Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના સમીકરણ મુજબ:
$h\nu = KE_{max} + h\nu_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ છે,$\nu$ એ આપાત આવૃત્તિ છે,$KE_{max}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે અને $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
$\nu_0$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$h\nu_0 = h\nu - KE_{max}$
$\nu_0 = \nu - \frac{KE_{max}}{h}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\nu_0 = (4 \times 10^{14} \ s^{-1}) - \frac{6.63 \times 10^{-20} \ J}{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}$
$\nu_0 = 4 \times 10^{14} \ s^{-1} - 1 \times 10^{14} \ s^{-1}$
$\nu_0 = 3 \times 10^{14} \ s^{-1}$

(A) $1 \ mol$ ઇલેક્ટ્રોન માટે બંધન ઉર્જા $250 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
એક ઇલેક્ટ્રોન માટે ઉર્જા શોધવા માટે,એવોગેડ્રો આંક $(N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{250 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}} = 4.151 \times 10^{-19} \ J$.
થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા $E = h \nu_0$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
$\nu_0 = \frac{E}{h} = \frac{4.151 \times 10^{-19} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s} \approx 6.26 \times 10^{14} \ s^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) એક ફોટોનની ઊર્જા $E = h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ અને $\nu = 3 \times 10^{12} \ Hz$ છે.
એક ફોટોનની ઊર્જા $= 6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{12} = 1.9878 \times 10^{-21} \ J$.
એક મોલ ફોટોનમાં $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ ફોટોન હોય છે.
તેથી,અડધા મોલ ફોટોનમાં $\frac{1}{2} \times 6.022 \times 10^{23} = 3.011 \times 10^{23}$ ફોટોન હોય છે.
અડધા મોલ માટે કુલ ઊર્જા $= (1.9878 \times 10^{-21} \ J) \times (3.011 \times 10^{23}) = 598.5 \ J \approx 0.598 \ kJ$.
આમ,ઊર્જા $0.598 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $KE = h v - h v_0$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $KE_1 = h(4.0 \times 10^{16}) - h v_0$.
બીજા કિસ્સા માટે: $KE_2 = h(2.0 \times 10^{16}) - h v_0$.
આપેલ છે કે $KE_1 = 4 KE_2$,તેથી:
$h(4.0 \times 10^{16}) - h v_0 = 4(h(2.0 \times 10^{16}) - h v_0)$.
$h$ વડે ભાગતા: $4.0 \times 10^{16} - v_0 = 8.0 \times 10^{16} - 4 v_0$.
પદોને ગોઠવતા: $3 v_0 = 4.0 \times 10^{16}$.
$v_0 = \frac{4.0 \times 10^{16}}{3} = 1.33 \times 10^{16} \ s^{-1}$.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા એ કાર્ય વિધેય (થ્રેશોલ્ડ ઉર્જા) અને ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$h\nu = h\nu_0 + \frac{1}{2}m_ev^2$
ગતિ ઉર્જા માટે પુનઃગોઠવણ કરતા:
$\frac{1}{2}m_ev^2 = h\nu - h\nu_0 = h(\nu - \nu_0)$
વેગ $(v)$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{2h(\nu - \nu_0)}{m_e}$
$v = \sqrt{\frac{2h(\nu - \nu_0)}{m_e}}$

(C) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $(E)$ ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(W_0)$ કરતા વધારે અથવા સમાન હોવી જોઈએ,એટલે કે $E \ge W_0$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $(E) = \frac{hc}{\lambda}$.
અહીં $\lambda = 540 \ nm = 540 \times 10^{-9} \ m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{540 \times 10^{-9}} \ J = 3.68 \times 10^{-19} \ J$.
$E$ ને $eV$ માં ફેરવતા: $E = \frac{3.68 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \ eV \approx 2.297 \ eV$.
$E = 2.297 \ eV$ ની સરખામણી વર્ક ફંક્શન સાથે કરતા:
$Li (2.42 \ eV) > 2.297 \ eV$ (ના)
$K (2.25 \ eV) < 2.297 \ eV$ (હા)
$Mg (3.70 \ eV) > 2.297 \ eV$ (ના)
$Ag (4.30 \ eV) > 2.297 \ eV$ (ના)
$Cu (4.80 \ eV) > 2.297 \ eV$ (ના)
માત્ર $K$ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર દર્શાવે છે. તેથી,ધાતુઓની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K.E. = h(v - v_0)$.
$v_1 = 1.6 \times 10^{16} \ Hz$ આવૃત્તિ માટે,$K.E._1 = h(1.6 \times 10^{16} - v_0) \longrightarrow \text{Eq. } (i)$.
$v_2 = 1.0 \times 10^{16} \ Hz$ આવૃત્તિ માટે,$K.E._2 = h(1.0 \times 10^{16} - v_0) \longrightarrow \text{Eq. } (ii)$.
આપેલ છે કે $K.E._1 = 2 \times K.E._2$,તેથી:
$h(1.6 \times 10^{16} - v_0) = 2 \times h(1.0 \times 10^{16} - v_0)$.
$1.6 \times 10^{16} - v_0 = 2.0 \times 10^{16} - 2v_0$.
$2v_0 - v_0 = 2.0 \times 10^{16} - 1.6 \times 10^{16}$.
$v_0 = 0.4 \times 10^{16} \ Hz = 4 \times 10^{15} \ Hz$.

