De Broglie's principle Questions in Gujarati

(C) ડી-બ્રોગ્લીના સમીકરણની પ્રાયોગિક ચકાસણી દરમિયાન,ડેવિસન અને જર્મરે ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિની પુષ્ટિ કરી હતી.

(C) ડી બ્રોગ્લીના સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
અહીં,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.
કોઈ કણ નોંધપાત્ર તરંગ ગતિ દર્શાવે તે માટે,તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ અવલોકન કરી શકાય તેટલી મોટી હોવી જોઈએ.
જેમ કે $\lambda$ એ દળ $m$ અને વેગ $v$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી તરંગલંબાઈ ત્યારે જ નોંધપાત્ર બને છે જ્યારે કણનું દળ $m$ અત્યંત નાનું (નગણ્ય) હોય,જેમ કે ઈલેક્ટ્રોનના કિસ્સામાં.

(A) ફોટોનનું વેગમાન $(p)$ ડી બ્રોગ્લી સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $p = \frac{h}{\lambda}$.
આપેલ છે:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$
$\lambda = 2.2 \times 10^{-11} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{2.2 \times 10^{-11}} = 3 \times 10^{-23} \ kg \ m \ s^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(C) ડી બ્રોગ્લીના સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $v$ એ તેની ઝડપ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{v}$.
તેથી,જેમ ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $(v)$ વધે છે,તેમ તેની સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ઘટે છે.

(C) ડી બ્રોગ્લી સંબંધ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ફોટોનનું દળ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.626 \times 10^{-34} \ J \ s)$ છે અને $v$ એ ફોટોનનો વેગ છે.
દળ માટે સૂત્ર: $m = \frac{h}{v \lambda}$.
ફોટોનનો વેગ $(v)$ $3 \times 10^{8} \ m \ s^{-1}$ છે.
તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ $1.54 \times 10^{-8} \ cm = 1.54 \times 10^{-10} \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{(3 \times 10^{8} \ m \ s^{-1}) \times (1.54 \times 10^{-10} \ m)}$.
$m = 1.434 \times 10^{-32} \ kg$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $1.4285 \times 10^{-32} \ kg$ છે.

(C) ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે,$v$ એ વેગ છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
આમ,તરંગલંબાઇ એ ઇલેક્ટ્રોનના વેગમાન $(p = mv)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) લુઈસ-વિક્ટર ડી બ્રોગ્લીએ ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિની શોધ કરી હતી. આ શોધ માટે તેમને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં નોબેલ પુરસ્કાર આપવામાં આવ્યો હતો.

