Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(C) બોહર કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ માટેનું સૂત્ર: $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ છે.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ.
તેથી,$K.E. \propto \frac{1}{n^2}$ મળે છે.
આ સંબંધ દર્શાવે છે કે જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ વધે છે,તેમ ગતિઊર્જા વ્યસ્ત વર્ગના વક્ર મુજબ ઘટે છે. તેથી,સાચો આલેખ તે છે જે $n$ વધવાની સાથે $K.E.$ માં ઘટાડો દર્શાવે છે.

(D) પ્લાન્કના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત મુજબ,ઉર્જાનું ઉત્સર્જન અથવા શોષણ ક્વોન્ટા નામના નાના પેકેટોના સ્વરૂપમાં થાય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n_{high})$ થી નીચા ઉર્જા સ્તર $(n_{low})$ માં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે તે ફોટોન (ક્વોન્ટમ) ના સ્વરૂપમાં ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે.
આપેલ તમામ સંક્રમણો ($n = 4 \rightarrow n = 2$,$n = 3 \rightarrow n = 1$,અને $n = 5 \rightarrow n = 3$) માં ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા અવસ્થામાંથી નીચી ઉર્જા અવસ્થામાં જાય છે,તેથી દરેક સંક્રમણ ઉર્જાના એક ક્વોન્ટમનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ સંક્રમણમાં સામેલ ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના ઉર્જા તફાવતના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n_2)$ થી નીચા ઉર્જા સ્તર $(n_1)$ માં કૂદકો મારે ત્યારે ઉત્સર્જન થાય છે.
આવૃત્તિ $\nu$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\nu = R_{H} c z^2 \left[\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right]$.
વિકલ્પ $A$ ($n = 2$ થી $n = 1$) માટે: $\Delta E \propto \left[\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right] = 0.75$.
વિકલ્પ $B$ ($n = 6$ થી $n = 2$) માટે: $\Delta E \propto \left[\frac{1}{2^2} - \frac{1}{6^2}\right] = 0.223$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$n = 2$ થી $n = 1$ નું સંક્રમણ સૌથી મોટો ઉર્જા તફાવત આપે છે અને તેથી ઉત્સર્જનની મહત્તમ આવૃત્તિ મળે છે.

(A) $H$-પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = 0.529 \times n^2 \mathring{A}$ છે.
$2^{nd}$ કક્ષા $(n=2)$ માટે: $r_2 = 0.529 \times (2)^2 = 2.116 \mathring{A}$.
$3^{rd}$ કક્ષા $(n=3)$ માટે: $r_3 = 0.529 \times (3)^2 = 4.761 \mathring{A}$.
$2^{nd}$ અને $3^{rd}$ કક્ષા વચ્ચેનું અંતર $r_3 - r_2 = 4.761 \mathring{A} - 2.116 \mathring{A} = 2.645 \mathring{A} \approx 2.65 \mathring{A}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) લાયમન શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ ન્યૂનતમ ઉર્જાના સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ વચ્ચે થાય છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$H$ પરમાણુ માટે,$Z = 1$,$n_1 = 1$,અને $n_2 = 2$.
$\frac{1}{\lambda} = R \times 1^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R$.
$\lambda = \frac{4}{3R}$.
$\frac{1}{R} \approx 911.6 \mathring{A}$ લેતા,$\lambda = \frac{4}{3} \times 911.6 \mathring{A} \approx 1215.5 \mathring{A}$ મળે છે.

(B) $n$ ફોટોનની કુલ ઊર્જા $E = \frac{nhc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $E = 1 \ J$,$\lambda = 4000 \ \mathring{A} = 4 \times 10^{-7} \ m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$n$ માટે સૂત્ર: $n = \frac{E \lambda}{hc}$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{1 \times 4 \times 10^{-7}}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n \approx 2 \times 10^{18}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n=4$ થી $n=2$ માં ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ એ બામર શ્રેણીને અનુરૂપ છે,જે દ્રશ્યમાન વિભાગમાં આવે છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
જો કે,લાયમન શ્રેણી $n=1$ પર સમાપ્ત થતા સંક્રમણોને અનુરૂપ છે,જે અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ વિભાગમાં આવે છે,દ્રશ્યમાન વિભાગમાં નહીં. તેથી,કારણ ખોટું છે.