(C) આપેલ છે: કાર્ય વિધેય $(W_0) = 4.80 \ eV$ અને ગતિ ઊર્જા $(KE) = 0.20 \ eV$.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરના સમીકરણ મુજબ:
કુલ ઊર્જા $(E_T) = W_0 + KE = 4.80 \ eV + 0.20 \ eV = 5.0 \ eV$.
ઊર્જાને જુલમાં ફેરવતા: $E_T = 5.0 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J = 8.01 \times 10^{-19} \ J$.
સંબંધ $E_T = h\nu$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$:
$\nu = \frac{E_T}{h} = \frac{8.01 \times 10^{-19} \ J}{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s} \approx 1.21 \times 10^{15} \ Hz$.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ ક્વોન્ટાઇઝ્ડ હોય છે અને તે $L = \frac{n h}{2 \pi}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા $(n = 1, 2, 3, \dots)$ છે.
આને $L = n \times (0.5 \frac{h}{\pi})$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલા વિકલ્પો માટે:
$A) 1.25 \frac{h}{\pi} = 2.5 \times \frac{h}{2 \pi}$ (જે $\frac{h}{2 \pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક નથી)
$B) 1 \frac{h}{\pi} = 2 \times \frac{h}{2 \pi}$ ($n = 2$,માન્ય છે)
$C) 1.5 \frac{h}{\pi} = 3 \times \frac{h}{2 \pi}$ ($n = 3$,માન્ય છે)
$D) 0.5 \frac{h}{\pi} = 1 \times \frac{h}{2 \pi}$ ($n = 1$,માન્ય છે)
તેથી,$1.25 \frac{h}{\pi}$ એ માન્ય મૂલ્ય નથી.

(C) વિધાન-$I$ સાચું છે કારણ કે શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવેગિત વીજભારિત કણ ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે. આમ,ન્યુક્લિયસની આસપાસ ફરતો ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા ગુમાવે છે અને અંતે ન્યુક્લિયસમાં પડી જાય છે,જે રધરફોર્ડનું મોડેલ સમજાવી શક્યું ન હતું.
વિધાન-$II$ ખોટું છે કારણ કે,વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટમાં,$X$-કિરણોની તરંગલંબાઇ ($10^{-10} \ m$ થી $10^{-8} \ m$) માઇક્રોવેવની તરંગલંબાઇ ($10^{-3} \ m$ થી $10^{-1} \ m$) કરતા ઘણી ઓછી હોય છે.
તેથી,વિધાન-$I$ સાચું છે,પરંતુ વિધાન-$II$ ખોટું છે.

