Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(C) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\lambda = \frac{hc}{\Delta E})$.
સૌથી ઓછી તરંગલંબાઇ મેળવવા માટે,આપણે સૌથી વધુ ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ધરાવતું સંક્રમણ પસંદ કરવું પડે.
સંક્રમણોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $n_2=\infty$ થી $n_1=2$: $\Delta E \propto 0.25$
$(B)$ $n_2=4$ થી $n_1=3$: $\Delta E \propto 0.0486$
$(C)$ $n_2=2$ થી $n_1=1$: $\Delta E \propto 0.75$
$(D)$ $n_2=5$ થી $n_1=3$: $\Delta E \propto 0.0711$
સંક્રમણ $n_2=2$ થી $n_1=1$ સૌથી વધુ ઉર્જા તફાવત ધરાવે છે,તેથી તે સૌથી ઓછી તરંગલંબાઇનું વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે.

(C) લાયમન શ્રેણી માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$,જ્યાં $n_1 = 1$.
આપેલ છે કે $\lambda = \frac{16}{15 R}$,તેથી $\frac{1}{\lambda} = \frac{15 R}{16}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{15 R}{16} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા: $\frac{15}{16} = 1 - \frac{1}{n_2^2}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{n_2^2} = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$n_2^2 = 16$,જે $n_2 = 4$ આપે છે.

(D) . રિડબર્ગ અચળાંક $(R_H)$ નો એકમ $cm^{-1}$ અથવા $m^{-1}$ છે,અને તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$ નો એકમ પણ $cm^{-1}$ અથવા $m^{-1}$ છે. તેથી,આ વિધાન સાચું છે.
$B$. લાયમન શ્રેણી $n=1$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે,જે અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તારમાં આવે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$C$. બોહરના અભિધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે. ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માટે,કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2\pi}$ છે. આ વિધાન સાચું છે.
$D$. હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $0.529 \times 10^{-8} \ cm$ (અથવા $0.529 \ \mathring{A}$) છે. વિકલ્પમાં આપેલી કિંમત $(2116 \times 10^{-8} \ cm)$ ખોટી છે.

(B) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{310 \times 10^{-9}} \approx 6.416 \times 10^{-19} \ J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $E = \frac{6.416 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 4.01 \ eV$.
ગતિજ ઉર્જા $K.E. = E - \Phi = 4.01 \ eV - 3.55 \ eV = 0.46 \ eV$.
$K.E. = 0.46 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 0.736 \times 10^{-19} \ J$.
$K.E. = \frac{1}{2} m_e v^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.736 \times 10^{-19} = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-31} \times v^2$.
$v^2 = \frac{1.472 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-31}} \approx 0.1635 \times 10^{12} = 16.35 \times 10^{10}$.
$v \approx 4.04 \times 10^5 \ ms^{-1}$.
આમ,$x \approx 4$.

(D) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઈને મીટરમાં ફેરવતા: $\lambda = 331.5 \times 10^{-9} \ m$.
ફોટોન દીઠ ઊર્જા: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{331.5 \times 10^{-9}} = 6 \times 10^{-19} \ J$.
મોલ દીઠ ઊર્જા: $E_{mol} = E \times N_A = 6 \times 10^{-19} \times 6 \times 10^{23} = 3.6 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $E_{mol} = W + KE_{mol}$,જ્યાં $W$ એ કાર્ય વિધેય છે.
$W = 3.6 \times 10^5 - 1.2 \times 10^5 = 2.4 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$.
પરમાણુ દીઠ $eV$ માં ફેરવવા માટે: $W_{eV} = \frac{2.4 \times 10^5}{6 \times 10^{23} \times 1.6 \times 10^{-19}} = \frac{2.4 \times 10^5}{9.6 \times 10^4} = 2.5 \ eV$.

