Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(C) $\text{હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા માટેનું સૂત્ર: } r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A} \text{ છે।}$
$1 \mathring{A} = 100 \ pm \text{ હોવાથી} pm \text{ માં સૂત્ર } r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \ pm \text{ થશે।}$
$He^{+}$ આયન $(Z = 2)$ માટે, ચોથી કક્ષા $(n = 4)$ ની ત્રિજ્યા:
$R_1 = 52.9 \times \frac{4^2}{2} = 52.9 \times 8 = 423.2 \ pm$.
$Li^{2+}$ આયન $(Z = 3)$ માટે, ત્રીજી કક્ષા $(n = 3)$ ની ત્રિજ્યા:
$R_2 = 52.9 \times \frac{3^2}{3} = 52.9 \times 3 = 158.7 \ pm$.
$\text{તેથી} (R_1 - R_2) = 423.2 - 158.7 = 264.5 \ pm$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે,બીજી કક્ષા $(n=2)$ ની ઉર્જા $E_2 = -13.6 \times \frac{1^2}{2^2} = -3.4 \ eV$ છે.
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z=2$ છે.
આપણે ચોથી કક્ષા $(n=4)$ ની ઉર્જા શોધવાની છે.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા: $E_4 = -13.6 \times \frac{2^2}{4^2} \ eV$.
$E_4 = -13.6 \times \frac{4}{16} \ eV$.
$E_4 = -13.6 \times \frac{1}{4} \ eV$.
$E_4 = -3.4 \ eV$.

(B) કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કોણીય વેગમાન $= \frac{3h}{\pi} = \frac{6h}{2\pi}$,તેથી $n = 6$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા માટે,$r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$,જ્યાં $a_0 = 0.529 \ \mathring{A}$.
$r_6 = 0.529 \ \mathring{A} \times \frac{6^2}{3} = 0.529 \times 12 = 6.348 \ \mathring{A}$.
સ્થિર અવસ્થાની ઉર્જા માટે,$E_n = -2.18 \times 10^{-18} \ J \times \frac{Z^2}{n^2}$.
$E_6 = -2.18 \times 10^{-18} \ J \times \frac{3^2}{6^2} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{9}{36} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1}{4} = -5.45 \times 10^{-19} \ J$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$ છે.
$Li^{2+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
ત્રીજી કક્ષા માટે,$n = 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^2}{3^2} \ J$.
$E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{9}{9} \ J$.
$E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \ J$.

(C) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \ pm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$He^{+}$ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે।
ચોથી કક્ષાની ત્રિજ્યા $(n=4)$: $r_4 = 52.9 \times \frac{4^2}{2} = 52.9 \times 8 = 423.2 \ pm$.
ત્રીજી કક્ષાની ત્રિજ્યા $(n=3)$: $r_3 = 52.9 \times \frac{3^2}{2} = 52.9 \times 4.5 = 238.05 \ pm$.
ત્રિજ્યામાં તફાવત: $\Delta r = r_4 - r_3 = 423.2 - 238.05 = 185.15 \ pm$.
મીટરમાં રૂપાંતર: $185.15 \times 10^{-12} \ m = 1.8515 \times 10^{-10} \ m$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
બધા પરમાણુઓ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં હોવાથી,$n = 1$ લેતા.
તેથી,ઉર્જા એ પરમાણુ ક્રમાંકના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,$E \propto Z^2$.
$Li^{2+}$ માટે $Z = 3$,$He^{+}$ માટે $Z = 2$,અને $H$ માટે $Z = 1$ છે.
આમ,તેમની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $E_{Li^{2+}} : E_{He^{+}} : E_{H} = (3)^2 : (2)^2 : (1)^2 = 9 : 4 : 1$ થાય.

(C) $H$-પરમાણુ માટે ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = \frac{-13.6 \ Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે: $E_1 = -13.6 \ eV$.
ત્રીજી અવસ્થા $(n=3)$ માટે: $E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = -1.51 \ eV$.
જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.