(A) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગમાન $p = mv$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $p$ ને પ્રતિસ્થાપિત કરી શકીએ છીએ.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{p}$.
આને ડી બ્રોગ્લી સંબંધ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ,$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$,તરંગલંબાઇ (તરંગ ગુણધર્મ) ને ગતિશીલ પદાર્થ (ફોટોન સહિત) ના વેગમાન (કણ ગુણધર્મ) સાથે જોડે છે. આ સમીકરણ પ્રકાશ અને દ્રવ્યની તરંગ-કણ દ્વૈતતા માટે ગાણિતિક આધાર પૂરો પાડે છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,કણની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ તેના વેગમાન $(p = mv)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\lambda = \frac{h}{mv}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.
તેથી,સાચું સમીકરણ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ કણની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ને તેના વેગમાન $(p = mv)$ સાથે જોડે છે.
તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{mv}$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $v$ એ તેનો વેગ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે: દળ $m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$,વેગ $v = 100 \, m/sec$,અને પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s}{(10^{-3} \, kg) \times (100 \, m/sec)} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-1}} = 6.63 \times 10^{-33} \, m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
સમાન વેગ $v$ માટે,તરંગલંબાઈ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda \propto \frac{1}{m}$.
દળની સરખામણી કરતા: $m(\text{electron}) < m(\text{proton}) < m(CO_2) < m(SO_2)$.
$SO_2$ અણુનું આણ્વીય દળ સૌથી વધુ $(64 \ g/mol)$ હોવાથી,તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ ન્યૂનતમ હશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ એ કણના વેગમાન $(p)$ સાથે નીચેના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે: $\lambda = \frac{h}{p}$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda$ એ વેગમાન $(p)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(C) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
ગતિઊર્જા $KE = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mKE}$ મળે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}$.
અહીં $h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,અને $KE = 2.8 \times 10^{-23} \ J$ છે.
$\lambda = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 2.8 \times 10^{-23}}}$.
$\lambda = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{50.96 \times 10^{-54}}} = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{7.138 \times 10^{-27}} \approx 9.28 \times 10^{-8} \ m$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
$v = 1.2 \times 10^5 \ m \ s^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 1.2 \times 10^5}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10.92 \times 10^{-26}}$
$\lambda \approx 0.6068 \times 10^{-8} \ m = 6.068 \times 10^{-9} \ m$.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવાનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે: દળ $(m) = 10^{-6} \ kg$,વેગ $(v) = 10 \ ms^{-1}$,અને પ્લાન્કનો અચળાંક $(h) = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-6} \times 10} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-5}} = 6.63 \times 10^{-29} \ m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ સંબંધ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના અભિધારણા મુજબ,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{h}{mv} = \frac{2\pi r}{n}$.
આમ,$\lambda = \frac{2\pi r}{n}$.
હાઇડ્રોજનની $3^{rd}$ કક્ષા માટે,$n = 3$ અને ત્રિજ્યા $r = n^2 a_0 = 3^2 \times 0.529 \, \mathring{A} = 9 \times 0.529 \, \mathring{A}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{2\pi \times 9 \times 0.529}{3} = 6\pi \times 0.529 \, \mathring{A}$.
$\lambda \approx 6 \times 3.1416 \times 0.529 \, \mathring{A} \approx 9.97 \, \mathring{A}$.
કારણ કે $1 \, \mathring{A} = 10^{-8} \, cm$,તેથી $\lambda = 9.96 \times 10^{-8} \, cm$.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
$H_2$ અણુનું દળ $(m)$ = $\frac{2 \, g/mol}{6.023 \times 10^{23} \, mol^{-1}} \approx 3.32 \times 10^{-24} \, g$.
આપેલ વેગ $(v)$ = $5 \times 10^4 \, cm \cdot sec^{-1}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ = $6.626 \times 10^{-27} \, erg \cdot sec$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27} \, erg \cdot sec}{(3.32 \times 10^{-24} \, g) \times (5 \times 10^4 \, cm \cdot sec^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{16.6 \times 10^{-20}} \, cm \approx 3.99 \times 10^{-8} \, cm$.
$1 \, \mathring{A} = 10^{-8} \, cm$ હોવાથી,તરંગલંબાઇ આશરે $4 \, \mathring{A}$ થાય.

(C) ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
આપેલ છે: $h = 6.625 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 200 \ g = 0.2 \ kg$,અને $v = 5 \ m/h = \frac{5}{3600} \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{0.2 \times (5 / 3600)} = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{1 / 3600} = 6.625 \times 10^{-34} \times 3600 \approx 2.385 \times 10^{-30} \ m$.
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,જવાબ $10^{-30} \ m$ છે.

(C) ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 0.5 \ kg$,અને $v = 100 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.5 \times 100} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{50} = 1.325 \times 10^{-35} \ m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) દ્રવ્ય (કણો) ની દ્વૈત પ્રકૃતિ $1924$ માં લુઈસ દ-બ્રોગ્લી દ્વારા સૂચવવામાં આવી હતી.
તેમણે સૂચવ્યું હતું કે તમામ દ્રવ્ય,વિકિરણની જેમ,તરંગ અને કણ બંને જેવા ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ અને વેગમાન $(p = mv)$ વચ્ચેનો સંબંધ દ-બ્રોગ્લી સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{mv}$

(B) પ્રકાશની ગતિ $c = 3.00 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ છે.
પ્રકાશની ગતિના એક ટકા વેગ $v = (\frac{1}{100}) \times (3.00 \times 10^8 \ m \ s^{-1}) = 3.00 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $(p) = m \times v$.
$p = (9.11 \times 10^{-31} \ kg) \times (3.00 \times 10^6 \ m \ s^{-1}) = 2.733 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda) = \frac{h}{p}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{2.733 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}} = 2.424 \times 10^{-10} \ m$.