(B) આપેલ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ,$\nu_0 = 1.0 \times 10^{15} \ s^{-1}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E._{max})$ એ $K.E._{max} = h(\nu - \nu_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે.
$\nu_1 = 1.5 \times 10^{15} \ s^{-1}$ માટે:
$K.E._1 = h(1.5 \times 10^{15} - 1.0 \times 10^{15}) = h(0.5 \times 10^{15})$.
$\nu_2 = 2.0 \times 10^{15} \ s^{-1}$ માટે:
$K.E._2 = h(2.0 \times 10^{15} - 1.0 \times 10^{15}) = h(1.0 \times 10^{15})$.
મહત્તમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{h(0.5 \times 10^{15})}{h(1.0 \times 10^{15})} = \frac{0.5}{1.0} = 1:2$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ બોહરના અધિતર્ક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = \frac{nh}{2\pi}$
ભૂમિ અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{1 \times 6.625 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159} \ J \ s$
$L \approx \frac{6.625 \times 10^{-34}}{6.283} \ J \ s$
$L \approx 1.0545 \times 10^{-34} \ J \ s$
વિકલ્પો સાથે મેળવવા માટે,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$1.0545 \times 10^{-34} = 1055 \times 10^{-37} \ J \ s$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) પાવર $(P) = 100 \ W = 100 \ J \cdot s^{-1}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $(n) = 2.0 \times 10^{20} \ s^{-1}$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $(E) = \frac{hc}{\lambda}$.
કુલ ઉત્સર્જિત પાવર $P = n \times E = n \times \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $100 = \frac{2.0 \times 10^{20} \times 6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{2.0 \times 6.63 \times 3 \times 10^{20-34+8}}{100} \ m$.
$\lambda = \frac{39.78 \times 10^{-6}}{100} \ m = 39.78 \times 10^{-8} \ m$.
$\mathring{A}$ માં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 39.78 \times 10^{-8} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 3978 \ \mathring{A}$.
આમ,$x = 3978$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E._{\max})$ નીચે મુજબ છે:
$K.E._{\max} = hv - \phi$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K.E._{\max} = eV_0$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,આપણે તેને ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$eV_0 = hv - \phi$
બંને બાજુને ઈલેક્ટ્રોનના વીજભાર $(e)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$V_0 = \frac{hv}{e} - \frac{\phi}{e}$
આ સમીકરણ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ અને આવૃત્તિ $(v)$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે.

(A) Lyman શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_2$ થી $n_1 = 1$ માં થાય છે. Rydberg સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
સૌથી વધુ તરંગલંબાઇ (ઓછી ઉર્જા) માટે,સંક્રમણ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ માં થાય છે: $\frac{1}{\lambda_{max}} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4} R_H$,તેથી $\lambda_{max} = \frac{4}{3 R_H}$.
સૌથી ઓછી તરંગલંબાઇ (વધુ ઉર્જા) માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ માં થાય છે: $\frac{1}{\lambda_{min}} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R_H$,તેથી $\lambda_{min} = \frac{1}{R_H}$.
સૌથી વધુ તરંગલંબાઇ અને સૌથી ઓછી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = \frac{4 / (3 R_H)}{1 / R_H} = \frac{4}{3}$ છે.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના સંદર્ભમાં,વિકલ્પ-$(C)$ નું વિધાન સાચું નથી.
કારણ કે,પ્રકાશનું કિરણ સપાટી પર અથડાય કે તરત જ ધાતુની સપાટીમાંથી ઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે,એટલે કે તેમાં કોઈ સમયનો વિલંબ હોતો નથી.

(A) આપેલ છે,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(KE) = 1.986 \times 10^{-19} \ J$.
વિકિરણની આવૃત્તિ $(\nu) = 1.0 \times 10^{15} \ s^{-1}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $(h) = 6.62 \times 10^{-34} \ J \ s$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના સમીકરણ મુજબ: $h\nu = h\nu_0 + KE$,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
$\nu_0$ માટે ગોઠવતા: $h\nu_0 = h\nu - KE$.
$\nu_0 = \nu - \frac{KE}{h}$.
કિંમતો મૂકતા: $\nu_0 = 1.0 \times 10^{15} \ s^{-1} - \frac{1.986 \times 10^{-19} \ J}{6.62 \times 10^{-34} \ J \ s}$.
$\nu_0 = 1.0 \times 10^{15} \ s^{-1} - 0.3 \times 10^{15} \ s^{-1}$.
$\nu_0 = 0.7 \times 10^{15} \ s^{-1} = 7.0 \times 10^{14} \ s^{-1}$.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે અને તે $L = n \frac{h}{2 \pi}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે $(n = 1, 2, 3, \dots)$.
આને $L = \frac{n}{2} \cdot \frac{h}{\pi}$ તરીકે લખી શકાય.
$n = 1$ માટે,$L = 0.5 \frac{h}{\pi}$.
$n = 2$ માટે,$L = 1.0 \frac{h}{\pi}$.
$n = 3$ માટે,$L = 1.5 \frac{h}{\pi}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$1.25 \frac{h}{\pi}$ એ $n$ ના કોઈ પૂર્ણાંક મૂલ્યને અનુરૂપ નથી,તેથી તે માન્ય મૂલ્ય નથી.