(C) હાઇડ્રોજન અને હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓ માટે,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n \propto \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $n$ એ કક્ષાનો ક્રમ અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$ માટે,$Z = 1$. બીજી કક્ષા $(n = 2)$ ની ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{2^2}{1} = 4$ છે.
હિલિયમ આયન $(He^{+})$ માટે,$Z = 2$. ચોથી કક્ષા $(n = 4)$ ની ત્રિજ્યા $r_4 = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_2}{r_4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ એટલે કે $1: 2$ થાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Li^{2+}$ માટે,$n = 1$ અને $Z = 3$,તેથી $r_{Li^{2+}} = 0.529 \times \frac{1^2}{3} = X \mathring{A}$.
આનો અર્થ એ છે કે $0.529 = 3X$.
$He^{+}$ માટે,$n = 3$ અને $Z = 2$,તેથી $r_{He^{+}} = 0.529 \times \frac{3^2}{2} = 0.529 \times \frac{9}{2} \mathring{A}$.
$r_{He^{+}}$ ના સમીકરણમાં $0.529 = 3X$ મૂકતા:
$r_{He^{+}} = (3X) \times \frac{9}{2} = \frac{27}{2} X = 13.5X \mathring{A}$.

(D) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ છે.
$1^{st}$ કક્ષા $(n=1)$ માટે,$r_1 = a_0 \frac{1^2}{Z} = \frac{a_0}{Z}$.
$3^{rd}$ કક્ષા $(n=3)$ માટે,$r_3 = a_0 \frac{3^2}{Z} = 9 \times \frac{a_0}{Z}$.
આમ,$r_3 = 9 \times r_1$.
તેથી,$3^{rd}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $1^{st}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા કરતા $9$ ગણી હોય છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં કક્ષકની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે,તેમ $E_n$ નું મૂલ્ય ઓછું ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે કક્ષકની કુલ ઊર્જા વધે છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે.
કારણ જણાવે છે કે ઋણભારિત ઇલેક્ટ્રોનને ધનભારિત ન્યુક્લિયસથી દૂર લઈ જવા માટે ઊર્જાની જરૂર પડે છે,જે સાચું છે કારણ કે સ્થિર વિદ્યુતીય આકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
આમ,વિધાન ખોટું છે,પરંતુ કારણ સાચું છે.
સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Li^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ અને બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$ છે.
$E = -13.6 \times \frac{3^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{9}{4} = -30.6 \ eV$.
જૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $E = -30.6 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J \approx -4.905 \times 10^{-18} \ J$.
ઉર્જાનું મૂલ્ય $4.905 \times 10^{-18} \ J$ છે.
$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_2 = 0.529 \times \frac{2^2}{3} = 0.529 \times \frac{4}{3} = 0.7053 \ \mathring{A}$.
$1 \ \mathring{A} = 0.1 \ nm$ હોવાથી,$r_2 = 0.07053 \ nm \approx 0.0705 \ nm$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા આયનમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a_0 = 52.9 \ pm$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે।
આપેલ છે કે $r_n = 52.9 \ pm$, તેથી $52.9 = 52.9 \times \frac{n^2}{Z}$, જે સૂચવે છે કે $\frac{n^2}{Z} = 1$ અથવા $n^2 = Z$.
હાઇડ્રોજન જેવા આયનમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = E_1 \times \frac{Z^2}{n^2}$ છે, જ્યાં $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \ J$.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $Z = n^2$ મૂકતા: $E_n = E_1 \times \frac{(n^2)^2}{n^2} = E_1 \times n^2$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 2)$ માટે, $E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times 2^2 = -2.18 \times 10^{-18} \times 4 = -8.72 \times 10^{-18} \ J$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે।