(A) ડી-બ્રોગ્લીના સિદ્ધાંત મુજબ,$p$ વેગમાન ધરાવતા કણ સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ માટેનું સમીકરણ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.

(D) ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ને કણના વેગમાન $p = mv$ સાથે જોડે છે.
ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનો આ એક મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે જે ગતિમાં રહેલી તમામ ભૌતિક વસ્તુઓને લાગુ પડે છે,પછી ભલે તે ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણો હોય કે સ્થૂળ પદાર્થો.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ, કક્ષકનો પરિઘ એ દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે: $2 \pi r_n = n \lambda$.
$n$ મી કક્ષક માટે, ત્રિજ્યા $r_n = n^2 a_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજી કક્ષક $(n = 3)$ માટે, ત્રિજ્યા $r_3 = 3^2 a_0 = 9 a_0$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \pi (9 a_0) = 3 \lambda$.
$18 \pi a_0 = 3 \lambda$.
$\lambda = 6 \pi a_0$.

(A) ડી બ્રોગ્લીના સિદ્ધાંત મુજબ,$m$ દળ ધરાવતો અને $v$ વેગથી ગતિ કરતો કણ $\lambda = \frac{h}{mv}$ જેટલી તરંગલંબાઈ ધરાવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા ઈલેક્ટ્રોન માટે,પરિઘ $2\pi r$ થાય છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે,જેને $2\pi r = \frac{nh}{mv}$ તરીકે લખી શકાય.
$\lambda = \frac{h}{mv}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $2\pi r = n\lambda$ મળે છે.
આમ,સ્થાયી કક્ષા માટે કક્ષકનો પરિઘ એ ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ.

(A) ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે અને $m$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
તેથી,$p = \sqrt{2mE}$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આપેલ છે: $E = 2.5 \, eV = 2.5 \times 1.6 \times 10^{-12} \, erg$,$m = 9.1 \times 10^{-28} \, g$,અને $h = 6.626 \times 10^{-27} \, erg \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-28} \times 2.5 \times 1.6 \times 10^{-12}}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{\sqrt{72.8 \times 10^{-40}}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{8.53 \times 10^{-20}} \approx 7.7 \times 10^{-8} \, cm$.

(B) દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અને ગતિ ઊર્જા $(K)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
અહીં $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$ હોવાથી,જો ગતિ ઊર્જા $K$ વધીને $4K$ થાય,તો નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ નીચે મુજબ થશે: $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(4K)}} = \frac{1}{2} \times \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{1}{2} \lambda$.
આમ,તરંગલંબાઈ તેના મૂળ મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જશે.

(A) દ બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,$p = \frac{h}{\lambda}$.
આપેલ છે: $\lambda = 1 \, \mathring{A} = 1 \times 10^{-8} \, \text{cm}$.
$h = 6.6252 \times 10^{-27} \, \text{erg} \cdot \text{s}$.
કિંમતો મૂકતા: $p = \frac{6.6252 \times 10^{-27}}{1 \times 10^{-8}} \, \text{g} \cdot \text{cm/s}$.
$p = 6.6252 \times 10^{-19} \, \text{g} \cdot \text{cm/s}$.

(A) દ બ્રોગ્લી તરંગ લંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે: $m = 25 \, g$,$v = 6.6 \times 10^4 \, cm/sec$,$h = 6.626 \times 10^{-27} \, erg \cdot sec$ ($CGS$ એકમમાં).
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-27} \, erg \cdot sec}{25 \, g \times 6.6 \times 10^4 \, cm/sec}$
$\lambda \approx \frac{6.6 \times 10^{-27}}{25 \times 6.6 \times 10^4} \, cm$
$\lambda \approx \frac{10^{-27}}{25 \times 10^4} \, cm$
$\lambda \approx 0.04 \times 10^{-31} \, cm = 4 \times 10^{-33} \, cm$.

(D) ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \, J s}{(1.67 \times 10^{-27} \, kg) \times (1.0 \times 10^3 \, m s^{-1})}$
$\lambda = \frac{6.63}{1.67} \times 10^{-34 + 27 - 3} \, m$
$\lambda \approx 3.97 \times 10^{-10} \, m$
મીટરને નેનોમીટરમાં ફેરવતા $(1 \, nm = 10^{-9} \, m)$:
$\lambda = 3.97 \times 10^{-10} \, m = 0.397 \times 10^{-9} \, m \approx 0.40 \, nm$.

(B) દ બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવાનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 60 \ g = 60 \times 10^{-3} \ kg = 0.06 \ kg$.
વેગ $v = 10 \ m/s$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.06 \times 10} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.6} \approx 1.1 \times 10^{-33} \ m$.
આમ,જવાબ આશરે $10^{-33} \ m$ થશે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1 \, mg = 1 \times 10^{-3} \, g$,વેગ $v = 4.5 \times 10^5 \, cm/s$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.652 \times 10^{-27} \, erg \cdot s$.
ડી બ્રોગ્લીના સમીકરણ મુજબ: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.652 \times 10^{-27} \, erg \cdot s}{(1 \times 10^{-3} \, g) \times (4.5 \times 10^5 \, cm/s)}$.
$\lambda = \frac{6.652 \times 10^{-27}}{4.5 \times 10^2} \, cm$.
$\lambda = 1.4722 \times 10^{-29} \, cm$.

(B) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે: $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \, kg$,અને $v = 10^8 \, cm/s = 10^6 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s}{(9.11 \times 10^{-31} \, kg) \times (10^6 \, m/s)}$
$\lambda \approx 0.727 \times 10^{-9} \, m = 7.27 \times 10^{-10} \, m$.
$1 \, \mathop {\rm{A}}\limits^{\rm{o}} = 10^{-10} \, m$ હોવાથી,તરંગલંબાઈ આશરે $7.27 \, \mathop {\rm{A}}\limits^{\rm{o}}$ મળે છે,જે $7.25 \, \mathop {\rm{A}}\limits^{\rm{o}}$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$
$v = 1.2 \times 10^5 \, ms^{-1}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (1.2 \times 10^5)}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10.92 \times 10^{-26}}$
$\lambda \approx 0.6068 \times 10^{-8} \, m = 6.068 \times 10^{-9} \, m$.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
વેગ $v$ સમાન ગણતા,$\lambda \propto \frac{1}{m}$ થાય.
$SO_2$ નું આણ્વીય દળ $(64 \ g/mol)$ એ $e^-$,$p$ અને $CO_2$ $(44 \ g/mol)$ કરતા વધારે છે.
તેથી,$SO_2$ નું દળ સૌથી વધુ હોવાથી તેની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ સૌથી ઓછી હશે.

(A) ડી બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$
$v = 10^3 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-27} \times 10^3}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.67 \times 10^{-24}}$
$\lambda \approx 3.967 \times 10^{-10} \ m$
મીટરને નેનોમીટરમાં $(nm)$ ફેરવવા માટે $10^9$ વડે ગુણતા:
$\lambda = 3.967 \times 10^{-10} \times 10^9 \ nm = 0.3967 \ nm$
આમ,$\lambda \approx 0.40 \ nm$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,વેગ $v = \frac{1}{10} \times c = \frac{1}{10} \times 3 \times 10^8 \, m/s = 3 \times 10^7 \, m/s$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્ર મુજબ: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s}{(9.1 \times 10^{-31} \, kg) \times (3 \times 10^7 \, m/s)}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{27.3 \times 10^{-24}} \, m$.
$\lambda \approx 0.2427 \times 10^{-10} \, m = 2.427 \times 10^{-11} \, m$.

(C) દ-બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
મિથેન $(CH_4)$ માટે,$\lambda_{CH_4} = \frac{h}{m_{CH_4} \times v_{CH_4}}$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,$\lambda_{O_2} = \frac{h}{m_{O_2} \times v_{O_2}}$.
તરંગલંબાઈ સમાન હોવાથી,$\lambda_{CH_4} = \lambda_{O_2}$.
તેથી,$m_{CH_4} \times v_{CH_4} = m_{O_2} \times v_{O_2}$.
$\frac{v_{CH_4}}{v_{O_2}} = \frac{m_{O_2}}{m_{CH_4}} = \frac{32}{16} = 2$.
આમ,વેગનો ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,સ્થિર કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ તરીકે ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે.
ડી બ્રોગ્લીના ઉત્કલ્પના મુજબ,ઈલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
બોહરની અભિધારણામાં $mv = \frac{h}{\lambda}$ મૂકતા: $\frac{h}{\lambda} \times r = \frac{nh}{2\pi}$.
આનું સાદું રૂપ $2\pi r = n\lambda$ થાય છે,જ્યાં $2\pi r$ એ કક્ષાનો પરિઘ છે.
તેથી,કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોન દ્વારા બનતા તરંગોની સંખ્યા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ જેટલી હોય છે.
$n = 3$ કક્ષા માટે,તરંગોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવાનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
આપેલ છે: $h = 6.6 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$,$m = 25 \ g$,$v = 6.6 \times 10^4 \ cm/sec$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-27}}{25 \times 6.6 \times 10^4} \ cm$
$\lambda = \frac{10^{-27}}{25 \times 10^4} \ cm$
$\lambda = 0.04 \times 10^{-31} \ cm = 4 \times 10^{-33} \ cm$.

(D) ડી બ્રોગ્લીના સંબંધ મુજબ,વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$.
$p = m \times c$ હોવાથી,$m = \frac{h}{\lambda \times c}$ મળે.
આપેલ છે: $h = 6.6252 \times 10^{-34} \, kg \cdot m^2/s$,$\lambda = 5894 \, \mathring{A} = 5894 \times 10^{-10} \, m$,અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{6.6252 \times 10^{-34}}{5894 \times 10^{-10} \times 3 \times 10^8}$
$m = \frac{6.6252 \times 10^{-34}}{17682 \times 10^{-2}}$
$m = 0.00037468 \times 10^{-32} \, kg$
$m = 3.746 \times 10^{-36} \, kg$.

(C) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
આપેલ છે: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$E = 2.8 \times 10^{-23} \ J$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 2.8 \times 10^{-23}}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{50.96 \times 10^{-54}}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{7.138 \times 10^{-27}}$
$\lambda \approx 9.28 \times 10^{-8} \ m$.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
$X$ કણ માટે: $\lambda_X = \frac{h}{m_X v_X} = 1 \ \mathring{A}$.
$Y$ કણ માટે: $m_Y = 0.25 m_X$ અને $v_Y = 0.75 v_X$.
તેથી,$\lambda_Y = \frac{h}{m_Y v_Y} = \frac{h}{(0.25 m_X)(0.75 v_X)} = \frac{h}{0.1875 m_X v_X}$.
$\lambda_X = \frac{h}{m_X v_X} = 1$ કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda_Y = \frac{1}{0.1875} = \frac{1}{3/16} = \frac{16}{3} \approx 5.33 \ \mathring{A}$ મળે છે.

(D) દ બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,$p$ વેગમાન ધરાવતા કણ સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{p}$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ કણના વેગમાન $p$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્ર મુજબ,$\lambda = \frac{h}{mv}$.
અહીં વેગ $(v)$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{m}$.
તેથી,$\frac{\lambda_{He}}{\lambda_{H_2}} = \frac{m_{H_2}}{m_{He}}$.
$H_2$ નું આણ્વીય દળ $2 \ g/mol$ અને $He$ નું આણ્વીય દળ $4 \ g/mol$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_{He}}{\lambda_{H_2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) ડી બ્રોગ્લીના સિદ્ધાંત મુજબ,કણના વેગમાન $(P)$ અને તેની સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{P}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.