(A) $1 \ mol$ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(KE)$ $6.023 \times 10^4 \ J$ છે.
$1 \ mol = 6.023 \times 10^{23} \ \text{પરમાણુઓ}$ હોવાથી,$1 \ \text{ઇલેક્ટ્રોન}$ ની $KE$:
$KE = \frac{6.023 \times 10^4 \ J}{6.023 \times 10^{23}} = 1.0 \times 10^{-19} \ J$.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{600 \times 10^{-9} \ m} = 3.313 \times 10^{-19} \ J$.
થ્રેશોલ્ડ ઊર્જા $(Phi)$ એ આપાત ફોટોન ઊર્જા અને ગતિઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Phi = E - KE = 3.313 \times 10^{-19} \ J - 1.0 \times 10^{-19} \ J = 2.313 \times 10^{-19} \ J$.

(A) આપેલ છે: $E = 3 \times 10^{-12} \ erg$,$h = 6.62 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$,$c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$.
સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = \frac{hc}{E}$.
$\lambda = \frac{6.62 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^{10}}{3 \times 10^{-12}} \ cm$.
$\lambda = 6.62 \times 10^{-5} \ cm$.
કારણ કે $1 \ cm = 10^7 \ nm$,તેથી $\lambda = 6.62 \times 10^{-5} \times 10^7 \ nm = 6.62 \times 10^2 \ nm = 662 \ nm$.

(A) ફોટોનની ઉર્જા $E$ એ $E = h \nu = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\lambda = 2000 \ \text{Å} = 2000 \times 10^{-8} \ \text{cm} = 2 \times 10^{-5} \ \text{cm}$.
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^{10} \ \text{cm/s}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-27} \ \text{erg} \cdot \text{s}$.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^{10}}{2 \times 10^{-5}} = 1.5 \times 10^{15} \ \text{s}^{-1}$.
ઉર્જા $E = h \nu = (6.626 \times 10^{-27} \ \text{erg} \cdot \text{s}) \times (1.5 \times 10^{15} \ \text{s}^{-1}) \approx 9.94 \times 10^{-12} \ \text{erg}$.

(C) ક્વોન્ટાઇઝેશન એટલે ભૌતિક રાશિઓનું સતત મૂલ્યને બદલે ચોક્કસ,અલગ મૂલ્યો સુધી મર્યાદિત હોવું.
દાદરના કિસ્સામાં,વ્યક્તિ માત્ર ચોક્કસ પગથિયાં પર જ ઊભી રહી શકે છે ($1^{st}, 2^{nd}, 3^{rd}$,વગેરે),જે પરમાણુમાં અલગ-અલગ ઉર્જા સ્તરોને અનુરૂપ છે.
તેનાથી વિપરીત,રસ્તા પરની કાર,પડતું સફરજન અથવા ફેંકવામાં આવેલી ડિસ્ક સતત ગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જ્યાં કોઈપણ સ્થાન અથવા વેગ શક્ય છે.
તેથી,દાદરના પગથિયાં પર ઊભા રહેવું એ ઇલેક્ટ્રોનના ક્વોન્ટાઇઝ્ડ ઉર્જા સ્તરો માટે શ્રેષ્ઠ સામ્યતા છે.

(C) $h \nu / K_{B}$ રાશિ તાપમાનને અનુરૂપ છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{3}{2} K_{B} T$ છે.
ઊર્જાના ક્વોન્ટમ $h \nu$ ને તાપીય ઊર્જા $K_{B} T$ સાથે સરખાવતા,$h \nu = K_{B} T$ મળે છે.
આમ,$\frac{h \nu}{K_{B}} = T$.
તેથી,$\frac{h \nu}{K_{B}}$ રાશિ તાપમાનના પરિમાણ ધરાવે છે.
આથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = v_0 \frac{Z}{n}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $n$ એ કક્ષાનો ક્રમ છે.
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માટે,વેગ $v_1 = v_0 \frac{2}{1} = 2v_0$ છે.
ત્રીજી કક્ષા $(n=3)$ માટે,વેગ $v_3 = v_0 \frac{2}{3} = \frac{2}{3}v_0$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $v_3 : v_1 = \frac{2}{3}v_0 : 2v_0 = \frac{1}{3} : 1 = 1 : 3$ થાય.