(C) આપેલ છે કે,હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં બોહરની કક્ષા સાથે સંકળાયેલ ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
બોહરની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = r_1 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_1$ એ પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $r_n = 9 r_1$ આપેલ છે,તેથી $r_1 n^2 = 9 r_1$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 = 9$,એટલે કે $n = 3$.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $n = 3$ મૂકતા:
$E_3 = -\frac{13.6}{3^2} \ eV = -\frac{13.6}{9} \ eV = -1.51 \ eV$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર:
$E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J/\text{ion}$
$He^{+}$ આયન માટે:
પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$,કક્ષાનો ક્રમાંક $n = 1$.
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{2^2}{1^2} = -8.72 \times 10^{-18} \ J$.
$Li^{2+}$ આયન માટે:
પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$,કક્ષાનો ક્રમાંક $n = 3$.
$E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^2}{3^2} = -2.18 \times 10^{-18} \ J$.
આમ,ઉર્જા અનુક્રમે $-8.72 \times 10^{-18} \ J$ અને $-2.18 \times 10^{-18} \ J$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે, $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 \times a_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a_0 = 52.9 \ pm$.
આપેલ $r_n = 476.1 \ pm$ માટે, $n^2 = 476.1 / 52.9 = 9$, તેથી $n = 3$.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = E_1 / n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \ J / 3^2 = -2.18 \times 10^{-18} / 9 \ J$.
$E_3 = -0.2422 \times 10^{-18} \ J = -2.422 \times 10^{-19} \ J$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
બોહર મોડેલ મુજબ,કક્ષાની ઉર્જા $E_n \propto Z^2$ છે. સમાન સંક્રમણ માટે,ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E \propto Z^2$.
તેથી,$\frac{1}{\lambda} \propto Z^2$,અથવા $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
હાઇડ્રોજન $(H)$ માટે,$Z = 1$ અને $\lambda_H = 912 \mathring{A}$.
લિથિયમ આયન $(Li^{2+})$ માટે,$Z = 3$.
સંબંધ $\frac{\lambda_{Li}}{\lambda_H} = \frac{Z_H^2}{Z_{Li}^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_{Li} = \lambda_H \times \frac{1^2}{3^2} = \frac{912}{9} \mathring{A} = 101.3 \mathring{A}$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n$ અચળ છે,તેથી $E \propto Z^2$.
ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_H}{E_{Li^{2+}}} = \frac{1}{9}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{Z_H^2}{Z_{Li^{2+}}^2} = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$,જે આપેલ ડેટા સાથે સુસંગત છે.
હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z}\mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n$ અચળ છે,તેથી $r \propto \frac{1}{Z}$.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_H}{r_{Li^{2+}}} = \frac{Z_{Li^{2+}}}{Z_H} = \frac{3}{1} = 3: 1$ થાય.

(C) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે $n = 1$ હોવાથી,$r_1 \propto \frac{1}{Z}$.
$He^{+}$ $(Z = 2)$ માટે,$r_{He^+} \propto \frac{1}{2}$.
$Li^{2+}$ $(Z = 3)$ માટે,$r_{Li^{2+}} \propto \frac{1}{3}$.
$Be^{3+}$ $(Z = 4)$ માટે,$r_{Be^{3+}} \propto \frac{1}{4}$.
ગુણોત્તર $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ છે.
સરળ બનાવવા માટે,$2, 3, 4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ વડે ગુણતા:
ગુણોત્તર $= (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{1}{3} \times 12) : (\frac{1}{4} \times 12) = 6 : 4 : 3$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \times Z^2 \text{ eV}$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માટે,$E_2 = -13.6 \times \frac{Z^2}{4} \text{ eV}$.
$He^{+}(E_1)$ માટે $(Z=2, n=1)$,$E = -13.6 \times 4 = -54.4 \text{ eV}$.
$Be^{3+}(E_2)$ માટે $(Z=4, n=2)$,$E = -13.6 \times \frac{16}{4} = -54.4 \text{ eV}$.
આમ,$He^{+}(E_1)$ અને $Be^{3+}(E_2)$ સમાન ઉર્જા ધરાવે છે.

(D) $\text{He}^{+}$ આયન માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ અને કક્ષાનો ક્રમાંક $n = 2$ છે।
$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
કિંમતો મૂકતા: $E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{2^2}{2^2} = -2.18 \times 10^{-18} \ J$.
$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \ pm$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
કિંમતો મૂકતા: $r_2 = 52.9 \times \frac{2^2}{2} = 52.9 \times 2 = 105.8 \ pm$.
આમ, ઉર્જા $-2.18 \times 10^{-18} \ J$ અને ત્રિજ્યા $105.8 \ pm$ છે।

(B) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a_0 = 52.9 \ pm = 0.0529 \ nm$ અને $He^{+}$ માટે $Z = 2$ છે.
આપેલ છે કે $r_n = 0.4232 \ nm$, તેથી $0.4232 = 0.0529 \times \frac{n^2}{2}$.
$n^2 = \frac{0.4232 \times 2}{0.0529} = 8 \times 2 = 16$, તેથી $n = 4$.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$ છે.
$Z = 2$ અને $n = 4$ મૂકતા, $E_4 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{2^2}{4^2} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{4}{16} = -2.18 \times 10^{-18} \times 0.25 = -5.45 \times 10^{-19} \ J$.