(B) તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1$ પર થાય છે.
Lyman શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$,તેથી $\frac{1}{\lambda_L} = R_H (\frac{1}{1^2} - 0) = R_H$,જેનો અર્થ છે $\lambda_L = \frac{1}{R_H}$.
Balmer શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$,તેથી $\frac{1}{\lambda_B} = R_H (\frac{1}{2^2} - 0) = \frac{R_H}{4}$,જેનો અર્થ છે $\lambda_B = \frac{4}{R_H}$.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{1/R_H}{4/R_H} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 \ eV / n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 3$ અને $n = 2$ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_3 - E_2 = -13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{2^2} \right) = -13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{4} \right) = -13.6 \left( \frac{4 - 9}{36} \right) = -13.6 \left( -\frac{5}{36} \right) = \frac{13.6 \times 5}{36} \ eV$.
આપેલ છે કે $\Delta E = E$,તેથી $E = \frac{68}{36} \ eV = \frac{17}{9} \ eV$.
$H$-પરમાણુની આયનીકરણ ઉર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનને $n = 1$ થી $n = \infty$ સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે,જે $E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6 \ eV) = 13.6 \ eV$ છે.
$13.6 = E \times \frac{36}{5}$ મૂકતા,આપણને $13.6 = E \times 7.2$ મળે છે.
તેથી,આયનીકરણ ઉર્જા $7.2 \ E$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા માટેનું સૂત્ર $r_n = \frac{52.9 \times n^2}{Z} \ pm$ છે।
$B^{4+}$ આયન માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 5$ અને કક્ષાનો ક્રમાંક $n = 4$ છે।
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$r_4 = \frac{52.9 \times (4)^2}{5} \ pm$
$r_4 = \frac{52.9 \times 16}{5} \ pm$
$r_4 = \frac{846.4}{5} \ pm$
$r_4 = 169.28 \ pm \approx 169.3 \ pm$.

(D) રધરફોર્ડના પરમાણુ મોડેલે પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો કે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ ફરે છે,પરંતુ તે પરમાણુની સ્થિરતા અથવા ઇલેક્ટ્રોનના વિતરણને સમજાવી શક્યું ન હતું. તે ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું વર્ણન કરવામાં પણ નિષ્ફળ ગયું હતું. બોહરનું પરમાણુ મોડેલ એવું હતું જેણે ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સફળતાપૂર્વક વર્ણન કર્યું હતું.

(D) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$ છે.
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
કક્ષાનો ક્રમાંક $n = 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{2^2}{3^2} \ J$
$E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{4}{9} \ J$
$E_3 = -2.18 \times 10^{-18} \times 0.4444 \ J$
$E_3 \approx -0.9688 \times 10^{-18} \ J$
$E_3 \approx -9.69 \times 10^{-19} \ J$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_n = -R_H \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
ચોથી કક્ષા માટે,$n = 4$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E_4 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1^2}{4^2} \ J$
$E_4 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1}{16} \ J$
$E_4 = -0.13625 \times 10^{-18} \ J \approx -0.136 \times 10^{-18} \ J$

(D) મોનોપોઝિટિવ $He^{+}$ આયનની પ્રથમ કક્ષા માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ અને કક્ષાનો ક્રમાંક $n = 1$ છે.
$n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર:
$E_n = -2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{Z^2}{n^2} \right) \ J$
$Z = 2$ અને $n = 1$ કિંમતો મૂકતા:
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \left( \frac{2^2}{1^2} \right) \ J$
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times 4 \ J$
$E_1 = -8.72 \times 10^{-18} \ J$

(D) મોનોપોઝિટિવ $He^{+}$ આયનની પ્રથમ કક્ષા માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ અને મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 1$ છે.
કક્ષાની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \left(\frac{Z^2}{n^2}\right) \ J$.
કિંમતો મૂકતા: $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \left(\frac{2^2}{1^2}\right) \ J$.
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times 4 \ J = -8.72 \times 10^{-18} \ J$.

(C) $\text{n}^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = \frac{52.9 \times n^2}{Z} \ pm$ છે।
$He^{+}$ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ અને પ્રથમ કક્ષા માટે $n = 1$ છે।
આ કિંમતો મૂકતા: $r_1 = \frac{52.9 \times (1)^2}{2} \ pm = 26.45 \ pm$.

(B) બોહરના પરમાણુ મોડેલ મુજબ,સ્થિર કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે અને તે નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = mvr = \frac{nh}{2 \pi}$
જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$v$ એ વેગ છે,$r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે $(n = 1, 2, 3, ...)$,અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.

