Uncertainty principle and Schrodinger wave equation Questions in Hindi

(D) सही उत्तर $(D)$ है।
बोहर का मॉडल यह मानता है कि इलेक्ट्रॉन निश्चित त्रिज्या और वेग वाली सुस्पष्ट वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं।
कथन $(D)$ हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का वर्णन करता है,जो बताता है कि किसी इलेक्ट्रॉन की सटीक स्थिति और सटीक संवेग को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।
यह सिद्धांत बोहर मॉडल की निश्चित कक्षाओं की धारणा के विपरीत है।

(C) परमाणु के बोहर मॉडल का खंडन हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा होता है।
बोहर के मॉडल के अनुसार,परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन नाभिक से एक निश्चित दूरी पर स्थित होता है और एक निश्चित वेग के साथ एक अच्छी तरह से परिभाषित गोलाकार कक्षा में घूमता है।
हालाँकि,हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन जैसे सूक्ष्म कण की स्थिति और संवेग (या वेग) को एक साथ सटीक रूप से निर्धारित करना असंभव है।

(B) अनिश्चितता का सिद्धांत हाइजेनबर्ग द्वारा प्रतिपादित किया गया था।

(B) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि किसी सूक्ष्म कण की स्थिति और संवेग दोनों को एक साथ पूर्ण सटीकता के साथ निर्धारित करना असंभव है।
गणितीय रूप से,इसे $\Delta x \times \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\Delta x$ स्थिति में अनिश्चितता है,$\Delta p$ संवेग में अनिश्चितता है,और $h$ प्लांक स्थिरांक है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन जैसे उप-परमाणु कण की सटीक स्थिति और संवेग (जो वेग से संबंधित है) को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।
इसका गणितीय व्यंजक है: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$

(C) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि परमाणु के भीतर एक इलेक्ट्रॉन की स्थिति और संवेग दोनों को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।
गणितीय रूप से,स्थिति और संवेग में अनिश्चितताओं का गुणनफल एक स्थिरांक $\frac{h}{4\pi}$ से अधिक या उसके बराबर होता है।
समीकरण $\Delta x \times \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ है,जहाँ:
$\Delta x$ = स्थिति में अनिश्चितता
$\Delta p$ = संवेग में अनिश्चितता
$h$ = प्लांक स्थिरांक

(C) संबंध $\Delta x \times \Delta p = \frac{h}{4\pi}$ हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का सही निरूपण नहीं है।
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ का गुणनफल हमेशा $\frac{h}{4\pi}$ से अधिक या उसके बराबर होता है।
इसलिए,सही संबंध $\Delta x \times \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ है।

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन जैसे सूक्ष्म कण की सटीक स्थिति और संवेग को एक साथ पूर्ण सटीकता के साथ निर्धारित करना असंभव है। यह सिद्धांत संबंध $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ द्वारा दिया जाता है।

(D) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ है।
यदि स्थिति में अनिश्चितता $\Delta x = 0$ है,तो $\Delta p \ge \frac{h}{4\pi \cdot 0}$ होगा।
अतः,संवेग में अनिश्चितता $\Delta p$ अनंत हो जाती है।

(D) ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी इरविन श्रोडिंगर ने तरंग समीकरण तैयार किया,जो परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार का वर्णन करता है।
यह समीकरण अंतरिक्ष के एक विशिष्ट क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व की गणना करने की अनुमति देता है,जो कक्षक (orbital) की अवधारणा की ओर ले जाता है।

(D) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि किसी इलेक्ट्रॉन की सटीक स्थिति और सटीक संवेग को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।
यह अंतरिक्ष के एक विशिष्ट क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता (संभावना) की अवधारणा की ओर ले जाता है।
इस क्षेत्र को कक्षक (orbital) के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसके अलावा,तरंग फलन का वर्ग,$\Psi^2$,इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व को दर्शाता है।
इसलिए,दिए गए सभी विकल्प अनिश्चितता सिद्धांत और तरंग यांत्रिकी से प्राप्त परिणाम या संबंधित अवधारणाएं हैं।