(D) થોમસનના મોડેલે પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો કે પરમાણુ એ ધન વીજભારિત ગોળો છે જેમાં ઇલેક્ટ્રોન જડેલા હોય છે,જે તરબૂચ અથવા પ્લમ પુડિંગ જેવું છે.
તેણે પરમાણુની એકંદર વિદ્યુત તટસ્થતાને યોગ્ય રીતે સમજાવી હતી.
જોકે,આ મોડેલ પાછળના પ્રયોગો,જેમ કે રધરફોર્ડના આલ્ફા-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગના પરિણામોને સમજાવવામાં નિષ્ફળ ગયું હતું.
તેથી,'આ મોડેલ પરમાણુની એકંદર તટસ્થતા સમજાવી શક્યું ન હતું' તે વિધાન ખોટું છે,કારણ કે આ મોડેલ ખાસ કરીને તેને સમજાવવા માટે જ બનાવવામાં આવ્યું હતું.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે $n=2$ પર: $x = a_0 \times \frac{2^2}{1} = 4a_0$,જેનો અર્થ છે કે $a_0 = \frac{x}{4}$.
$He^{+}$ આયન $(Z=2)$ માટે $n=3$ પર: $r_3 = a_0 \times \frac{3^2}{2} = a_0 \times \frac{9}{2}$.
$r_3$ ના સમીકરણમાં $a_0 = \frac{x}{4}$ મૂકતા: $r_3 = (\frac{x}{4}) \times \frac{9}{2} = \frac{9}{8} x$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = 0.529 \times n^2 \mathring{A} = 52.9 \times n^2 \text{ pm}$ છે.
આપેલ છે કે $r_n = 476.1 \text{ pm}$, તેથી $52.9 \times n^2 = 476.1$.
$n^2 = \frac{476.1}{52.9} = 9$.
તેથી, $n = 3$.
$n = 3$ કક્ષામાં થતું સંક્રમણ પાશ્ચન શ્રેણીને અનુરૂપ છે.

(D) $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = \frac{E_1}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \ J$ છે.
પાંચમી કક્ષા $(n = 5)$ માટે,$E_5 = \frac{-2.18 \times 10^{-18}}{5^2} = \frac{-2.18 \times 10^{-18}}{25} = -0.0872 \times 10^{-18} \ J$.
ઉત્તેજના માટે જરૂરી ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E_5 - E_1 = (-0.0872 \times 10^{-18}) - (-2.18 \times 10^{-18}) = 2.0928 \times 10^{-18} \ J$ છે.
$\Delta E = h \nu$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,આવૃત્તિ $\nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{2.0928 \times 10^{-18}}{6.6 \times 10^{-34}} \approx 3.17 \times 10^{15} \ Hz$ મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$ ની બીજી કક્ષા માટે,$n_1 = 2$ અને $Z_1 = 1$. તેથી,$r_1 = 0.529 \times \frac{2^2}{1} = 0.529 \times 4$.
પરમાણુ ક્રમાંક $Z_2$ ધરાવતા આયન $x$ ની $n$ મી કક્ષા માટે,$r_2 = 0.529 \times \frac{n^2}{Z_2}$.
આપેલ છે કે $r_1 = r_2$,તેથી $4 = \frac{n^2}{Z_2}$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 = 4Z_2$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$ માટે: $Be^{3+}$ નો $Z=4$ છે. $n^2 = 4 \times 4 = 16$,તેથી $n=4$. આ સાચું છે.
$B$ માટે: $Li^{2+}$ નો $Z=3$ છે. $n^2 = 4 \times 3 = 12$ (પૂર્ણ વર્ગ નથી).
$C$ માટે: $Be^{2+}$ નો $Z=4$ છે. $n^2 = 16$,$n=4$. જોકે,$Be^{2+}$ એ હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ નથી (તેમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન છે).
$D$ માટે: $He^{+}$ નો $Z=2$ છે. $n^2 = 4 \times 2 = 8$ (પૂર્ણ વર્ગ નથી).
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.0529 \times n^2 \ nm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1 = 1.3225 \ nm$ માટે,$n_1^2 = 1.3225 / 0.0529 = 25$,તેથી $n_1 = 5$.
$r_2 = 0.2116 \ nm$ માટે,$n_2^2 = 0.2116 / 0.0529 = 4$,તેથી $n_2 = 2$.
$n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -2.18 \times 10^{-18} / n^2 \ J$ છે.
ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = -2.18 \times 10^{-18} \times (1/n_2^2 - 1/n_1^2)$.
$\Delta E = -2.18 \times 10^{-18} \times (1/4 - 1/25) = -2.18 \times 10^{-18} \times (0.25 - 0.04) = -2.18 \times 10^{-18} \times 0.21 = -0.4578 \times 10^{-18} \ J$.
ઉત્સર્જિત વિકિરણની ઉર્જા $|\Delta E| = 0.4578 \times 10^{-18} \ J$ છે.

