Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(A) વર્ક ફંક્શન $\phi$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે આ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે: $\phi = \frac{hc}{\lambda}$.
આપેલ છે $\phi = 6.63 \times 10^{-19} \ J$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$,અને $c = 3 \times 10^{8} \ m \ s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $6.63 \times 10^{-19} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{6.63 \times 10^{-19}} \ m$.
$\lambda = 3 \times 10^{-7} \ m$.
નેનોમીટર $(nm)$ માં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 3 \times 10^{-7} \times 10^{9} \ nm = 300 \ nm$.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ,હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_n = v_0 \times \frac{Z}{n}$,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $n$ એ કક્ષાનો ક્રમ છે.
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માં,વેગ $v = v_0 \times \frac{2}{1} = 2v_0$ છે. તેથી,$v_0 = \frac{v}{2}$.
બીજી કક્ષા $(n=2)$ માં,વેગ $v^{\prime} = v_0 \times \frac{2}{2} = v_0$ થાય.
$v_0$ ની કિંમત મૂકતા: $v^{\prime} = \frac{v}{2} = 0.5v$.

(A) જે પદાર્થ બધી જ આવૃત્તિના વિકિરણોનું ઉત્સર્જન અને શોષણ કરે છે તેને કૃષ્ણ પદાર્થ (black body) કહે છે અને તેના દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણને કૃષ્ણ પદાર્થ વિકિરણ કહે છે.
પ્લાન્કના નિયમ મુજબ,આપેલ તાપમાને કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા તરંગલંબાઈ ઘટવાની સાથે વધે છે,એક ચોક્કસ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{max})$ પર મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યારબાદ તરંગલંબાઈમાં વધુ ઘટાડો થતાં તે ઘટવા લાગે છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વિકિરણની કુલ તીવ્રતા વધે છે અને ઉત્સર્જન વક્રનું શિખર ટૂંકી તરંગલંબાઈ તરફ ખસે છે (વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ).
અહીં $T_{2} > T_{1}$ હોવાથી,$T_{2}$ માટેનો વક્ર $T_{1}$ ના વક્રની ઉપર હશે અને તેનું શિખર $T_{1}$ ના શિખરની સરખામણીમાં ટૂંકી તરંગલંબાઈ પર હશે.
તેથી,સાચું નિરૂપણ પ્રથમ આલેખ (વિકલ્પ $A$) માં દર્શાવેલ છે.

(B) ઉર્જા $(E)$ અને તાપમાન $(T)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આપેલ છે $E = 1.0 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{E}{k_B} = \frac{1.602 \times 10^{-19} \ J}{1.38 \times 10^{-23} \ J/K} \approx 1.16 \times 10^4 \ K$.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકની કિંમત $10^4 \ K$ છે.

(A) બોહરના ઉર્જા સૂત્ર મુજબ,$\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ \text{eV/atom}$.
$n=1$ થી $n=3$ ની સંક્રાંતિ માટે:
$\Delta E_{1}$ ${\rightarrow 3} = 13.6 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = 13.6 \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = 13.6 \left[ \frac{8}{9} \right]$.
$n=1$ થી $n=2$ ની સંક્રાંતિ માટે:
$\Delta E_{1}$ ${\rightarrow 2} = 13.6 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = 13.6 \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = 13.6 \left[ \frac{3}{4} \right]$.
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta E_{1 \to 3}}{\Delta E_{1 \to 2}} = \frac{13.6 \left[ \frac{8}{9} \right]}{13.6 \left[ \frac{3}{4} \right]} = \frac{8}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{32}{27}$

