के लिए,ऊर्जा का सूत्र: $E_{n} = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ \text{eV}$ है।
$Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है। $n = 3$ पर,ऊर्जा $E_3 = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = -13.6 \ \text{eV}$ है।
$Be^{3+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 4$ है। $n = 4$ पर,ऊर्जा $E_4 = -13.6 \times \frac{4^2}{4^2} = -13.6 \ \text{eV}$ है।
चूंकि दोनों प्रजातियों की ऊर्जा $-13.6 \ \text{eV}$ समान है,इसलिए सही जोड़ा $Li^{2+}(n=3)$ और $Be^{3+}(n=4)$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसे आयन की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{0.0529 \times n^2}{Z} \ nm$ है।
दिया गया है $r = 1.763 \times 10^{-2} \ nm$ और $n = 1$।
मान रखने पर: $1.763 \times 10^{-2} = \frac{0.0529 \times (1)^2}{Z}$।
$Z = \frac{0.0529}{0.01763} \approx 3$।
कक्षा की ऊर्जा का सूत्र $E = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$ है।
$Z = 3$ और $n = 1$ रखने पर: $E = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^2}{1^2} \ J$।
$E = -2.18 \times 10^{-18} \times 9 \ J = -19.62 \times 10^{-18} \ J$।
$E = -1.962 \times 10^{-17} \ J$।

(D) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज के लिए कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$, जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है, $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$H$ परमाणु की $3^{rd}$ कक्षा के लिए $(n=3, Z=1)$: $R = a_0 \times \frac{3^2}{1} = 9 a_0$.
$He^{+}$ आयन की $2^{nd}$ कक्षा के लिए $(n=2, Z=2)$: $r_2 = a_0 \times \frac{2^2}{2} = 2 a_0$.
पहले समीकरण से, $a_0 = \frac{R}{9}$.
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $r_2 = 2 \times (\frac{R}{9}) = \frac{2}{9} R$.

(C) हाइड्रोजन जैसे स्पीशीज की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम कक्षा $(n=1, Z=1)$ के लिए,त्रिज्या $r_1 = 0.529 \mathring{A}$ है।
स्पीशीज $X$ की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या को हाइड्रोजन की प्रथम बोहर कक्षा के बराबर होने के लिए,$r_n = r_1$ रखने पर,$\frac{n^2}{Z} = 1$ या $n^2 = Z$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$Be^{3+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 4$ है। $n^2 = Z$ में $Z=4$ रखने पर,$n^2 = 4$ प्राप्त होता है,जिससे $n = 2$ मिलता है।
अतः,$n = 2$ और $X = Be^{3+}$ के लिए शर्त पूरी होती है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$ है।
$n=1$ के लिए,$E_1 = \frac{-13.6}{1^2} = -13.6 \ eV$।
$n=2$ के लिए,$E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$।
$n=3$ के लिए,$E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = -1.51 \ eV$।
अनुपात $E_1 : E_2 : E_3$ का मान $\frac{-13.6}{1} : \frac{-13.6}{4} : \frac{-13.6}{9}$ होगा।
$-13.6$ से भाग देने पर,हमें $1 : \frac{1}{4} : \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
हर को हटाने के लिए $36$ से गुणा करने पर,हमें $36 : 9 : 4$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए कक्षा की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -E_0 \times \frac{Z^2}{n^2}$ है,जहाँ $E_0$ हाइड्रोजन की मूल अवस्था ऊर्जा $(2.18 \times 10^{-18} \ J)$ है।
हाइड्रोजन की दूसरी कक्षा के लिए $(n=2, Z=1)$: $E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1^2}{2^2} = -5.45 \times 10^{-19} \ J$।
$Li^{2+}$ आयन की पहली कक्षा के लिए $(n=1, Z=3)$:
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^2}{1^2} \ J$
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times 9 \ J$
$E_1 = -1.962 \times 10^{-17} \ J$।