(B) તરંગ આંક માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\bar{\nu} = R_H Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ છે.
$H$ $(Z=1, n_1=2, n_2=3)$ ની બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે: $\bar{\nu}_1 = R_H (1)^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R_H (\frac{5}{36})$.
તેથી,$R_H = \frac{36 \bar{\nu}_1}{5}$.
$He^{+}$ $(Z=2, n_1=2, n_2=4)$ ની બામર શ્રેણીની બીજી રેખા માટે: $\bar{\nu}_2 = R_H (2)^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = R_H (4) (\frac{3}{16}) = R_H (\frac{3}{4})$.
$R_H = \frac{36 \bar{\nu}_1}{5}$ ને $\bar{\nu}_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\bar{\nu}_2 = (\frac{36 \bar{\nu}_1}{5}) \times (\frac{3}{4}) = \frac{27 \bar{\nu}_1}{5}$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 2$ પર પૂર્ણ થાય છે,અને $n_2 = n$ ($n > 2$ માટે).
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = 4R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n^2} \right) = \frac{R(n^2 - 4)}{n^2}$
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{n^2}{R(n^2 - 4)}$ અથવા $\frac{n^2}{R(n-2)(n+2)}$ થાય.

(C) તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ છે.
સમાન સંક્રમણ માટે,પદ $(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ અચળ રહે છે.
તેથી,$\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
$He^{+}$ માટે,$Z = 2$,તેથી $\lambda_{He^+} \propto \frac{1}{4}$.
$H$ માટે,$Z = 1$,તેથી $\lambda_{H} \propto 1$.
આમ,$\frac{\lambda_{H}}{\lambda_{He^+}} = \frac{Z_{He^+}^2}{Z_{H}^2} = \frac{2^2}{1^2} = 4$.
આપેલ છે કે $\lambda_{He^+} = 100 \ nm = 1000 \ \mathring{A}$.
તેથી,$\lambda_{H} = 4 \times 1000 \ \mathring{A} = 4000 \ \mathring{A}$.

(B) રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ છે.
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ માટે પાશ્ચન શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ માટે $n_1 = 3$ અને $n_2 = 4$ લેતા,
$\frac{1}{x} = R_H \times 9 \times (\frac{1}{9} - \frac{1}{16}) = R_H \times \frac{7}{16}$.
તેથી,$x = \frac{16}{7 R_H}$ ...$(i)$.
હાઇડ્રોજન $(Z=1)$ માટે લાયમન શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ માટે $n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$ લેતા,
$\frac{1}{\lambda} = R_H \times 1 \times (1 - \frac{1}{4}) = R_H \times \frac{3}{4}$.
તેથી,$\lambda = \frac{4}{3 R_H}$ ...$(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda}{x} = \frac{4 / (3 R_H)}{16 / (7 R_H)} = \frac{7}{12}$.
આમ,$\lambda = \frac{7}{12} x$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં બે ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે,ઉર્જા તફાવત $\Delta E = 13.6 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$ છે.
સંક્રમણોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $n=4 \rightarrow n=5$: $\Delta E \approx 0.306 \text{ eV}$.
$(B)$ $n=1 \rightarrow n=2$: $\Delta E = 10.2 \text{ eV}$.
$(C)$ $n=3 \rightarrow n=5$: $\Delta E \approx 0.967 \text{ eV}$.
$(D)$ $n=2 \rightarrow n=3$: $\Delta E \approx 1.889 \text{ eV}$.
જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે તેમ ઉર્જાનો તફાવત ઘટે છે,તેથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં સંક્રમણ સૌથી વધુ ઉર્જામાં ફેરફાર દર્શાવે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન મુક્ત થતી ઉર્જા રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = 2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ J$
અહીં,$n_1 = 1$ (ભૂમિ અવસ્થા) અને $n_2 = 5$ (ઉત્તેજિત અવસ્થા).
કિંમતો મૂકતા:
$E = 2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{5^2} \right)$
$E = 2.18 \times 10^{-18} \left( 1 - 0.04 \right)$
$E = 2.18 \times 10^{-18} \times 0.96$
$E = 2.0928 \times 10^{-18} \ J$
સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $2.091 \times 10^{-18} \ J$ છે.