(B) એક-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ માટે,ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_{n} = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ \text{eV}$ છે.
$Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે. $n = 3$ પર,ઉર્જા $E_3 = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = -13.6 \ \text{eV}$ થાય.
$Be^{3+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ છે. $n = 4$ પર,ઉર્જા $E_4 = -13.6 \times \frac{4^2}{4^2} = -13.6 \ \text{eV}$ થાય.
બંને સ્પીસીઝની ઉર્જા $-13.6 \ \text{eV}$ સમાન હોવાથી,સાચી જોડી $Li^{2+}(n=3)$ અને $Be^{3+}(n=4)$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા આયનની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{0.0529 \times n^2}{Z} \ nm$ છે.
આપેલ છે કે $r = 1.763 \times 10^{-2} \ nm$ અને $n = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $1.763 \times 10^{-2} = \frac{0.0529 \times (1)^2}{Z}$.
$Z = \frac{0.0529}{0.01763} \approx 3$.
કક્ષાની ઉર્જાનું સૂત્ર $E = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$ છે.
$Z = 3$ અને $n = 1$ મૂકતા: $E = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^2}{1^2} \ J$.
$E = -2.18 \times 10^{-18} \times 9 \ J = -19.62 \times 10^{-18} \ J$.
$E = -1.962 \times 10^{-17} \ J$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$, જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે, $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે।
$H$ પરમાણુની $3^{rd}$ કક્ષા માટે $(n=3, Z=1)$: $R = a_0 \times \frac{3^2}{1} = 9 a_0$.
$He^{+}$ આયનની $2^{nd}$ કક્ષા માટે $(n=2, Z=2)$: $r_2 = a_0 \times \frac{2^2}{2} = 2 a_0$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી, $a_0 = \frac{R}{9}$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $r_2 = 2 \times (\frac{R}{9}) = \frac{2}{9} R$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ કક્ષા $(n=1, Z=1)$ માટે,ત્રિજ્યા $r_1 = 0.529 \mathring{A}$ છે.
સ્પીસીઝ $X$ ની $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા હાઇડ્રોજનની પ્રથમ બોહર કક્ષા જેટલી થવા માટે,$r_n = r_1$ લેતા,$\frac{n^2}{Z} = 1$ અથવા $n^2 = Z$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$Be^{3+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ છે. $n^2 = Z$ માં $Z=4$ મૂકતા,$n^2 = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ $n = 2$ થાય છે.
આમ,$n = 2$ અને $X = Be^{3+}$ માટે શરત સંતોષાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$ છે.
$n=1$ માટે,$E_1 = \frac{-13.6}{1^2} = -13.6 \ eV$.
$n=2$ માટે,$E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$.
$n=3$ માટે,$E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = -1.51 \ eV$.
ગુણોત્તર $E_1 : E_2 : E_3$ એ $\frac{-13.6}{1} : \frac{-13.6}{4} : \frac{-13.6}{9}$ થશે.
$-13.6$ વડે ભાગતા,આપણને $1 : \frac{1}{4} : \frac{1}{9}$ મળે છે.
છેદ દૂર કરવા માટે $36$ વડે ગુણતા,આપણને $36 : 9 : 4$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -E_0 \times \frac{Z^2}{n^2}$ છે,જ્યાં $E_0$ એ હાઇડ્રોજનની ધરા-સ્થિતિની ઉર્જા $(2.18 \times 10^{-18} \ J)$ છે.
હાઇડ્રોજનની બીજી કક્ષા માટે $(n=2, Z=1)$: $E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1^2}{2^2} = -5.45 \times 10^{-19} \ J$.
$Li^{2+}$ આયનની પ્રથમ કક્ષા માટે $(n=1, Z=3)$:
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^2}{1^2} \ J$
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times 9 \ J$
$E_1 = -1.962 \times 10^{-17} \ J$.