(B) $n^{th}$ बोहर कक्षा की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए,$n_1$ और $n_2$ कक्षाओं के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 13.6 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$ है।
प्रथम $(n=1)$ और द्वितीय $(n=2)$ कक्षाओं के बीच ऊर्जा का अंतर:
$\Delta E_{1-2} = 13.6 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = 13.6 \times (1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
द्वितीय $(n=2)$ और तृतीय $(n=3)$ कक्षाओं के बीच ऊर्जा का अंतर:
$\Delta E_{2-3} = 13.6 \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = 13.6 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = 13.6 \times \frac{5}{36} \text{ eV}$.
आवश्यक अनुपात $\frac{\Delta E_{1-2}}{\Delta E_{2-3}} = \frac{13.6 \times (3/4)}{13.6 \times (5/36)} = \frac{3}{4} \times \frac{36}{5} = \frac{27}{5}$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ और ऊर्जा $E_n \propto \frac{1}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
दूसरी कक्षा $(n=2)$ के लिए: $r_2 \propto (2)^2 = 4$ और $E_2 \propto \frac{1}{(2)^2} = \frac{1}{4}$।
तीसरी कक्षा $(n=3)$ के लिए: $r_3 \propto (3)^2 = 9$ और $E_3 \propto \frac{1}{(3)^2} = \frac{1}{9}$।
अनुपात की गणना करने पर:
$\frac{r_3}{r_2} = \frac{9}{4} \implies r_3 = \frac{9}{4} r_2$
$\frac{E_3}{E_2} = \frac{1/9}{1/4} = \frac{4}{9} \implies E_3 = \frac{4}{9} E_2$
अतः,तीसरी बोहर कक्षा की त्रिज्या और ऊर्जा क्रमशः $\frac{9}{4} r_2$ और $\frac{4}{9} E_2$ हैं।

(B) बोहर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{2.18 \times 10^6 \ Z}{n} \ m/s$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु की पहली बोहर कक्षा के लिए,$n = 1$ और $Z = 1$,इसलिए $v = 2.18 \times 10^6 \ m/s$ है।
निर्वात में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ है।
प्रकाश की गति और इलेक्ट्रॉन की गति का अनुपात $\frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{2.18 \times 10^6 \ m/s} \approx 137.6$ है।
अतः,अनुमानित अनुपात $137 : 1$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर सिद्धांत के अनुसार:
$(i)$ $n$वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गति $v_n \propto \frac{1}{n}$ होती है।
$(ii)$ $n$वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n \propto -\frac{1}{n^2}$ होती है,अतः इसका परिमाण $\frac{1}{n^2}$ के अनुसार बदलता है।
$(iii)$ $n$वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है।
अतः,गति,ऊर्जा और त्रिज्या का $n$ के साथ परिवर्तन $\frac{1}{n} : \frac{1}{n^2} : n^2$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \cdot \frac{Z^2}{n^2} \ J$ है।
हाइड्रोजन के लिए $Z = 1$ है,इसलिए $E_n = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{n^2} \ J$।
जब $n = \infty$ हो,तो $E_{\infty} = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{\infty} = 0 \ J$।
जब $n = 3$ हो,तो $E_3 = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{3^2} = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{9} = -0.242 \times 10^{-18} \ J$।
अतः,$E_{\infty} = 0 \ J$ और $E_3 = -0.242 \times 10^{-18} \ J$।
इसलिए,विकल्प $(c)$ सही उत्तर है।

(C) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों के लिए $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र इस प्रकार है:
$r = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$
जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या (कक्षा संख्या) है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$B^{4+}$ आयन के लिए:
$n = 2$
$Z = 5$ (बोरॉन का परमाणु क्रमांक)
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r = 0.529 \times \frac{2^2}{5} \ \mathring{A}$
$r = 0.529 \times \frac{4}{5} \ \mathring{A}$
$r = 0.529 \times 0.8 \ \mathring{A}$
$r = 0.4232 \ \mathring{A}$

(D) किसी भी कक्षा में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या $(r_n)$ का सूत्र है: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$।
$Li^{2+}$ के लिए: $n = 2$,$Z = 3$।
$Be^{3+}$ के लिए: $n = 3$,$Z = 4$।
अनुपात है: $\frac{r_{Li^{2+}}}{r_{Be^{3+}}} = \frac{n_1^2 / Z_1}{n_2^2 / Z_2} = \frac{n_1^2}{Z_1} \times \frac{Z_2}{n_2^2}$।
मान रखने पर: $\frac{2^2}{3} \times \frac{4}{3^2} = \frac{4}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{16}{27}$।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = 2.18 \times 10^6 \times \frac{Z}{n} \ ms^{-1}$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
तीसरी कक्षा के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = 2.18 \times 10^6 \times \frac{1}{3} \ ms^{-1}$।
$v = 0.7266 \times 10^6 \ ms^{-1}$।
$v = 7.26 \times 10^5 \ ms^{-1}$।
अतः,विकल्प $(C)$ सही उत्तर है।

(B) $H$-जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है:
$E_{n} = \frac{-13.6 \times Z^2}{n^2} \ eV$.
$H$-परमाणु के लिए,$Z = 1$ और $3^{rd}$ कक्षा के लिए,$n = 3$ है।
मान रखने पर:
$E = \frac{-13.6 \times (1)^2}{(3)^2} \ eV = \frac{-13.6}{9} \ eV \approx -1.511 \ eV$.
चूँकि $1 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$,
$E = -1.511 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J \approx -2.42 \times 10^{-19} \ J$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तर इस सूत्र द्वारा दिए जाते हैं: $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n = 1$,इसलिए $E_1 = -13.6 \ eV$
जब $n > 1$ होता है तो उत्तेजित अवस्था प्राप्त होती है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 2$
सूत्र में $n = 2$ रखने पर: $E_2 = -13.6 / 2^2 = -13.6 / 4 = -3.4 \ eV$.