(C) બોહરનું પરમાણુ મોડેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રની હાજરીમાં વર્ણપટ રેખાઓનું વિભાજન (ઝીમેન અસર) સમજાવી શક્યું ન હતું. તેથી,તે ઝીમેન અસર સમજાવે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $r_n = \frac{52.9 \times n^2}{Z} \ pm$.
$Li^{2+}$ આયન માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે।
પ્રથમ કક્ષા માટે, મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 1$ છે।
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $r_1 = \frac{52.9 \times (1)^2}{3} \ pm = 17.63 \ pm$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા માટેનું સૂત્ર: $r_n = \frac{52.9 \times n^2}{Z} \ pm$ છે।
$He^{+}$ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ અને પ્રથમ કક્ષા માટે, $n = 1$ છે।
આ કિંમતો મૂકતા: $r_1 = \frac{52.9 \times (1)^2}{2} \ pm = 26.45 \ pm$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \ pm$ છે।
$Be^{3+}$ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ અને કક્ષાનો ક્રમાંક $n = 4$ છે।
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r_4 = 52.9 \times \frac{4^2}{4} \ pm$
$r_4 = 52.9 \times \frac{16}{4} \ pm$
$r_4 = 52.9 \times 4 \ pm = 211.6 \ pm$.

(D) $Bohr$ નું પરમાણુ મોડેલ રાસાયણિક બંધ દ્વારા અણુઓ બનાવવાની પરમાણુઓની ક્ષમતા સમજાવી શક્યું નથી.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = 52.9 \times \frac{n^2}{Z} \ pm$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
ચોથી કક્ષા માટે, $n = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $r_4 = 52.9 \times \frac{4^2}{1} \ pm$.
$r_4 = 52.9 \times 16 \ pm = 846.4 \ pm$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 a_0$ છે, જ્યાં $a_0$ એ પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R \text{ pm}$ છે, તેથી $a_0 = R \text{ pm}$.
ચોથી કક્ષા $(n = 4)$ માટે, ત્રિજ્યા $r_4 = (4)^2 \times R \text{ pm} = 16 \ R \text{ pm}$ થશે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = \frac{52.9 \times n^2}{Z} \ pm$ છે.
$He^{+}$ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
ત્રીજી કક્ષા માટે, $n = 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r_3 = \frac{52.9 \times (3)^2}{2} \ pm$
$r_3 = \frac{52.9 \times 9}{2} \ pm$
$r_3 = \frac{476.1}{2} \ pm = 238.05 \ pm \approx 238.1 \ pm$.

(C) તરંગ આંક $\bar{\nu}$ ની ગણતરી રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R_{H} (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$
આપેલ છે $n_1 = 1$,$n_2 = 2$,અને $R_{H} = 109677 \ cm^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = 109677 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2})$
$\bar{\nu} = 109677 \times (1 - 0.25) = 109677 \times 0.75$
$\bar{\nu} = 82257.75 \ cm^{-1} \approx 82258 \ cm^{-1}$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -R_H \times \frac{Z^2}{n^2}$ છે.
$Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ અને પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^2}{1^2} \ J$.
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times 9 \ J$.
$E_1 = -19.62 \times 10^{-18} \ J$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
$Be^{3+}$ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ અને પ્રથમ કક્ષા માટે, $n = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $r_1 = 0.529 \times \frac{1^2}{4} \ \mathring{A}$.
$r_1 = 0.529 \times 0.25 \ \mathring{A} = 0.13225 \ \mathring{A}$.
$1 \ \mathring{A} = 100 \ pm$ હોવાથી, $r_1 = 0.13225 \times 100 \ pm = 13.225 \ pm$, જે આશરે $13.23 \ pm$ થાય છે.

$(A)$ હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r_n = a_0 \frac{n^2}{z}$
જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા $(0.529 \ \mathring{A})$ છે, $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક (કક્ષાનો ક્રમ) છે, અને $z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક (કેન્દ્રીય વીજભાર) છે.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,બે સ્થિર અવસ્થાઓ વચ્ચે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ હોય ત્યારે ઉત્સર્જિત અથવા શોષાયેલ વિકિરણની આવૃત્તિ $(v)$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$h v = \Delta E$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આવૃત્તિ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$v = \frac{\Delta E}{h}$

(B) સ્થિર અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_n = -R_H \times \frac{1}{n^2}$
જ્યાં $R_H$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે,જેનું મૂલ્ય $2.18 \times 10^{-18} \ J$ છે.
$n=2$ માટે:
$E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1}{2^2}$
$E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1}{4}$
$E_2 = -0.545 \times 10^{-18} \ J$

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$ છે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછા ઉર્જા તફાવતને અનુરૂપ છે,જે $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણ દરમિયાન થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = 109677 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) \ cm^{-1}$.
$\frac{1}{\lambda} = 109677 \times \frac{3}{4} = 82257.75 \ cm^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{82257.75} \ cm \approx 1.216 \times 10^{-5} \ cm$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ માટે તરંગ આંક $(\bar{\nu})$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R_{H} \times Z^2 \times \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અહીં,$R_{H} = 109677 \ cm^{-1}$,$Z = 1$ (હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે),$n_1 = 2$,અને $n_2 = 5$.
કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = 109677 \times 1^2 \times \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right)$.
$\bar{\nu} = 109677 \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right)$.
$\bar{\nu} = 109677 \times \left( \frac{25 - 4}{100} \right) = 109677 \times \frac{21}{100}$.
$\bar{\nu} = 109677 \times 0.21 = 23032.17 \ cm^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $23032 \ cm^{-1}$ મળે છે.