(A) $1927$ में,वर्नर हाइजेनबर्ग ने हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत प्रस्तावित किया,जो बताता है कि इलेक्ट्रॉन जैसे सूक्ष्म कण की सटीक स्थिति और सटीक संवेग को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।
$1924$ में,लुई डी ब्रोग्ली ने पदार्थ की तरंग प्रकृति की अवधारणा प्रस्तावित की,जिसमें यह सुझाव दिया गया कि सभी पदार्थ द्वैत व्यवहार प्रदर्शित करते हैं,जो कण और तरंग दोनों के रूप में कार्य करते हैं।

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ है।
दिया गया है $\Delta p = 1 \times 10^{-5} \ kg \ m/s$ और $h = 6.62 \times 10^{-34} \ kg \ m^2/s$।
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{h}{4\pi \times \Delta p}$।
$\Delta x = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 1 \times 10^{-5}}$।
$\Delta x = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{12.566 \times 10^{-5}} \approx 5.27 \times 10^{-30} \ m$।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \times \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$.
चूंकि $\Delta p = m \times \Delta v$,सूत्र $\Delta v = \frac{h}{4 \pi \times m \times \Delta x}$ हो जाता है।
दिया गया है: $m = 10 \ g = 0.01 \ kg$,$\Delta x = 10^{-5} \ m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
मान रखने पर: $\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 0.01 \times 10^{-5}}$.
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.2566 \times 10^{-6}} \approx 5.27 \times 10^{-28} \ m/s$.

(B) समीकरण $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत को दर्शाता है।
इस सिद्धांत के अनुसार,किसी उप-परमाण्विक कण की स्थिति और संवेग दोनों को एक साथ पूर्ण सटीकता के साथ निर्धारित करना असंभव है।
स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ का गुणनफल हमेशा $\frac{h}{4\pi}$ से अधिक या उसके बराबर होता है।

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \times m \times \Delta v \geq \frac{h}{4\pi}$.
दिया गया है: $\Delta x = 10^{-5} \ m$,$m = 0.25 \ g$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$.
वेग में अनिश्चितता $\Delta v$ के लिए सूत्र: $\Delta v = \frac{h}{4 \times \pi \times \Delta x \times m}$.
मान रखने पर: $\Delta v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 10^{-5} \times 0.25} = 2.1 \times 10^{-29} \ m/s$.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$ होता है।
दिया गया है: $\Delta p = 1 \times 10^{-5} \ kg \ m/s$ और $h = 6.63 \times 10^{-34} \ Js$।
स्थिति में अनिश्चितता के लिए सूत्र: $\Delta x = \frac{h}{4 \pi \times \Delta p}$।
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-5}}$।
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{12.566 \times 10^{-5}} \approx 5.28 \times 10^{-30} \ m$।

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,संबंध $\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ है।
चूंकि $\Delta p = m \times \Delta v$,समीकरण $\Delta x \times \Delta v \times m = \frac{h}{4\pi}$ हो जाता है।
अतः,स्थिति और वेग में अनिश्चितताओं का गुणनफल $\Delta x \times \Delta v = \frac{h}{4 \pi \times m}$ है।
दिया गया है: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ kg \ m^2 \ s^{-1}$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,और $\pi = 3.14$।
मान रखने पर: $\Delta x \times \Delta v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}}$।
$\Delta x \times \Delta v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{114.296 \times 10^{-31}} \approx 5.8 \times 10^{-5} \ m^2 \ s^{-1}$।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,किसी इलेक्ट्रॉन की सटीक स्थिति और सटीक संवेग (या वेग) को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।
गणितीय व्यंजक $\Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{h}{4\pi}$ है।
चूंकि संवेग $\Delta p_x = m \Delta \nu$ होता है,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$\Delta x \cdot m \Delta \nu \geq \frac{h}{4\pi}$।
स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ के लिए सूत्र:
$\Delta x \geq \frac{h}{4\pi m \Delta \nu}$।