(B) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $1^{st}$ બોહર કક્ષા માટે $(n=1, Z=1)$: $r = 0.529 \times \frac{1^2}{1} = 0.529 \mathring{A}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$Be^{3+}$ $(Z=4)$ માટે $n=2$ લેતા: $r = 0.529 \times \frac{2^2}{4} = 0.529 \times \frac{4}{4} = 0.529 \mathring{A}$.
આમ,$Be^{3+}$ ની $2^{nd}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા હાઇડ્રોજનની $1^{st}$ કક્ષા જેટલી જ છે.

(D) બોહર મોડેલમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે ધરા અવસ્થામાં $(n=1)$: $r_1 = a_0 \times \frac{1^2}{1} = a_0$.
$He^{+}$ આયન $(Z=2)$ માટે ધરા અવસ્થામાં $(n=1)$: $r_2 = a_0 \times \frac{1^2}{2} = \frac{a_0}{2}$.
કારણ કે $r_1 = a_0$,તેથી $r_2 = \frac{r_1}{2}$.
તેથી,$\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_n = 2.188 \times 10^8 \times \frac{Z}{n} \ cm \ s^{-1}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોહર કક્ષા માટે,$Z = 1$ અને $n = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $v_1 = 2.188 \times 10^8 \times \frac{1}{1} \ cm \ s^{-1} = 2.188 \times 10^8 \ cm \ s^{-1}$.

(C) એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર એ કક્ષાનો પરિઘ છે,જે $2 \pi r$ છે.
વેગ $(v)$ એ અંતર અને સમય $(T)$ નો ગુણોત્તર છે: $v = \frac{2 \pi r}{T}$.
બોહરના અભિધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ છે,જે $v = \frac{nh}{2 \pi mr}$ આપે છે.
વેગ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2 \pi r}{T} = \frac{nh}{2 \pi mr}$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{2 \pi r \times 2 \pi mr}{nh} = \frac{4 \pi^2 m r^2}{nh}$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે આયનીકરણ ઉર્જા $(IE)$ નું સૂત્ર: $IE_n = 13.6 \times Z^2 / n^2 \ eV$ છે.
$He$ ના દ્વિતીય આયનીકરણ $(He^+ \rightarrow He^{2+} + e^-)$ માટે,ઇલેક્ટ્રોન $He^+$ આયનની $n=1$ કક્ષામાંથી દૂર થાય છે,જેનો પરમાણુ ક્રમાંક $Z=2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $IE = 13.6 \times (2^2 / 1^2) \ eV = 13.6 \times 4 \ eV = 54.4 \ eV$.

(B) સોમરફેલ્ડે હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાઓની ઝીણી રચના સમજાવવા માટે લંબગોળ કક્ષાઓ રજૂ કરી હતી. તેમના મોડેલ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસને એક કેન્દ્રમાં રાખીને લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે. આ ગતિપથ એક બંધ લંબગોળ જેવો વળાંક છે,જે પેરિહેલિયન (ન્યુક્લિયસથી સૌથી નજીકનું બિંદુ) પર સાંકડો અને એફેલિયન (ન્યુક્લિયસથી સૌથી દૂરનું બિંદુ) પર સપાટ હોય છે.

(D) $1885$ માં,જોહાન બામરે સૌપ્રથમ દર્શાવ્યું હતું કે હાઇડ્રોજન વર્ણપટના દ્રશ્ય વિભાગમાં હાજર વર્ણપટ રેખાઓના તરંગ આંક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\bar{v} (cm^{-1}) = 109677 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$
અહીં,$n = 3, 4, 5, \dots$
આમ,હાઇડ્રોજનનો બામર વર્ણપટ સૌપ્રથમ શોધાયો હતો અને તે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના દ્રશ્ય વિભાગમાં આવે છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$Li^{2+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે $n = 2$ લેવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $E_2 = -13.6 \times \frac{3^2}{2^2} \ eV$.
$E_2 = -13.6 \times \frac{9}{4} \ eV$.
$E_2 = -13.6 \times 2.25 \ eV = -30.6 \ eV$.

(A) તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = Z^2 \cdot R_H \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
$n=2$ થી $n=1$ ના સંક્રમણ માટે: $\frac{1}{\lambda} = Z^2 \cdot R_H \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = Z^2 \cdot R_H \left( \frac{3}{4} \right)$
આ દર્શાવે છે કે $\lambda = \frac{4}{3 Z^2 R_H}$,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ મેળવવા માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
આપેલ સ્પીસીઝ: $H$ $(Z=1)$,$He^{+}$ $(Z=2)$,અને $Li^{2+}$ $(Z=3)$.
$Li^{2+}$ નો $Z$ સૌથી વધુ હોવાથી,તે સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ ઉત્પન્ન કરશે.

(C) હાઇડ્રોજન વર્ણપટ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\Delta E = R h c \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોમાંથી ત્રીજા ઉર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરે છે.
તેથી,$n_1$ નું મૂલ્ય $3$ છે અને $n_2$ એ $3$ કરતા મોટી કોઈપણ પૂર્ણાંક સંખ્યા હોઈ શકે છે,એટલે કે $n_2 = 4, 5, 6, \dots$.

(A) $N$ મોલ ફોટોન માટે કુલ ઉર્જા $E = N_A \times h \times \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,અને $\nu = 2500 \ s^{-1}$.
$E = (6.022 \times 10^{23}) \times (6.626 \times 10^{-34}) \times 2500 \ J$.
$E \approx 9.97 \times 10^{-7} \ J$.
$1 \ J = 10^7 \ erg$ હોવાથી,$E \approx 9.97 \times 10^{-7} \times 10^7 \ erg = 9.97 \ erg \approx 10 \ erg$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$KE_{max} = E - \phi$.
આપેલ છે કે વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર $\phi_A : \phi_B = 1:2$ છે,તેથી ધારો કે $\phi_A = \phi$ અને $\phi_B = 2\phi$.
ધાતુ $M_A$ માટે: $(KE_{max})_A = 6 - \phi$.
ધાતુ $M_B$ માટે: $(KE_{max})_B = 6 - 2\phi$.
ગતિજ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(KE_{max})_A}{(KE_{max})_B} = \frac{2.642}{1}$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{6 - \phi}{6 - 2\phi} = 2.642$.
$6 - \phi = 2.642(6 - 2\phi)$.
$6 - \phi = 15.852 - 5.284\phi$.
$4.284\phi = 9.852$.
$\phi \approx 2.3 \ eV$.
તેથી,$\phi_A = 2.3 \ eV$ અને $\phi_B = 4.6 \ eV$.

(D) ધારો કે $n_1$ એ નીચું ઉર્જા સ્તર છે અને $n_2$ એ ઊંચું ઉર્જા સ્તર છે.
આપેલ છે: $n_1 + n_2 = 4$ અને $n_2 - n_1 = 2$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2n_2 = 6 \implies n_2 = 3$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2n_1 = 2 \implies n_1 = 1$.
રિડબર્ગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$Li^{2+}$ માટે,$Z = 3$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R_H (3)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = 9 R_H \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = 9 R_H \left( \frac{8}{9} \right) = 8 R_H$.
$\lambda = \frac{1}{8 R_H}$.
$R_H \approx 1.1 \times 10^5 \ cm^{-1}$ લેતા:
$\lambda = \frac{1}{8 \times 1.1 \times 10^5} \ cm \approx 1.14 \times 10^{-6} \ cm$.

(D) સ્થિર અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_{n} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^{2}}{n^{2}} \ J/atom$.
$Li^{2+}$ આયન $(Z=3)$ ની $3^{rd}$ કક્ષા $(n=3)$ માટે:
$E_{3} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{3^{2}}{3^{2}} = -2.18 \times 10^{-18} \ J$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) બામર શ્રેણી માટે,તરંગ આંક $\bar{v}$ નું સૂત્ર: $\bar{v} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
$n = 3$ માટે: $\bar{v} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{5R}{36}$
$n = 4$ માટે: $\bar{v} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$
$n = 5$ માટે: $\bar{v} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right] = \frac{21R}{100}$
આમ,વર્ણપટ રેખાઓનો સમૂહ $\frac{5R}{36}, \frac{3R}{16}, \frac{21R}{100}$ છે.