(B) બામર શ્રેણીમાં સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવતું સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ વચ્ચે થાય છે.
તરંગ આંક માટે રીડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\overline{v} = R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
કિંમતો મૂકતા: $\overline{v} = R_H \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right]$.
$\overline{v} = R_H \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R_H \left[ \frac{9-4}{36} \right] = R_H \left( \frac{5}{36} \right)$.

(A) Lyman શ્રેણી માટે,ઇલેક્ટ્રોન ધરા-સ્થિતિમાં સંક્રમણ કરે છે,તેથી $n_1 = 1$.
Lyman શ્રેણીમાં સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવતી સંક્રાંતિ એ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ સુધીની સંક્રાંતિ છે.
તરંગ આંક $\bar{v}$ માટેનું Rydberg સૂત્ર $\bar{v} = R_{H} \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$ કિંમતો મૂકતા:
$\bar{v} = R_{H} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) \ cm^{-1}$
$\bar{v} = R_{H} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \ cm^{-1}$
$\bar{v} = R_{H} \left( \frac{3}{4} \right) \ cm^{-1}$

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,તરંગ આંક $\bar{\nu}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\bar{\nu} = R_H \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] \ cm^{-1}$
અહીં $n_i = 2$ અને $n_f = 1$ છે:
$\bar{\nu} = 109677 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] \ cm^{-1}$
$\bar{\nu} = 109677 \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] \ cm^{-1}$
$\bar{\nu} = 109677 \left[ \frac{3}{4} \right] \ cm^{-1}$
$\bar{\nu} = 82257.75 \ cm^{-1} \approx 82257.8 \ cm^{-1}$

(A) તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R_{H} [\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}]$
અહીં $n_1 = 2$,$n_2 = 4$,અને $R_{H} = 109677 \ cm^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\bar{\nu} = 109677 [\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}] \ cm^{-1}$
$= 109677 [\frac{1}{4} - \frac{1}{16}] \ cm^{-1}$
$= 109677 [\frac{4-1}{16}] \ cm^{-1}$
$= 109677 [\frac{3}{16}] \ cm^{-1}$
$= 20564.44 \ cm^{-1}$

(A) તરંગ આંક $(\bar{\nu})$ માટેનું સૂત્ર રિડબર્ગ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R_{H} \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] \ cm^{-1}$
અહીં $n_f = 2$,$n_i = 3$,અને $R_{H} = 109677 \ cm^{-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = 109677 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] \ cm^{-1}$
$= 109677 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] \ cm^{-1}$
$= 109677 \left[ \frac{9-4}{36} \right] \ cm^{-1}$
$= 109677 \left[ \frac{5}{36} \right] \ cm^{-1}$
$= 15232.9 \ cm^{-1}$

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_n = -3.4 \ eV$,તેથી $-3.4 = -13.6 / n^2$,જે $n^2 = 4$ આપે છે,એટલે કે $n = 2$.
બોહરના અભિધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = \frac{n h}{2 \pi}$ છે.
$n = 2$ મૂકતા,આપણને $L = \frac{2 h}{2 \pi} = \frac{h}{\pi}$ મળે છે.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $L = \frac{nh}{2\pi}$.
પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{1 \times 6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159}$.
$L = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.28318} \approx 1.0545 \times 10^{-34} \ J \ s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરની અભિધારણા મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત તેવી જ કક્ષાઓમાં પરિભ્રમણ કરે છે કે જેના માટે કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2 \pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$v$ એ વેગ છે,$r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે $(n = 1, 2, 3, ...)$,અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની સ્થિર કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ બોહરના અધિતર્ક મુજબ: $L = mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ છે.
ચોથી કક્ષા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા: $L = \frac{4h}{2 \pi} = \frac{2h}{\pi}$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર:
$E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J$
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ અને પ્રથમ કક્ષા માટે $n = 1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{2^2}{1^2} \ J$
$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times 4 \ J$
$E_1 = -8.72 \times 10^{-18} \ J$

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{th}}$ બોહર કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_n = -\frac{13.6 \times Z^2}{n^2} \text{ eV}$
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
સૂત્રમાં $Z = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E_n = -\frac{13.6 \times (1)^2}{n^2} \text{ eV} = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$.