(C) क्वांटम संख्याएँ हाइड्रोजन परमाणु के लिए $Schr\ddot{o}dinger$ तरंग समीकरण के समाधान से प्राप्त की जाती हैं। ये संख्याएँ कक्षकों के आकार,आकृति और अभिविन्यास के साथ-साथ इलेक्ट्रॉनों के चक्रण (spin) का वर्णन करती हैं। यद्यपि विकल्पों में सूचीबद्ध सिद्धांत (हुंड का नियम,आउफबाऊ का सिद्धांत,पाउली का अपवर्जन सिद्धांत) कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों के भरने को नियंत्रित करते हैं,लेकिन क्वांटम संख्याएँ स्वयं तरंग समीकरण के मौलिक गणितीय समाधान हैं,जो परमाणु के क्वांटम यांत्रिक मॉडल के अनुरूप हैं।

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ होता है।
यहाँ वेग $v = 300 \, ms^{-1}$ और सटीकता $= 0.001 \%$ है।
वेग में अनिश्चितता $\Delta v = \frac{0.001}{100} \times 300 = 3 \times 10^{-3} \, ms^{-1}$ है।
$\Delta x = \frac{h}{4\pi m \Delta v}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-3}}$.
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{342.31 \times 10^{-34}} \approx 0.01937 \, m \approx 1.92 \times 10^{-2} \, m$.

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \geqslant \frac{h}{4\pi}$.
यहाँ दिया गया है कि स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ समान हैं,इसलिए $\Delta x = \Delta p$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
वर्गमूल लेने पर: $\Delta p = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
हम जानते हैं कि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,इसलिए $m \cdot \Delta v = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
अतः,वेग में अनिश्चितता $\Delta v = \frac{1}{2m}\sqrt{\frac{h}{\pi}}$ है।

(D) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता का सिद्धांत बताता है कि $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
यह सिद्धांत केवल इलेक्ट्रॉन,प्रोटॉन जैसे सूक्ष्म कणों के लिए महत्वपूर्ण है।
मोटर कार जैसी स्थूल वस्तुओं के लिए,द्रव्यमान इतना अधिक होता है कि स्थिति और वेग में अनिश्चितता नगण्य हो जाती है।
स्थिर कण के लिए,स्थिति में अनिश्चितता शून्य होती है,जो गतिशील क्वांटम कणों के लिए सिद्धांत की आवश्यकता के विपरीत है।
इसलिए,यह सिद्धांत स्थूल वस्तुओं और स्थिर कणों दोनों पर लागू नहीं होता है।

(A) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि किसी उप-परमाणु कण की स्थिति और संवेग दोनों को एक साथ सटीक रूप से निर्धारित करना असंभव है।
गणितीय रूप से,इसे $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\Delta x$ स्थिति में अनिश्चितता है,$\Delta p$ संवेग में अनिश्चितता है,और $h$ प्लैंक स्थिरांक है।

(B) इलेक्ट्रॉन के लिए $Schrodinger$ तरंग समीकरण का सही रूप है: $\frac{d^2\Psi}{dx^2} + \frac{d^2\Psi}{dy^2} + \frac{d^2\Psi}{dz^2} + \frac{8\pi^2 m}{h^2}(E - V)\Psi = 0$।
यहाँ $\Psi$ तरंग फलन है,$E$ कुल ऊर्जा है,$V$ स्थितिज ऊर्जा है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $h$ $Planck$ नियतांक है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) वेग में अनिश्चितता $\Delta v = \frac{0.005}{100} \times 600 = 0.03 \, m/s$ है।
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4\pi m}$।
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{h}{4\pi m \Delta v} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 0.03}$।
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.432 \times 10^{-31}} \approx 1.93 \times 10^{-3} \, m$।

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
दिया गया है: $\Delta p_x = \frac{1}{2} \Delta p_y$ और $\Delta x_x = 0.05 \ \mathring{A}$.
कण $x$ के लिए: $\Delta x_x \cdot \Delta p_x = \frac{h}{4\pi} \implies 0.05 \cdot \Delta p_x = \frac{h}{4\pi} \implies \Delta p_x = \frac{h}{4\pi \cdot 0.05}$.
चूंकि $\Delta p_x = \frac{1}{2} \Delta p_y$,इसलिए $\Delta p_y = 2 \cdot \Delta p_x = 2 \cdot \frac{h}{4\pi \cdot 0.05} = \frac{h}{4\pi \cdot 0.025}$.
कण $y$ के लिए: $\Delta x_y \cdot \Delta p_y = \frac{h}{4\pi} \implies \Delta x_y = \frac{h}{4\pi \cdot \Delta p_y} = \frac{h}{4\pi \cdot (\frac{h}{4\pi \cdot 0.025})} = 0.025 \ \mathring{A}$.
सेमी में बदलने पर: $0.025 \ \mathring{A} = 0.025 \times 10^{-8} \ \text{cm} = 2.5 \times 10^{-10} \ \text{cm}$.