(B) $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{313.52 Z^2}{n^2} \ kcal \ mol^{-1}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$ है।
लाइमन श्रेणी $n_1 = 1$ पर समाप्त होने वाले संक्रमणों के अनुरूप है।
लाइमन श्रेणी में $H_\alpha$ रेखा $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के अनुरूप है।
$n_1 = 1$ कक्षा में ऊर्जा: $E_1 = -\frac{313.52 \times (1)^2}{(1)^2} = -313.52 \ kcal \ mol^{-1} \approx -313.6 \ kcal \ mol^{-1}$ है।
$n_2 = 2$ कक्षा में ऊर्जा: $E_2 = -\frac{313.52 \times (1)^2}{(2)^2} = -\frac{313.52}{4} = -78.38 \ kcal \ mol^{-1} \approx -78.4 \ kcal \ mol^{-1}$ है।
अतः,ऊर्जा $-313.6 \ kcal \ mol^{-1}$ और $-78.4 \ kcal \ mol^{-1}$ है।

(C) कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} mv^2$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर वैद्युत बल संतुलन से,$\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{r^2}$,जिसका अर्थ है $mv^2 = \frac{e^2}{r}$।
इसे गतिज ऊर्जा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $KE = \frac{1}{2} \frac{e^2}{r}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ $PE = \frac{-e^2}{r}$ है।
कुल ऊर्जा $(E)$ गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = KE + PE = \frac{1}{2} \frac{e^2}{r} - \frac{e^2}{r} = \frac{-e^2}{2r}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में उपस्थित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = \frac{-1312}{n^2} \ kJ \ mol^{-1}$।
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$E_2 = \frac{-1312}{2^2} \ kJ \ mol^{-1} = \frac{-1312}{4} \ kJ \ mol^{-1} = -328 \ kJ \ mol^{-1}$।

(C) रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$. हाइड्रोजन के लिए,$Z=1$.
संक्रमण $(i)$ $n=4$ से $n=2$ के लिए: $\frac{1}{\lambda_1} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R_H \left( \frac{3}{16} \right)$. अतः,$\lambda_1 = \frac{16}{3R_H}$.
संक्रमण $(ii)$ $n=3$ से $n=1$ के लिए: $\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = R_H \left( \frac{8}{9} \right)$. अतः,$\lambda_2 = \frac{9}{8R_H}$.
$(\lambda_1 - \lambda_2)$ की गणना करते हुए: $\frac{16}{3R_H} - \frac{9}{8R_H} = \frac{1}{R_H} \left( \frac{128 - 27}{24} \right) = \frac{1}{R_H} \left( \frac{101}{24} \right)$.

(B) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right]$.
बामर श्रेणी के लिए,$n_2 = 2$ और $n_1 = 3, 4, 5, \dots$.
सूत्र में $n_2 = 2$ और $n_1 = 5$ रखने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{25 - 4}{100} \right] = R \left[ \frac{21}{100} \right]$.
अतः,$\lambda = \frac{100}{21 R}$.

(D) दिया गया है:
गतिज ऊर्जा $(K.E.) = 2 \times 10^{-19} \ J$
आपतित विकिरण की आवृत्ति $(\nu) = 1.0 \times 10^{15} \ Hz$
प्लांक स्थिरांक $(h) = 6.6 \times 10^{-34} \ Js$
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K.E. = h(\nu - \nu_0)$
जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
मान रखने पर:
$2 \times 10^{-19} = 6.6 \times 10^{-34} \times (1.0 \times 10^{15} - \nu_0)$
$\frac{2 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}} = 1.0 \times 10^{15} - \nu_0$
$0.303 \times 10^{15} = 1.0 \times 10^{15} - \nu_0$
$\nu_0 = 1.0 \times 10^{15} - 0.303 \times 10^{15}$
$\nu_0 = 0.697 \times 10^{15} \ Hz = 6.97 \times 10^{14} \ Hz$

(A) तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र $\bar{\nu} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
$He^{+}$ $(Z=2)$ की लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए: $n_1=1, n_2=2$.
$\bar{\nu}_1 = R_H \times 2^2 \times \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R_H \times 4 \times \frac{3}{4} = 3 R_H = x$.
अतः,$R_H = \frac{x}{3}$.
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ की बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए: $n_1=2, n_2=4$.
$\bar{\nu}_2 = R_H \times 3^2 \times \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R_H \times 9 \times \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R_H \times 9 \times \frac{3}{16} = \frac{27 R_H}{16}$.
$R_H = \frac{x}{3}$ का मान रखने पर:
$\bar{\nu}_2 = \frac{27}{16} \times \frac{x}{3} = \frac{9 x}{16}$.