(B)

\text{વર્ણપટ શ્રેણીનું નામ}	\text{હાઇડ્રોજનના ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રોન કઈ કક્ષામાં પાછા ફરે છે}
\text{લાયમેન શ્રેણી}	$1$
\text{બામર શ્રેણી}	$2$
\text{પાશ્ચન શ્રેણી}	$3$
\text{બ્રેકેટ શ્રેણી}	$4$
\text{ફંડ શ્રેણી}	$5$

જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો $(n_2 > 3)$ માંથી $n = 3$ કક્ષામાં પાછા ફરે છે,ત્યારે બનતી વર્ણપટ શ્રેણીને પાશ્ચન શ્રેણી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે,બે નજીકના સ્તરો $n$ અને $n+1$ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_{n+1} - E_n = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \ eV$ છે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ $\frac{1}{n^2}$ પદ ઝડપથી ઘટે છે,અને $\frac{1}{n^2}$ અને $\frac{1}{(n+1)^2}$ વચ્ચેનો તફાવત પણ ઘટે છે.
તેથી,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધવાની સાથે ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ઘટે છે.

(D) તરંગલંબાઇ માટેનું રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_{H} Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
$He^{+}$ આયન માટે,$Z=2$. $n_2=4$ થી $n_1=2$ ના સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda} = R_{H} (2)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = 4 R_{H} \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = 4 R_{H} \left( \frac{3}{16} \right) = \frac{3}{4} R_{H}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$ માટે,$Z=1$. વિકલ્પ $(d)$ માટે,$n_2=2$ થી $n_1=1$:
$\frac{1}{\lambda} = R_{H} (1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R_{H} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R_{H}$.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો જવાબ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૂમિ અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માટે,ઉર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $\Delta E = 12.75 \ eV$ ઉર્જાનું શોષણ કરે છે,ત્યારે તે ઉચ્ચ કક્ષા $n_2$ માં જાય છે.
અંતિમ અવસ્થાની ઉર્જા $E_{n_2} = E_1 + \Delta E = -13.6 + 12.75 = -0.85 \ eV$ છે.
$E_{n_2} = -\frac{13.6}{n_2^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$-0.85 = -\frac{13.6}{n_2^2}$
$n_2^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n_2 = 4$.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન $4^{th}$ કક્ષામાં કૂદકો મારશે.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં શ્રેણીઓ લાઇમન $(n_1=1)$,બામર $(n_1=2)$,પાશ્ચન $(n_1=3)$,બ્રેકેટ $(n_1=4)$ અને ફંડ $(n_1=5)$ છે.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,ઉર્જા તફાવત મહત્તમ હોવો જોઈએ,જે લાઇમન શ્રેણી $(n_1=1)$ માટે $n_2=\infty$ પર થાય છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$n_1=1$ અને $n_2=\infty$ મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R_H$.
$R_H \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ હોવાથી,$\lambda = \frac{1}{R_H} \approx 9.117 \times 10^{-8} \ m = 91.2 \ nm$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$.
પ્રથમ રેખા માટે,$n_2 = 3$. આપેલ છે $\lambda_1 = 656 \ nm$,તેથી $\frac{1}{656} = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_H \left( \frac{5}{36} \right) \dots (i)$.
બીજી રેખા માટે,$n_2 = 4$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R_H \left( \frac{3}{16} \right) \dots (ii)$.
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા,$\frac{\lambda_2}{656} = \frac{5/36}{3/16} = \frac{20}{27}$.
$\lambda_2 = 656 \times \frac{20}{27} \approx 485.9 \ nm$.
સીમાંત રેખા માટે,$n_2 = \infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{\infty}} = R_H \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R_H}{4}$.
$(i)$ પરથી,$R_H = \frac{36}{5 \times 656}$.
$\frac{1}{\lambda_{\infty}} = \frac{9}{5 \times 656} = \frac{9}{3280}$.
$\lambda_{\infty} = \frac{3280}{9} \approx 364.4 \ nm$.