(A) ફોટોનની ઉર્જા શોધવાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
પ્લાન્કનો અચળાંક $(h) = 6.626 \times 10^{-34} \, J \, s$
પ્રકાશની ગતિ $(c) = 3 \times 10^8 \, ms^{-1}$
તરંગલંબાઈ $(\lambda) = 1 \, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \, J \, s \times 3 \times 10^8 \, ms^{-1}}{1 \, m}$
$E = 19.878 \times 10^{-26} \, J$
$E = 1.988 \times 10^{-25} \, J$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda_1 = 400 \ nm$ માટે: $E_1 \approx 3.1 \ eV$.
$\lambda_2 = 800 \ nm$ માટે: $E_2 \approx 1.55 \ eV$.
ધાતુનું કાર્ય વિધેય $\Phi = 2 \ eV$ હોવાથી,ફોટોઈલેક્ટ્રોન ત્યારે જ ઉત્સર્જિત થાય જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E \ge \Phi$ હોય.
અહીં,$E_1 (3.1 \ eV) > 2 \ eV$ અને $E_2 (1.55 \ eV) < 2 \ eV$ છે.
તેથી,માત્ર $400 \ nm$ પ્રકાશ ફોટોઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(B) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
આપેલ $\lambda = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s \times 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{400 \times 10^{-9} \ m} = 4.97 \times 10^{-19} \ J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $E = \frac{4.97 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J \ eV^{-1}} \approx 3.1 \ eV$.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન કરતા વધારે કે તેના જેટલી હોય તો ફોટોઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે.
સામાન્ય વર્ક ફંક્શનના મૂલ્યોને આધારે ($K \approx 2.2 \ eV$,$Li \approx 2.4 \ eV$,$Mg \approx 3.7 \ eV$,$Ag \approx 4.3 \ eV$),માત્ર $K$ અને $Li$ નું વર્ક ફંક્શન $3.1 \ eV$ કરતા ઓછું છે.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર મુજબ,એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત વિકિરણની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જો વિકિરણની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$I_{photoelectric} \propto \text{વિકિરણની તીવ્રતા}$
આ રેખીય સંબંધ સૂચવે છે કે જેમ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા વધે છે,તેમ ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ રેખીય રીતે વધે છે.
તેથી,આ સંબંધને દર્શાવતો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \, pm$ છે।
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$ માટે, $n = 1$ અને $Z = 1$, તેથી $r_H = 52.9 \, pm \approx 53 \, pm$.
$He^{+}$ આયન માટે, $n = 1$ અને $Z = 2$.
આ કિંમતો મૂકતા: $r_{He^{+}} = 52.9 \times \frac{1^2}{2} = 26.45 \, pm$.
આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $27 \, pm$ મળે છે।
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે।

(C) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
પ્રથમ બોહર કક્ષા માટે,$n = 1$,તેથી $r \propto \frac{1}{Z}$,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
પરમાણુ ક્રમાંક છે: $Z_H = 1$,$Z_{He^{+}} = 2$,અને $Z_{Li^{2+}} = 3$.
ત્રિજ્યા એ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ઊંચો પરમાણુ ક્રમાંક નાની ત્રિજ્યા આપે છે.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ક્રમ $r_H > r_{He^{+}} > r_{Li^{2+}}$ છે.

(C) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા માટેનું સૂત્ર: $r = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
$Li^{2+}$ આયનની $3^{rd}$ કક્ષા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = 0.529 \times \frac{3^2}{3} \ \mathring{A}$
$r = 0.529 \times 3 \ \mathring{A}$
$r = 1.587 \ \mathring{A}$.

(B) $(B)$
$\lambda = 0.57 \times 10^{-6} \ m$
$E_{\text{photon}} = \frac{hc}{\lambda}$
$\text{Power} = \frac{\text{Total Energy}}{\text{Time}} = \frac{n \times hc}{\lambda \times t}$
$\text{Power} = \frac{14.33 \times 10^{19} \times 6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{0.57 \times 10^{-6}}$
$\text{Power} = \frac{28.49 \times 10^{-7}}{0.57 \times 10^{-6}} \approx 50 \ W$

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)$ છે.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,$n_1 = 3$. પ્રથમ રેખા માટે $n_2 = 4$ અને બીજી રેખા માટે $n_2 = 5$ છે.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{1}{\lambda_1} = R_H \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{16}\right) = R_H \left(\frac{7}{144}\right)$.
આપેલ છે $\lambda_1 = 720 \ nm$,તેથી $\frac{1}{720} = R_H \left(\frac{7}{144}\right)$.
બીજી રેખા માટે: $\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{25}\right) = R_H \left(\frac{16}{225}\right)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{16/225}{7/144} = \frac{2304}{1575}$.
$\lambda_2 = 720 \times \frac{1575}{2304} = 492.1875 \ nm$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $492 \ nm$ છે.

(B) $1$. વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે તાપમાન સાથે વિકિરણની તીવ્રતા વધે છે,તેથી $T_1 > T_2 > T_3 > T_4$.
$2$. વિધાન $B$ સાચું છે; મેક્સ પ્લાન્કે સૂચવ્યું હતું કે કૃષ્ણ પદાર્થમાં રહેલા પરમાણુઓ સરળ આવર્ત ગતિ કરતા દોલકો તરીકે વર્તે છે.
$3$. વિધાન $C$ સાચું છે; વિયનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{max} \propto \frac{1}{T}$,તેથી જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ મહત્તમ તરંગલંબાઇ ટૂંકી કિંમતો તરફ ખસે છે.
$4$. વિધાન $D$ ખોટું છે; વિયનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ $\lambda_{max} T = \text{constant}$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\lambda_{max}}$. આવૃત્તિ $\nu = \frac{c}{\lambda}$ હોવાથી,$T \propto \nu_{max}$,એટલે કે $\frac{T}{\nu_{max}} = \text{constant}$.
$5$. વિધાન $E$ સાચું છે; પ્લાન્કના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતે કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણ વર્ણપટને સફળતાપૂર્વક સમજાવ્યો.
આમ,સાચા વિધાનો $B$,$C$ અને $E$ છે. સાચા વિધાનોની કુલ સંખ્યા $3$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ કક્ષાનો ક્રમ છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$Li^{2+}$ માટે,$Z = 3$ અને $n = 2$. આપેલ છે કે $r_2 = x$,તેથી $x = a_0 \times \frac{2^2}{3} = \frac{4a_0}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $a_0 = \frac{3x}{4}$.
$Be^{3+}$ માટે,$Z = 4$ અને $n = 3$. ત્રિજ્યા $r_3 = a_0 \times \frac{3^2}{4} = \frac{9a_0}{4}$.
$a_0 = \frac{3x}{4}$ ને $r_3$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$r_3 = \frac{9}{4} \times (\frac{3x}{4}) = \frac{27}{16} x$.

(B) $H$ પરમાણુ માટે લાયમન શ્રેણીમાં,ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R_H \times 1^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2}) = R_H$ $(1)$
$He^{+}$ આયન માટે બામર શ્રેણીમાં,સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_{He^{+}}} = R_H \times 2^2 \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R_H \times 4 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = R_H \times 4 \times \frac{5}{36} = R_H \times \frac{5}{9}$ $(2)$
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda_{He^{+}}}{\lambda} = \frac{R_H}{R_H \times \frac{5}{9}} = \frac{9}{5}$
તેથી,$\lambda_{He^{+}} = \frac{9 \lambda}{5}$.

(C) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $a_0 = 0.6 \mathring{A} = 60 \, pm$.
$He^{+}$ ની ત્રીજી બોહર કક્ષા માટે,$n = 3$ અને $Z = 2$.
$r = 60 \times \frac{3^2}{2} \, pm$.
$r = 60 \times \frac{9}{2} \, pm$.
$r = 30 \times 9 = 270 \, pm$.

(A) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
$He^+$ $(Z = 2)$ માટે,$n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ નું સંક્રમણ:
$\frac{1}{\lambda} = R (2)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 4R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 4R \left( \frac{3}{16} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
હાઇડ્રોજન $(Z = 1)$ માટે,આપણે એવું સંક્રમણ શોધીએ છીએ કે જેથી:
$\frac{1}{\lambda} = R (1)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
સરખામણી કરતા,$\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} = \frac{3}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}$.
આમ,સંક્રમણ $n = 2$ થી $n = 1$ છે.

(B) હેનરી મોઝલેનો નિયમ જણાવે છે કે તત્વ દ્વારા ઉત્સર્જિત લાક્ષણિક $X$-રેની આવૃત્તિનું વર્ગમૂળ તેના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\sqrt{\nu} = a(Z - b)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે.
તેથી,$\sqrt{\nu}$ વિરુદ્ધ $Z$ નો આલેખ એક સીધી રેખા આપે છે.
આમ,સાચો આલેખ $\sqrt{\nu}$ વિરુદ્ધ $Z$ છે.

(C) સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta E = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1.47 \times 10^{-17} = 2.18 \times 10^{-18} \times 3^2 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$.
$1.47 \times 10^{-17} = 1.962 \times 10^{-17} \left( \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right)$.
$\frac{1.47}{1.962} \approx 0.75 = \frac{3}{4} = \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$.
$n = 1$ માટે: $\frac{2(1)+1}{1^2(2^2)} = \frac{3}{4}$.
આમ,$n = 1$.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર એ એક ત્વરિત પ્રક્રિયા છે જે ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $v$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_0$ કરતા વધારે હોય.
કારણ $R$ ખોટું છે કારણ કે કોઈપણ ઉર્જાનો ફોટોન ઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરાવી શકતો નથી. ઈલેક્ટ્રોનને ઉત્સર્જિત કરવા માટે આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ. વધુમાં,ફોટોનમાંથી ઈલેક્ટ્રોનમાં ઉર્જાનું સ્થાનાંતરણ એ 'બધું અથવા કંઈ નહીં' (all-or-nothing) પ્રકારની પ્રક્રિયા છે,'કોઈપણ' ઉર્જા માટે સામાન્ય સ્થાનાંતરણ નથી.

(B) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \ J \ s \times 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{400 \times 10^{-9} \ m} = 4.95 \times 10^{-19} \ J$.
આ ઉર્જાને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવતા: $E = \frac{4.95 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV} \approx 3.1 \ eV$.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે થાય છે જ્યારે આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(W_0)$ કરતા વધારે હોય $(E > W_0)$.
$3.1 \ eV$ ની સરખામણી આપેલ વર્ક ફંક્શન સાથે કરતા:
$Li (2.42 \ eV) < 3.1 \ eV$ (હા)
$Na (2.3 \ eV) < 3.1 \ eV$ (હા)
$K (2.25 \ eV) < 3.1 \ eV$ (હા)
$Mg (3.7 \ eV) > 3.1 \ eV$ (ના)
$Cu (4.8 \ eV) > 3.1 \ eV$ (ના)
$Ag (4.3 \ eV) > 3.1 \ eV$ (ના)
આમ,$3$ ધાતુઓ $(Li, Na, K)$ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર દર્શાવશે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનની $n^{th}$ કક્ષામાં ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$.
તેથી,$E_n \propto \frac{1}{n^2}$.
પ્રથમ કક્ષા $(n_1 = 1)$ માટે,$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \ J$.
ત્રીજી કક્ષા $(n_3 = 3)$ માટે,$E_3 = E_1 \times \frac{n_1^2}{n_3^2} = E_1 \times \frac{1^2}{3^2} = \frac{E_1}{9}$.
આમ,ત્રીજી બોહર કક્ષામાં ઉર્જા એ પ્રથમ બોહર કક્ષાની ઉર્જાના $1/9$ ભાગની હોય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ શ્રેણીઓ તે જે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના વિસ્તારમાં દેખાય છે તેના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:
$A$. લાયમન શ્રેણી: $n=1$ પર સંક્રમણ,જે $UV$ વિસ્તાર $(II)$ માં આવે છે.
$B$. બામર શ્રેણી: $n=2$ પર સંક્રમણ,જે દ્રશ્યમાન વિસ્તાર $(IV)$ માં આવે છે.
$C$. પાશ્ચન શ્રેણી: $n=3$ પર સંક્રમણ,જે ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર $(III)$ માં આવે છે.
$D$. ફંડ શ્રેણી: $n=5$ પર સંક્રમણ,જે ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર $(I)$ માં આવે છે.
તેથી,સાચી જોડી $A-II, B-IV, C-III, D-I$ છે.

(B) $5^{th}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા એટલે $n_2 = 5 + 1 = 6$.
$1^{st}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા એટલે $n_1 = 1 + 1 = 2$.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta n = n_2 - n_1 = 6 - 2 = 4$.
વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $= \frac{4(4 + 1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = 10$.

(A) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E = \frac{1240}{\lambda (nm)} \ eV$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1240}{242} \ eV \approx 5.124 \ eV$.
આને $J \ mol^{-1}$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $1.602 \times 10^{-19} \ J/eV$ અને એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ વડે ગુણીએ છીએ.
$E = 5.124 \times 1.602 \times 10^{-19} \times 6.022 \times 10^{23} \ J \ mol^{-1}$.
$E \approx 494,300 \ J \ mol^{-1} = 494 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_n = 2.18 \times 10^6 \times \frac{Z}{n} \ ms^{-1}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ કક્ષા માટે,$Z = 1$ અને $n = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $v_1 = 2.18 \times 10^6 \times \frac{1}{1} \ ms^{-1}$.
$v_1 = 2.18 \times 10^6 \ ms^{-1} = 21.8 \times 10^5 \ ms^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $22 \times 10^5 \ ms^{-1}$ મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,કોઈ ચોક્કસ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $(E)$ તેની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ સાથે $E = -KE$ સંબંધ ધરાવે છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $-3.4 \ eV$ છે,તેથી $E = -3.4 \ eV$.
તેથી,ગતિ ઉર્જા $KE = -E = -(-3.4 \ eV) = 3.4 \ eV$ થશે.
આપણને $KE = x \ eV$ આપેલ છે,તેથી $x = 3.4$.
આપણે $x$ ને $x \times 10^{-1} \ eV$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવાનું છે.
$3.4 = 34 \times 10^{-1}$.
આમ,$x$ નું મૂલ્ય $34$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -R_H \left( \frac{Z^2}{n^2} \right) \ J$ છે.
$He^{+}$ આયન માટે,$Z=2$ અને $n=1$: $E_1 = -R_H \left( \frac{2^2}{1^2} \right) = -4 R_H$.
આપેલ છે કે $E_1 = -x \ J$,તેથી $-4 R_H = -x$,જેનો અર્થ છે કે $R_H = \frac{x}{4}$.
$Be^{3+}$ આયન માટે,$Z=4$ અને $n=2$: $E_2 = -R_H \left( \frac{4^2}{2^2} \right) = -R_H \left( \frac{16}{4} \right) = -4 R_H$.
$E_2$ ના સમીકરણમાં $R_H = \frac{x}{4}$ મૂકતા: $E_2 = -4 \left( \frac{x}{4} \right) = -x \ J$.

(D) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ:
$1$. કોઈપણ કક્ષા માટે,$V_{n} = -2K_{n}$,તેથી $V_{n} / K_{n} = -2$. આમ,$A-R$.
$2$. ત્રિજ્યા $r_{n} \propto n^{2}/Z$ અને $E_{n} \propto -Z^{2}/n^{2}$. તેથી,$r_{n} \propto 1/E_{n}$,જેનો અર્થ છે $r_{n} \propto E_{n}^{-1}$. તેથી,$x = -1$. આમ,$B-Q$.
$3$. કોણીય વેગમાન $L = nh / (2\pi)$. સૌથી નીચી કક્ષા $(n=1)$ માટે,$L = h / (2\pi)$. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$C$ એ $P$ $(0)$ સાથે જોડાય છે. આમ,$C-P$.
$4$. કારણ કે $r_{n} \propto 1/Z$,તેથી $1/r_{n} \propto Z^{1}$. તેથી,$y = 1$. આમ,$D-S$.
તેથી,સાચી જોડ $A-R, B-Q, C-P, D-S$ છે.

(C) બોહરના અભિધારણા મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $m v r_n = \frac{n h}{2 \pi}$ છે.
બીજી કક્ષા $(n = 2)$ માટે,ત્રિજ્યા $r_2 = n^2 a_0 = 2^2 a_0 = 4 a_0$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $m v (4 a_0) = \frac{2 h}{2 \pi} = \frac{h}{\pi}$.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા: $v = \frac{h}{4 m \pi a_0}$.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા: $KE = \frac{1}{2} m \left( \frac{h}{4 m \pi a_0} \right)^2 = \frac{1}{2} m \cdot \frac{h^2}{16 m^2 \pi^2 a_0^2} = \frac{h^2}{32 m \pi^2 a_0^2}$.