(A) હાઇડ્રોજનના ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં વર્ણપટ રેખાનો તરંગ આંક $\bar{\nu} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\bar{\nu} = \frac{8}{9} R_H$,તેથી $\frac{8}{9} R_H = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બંને બાજુ $R_H$ વડે ભાગતા,$\frac{8}{9} = \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}$.
જો $n_1 = 1$ લઈએ,તો $\frac{8}{9} = 1 - \frac{1}{n_2^2} \implies \frac{1}{n_2^2} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
તેથી $n_2^2 = 9$,એટલે કે $n_2 = 3$.
આમ,ઇલેક્ટ્રોન $n=3$ થી $n=1$ માં કૂદકો મારે છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
$H$ $(Z=1, n=1)$ ની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$E_1 = -13.6 \times \frac{1^2}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$.
હવે,વિકલ્પો માટે ઉર્જાની ગણતરી કરો:
$A$: $He^{+}$ $(Z=2)$,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$: $E_2 = -13.6 \times \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \text{ eV}$.
આમ,$H$ ની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $He^{+}$ ની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જા સમાન છે.

(C) રધરફોર્ડના $\alpha-$કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગે પરમાણુના કેન્દ્રમાં નાના,ઘન અને ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસના અસ્તિત્વ માટે પુરાવા આપ્યા.
તે તારણ કાઢવામાં આવ્યું કે પરમાણુમાં મોટાભાગની જગ્યા ખાલી છે અને પરમાણુના કદની સરખામણીમાં ન્યુક્લિયસનું કદ ખૂબ જ નાનું છે.
જોકે,ઇલેક્ટ્રોન નિશ્ચિત ઉર્જા ધરાવતા વર્તુળાકાર પથમાં (કક્ષામાં) ફરે છે તે ખ્યાલ નીલ્સ બોહર દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો,રધરફોર્ડ દ્વારા નહીં.
રધરફોર્ડનું મોડેલ પરમાણુની સ્થિરતા સમજાવી શક્યું ન હતું,કારણ કે શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્ર મુજબ ફરતા ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા ગુમાવે અને ન્યુક્લિયસમાં પડી જાય.

(B) $J.J.$ થોમસનના કેથોડ રે ટ્યુબ સાથેના પ્રયોગોએ દર્શાવ્યું કે તમામ પરમાણુઓમાં નાના ઋણ વીજભારિત સબએટોમિક કણો અથવા ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
થોમસને પરમાણુનું પ્લમ પુડિંગ મોડેલ પ્રસ્તાવિત કર્યું,જે જણાવે છે કે ધન વીજભાર સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે અને ઇલેક્ટ્રોન તેમાં જડિત છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) $I$) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થામાં $(n=1)$ ઊર્જા $E_n = -13.6 \ eV / n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $n=1$ માટે,$E_1 = -13.6 \ eV$. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
$II$) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 52.9 \times n^2 / Z \ pm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $H$ $(Z=1)$ અને $n=3$ માટે,$r_3 = 52.9 \times 3^2 / 1 = 476.1 \ pm$. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
$III$) પ્રથમ કક્ષાની $(n=1)$ ત્રિજ્યા $r_1 = 52.9 \times (1^2 / Z) \ pm$ છે. જેમ $Z$ વધે છે,તેમ $r_1$ ઘટે છે. પરમાણુ ક્રમાંક $H(1), He^{+}(2), Li^{2+}(3), Be^{3+}(4)$ છે. તેથી,ત્રિજ્યાનો ક્રમ $H > He^{+} > Li^{2+} > Be^{3+}$ છે. તેથી,વિધાન $III$ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: $I$ અને $III$ સાચા છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા $(52.9 \text{ pm})$ છે।
$H$ પરમાણુ માટે $(Z=1)$: $x = r_3 - r_2 = a_0 \times (3^2 - 2^2) / 1 = a_0 \times (9 - 4) = 5a_0$.
$Li^{2+}$ આયન માટે $(Z=3)$: $y = r_4 - r_3 = a_0 \times (4^2 - 3^2) / 3 = a_0 \times (16 - 9) / 3 = \frac{7}{3}a_0$.
ગુણોત્તર $y:x = (\frac{7}{3}a_0) : (5a_0) = \frac{7}{3} : 5 = 7 : 15$.