(B) સ્પેક્ટ્રલ રેખાની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \times Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવતી રેખા $(L_1)$ એ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે: $\Delta E(L_1) = 13.6 \times 1^2 (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
બામર શ્રેણી માટે,સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવતી રેખા $(B_1)$ એ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે: $\Delta E(B_1) = 13.6 \times 1^2 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = 13.6 \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = 13.6 \times \frac{5}{36} \text{ eV}$.
આપેલ છે કે $\Delta E(L_1) = x \times \Delta E(B_1)$,તેથી $x = \frac{\Delta E(L_1)}{\Delta E(B_1)} = \frac{3/4}{5/36} = \frac{3}{4} \times \frac{36}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$.
$x$ ને $x \times 10^{-1}$ તરીકે દર્શાવવા માટે,$5.4 = 54 \times 10^{-1}$.
તેથી,મૂલ્ય $54$ છે.

(D) વર્ણપટ રેખાની ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. હાઇડ્રોજન $(Z=1)$ માટે,$\Delta E \propto (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.

$A$. પાશ્ચન ($1^{st}$ રેખા)	$n_1=3, n_2=4 \rightarrow \Delta E \propto (\frac{1}{9} - \frac{1}{16}) = \frac{7}{144} \approx 0.0486$
$B$. બામર ($2^{nd}$ રેખા)	$n_1=2, n_2=4 \rightarrow \Delta E \propto (\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = \frac{3}{16} = 0.1875$
$C$. પાશ્ચન ($3^{rd}$ રેખા)	$n_1=3, n_2=6 \rightarrow \Delta E \propto (\frac{1}{9} - \frac{1}{36}) = \frac{3}{36} = 0.0833$
$D$. બ્રેકેટ ($4^{th}$ રેખા)	$n_1=4, n_2=8 \rightarrow \Delta E \propto (\frac{1}{16} - \frac{1}{64}) = \frac{3}{64} = 0.0468$

મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $0.0468 (D) < 0.0486 (A) < 0.0833 (C) < 0.1875 (B)$.
તેથી,સાચો ચડતો ક્રમ $D < A < C < B$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં સંક્રમણની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ બામર રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ છે:
$x = 13.6 \times (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \quad \dots(i)$
બીજી બામર રેખા માટે,સંક્રમણ $n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$ છે:
$\Delta E = 13.6 \times (1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{3}{16} \right) \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\Delta E}{x} = \frac{3/16}{5/36} = \frac{3}{16} \times \frac{36}{5} = 1.35$
તેથી,$\Delta E = 1.35x$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_{n} = -R_{H} \times \frac{Z^{2}}{n^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે પ્રથમ $(n=1)$ અને બીજી $(n=2)$ કક્ષા વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_{2} - E_{1} = R_{H} \times \left[ \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} \right]$ છે.
આપેલ છે $R_{H} = 2.18 \times 10^{-11} \ ergs = 2.18 \times 10^{-18} \ J$.
$\Delta E = 2.18 \times 10^{-18} \times \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = 2.18 \times 10^{-18} \times 0.75 = 1.635 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$.
$J \ mol^{-1}$ માં રૂપાંતર કરવા માટે,એવોગેડ્રો આંક $(N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ વડે ગુણો:
$\Delta E = 1.635 \times 10^{-18} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 9.846 \times 10^{5} \ J \ mol^{-1}$.
આપેલ વિકલ્પ મુજબ,સાચો જવાબ $9.835 \times 10^{5} \ J \ mol^{-1}$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની આયનીકરણ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = E_H \times Z^2 / n^2$ છે,જ્યાં $E_H$ એ ધરા-સ્થિતિમાં હાઇડ્રોજન પરમાણુની આયનીકરણ ઉર્જા $(2.18 \times 10^{-18} \text{ J atom}^{-1})$ છે,$Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
પ્રક્રિયા $Li^{2+}(g) \to Li^{3+}(g) + e^-$ માટે,ઇલેક્ટ્રોન લિથિયમ આયન $(Li^{2+})$ ની $n=1$ કક્ષામાંથી દૂર થાય છે.
લિથિયમ $(Li)$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = 2.18 \times 10^{-18} \times (3)^2 / (1)^2$
$E = 2.18 \times 10^{-18} \times 9$
$E = 1.962 \times 10^{-17} \text{ J atom}^{-1}$.