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि $e^-$ के लिए स्थिति में अनिश्चितता $\Delta x$,उसके संवेग $\Delta p$ की अनिश्चितता के बराबर है,अर्थात $\Delta x = \Delta p$।
इस शर्त के अनुसार,$He$ परमाणु के लिए भी $\Delta p$ का मान समान रहेगा।
अतः,$\Delta p_{He} = 32 \times 10^5$।

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot m \Delta v \ge \frac{h}{4 \pi}$
दिया गया है: $\Delta x = 1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, m$,$m = 150 \, g = 0.150 \, kg$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J s$
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi \Delta x \cdot m}$
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-10} \times 0.150}$
$\Delta v = 3.51 \times 10^{-24} \, m s^{-1}$
दिए गए विकल्प के अनुसार: $3.499 \times 10^{-24} \, m s^{-1}$.

(B) दिया गया समीकरण $\Delta x \cdot \Delta p \geqslant \frac{h}{4\pi}$ हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का गणितीय रूप है।
यह बताता है कि किसी सूक्ष्म कण की स्थिति और संवेग दोनों को एक साथ सटीक रूप से निर्धारित करना असंभव है।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,सूत्र $\Delta x = \frac{h}{4\pi m \Delta v}$ हो जाता है।
दिया गया है: $m = 0.02 \, kg$,$\Delta v = 9.218 \times 10^{-6} \, m/s$,और $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$.
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 0.02 \times 9.218 \times 10^{-6}}$.
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.313 \times 10^{-6}} \approx 2.86 \times 10^{-28} \, m$.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \times m \Delta v = \frac{h}{4\pi}$.
कण $A$ के लिए: $\Delta x_A \times m_A \times \Delta v_A = \frac{h}{4\pi}$.
यहाँ $\Delta v_A = 0.05 \, m/s$ और $m_A = m$ दिया गया है,इसलिए $\Delta x_A \times m \times 0.05 = \frac{h}{4\pi} \dots (1)$.
कण $B$ के लिए: $\Delta x_B \times m_B \times \Delta v_B = \frac{h}{4\pi}$.
यहाँ $\Delta v_B = 0.02 \, m/s$ और $m_B = 5m$ दिया गया है,इसलिए $\Delta x_B \times 5m \times 0.02 = \frac{h}{4\pi} \dots (2)$.
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\Delta x_A \times m \times 0.05}{\Delta x_B \times 5m \times 0.02} = 1$.
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} \times \frac{0.05}{0.1} = 1$.
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} \times 0.5 = 1$.
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = 2$.

(B) किसी बिंदु $(x, y, z)$ पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व $\psi^2(x, y, z)$ द्वारा दी जाती है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
डी ब्रोग्ली के अनुसार,उप-परमाण्विक कण द्वैत प्रकृति (कण और तरंग) प्रदर्शित करते हैं। अतः,कारण $(R)$ सही है।
हालाँकि,पदार्थ की द्वैत प्रकृति एक मौलिक अवधारणा है,लेकिन यह इस बात की सीधी व्याख्या नहीं है कि प्रायिकता घनत्व को $\psi^2$ के रूप में क्यों परिभाषित किया गया है। इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \times \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$
चूंकि $\Delta p = m \times \Delta v$,समीकरण इस प्रकार होगा: $\Delta x \times m \times \Delta v = \frac{h}{4\pi}$
दिया गया है: $m = 0.25 \, kg$,$\Delta x = 10^{-5} \, m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
$\Delta v = \frac{h}{4 \times \pi \times \Delta x \times m}$
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-5} \times 0.25}$
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.14159 \times 10^{-5}} \approx 2.1 \times 10^{-29} \, m/s$

(D) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार:
$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4\pi}$
द्रव्यमान $(m)$ के लिए सूत्र:
$m = \frac{h}{4\pi \cdot \Delta x \cdot \Delta v}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$m = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-10} \times 5.27 \times 10^{-24}}$
$m = 0.099 \ kg$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10^{-11} \, g$,वेग $u = 10^{-4} \, cm \, sec^{-1}$,वेग में त्रुटि $= 0.1 \%$.
वेग में अनिश्चितता $\Delta u = \frac{0.1}{100} \times 10^{-4} = 10^{-7} \, cm \, sec^{-1}$.
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot m \Delta u = \frac{h}{4 \pi}$.
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta u}$.
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{4 \times 3.1416 \times 10^{-11} \times 10^{-7}}$.
$\Delta x = 5.27 \times 10^{-10} \, cm$.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi m_e}$.
यहाँ वेग $v = 600 \, m/s$ और सटीकता $= 0.005\%$ है।
वेग में अनिश्चितता $\Delta v = 600 \times \frac{0.005}{100} = 0.03 \, m/s$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $\Delta x = \frac{h}{4 \pi m_e \Delta v}$.
$\Delta x = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 0.03}$.
$\Delta x = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{3.424 \times 10^{-30}} \approx 1.927 \times 10^{-3} \, m$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है: $\Delta p = 1 \times 10^{-3} \, g \, cm \, sec^{-1}$,$h = 6.626 \times 10^{-27} \, erg \, sec$.
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार:
$\Delta x \cdot \Delta p \geqslant \frac{h}{4\pi}$
$\Delta x \geqslant \frac{h}{4 \cdot \pi \cdot \Delta p}$
मान रखने पर:
$\Delta x \geqslant \frac{6.626 \times 10^{-27}}{4 \times 3.1416 \times 10^{-3}}$
$\Delta x \geqslant \frac{6.626}{12.5664} \times 10^{-24} \, cm$
$\Delta x \geqslant 0.527 \times 10^{-24} \, cm$.

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \geqslant \frac{h}{4\pi}$.
यहाँ स्थिति में अनिश्चितता $\Delta x = 0$ दी गई है।
समीकरण में मान रखने पर: $0 \cdot \Delta p \geqslant \frac{h}{4\pi}$.
अतः,$\Delta p \geqslant \frac{h}{4\pi \cdot 0}$.
चूँकि शून्य से भाग देने पर परिणाम अनंत होता है,इसलिए $\Delta p \geqslant \infty$.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$.
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,सूत्र $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4\pi}$ हो जाता है।
दिया गया है: $m = 25 \, g = 25 \times 10^{-3} \, kg$,$\Delta x = 10^{-5} \, m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$.
मान रखने पर: $\Delta v = \frac{h}{4 \pi \cdot \Delta x \cdot m}$.
$\Delta v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 10^{-5} \times 25 \times 10^{-3}}$.
$\Delta v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{314 \times 10^{-6}} \approx 2.1 \times 10^{-28} \, m/s$.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
दिया गया है: $m = 9.1 \times 10^{-28} \ g$,$v = 3.0 \times 10^4 \ cm \ s^{-1}$,और सटीकता $0.001\%$ है।
सबसे पहले,वेग में अनिश्चितता $(\Delta v)$ की गणना करें:
$\Delta v = v \times \frac{0.001}{100} = 3.0 \times 10^4 \times 10^{-5} = 0.3 \ cm \ s^{-1}$.
अब,संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ की गणना करें:
$\Delta p = m \times \Delta v = 9.1 \times 10^{-28} \times 0.3 = 2.73 \times 10^{-28} \ g \ cm \ s^{-1}$.
अनिश्चितता सिद्धांत के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi \cdot m \cdot \Delta v} = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{4 \times 3.1416 \times 2.73 \times 10^{-28}}$.
$\Delta x = \frac{66.26}{34.287} \approx 1.93 \ cm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $1.92 \ cm$ है।

(D) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ का गुणनफल $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और हीलियम परमाणु दोनों के लिए स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ समान $(1.0 \, nm)$ है,इसलिए संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ भी दोनों कणों के लिए समान होगी।
यह दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन के संवेग में अनिश्चितता $50 \times 10^{-26} \, kg \, m \, s^{-1}$ है,इसलिए हीलियम परमाणु के संवेग के मापन में न्यूनतम अनिश्चितता भी $50 \times 10^{-26} \, kg \, m \, s^{-1}$ होगी।

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार:
$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi} $
दिया गया है कि स्थिति $( \Delta x )$ और संवेग $( \Delta p )$ में अनिश्चितता समान है,अर्थात $ \Delta x = \Delta p $.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$ (\Delta p)^{2} = \frac{h}{4 \pi} $
चूंकि $ \Delta p = m \cdot \Delta v $:
$ (m \cdot \Delta v)^{2} = \frac{h}{4 \pi} $
$ m^{2} \cdot (\Delta v)^{2} = \frac{h}{4 \pi} $
$ (\Delta v)^{2} = \frac{h}{4 \pi m^{2}} $
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$ \Delta v = \sqrt{\frac{h}{4 \pi m^{2}}} $
$ \Delta v = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}} $

(C) संवेग में अनिश्चितता $\Delta p = m \Delta v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $\Delta v$ वेग में अनिश्चितता है।
दिया गया है: $\Delta p = 1 \times 10^{-18} \ g \ cm \ s^{-1}$ और $m = 9 \times 10^{-28} \ g$.
समीकरण में मान रखने पर:
$1 \times 10^{-18} = (9 \times 10^{-28}) \times \Delta v$
$\Delta v = \frac{1 \times 10^{-18}}{9 \times 10^{-28}} \ cm \ s^{-1}$
$\Delta v = 0.111 \times 10^{10} \ cm \ s^{-1} \approx 1.1 \times 10^9 \ cm \ s^{-1}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1 \times 10^9 \ cm \ s^{-1}$ है।

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार:
$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,सूत्र इस प्रकार है:
$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta v \geq \frac{h}{4 \pi \cdot m \cdot \Delta x}$
दिया गया है:
$\Delta x = 0.1 \ \mathring{A} = 10^{-11} \ m$
$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$
मान रखने पर:
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-11}}$
$\Delta v = 5.79 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$

(A) वेग में प्रतिशत त्रुटि $0.001\%$ दी गई है।
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0.001$
$\Delta V = \frac{0.001 \times 300}{100} = 3 \times 10^{-3} \ ms^{-1}$
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार:
$\Delta x \cdot m \Delta V \geq \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta V}$
मान रखने पर ($h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$\Delta V = 3 \times 10^{-3} \ ms^{-1}$):
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-3}}$
$\Delta x \approx 1.92 \times 10^{-2} \ m$

(B) दिया गया है,वेग $v = 600 \, m/s$ और प्रतिशत त्रुटि $= 0.005 \%$.
$\Delta v = \frac{0.005}{100} \times 600 = 0.03 \, m/s = 3 \times 10^{-2} \, m/s$.
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$,जहाँ $\Delta p = m \Delta v$.
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$.
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-2}}$.
$\Delta x = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{34.2264 \times 10^{-33}} \approx 0.1928 \times 10^{-1} \, m = 1.928 \times 10^{-3} \, m$.

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
दिया गया है कि स्थिति और संवेग में अनिश्चितता समान है,$\Delta x = \Delta p$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
अतः,$\Delta p = \sqrt{\frac{h}{4\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,वेग में अनिश्चितता $\Delta v = \frac{\Delta p}{m}$ होगी।
$\Delta p$ का मान रखने पर: $\Delta v = \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}} = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.

(D) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि किसी सूक्ष्म कण की सटीक स्थिति और सटीक संवेग को एक साथ निर्धारित करना असंभव है। \\ यह सिद्धांत केवल इलेक्ट्रॉन,प्रोटॉन या न्यूट्रॉन जैसे सूक्ष्म कणों के लिए महत्वपूर्ण है क्योंकि उनका द्रव्यमान अत्यंत कम होता है। \\ क्रिकेट की गेंद,फुटबॉल या जेट विमान जैसी स्थूल वस्तुओं के लिए,उनके बड़े द्रव्यमान के कारण अनिश्चितता नगण्य होती है।