(B) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે,$n_1$ અને $n_2$ કક્ષાઓ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = 13.6 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$ છે.
પ્રથમ $(n=1)$ અને દ્વિતીય $(n=2)$ કક્ષા વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત:
$\Delta E_{1-2} = 13.6 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = 13.6 \times (1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
દ્વિતીય $(n=2)$ અને તૃતીય $(n=3)$ કક્ષા વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત:
$\Delta E_{2-3} = 13.6 \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = 13.6 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = 13.6 \times \frac{5}{36} \text{ eV}$.
જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{\Delta E_{1-2}}{\Delta E_{2-3}} = \frac{13.6 \times (3/4)}{13.6 \times (5/36)} = \frac{3}{4} \times \frac{36}{5} = \frac{27}{5}$ થાય.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ અને ઊર્જા $E_n \propto \frac{1}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજી કક્ષા $(n=2)$ માટે: $r_2 \propto (2)^2 = 4$ અને $E_2 \propto \frac{1}{(2)^2} = \frac{1}{4}$.
ત્રીજી કક્ષા $(n=3)$ માટે: $r_3 \propto (3)^2 = 9$ અને $E_3 \propto \frac{1}{(3)^2} = \frac{1}{9}$.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{r_3}{r_2} = \frac{9}{4} \implies r_3 = \frac{9}{4} r_2$
$\frac{E_3}{E_2} = \frac{1/9}{1/4} = \frac{4}{9} \implies E_3 = \frac{4}{9} E_2$
આમ,ત્રીજી બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા અને ઊર્જા અનુક્રમે $\frac{9}{4} r_2$ અને $\frac{4}{9} E_2$ છે.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{2.18 \times 10^6 \ Z}{n} \ m/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોહર કક્ષા માટે,$n = 1$ અને $Z = 1$,તેથી $v = 2.18 \times 10^6 \ m/s$.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ અને ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{2.18 \times 10^6 \ m/s} \approx 137.6$ છે.
આમ,આશરે ગુણોત્તર $137 : 1$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ:
$(i)$ $n$મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v_n \propto \frac{1}{n}$ છે.
$(ii)$ $n$મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n \propto -\frac{1}{n^2}$ છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $\frac{1}{n^2}$ મુજબ બદલાય છે.
$(iii)$ $n$મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ છે.
તેથી,ઝડપ,ઉર્જા અને ત્રિજ્યાનો $n$ સાથેનો ફેરફાર $\frac{1}{n} : \frac{1}{n^2} : n^2$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \cdot \frac{Z^2}{n^2} \ J$ છે.
હાઇડ્રોજન માટે $Z = 1$ હોવાથી,$E_n = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{n^2} \ J$.
જ્યારે $n = \infty$ હોય,ત્યારે $E_{\infty} = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{\infty} = 0 \ J$.
જ્યારે $n = 3$ હોય,ત્યારે $E_3 = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{3^2} = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{9} = -0.242 \times 10^{-18} \ J$.
તેથી,$E_{\infty} = 0 \ J$ અને $E_3 = -0.242 \times 10^{-18} \ J$.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો જવાબ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$
જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક (કક્ષાનો નંબર) છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$B^{4+}$ આયન માટે:
$n = 2$
$Z = 5$ (બોરોનનો પરમાણુ ક્રમાંક)
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = 0.529 \times \frac{2^2}{5} \ \mathring{A}$
$r = 0.529 \times \frac{4}{5} \ \mathring{A}$
$r = 0.529 \times 0.8 \ \mathring{A}$
$r = 0.4232 \ \mathring{A}$

(D) કોઈપણ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા $(r_n)$ શોધવાનું સૂત્ર: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
$Li^{2+}$ માટે: $n = 2$,$Z = 3$.
$Be^{3+}$ માટે: $n = 3$,$Z = 4$.
ગુણોત્તર: $\frac{r_{Li^{2+}}}{r_{Be^{3+}}} = \frac{n_1^2 / Z_1}{n_2^2 / Z_2} = \frac{n_1^2}{Z_1} \times \frac{Z_2}{n_2^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2^2}{3} \times \frac{4}{3^2} = \frac{4}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{16}{27}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = 2.18 \times 10^6 \times \frac{Z}{n} \ ms^{-1}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
ત્રીજી કક્ષા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = 2.18 \times 10^6 \times \frac{1}{3} \ ms^{-1}$.
$v = 0.7266 \times 10^6 \ ms^{-1}$.
$v = 7.26 \times 10^5 \ ms^{-1}$.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો જવાબ છે.

(B) $H$-જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર:
$E_{n} = \frac{-13.6 \times Z^2}{n^2} \ eV$.
$H$-પરમાણુ માટે,$Z = 1$ અને $3^{rd}$ કક્ષા માટે,$n = 3$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{-13.6 \times (1)^2}{(3)^2} \ eV = \frac{-13.6}{9} \ eV \approx -1.511 \ eV$.
$1 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$ હોવાથી,
$E = -1.511 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J \approx -2.42 \times 10^{-19} \ J$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઉર્જા સ્તરો નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n = 1$,તેથી $E_1 = -13.6 \ eV$
જ્યારે $n > 1$ હોય ત્યારે ઉત્તેજિત અવસ્થા પ્રાપ્ત થાય છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 2$
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા: $E_2 = -13.6 / 2^2 = -13.6 / 4 = -3.4 \ eV$.