(A) रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
$H$-परमाणु की बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए $(Z=1, n_1=2, n_2=4)$:
$\frac{1}{\lambda} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$ $\Rightarrow R = \frac{16}{3\lambda}$.
$He^{+}$ आयन की लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(Z=2, n_1=1, n_2=2)$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R(2)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = 4R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = 4R \left( \frac{3}{4} \right) = 3R$.
$\lambda_2$ के समीकरण में $R = \frac{16}{3\lambda}$ रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_2} = 3 \left( \frac{16}{3\lambda} \right) = \frac{16}{\lambda}$ $\Rightarrow \lambda_2 = \frac{\lambda}{16}$.

(C) बोर के सिद्धांत के अनुसार,हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
एक इलेक्ट्रॉन को कक्षा $n_1$ से $n_2$ में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13.6 \ Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ eV$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$,$n_1 = 2$,और $n_2 = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta E = 13.6 \times 1^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) \ eV$
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) \ eV$
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{9 - 4}{36} \right) \ eV$
$\Delta E = 13.6 \times \frac{5}{36} \ eV \approx 1.888 \ eV \approx 1.9 \ eV$.

(B) जब इलेक्ट्रॉन $n_2$ से $n_1$ में संक्रमण करता है,तो स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या ज्ञात करने का सामान्य सूत्र है:
$N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$
दिया गया है,$n_2 = 6$ और $n_1 = 2$।
मान रखने पर:
$N = \frac{(6 - 2)(6 - 2 + 1)}{2}$
$N = \frac{4 \times 5}{2}$
$N = 10$
ये स्पेक्ट्रमी रेखाएं हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की बामर श्रेणी (Balmer series) से संबंधित हैं।

(A) हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों में $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा इस सूत्र द्वारा दी जाती है:
$E = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$
जहाँ:
$Z = Li \text{ का परमाणु क्रमांक} = 3$
$n = \text{कक्षा संख्या} = 1$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_1 = -13.6 \times \frac{3^2}{1^2} \ eV$
$E_1 = -13.6 \times 9 \ eV = -122.4 \ eV$

(D) हाइड्रोजन की स्पेक्ट्रल श्रेणियाँ इस प्रकार हैं:
$1$. लाइमैन श्रेणी: पराबैंगनी (अल्ट्रावायलेट) क्षेत्र।
$2$. बामर श्रेणी: दृश्य क्षेत्र।
$3$. पाश्चन श्रेणी: अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र।
$4$. ब्रैकेट श्रेणी: अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र।
$5$. फंड श्रेणी: अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र।
अतः,लाइमैन और बामर श्रेणियाँ वे दो श्रेणियाँ हैं जो अवरक्त स्पेक्ट्रल क्षेत्र से संबंधित नहीं हैं।

(C) जब हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन $n$वें ऊर्जा स्तर पर उत्तेजित होता है,तो वह फोटॉन उत्सर्जित करके निचले ऊर्जा स्तरों पर वापस आ सकता है।
संभव स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या का सूत्र है:
$\text{स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या} = \frac{n(n-1)}{2}$
जहाँ $n$ उत्तेजित अवस्था की मुख्य क्वांटम संख्या को दर्शाता है।

(C) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ऊर्जा अंतर $\Delta E$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\lambda = \frac{hc}{\Delta E})$।
सबसे कम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,हमें सबसे अधिक ऊर्जा अंतर $\Delta E$ वाले संक्रमण की आवश्यकता है।
संक्रमणों की तुलना करने पर:
$(A)$ $n_2=\infty$ से $n_1=2$: $\Delta E \propto 0.25$
$(B)$ $n_2=4$ से $n_1=3$: $\Delta E \propto 0.0486$
$(C)$ $n_2=2$ से $n_1=1$: $\Delta E \propto 0.75$
$(D)$ $n_2=5$ से $n_1=3$: $\Delta E \propto 0.0711$
संक्रमण $n_2=2$ से $n_1=1$ में सबसे अधिक ऊर्जा अंतर है,इसलिए यह सबसे कम तरंगदैर्ध्य का विकिरण उत्सर्जित करता है।