(A) બોહરના એક-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુના મોડેલ મુજબ:
$1.$ $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા,$r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2} \propto n^2$. તેથી,$(I)$ એ $(T)$ સાથે જોડાય છે.
$2.$ કોણીય વેગમાન,$L = \frac{nh}{2\pi} \propto n^1$. તેથી,$(II)$ એ $(S)$ સાથે જોડાય છે.
$3.$ ગતિઊર્જા,$KE = \frac{m Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2} \propto n^{-2}$. તેથી,$(III)$ એ $(P)$ સાથે જોડાય છે.
$4.$ સ્થિતિઊર્જા,$PE = - \frac{m Z^2 e^4}{4 \epsilon_0^2 n^2 h^2} \propto n^{-2}$. તેથી,$(IV)$ એ $(P)$ સાથે જોડાય છે.
પ્રશ્ન $(1)$ માટે,સાચું સંયોજન $(I), (T)$ છે,જે વિકલ્પ $(3)$ છે.
પ્રશ્ન $(2)$ માટે,સાચું સંયોજન $(III), (P)$ છે,જે વિકલ્પ $(4)$ છે.
તેથી,જવાબ $3, 4$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = a_0 \cdot \frac{n^2}{Z}$ છે.
$He^+$ ની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $r = a_0 \cdot \frac{2^2}{2} = a_0 \cdot \frac{4}{2} = 2 a_0$.

(A) આપેલ તરંગલંબાઇ $\lambda = 900 \ nm = 9 \times 10^{-5} \ cm$.
રિડબર્ગ અચળાંક $R_{H} = 10^5 \ cm^{-1}$.
$H$-પરમાણુ $(Z=1)$ માટે રિડબર્ગ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R_{H} \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{9 \times 10^{-5}} = 10^5 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
$\frac{1}{9} = \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}$.
આ સમાનતા માટે,$n_1 = 3$ અને $n_2 = \infty$ હોવું જોઈએ.
આ પાશ્ચન શ્રેણીમાં $\infty \rightarrow 3$ સંક્રમણને અનુરૂપ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે સ્થિર અવસ્થાની ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
અચળ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ માટે,ઉર્જા $E$ એ પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં (ઋણ ચિહ્ન સાથે) છે:
$E \propto -Z^2$
આનો અર્થ એ છે કે જેમ $Z$ વધે છે,તેમ $E$ વધુ ઋણ બને છે (એટલે કે,તે ઘટે છે).
સંબંધ $E = -kZ^2$ (જ્યાં $k = \frac{13.6}{n^2}$ એક ધન અચળાંક છે) એ ઋણ $E$ વિસ્તારમાં ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો નીચેની તરફ ખુલતો પેરાબોલા દર્શાવે છે.
તેથી,વધતા $Z$ સાથે $E$ માં પેરાબોલિક ઘટાડો દર્શાવતો આલેખ સાચો છે.

(C) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ બે કક્ષાઓ $n_1$ અને $n_2$ માટે,તેમની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_{n_2}}{r_{n_1}} = (\frac{n_2}{n_1})^2$ છે.
$(A)$ $\frac{r_3}{r_1} = (\frac{3}{1})^2 = 9$. (સાચું)
$(B)$ $\frac{r_8}{r_4} = (\frac{8}{4})^2 = 2^2 = 4$. (સાચું)
$(C)$ $\frac{r_6}{r_4} = (\frac{6}{4})^2 = (1.5)^2 = 2.25$. વિધાનમાં તે $3$ ગણી મોટી છે તેમ કહેવામાં આવ્યું છે,જે ખોટું છે.
$(D)$ $\frac{r_4}{r_2} = (\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$. (સાચું)

(D) પરમાણુના ક્વોન્ટમ યાંત્રિક મોડેલ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન બોહર દ્વારા સૂચવ્યા મુજબ ચોક્કસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતું નથી.
તેના બદલે,ઇલેક્ટ્રોન કક્ષકમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જે અવકાશનો ત્રિ-પરિમાણીય વિસ્તાર છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના મહત્તમ હોય છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે તેવી પૂર્વધારણા ક્વોન્ટમ યાંત્રિક મોડેલ સાથે સુસંગત નથી.

(D) $Cs$ ની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0 = 5.16 \times 10^{14} \ Hz$ છે.
પીળા પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu_0$ કરતા વધારે હોવાથી તે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર દર્શાવે છે ($A$ સાચું છે).
પ્રકાશની તીવ્રતા ઘટાડવાથી ફોટોકરન્ટ ઘટે છે ($B$ સાચું છે).
લાલ પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા ઓછી હોવાથી તે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર ઉત્પન્ન કરી શકતું નથી ($C$ ખોટું છે).
વાદળી પ્રકાશની આવૃત્તિ પીળા પ્રકાશ કરતા વધારે હોવાથી તે પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે ($D$ સાચું છે).
સફેદ પ્રકાશમાં તમામ આવૃત્તિઓ હોય છે,તેથી તે પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે ($E$ સાચું છે).
તેથી,વિધાનો $A, B, D$ અને $E$ સાચા છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા માટેનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$H$ પરમાણુ માટે,પ્રથમ બોહર કક્ષા $(n=1, Z=1)$ ની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
$Be^{3+}$ આયન $(Z=4)$ માટે,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ ને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $E = -13.6 \times \frac{4^2}{2^2} \ eV$.
$E = -13.6 \times \frac{16}{4} \ eV = -13.6 \times 4 \ eV = -54.4 \ eV$.
ઉર્જાનું મૂલ્ય (માન) $|E| = 54.4 \ eV$ છે.
નજીકનો પૂર્ણાંક $54$ છે.

(D) શોષાયેલા અથવા ઉત્સર્જિત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$.
$n=2 \rightarrow n=3$ સંક્રમણ માટે: $\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$.
$n=4 \rightarrow n=6$ સંક્રમણ માટે: $\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{36} \right) = \frac{5R}{144}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5R/144}{5R/36} = \frac{36}{144} = \frac{1}{4}$.

$(A)$ $\text{$n^{th}$ કક્ષાની ઉર્જા } E_{n} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^{2}}{n^{2}} \ J$ $\text{સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.}$
$He^{+}$ $(Z=2, n=1)$ $\text{માટે: } E_{1} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{2^{2}}{1^{2}} = -8.72 \times 10^{-18} \ J$.
$Li^{2+}$ $(Z=3, n=1)$ $\text{માટે: } E_{1} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^{2}}{1^{2}} = -19.62 \times 10^{-18} \ J$.
$\text{$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા } r_{n} = 52.9 \times \frac{n^{2}}{Z} \ pm$ $\text{સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.}$
$He^{+}$ $(Z=2, n=1)$ $\text{માટે: } r_{1} = 52.9 \times \frac{1^{2}}{2} = 26.45 \ pm \approx 26.4 \ pm$.
$Li^{2+}$ $(Z=3, n=1)$ $\text{માટે: } r_{1} = 52.9 \times \frac{1^{2}}{3} = 17.63 \ pm \approx 17.6 \ pm$.

(C) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
$4^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r_4)$ $r_4 = 0.529 \times \frac{4^2}{2} = 4.232 \ \mathring{A}$ છે.
$3^{rd}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r_3)$ $r_3 = 0.529 \times \frac{3^2}{2} = 2.3805 \ \mathring{A}$ છે.
$4^{th}$ અને $3^{rd}$ કક્ષા વચ્ચેનું અંતર $\Delta r = r_4 - r_3 = 4.232 - 2.3805 = 1.8515 \ \mathring{A}$ છે.
$1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$ હોવાથી,અંતર $1.8515 \times 10^{-10} \ m$ થાય.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
જ્યારે $12.75 \ eV$ નો ઇલેક્ટ્રોન બીમ હાઇડ્રોજન વાયુ પર અથડાય છે,ત્યારે ઉત્તેજિત હાઇડ્રોજન પરમાણુની ઉર્જા $E = -13.6 + 12.75 = -0.85 \ eV$ થાય છે.
$E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $-0.85 = -13.6 / n^2$ મળે છે,જે $n^2 = 16$ આપે છે,તેથી $n = 4$.
$n = 4$ અવસ્થામાંથી શક્ય સંક્રમણો:
$n = 4$ $\rightarrow 3, 4$ $\rightarrow 2, 4$ $\rightarrow 1, 3$ $\rightarrow 2, 3$ $\rightarrow 1, 2$ $\rightarrow 1$.
$n = 1$ પર સમાપ્ત થતા સંક્રમણો લાયમન શ્રેણીમાં આવે છે $(4$ $\rightarrow 1, 3$ $\rightarrow 1, 2$ $\rightarrow 1)$.
$n = 2$ પર સમાપ્ત થતા સંક્રમણો બામર શ્રેણીમાં આવે છે $(4$ $\rightarrow 2, 3$ $\rightarrow 2)$.
$n = 3$ પર સમાપ્ત થતું સંક્રમણ પાશ્ચન શ્રેણીમાં આવે છે $(4 \rightarrow 3)$.
આમ,ઉત્સર્જિત તરંગલંબાઇઓ લાયમન,બામર અને પાશ્ચન શ્રેણીમાં આવે છે.

(A) ફોટોનની ઉર્જા: $E_1 = \frac{1240}{248} = 5 \ eV$ અને $E_2 = \frac{1240}{310} = 4 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $K.E. = E - W$.
આપેલ છે કે $u_1 : u_2 = 2 : 1$,તેથી ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K.E._1}{K.E._2} = (\frac{u_1}{u_2})^2 = (\frac{2}{1})^2 = 4$.
તેથી,$\frac{5 - W}{4 - W} = 4$.
$5 - W = 16 - 4W$.
$3W = 11$.
$W = \frac{11}{3} \approx 3.67 \ eV \approx 3.7 \ eV$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H^{-}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
$3^{rd}$ અને $2^{nd}$ કક્ષા વચ્ચેનું અંતર $\Delta r = r_3 - r_2$ છે.
$\Delta r = \frac{0.529}{1} \times (3^2 - 2^2) \mathring{A}$.
$\Delta r = 0.529 \times (9 - 4) \mathring{A} = 0.529 \times 5 \mathring{A} = 2.645 \mathring{A}$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $2.65 \mathring{A}$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = v_0 \times \frac{Z}{n}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_0$ અચળાંક છે,$Z$ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $n$ કક્ષાનો ક્રમ છે.
$He^{+}$ $(Z_1 = 2)$ માટે બીજી કક્ષા $(n_1 = 2)$: $v_1 = v_0 \times \frac{2}{2} = v_0$.
$B^{4+}$ $(Z_2 = 5)$ માટે ત્રીજી કક્ષા $(n_2 = 3)$: $v_2 = v_0 \times \frac{5}{3}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{v_0}{v_0 \times \frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $Pfund$ શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 5$ માં થાય છે.
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R (2)^2 (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{\infty^2})$.
$\frac{1}{\lambda} = R \times 4 \times (\frac{1}{25} - 0) = \frac{4R}{25}$.
તેથી,$\lambda = \frac{25}{4R}$.

(A) કોઈપણ હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે,કુલ ઉર્જા $(E)$,ગતિજ ઉર્જા $(K.E.)$,અને સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$E = -K.E.$
$P.E. = 2 \times E = -2 \times K.E.$
આપેલ છે કે $2^{nd}$ કક્ષાની કુલ ઉર્જા $E = -13.6 \ eV/atom$ છે.
તેથી,ગતિજ ઉર્જા $K.E. = -E = -(-13.6 \ eV) = +13.6 \ eV$ થશે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \ eV$ છે.
કારણ કે $\Delta E = \frac{hc}{\lambda} = hv$,$\lambda$ એ $\Delta E$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,અને $v$ એ $\Delta E$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
$(P). \text{Lyman series માં } \lambda_{\max }$: ન્યૂનતમ $\Delta E$ ની જરૂર છે,જે $2 \rightarrow 1$ છે.
$(Q). \text{Balmer series માં } v_{\min }$: ન્યૂનતમ $\Delta E$ ની જરૂર છે,જે $3 \rightarrow 2$ છે.
$(R). \text{Lyman series માં } \lambda_{\min }$: મહત્તમ $\Delta E$ ની જરૂર છે,જે $\infty \rightarrow 1$ છે.
$(S). \text{Balmer series માં } v_{\max }$: મહત્તમ $\Delta E$ ની જરૂર છે,જે $\infty \rightarrow 2$ છે.
તેથી,સાચી જોડ $P-ii, Q-iii, R-i, S-iv$ છે.