(B) $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{313.52 Z^2}{n^2} \ kcal \ mol^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$.
લાયમન શ્રેણી $n_1 = 1$ પર સમાપ્ત થતા સંક્રમણોને અનુરૂપ છે.
લાયમન શ્રેણીમાં $H_\alpha$ રેખા $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$n_1 = 1$ કક્ષામાં ઉર્જા: $E_1 = -\frac{313.52 \times (1)^2}{(1)^2} = -313.52 \ kcal \ mol^{-1} \approx -313.6 \ kcal \ mol^{-1}$.
$n_2 = 2$ કક્ષામાં ઉર્જા: $E_2 = -\frac{313.52 \times (1)^2}{(2)^2} = -\frac{313.52}{4} = -78.38 \ kcal \ mol^{-1} \approx -78.4 \ kcal \ mol^{-1}$.
આમ,ઉર્જા $-313.6 \ kcal \ mol^{-1}$ અને $-78.4 \ kcal \ mol^{-1}$ છે.

(C) કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિર વિદ્યુત બળના સંતુલન પરથી,$\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{r^2}$,જેનો અર્થ છે કે $mv^2 = \frac{e^2}{r}$.
આને ગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $KE = \frac{1}{2} \frac{e^2}{r}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ $PE = \frac{-e^2}{r}$ છે.
કુલ ઉર્જા $(E)$ એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E = KE + PE = \frac{1}{2} \frac{e^2}{r} - \frac{e^2}{r} = \frac{-e^2}{2r}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = \frac{-1312}{n^2} \ kJ \ mol^{-1}$ છે.
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_2 = \frac{-1312}{2^2} \ kJ \ mol^{-1} = \frac{-1312}{4} \ kJ \ mol^{-1} = -328 \ kJ \ mol^{-1}$.

(C) રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$. હાઇડ્રોજન માટે,$Z=1$.
સંક્રમણ $(i)$ $n=4$ થી $n=2$ માટે: $\frac{1}{\lambda_1} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R_H \left( \frac{3}{16} \right)$. તેથી,$\lambda_1 = \frac{16}{3R_H}$.
સંક્રમણ $(ii)$ $n=3$ થી $n=1$ માટે: $\frac{1}{\lambda_2} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = R_H \left( \frac{8}{9} \right)$. તેથી,$\lambda_2 = \frac{9}{8R_H}$.
$(\lambda_1 - \lambda_2)$ ની ગણતરી કરતા: $\frac{16}{3R_H} - \frac{9}{8R_H} = \frac{1}{R_H} \left( \frac{128 - 27}{24} \right) = \frac{1}{R_H} \left( \frac{101}{24} \right)$.

(B) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right]$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_2 = 2$ અને $n_1 = 3, 4, 5, \dots$.
સૂત્રમાં $n_2 = 2$ અને $n_1 = 5$ મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{25 - 4}{100} \right] = R \left[ \frac{21}{100} \right]$.
તેથી,$\lambda = \frac{100}{21 R}$.

(D) આપેલ છે:
ગતિઊર્જા $(K.E.) = 2 \times 10^{-19} \ J$
આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $(\nu) = 1.0 \times 10^{15} \ Hz$
પ્લાન્કનો અચળાંક $(h) = 6.6 \times 10^{-34} \ Js$
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ:
$K.E. = h(\nu - \nu_0)$
જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2 \times 10^{-19} = 6.6 \times 10^{-34} \times (1.0 \times 10^{15} - \nu_0)$
$\frac{2 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}} = 1.0 \times 10^{15} - \nu_0$
$0.303 \times 10^{15} = 1.0 \times 10^{15} - \nu_0$
$\nu_0 = 1.0 \times 10^{15} - 0.303 \times 10^{15}$
$\nu_0 = 0.697 \times 10^{15} \ Hz = 6.97 \times 10^{14} \ Hz$

(A) તરંગ આંક માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\bar{\nu} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
$He^{+}$ $(Z=2)$ ની લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે: $n_1=1, n_2=2$.
$\bar{\nu}_1 = R_H \times 2^2 \times \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R_H \times 4 \times \frac{3}{4} = 3 R_H = x$.
તેથી,$R_H = \frac{x}{3}$.
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ ની બામર શ્રેણીની બીજી રેખા માટે: $n_1=2, n_2=4$.
$\bar{\nu}_2 = R_H \times 3^2 \times \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R_H \times 9 \times \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R_H \times 9 \times \frac{3}{16} = \frac{27 R_H}{16}$.
$R_H = \frac{x}{3}$ મૂકતા:
$\bar{\nu}_2 = \frac{27}{16} \times \frac{x}{3} = \frac{9 x}{16}$.