(B) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 \cdot n^2 / Z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
આપણે દરેક સ્પીસીઝ માટે $n^2 / Z$ ગુણોત્તરની સરખામણી કરીએ છીએ:
$A$. $H$ (પ્રથમ કક્ષા): $n=1, Z=1 \implies n^2/Z = 1^2/1 = 1$
$B$. $He^+$ (પ્રથમ કક્ષા): $n=1, Z=2 \implies n^2/Z = 1^2/2 = 0.5$
$C$. $He^+$ (દ્વિતીય કક્ષા): $n=2, Z=2 \implies n^2/Z = 2^2/2 = 2$
$D$. $Li^{2+}$ (પ્રથમ કક્ષા): $n=1, Z=3 \implies n^2/Z = 1^2/3 = 0.33$
$E$. $Be^{3+}$ (દ્વિતીય કક્ષા): $n=2, Z=4 \implies n^2/Z = 2^2/4 = 1$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,સ્પીસીઝ $A$ અને $E$ બંનેનો ગુણોત્તર $1$ છે. તેથી,તેમની ત્રિજ્યા સમાન છે.

(B) તરંગ સંખ્યા રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R_H Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
$H$ પરમાણુ માટે,$Z = 1$.
બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$. તેથી,$\bar{\nu}_B = R_H (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = R_H (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = R_H (\frac{9-4}{36}) = R_H (\frac{5}{36})$.
બ્રેકેટ શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 4$ અને $n_2 = 5$. તેથી,$\bar{\nu}_{Br} = R_H (\frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2}) = R_H (\frac{1}{16} - \frac{1}{25}) = R_H (\frac{25-16}{400}) = R_H (\frac{9}{400})$.
ગુણોત્તર $\frac{\bar{\nu}_B}{\bar{\nu}_{Br}} = \frac{R_H (5/36)}{R_H (9/400)} = \frac{5}{36} \times \frac{400}{9} = \frac{5 \times 100}{9 \times 9} = \frac{500}{81}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા,$\frac{500}{81} \approx 6.1728$.
વિકલ્પ $B$ સાથે સરખાવતા,$\frac{5}{0.81} = \frac{500}{81} \approx 6.1728$. તેથી,સાચો ગુણોત્તર $5 : 0.81$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ ની લાયમન શ્રેણી માટે,ટૂંકામાં ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/\lambda = R Z^2 (1/n_1^2 - 1/n_2^2)$.
$1/x = R(1)^2 (1/1^2 - 1/\infty^2) = R$.
તેથી,$x = 1/R$.
$He^+$ $(Z=2)$ ની બામર શ્રેણી માટે,લાંબામાં લાંબી તરંગલંબાઇ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે.
$1/\lambda' = R Z^2 (1/n_1^2 - 1/n_2^2) = R(2)^2 (1/2^2 - 1/3^2)$.
$1/\lambda' = 4R (1/4 - 1/9) = 4R (5/36) = 5R/9$.
$R = 1/x$ મૂકતા:
$1/\lambda' = 5/(9x)$.
આમ,$\lambda' = 9x/5$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે બોહર ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0 = 52.9 \text{ pm}$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુની બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
આપેલ છે કે $r_n = 70.53 \text{ pm}$,તેથી $70.53 = 52.9 \times \frac{n^2}{Z}$.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{n^2}{Z} = \frac{70.53}{52.9} = 1.333... = \frac{4}{3}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $D$ માટે: $Li^{2+}$ માટે $Z = 3$ છે. જો $n = 2$ લઈએ,તો $\frac{n^2}{Z} = \frac{2^2}{3} = \frac{4}{3}$ થાય.
આ ગણતરી કરેલા ગુણોત્તર સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,સ્પીસીઝ $Li^{2+}$ છે અને સ્થિર અવસ્થા $n = 2$ છે.

(D) ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = \phi + K.E.$
પ્રથમ,કાર્ય વિધેય $\phi$ ને eV માંથી જૂલમાં રૂપાંતરિત કરો: $\phi = 2.3 \text{ eV} = 2.3 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ J} \approx 3.6846 \times 10^{-19} \text{ J}$.
આપેલ ગતિઊર્જા $K.E. = 2.8 \times 10^{-20} \text{ J} = 0.28 \times 10^{-19} \text{ J}$.
આપાત વિકિરણની કુલ ઊર્જા $E = 3.6846 \times 10^{-19} + 0.28 \times 10^{-19} = 3.9646 \times 10^{-19} \text{ J}$.
સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$ અને $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$:
$\lambda = \frac{hc}{E} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{3.9646 \times 10^{-19}} \approx 5.01 \times 10^{-7} \text{ m} = 501 \text{ nm}$.
આપેલ ફોર્મેટ મુજબ નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$x = 5$,તેથી $x = 5 \times 10^2$ nm.