(C) ઉર્જાના સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ મુજબ,$E \propto \frac{1}{\lambda}$ થાય છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા તેની તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,જે સંક્રમણમાં ઉર્જાનો તફાવત સૌથી વધુ હશે તેની તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછી હશે.
ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સંક્રમણોની સરખામણી કરતા,$n_4 \longrightarrow n_1$ સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત સૌથી વધુ છે,તેથી તેની તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછી હશે.

(A) તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R \cdot Z^2 \left( \frac{1}{n_{L}^2} - \frac{1}{n_{H}^2} \right)$.
હાઇડ્રોજન માટે,$Z = 1$.
બામર શ્રેણીમાં ન્યૂનતમ ઉર્જા સંક્રમણ માટે,$n_{L} = 2$ અને $n_{H} = 3$:
$\bar{\nu}_{Balmer} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5}{36} R$.
લાયમન શ્રેણીમાં ન્યૂનતમ ઉર્જા સંક્રમણ માટે,$n_{L} = 1$ અને $n_{H} = 2$:
$\bar{\nu}_{Lyman} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R$.
બામર શ્રેણી અને લાયમન શ્રેણીની તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\bar{\nu}_{Balmer}}{\bar{\nu}_{Lyman}} = \frac{5/36}{3/4} = \frac{5}{36} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{27}$.
આમ,ગુણોત્તર $5 : 27$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu = R_H c \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ થી ધરાવસ્થા $n_1 = 1$ માટે,$\nu_1 = R_H c \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) = \frac{3X}{4}$.
$n$ માટે ઉકેલતા,$1 - \frac{1}{n^2} = \frac{3}{4} \implies \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4} \implies n = 2$.
ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ છે.
તેની પછીની તરત જ આવતી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ છે.
$n = 2$ થી $n = 3$ ના સંક્રમણ માટે શોષાયેલ વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu_2 = R_H c \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H c \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_H c \left( \frac{5}{36} \right)$.
કારણ કે $R_H c = X$,તેથી $\nu_2 = \frac{5X}{36} \ Hz$.

(A) તરંગ આંક $\bar{\nu}$ એ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R_H Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
હાઇડ્રોજન $(Z=1)$ માટે,$n_2$ ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ધરા અવસ્થા $n_1=1$ માં સંક્રમણ માટે $\bar{\nu}_1 = R_H (1 - \frac{1}{n_2^2}) = \frac{5x}{36}$.
ઉપરની ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_2=3$ થી $n_3=4$ માં સંક્રમણ માટે,$\bar{\nu}_2 = R_H (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2}) = R_H (\frac{7}{144})$.
ગુણોત્તર લેતા,$\bar{\nu}_2 = \frac{7}{144} \times \frac{36}{5} \times \frac{5x}{36} = \frac{7x}{144}$.

(C) લાયમન શ્રેણી માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
આપેલ છે કે $\lambda = \frac{16}{15 R}$,તેથી $\frac{1}{\lambda} = \frac{15 R}{16}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{15 R}{16} = R \left[ 1 - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા: $\frac{15}{16} = 1 - \frac{1}{n_2^2}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{n_2^2} = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$n_2^2 = 16$,જેનો અર્થ છે કે $n_2 = 4$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K.E. = h\nu - h\nu_0$,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $z = hx - h\nu_0$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{z}{3} = hy - h\nu_0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $z = 3hy - 3h\nu_0$ --- $(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ ને સરખાવતા: $hx - h\nu_0 = 3hy - 3h\nu_0$
$2h\nu_0 = 3hy - hx$
$2\nu_0 = 3y - x$
$\nu_0 = \frac{3y-x}{2}$

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \ Js \times 3 \times 10^8 \ m/s}{300 \times 10^{-9} \ m} = 6.6 \times 10^{-19} \ J$.
આ ઉર્જાને $eV$ માં ફેરવતા: $E = \frac{6.6 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV} = 4.125 \ eV$.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય તો જ ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે.
$4.125 \ eV$ ની સરખામણી આપેલા વર્ક ફંક્શન સાથે કરતા:
$Mg (3.7 \ eV) < 4.125 \ eV$ (ઉત્સર્જિત થશે)
$Cu (4.8 \ eV) > 4.125 \ eV$ (ઉત્સર્જિત થશે નહીં)
$Ag (4.3 \ eV) > 4.125 \ eV$ (ઉત્સર્જિત થશે નહીં)
$Na (2.3 \ eV) < 4.125 \ eV$ (ઉત્સર્જિત થશે)
આમ,$2$ ધાતુઓ ($Mg$ અને $Na$) માંથી ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે.

(B) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J s \times 3 \times 10^8 \ m s^{-1}}{221 \times 10^{-9} \ m} = 9.00 \times 10^{-19} \ J$.
ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(KE)$ $KE = E - \Phi$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\Phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
$KE = 9.00 \times 10^{-19} \ J - 7.68 \times 10^{-19} \ J = 1.32 \times 10^{-19} \ J$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$h\nu = h\nu_0 + K.E.$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
$v^2 = \frac{2hc}{m}(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0})$
$v^2 = \frac{2hc}{m}(\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda\lambda_0})$
$v = \sqrt{\frac{2hc}{m}(\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda\lambda_0})}$

(C) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 3000 \ \mathring{A} = 3 \times 10^{-7} \ m$. કાર્ય વિધેય $\phi = 2.13 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $K.E. = E - \phi = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{3 \times 10^{-7}} = 6.626 \times 10^{-19} \ J$.
$E$ ને $eV$ માં ફેરવતા: $E = \frac{6.626 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 4.136 \ eV$.
ગતિઊર્જા $K.E. = 4.136 \ eV - 2.13 \ eV = 2.006 \ eV \approx 2.0 \ eV$.

(B) બોહરના અભિધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
આપેલ છે કે $L = \frac{h}{\pi}$,તેથી $\frac{nh}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$,જે $n = 2$ આપે છે.
તેથી,સંક્રમણ $n_1 = 2$ થી $n_2 = 3$ સુધીનું છે.
$n^{th}$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{n^2} \ J = -\frac{x}{n^2} \ J$ છે.
ઉત્તેજન માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_{n+1} - E_n = -\frac{x}{3^2} - (-\frac{x}{2^2}) = x(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = x(\frac{9-4}{36}) = \frac{5x}{36} \ J$ છે.

(D) વર્ક ફંક્શન $(\phi)$ નું સૂત્ર $\phi = h \nu_0$ છે,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ,વર્ક ફંક્શનને $eV$ માંથી જુલમાં ફેરવો:
$\phi = 3.1 \ eV = 3.1 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J = 4.966 \times 10^{-19} \ J$.
હવે,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ ની ગણતરી કરો:
$\nu_0 = \frac{\phi}{h} = \frac{4.966 \times 10^{-19} \ J}{6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s} \approx 7.49 \times 10^{14} \ Hz$.

(C) ધાતુ $M$ નું કાર્ય વિધેય $(\Phi)$ $6.3 \ eV$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે,આપાત વિકિરણની ઉર્જા $(E)$ કાર્ય વિધેય જેટલી હોવી જોઈએ: $E = \Phi = 6.3 \ eV$.
$eV$ માં ઉર્જા અને $nm$ માં તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ વાપરતા:
$E (eV) = \frac{1240}{\lambda (nm)}$
તેથી,$\lambda (nm) = \frac{1240}{E (eV)} = \frac{1240}{6.3} \approx 196.8 \ nm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $197 \ nm$ મળે છે.

(B) પ્લાન્કના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત મુજબ,ફોટોનની ઊર્જા નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{hc}{\lambda}$
આ સૂચવે છે કે ઊર્જા એ તરંગલંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$E \propto \frac{1}{\lambda} \Rightarrow \lambda \propto \frac{1}{E}$
આપેલ ઊર્જા $E_1 = 25 \ eV$ અને $E_2 = 100 \ eV$ માટે,તેમની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{E_2}{E_1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{100 \ eV}{25 \ eV} = \frac{4}{1}$
તેથી,ગુણોત્તર $\lambda_1: \lambda_2$ એ $4:1$ છે.

(C) ધાતુનું કાર્ય વિધેય $\phi = 3.75 \ eV$ છે.
જૂલમાં રૂપાંતર: $\phi = 3.75 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J \approx 6.0075 \times 10^{-19} \ J$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$ છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ લેતા:
$\lambda_0 = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6.0075 \times 10^{-19}} \approx 3.308 \times 10^{-7} \ m$.
નેનોમીટરમાં રૂપાંતર: $\lambda_0 \approx 330.8 \ nm$.
આમ,થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ આશરે $330 \ nm$ છે.