(A) રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
$H$-પરમાણુની બામર શ્રેણીની બીજી રેખા માટે $(Z=1, n_1=2, n_2=4)$:
$\frac{1}{\lambda} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$ $\Rightarrow R = \frac{16}{3\lambda}$.
$He^{+}$ આયનની લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(Z=2, n_1=1, n_2=2)$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R(2)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = 4R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = 4R \left( \frac{3}{4} \right) = 3R$.
$\lambda_2$ ના સમીકરણમાં $R = \frac{16}{3\lambda}$ મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_2} = 3 \left( \frac{16}{3\lambda} \right) = \frac{16}{\lambda}$ $\Rightarrow \lambda_2 = \frac{\lambda}{16}$.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $n_1$ કક્ષામાંથી $n_2$ કક્ષામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13.6 \ Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ eV$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$,$n_1 = 2$,અને $n_2 = 3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta E = 13.6 \times 1^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) \ eV$
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) \ eV$
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{9 - 4}{36} \right) \ eV$
$\Delta E = 13.6 \times \frac{5}{36} \ eV \approx 1.888 \ eV \approx 1.9 \ eV$.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા ગણવાનું સામાન્ય સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$
અહીં,$n_2 = 6$ અને $n_1 = 2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$N = \frac{(6 - 2)(6 - 2 + 1)}{2}$
$N = \frac{4 \times 5}{2}$
$N = 10$
આ વર્ણપટ રેખાઓ હાઇડ્રોજન વર્ણપટની બામર શ્રેણી (Balmer series) ને અનુસરે છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$
જ્યાં:
$Z = Li \text{ નો પરમાણુ ક્રમાંક} = 3$
$n = \text{કક્ષાનો ક્રમાંક} = 1$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_1 = -13.6 \times \frac{3^2}{1^2} \ eV$
$E_1 = -13.6 \times 9 \ eV = -122.4 \ eV$

(D) હાઇડ્રોજનની વર્ણપટ શ્રેણીઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. લાયમેન શ્રેણી: અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તાર.
$2$. બામર શ્રેણી: દ્રશ્યમાન વિસ્તાર.
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી: ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર.
$4$. બ્રેકેટ શ્રેણી: ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર.
$5$. ફંડ શ્રેણી: ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તાર.
તેથી,લાયમેન અને બામર શ્રેણી એ બે શ્રેણીઓ છે જે ઇન્ફ્રારેડ વર્ણપટ વિસ્તારમાં આવતી નથી.

(C) જ્યારે હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન $n$મી ઉર્જા સપાટી પર ઉત્તેજિત થાય છે,ત્યારે તે ફોટોન ઉત્સર્જિત કરીને નીચલી ઉર્જા સપાટીઓ પર પાછો ફરી શકે છે.
શક્ય વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\text{વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા} = \frac{n(n-1)}{2}$
જ્યાં $n$ એ ઉત્તેજિત અવસ્થાનો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક દર્શાવે છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\lambda = \frac{hc}{\Delta E})$.
સૌથી ઓછી તરંગલંબાઇ મેળવવા માટે,આપણે સૌથી વધુ ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ધરાવતું સંક્રમણ પસંદ કરવું પડે.
સંક્રમણોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $n_2=\infty$ થી $n_1=2$: $\Delta E \propto 0.25$
$(B)$ $n_2=4$ થી $n_1=3$: $\Delta E \propto 0.0486$
$(C)$ $n_2=2$ થી $n_1=1$: $\Delta E \propto 0.75$
$(D)$ $n_2=5$ થી $n_1=3$: $\Delta E \propto 0.0711$
સંક્રમણ $n_2=2$ થી $n_1=1$ સૌથી વધુ ઉર્જા તફાવત ધરાવે છે,તેથી તે સૌથી ઓછી તરંગલંબાઇનું વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે.