Uncertainty principle and Schrodinger wave equation Questions in Gujarati

(D) સાચો જવાબ $(D)$ છે.
બોહરનું મોડેલ ધારે છે કે ઇલેક્ટ્રોન ચોક્કસ ત્રિજ્યા અને વેગ સાથેની સુનિશ્ચિત વર્તુળાકાર કક્ષાઓમાં ફરે છે.
વિધાન $(D)$ હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતનું વર્ણન કરે છે,જે જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોનનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગ એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
આ સિદ્ધાંત બોહર મોડેલની સુનિશ્ચિત કક્ષાઓની ધારણાથી વિપરીત છે.

(C) પરમાણુના બોહર મોડેલનો વિરોધાભાસ હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત દ્વારા થાય છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ,પરમાણુમાં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રથી ચોક્કસ અંતરે અને ચોક્કસ વેગ સાથે નિશ્ચિત વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરે છે.
જોકે,હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણનું સ્થાન અને વેગમાન (અથવા વેગ) એકસાથે ચોકસાઈપૂર્વક નક્કી કરવું અશક્ય છે.

(B) અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત હાઈઝનબર્ગ દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો.

(B) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સૂક્ષ્મ કણના સ્થાન અને વેગમાન બંનેને એકસાથે ચોકસાઈપૂર્વક નક્કી કરવા અશક્ય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\Delta x \times \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta x$ એ સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા છે,$\Delta p$ એ વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા છે,અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન જેવા અણુ કણનું ચોક્કસ સ્થાન અને વેગમાન (જે વેગ સાથે સંબંધિત છે) એકસાથે નક્કી કરી શકાતા નથી.
તેનું ગાણિતિક સૂત્ર છે: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$

(C) હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે પરમાણુની અંદર રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થાન અને વેગમાન બંને એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
ગાણિતિક રીતે,સ્થાન અને વેગમાનમાં રહેલી અનિશ્ચિતતાઓનો ગુણાકાર એ અચળાંક $\frac{h}{4\pi}$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોય છે.
સમીકરણ $\Delta x \times \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ છે,જ્યાં:
$\Delta x$ = સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા
$\Delta p$ = વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા
$h$ = પ્લાન્કનો અચળાંક

(C) સંબંધ $\Delta x \times \Delta p = \frac{h}{4\pi}$ એ હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતનું સાચું નિરૂપણ નથી.
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ નો ગુણાકાર હંમેશા $\frac{h}{4\pi}$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોય છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $\Delta x \times \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ છે.

(B) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણનું ચોક્કસ સ્થાન અને વેગમાન એકસાથે સંપૂર્ણ ચોકસાઈથી નક્કી કરવું અશક્ય છે. આ સિદ્ધાંત સંબંધ $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(D) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$.
જો સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta x = 0$ હોય,તો $\Delta p \ge \frac{h}{4\pi \cdot 0}$.
તેથી,વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta p$ અનંત બને છે.

(D) ઓસ્ટ્રિયન ભૌતિકશાસ્ત્રી ઇરવિન શ્રોડિંજરે તરંગ સમીકરણ આપ્યું,જે અણુઓમાં ઇલેક્ટ્રોનની વર્તણૂકનું વર્ણન કરે છે.
આ સમીકરણ અવકાશના ચોક્કસ વિસ્તારમાં ઇલેક્ટ્રોન શોધવાની સંભાવના ઘનતાની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે,જે ઓર્બિટલના ખ્યાલ તરફ દોરી જાય છે.

(D) હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોનનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
આનાથી અવકાશના ચોક્કસ વિસ્તારમાં ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવનાનો ખ્યાલ આવે છે.
આ વિસ્તારને કક્ષક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વધુમાં,તરંગ વિધેયનો વર્ગ,$\Psi^2$,ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના ઘનતા દર્શાવે છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિકલ્પો અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત અને તરંગ યંત્રશાસ્ત્રમાંથી ઉતરી આવેલા પરિણામો અથવા સંબંધિત ખ્યાલો છે.

(A) $1927$ માં,વર્નર હાઇઝનબર્ગે હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત રજૂ કર્યો,જે જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
$1924$ માં,લુઈસ ડી બ્રોગ્લીએ દ્રવ્યની તરંગ પ્રકૃતિનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો,જેમાં સૂચવ્યું કે તમામ દ્રવ્ય દ્વૈત વર્તણૂક દર્શાવે છે,જે કણ અને તરંગ બંને તરીકે કાર્ય કરે છે.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
આપેલ છે કે $\Delta p = 1 \times 10^{-5} \ kg \ m/s$ અને $h = 6.62 \times 10^{-34} \ kg \ m^2/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{h}{4\pi \times \Delta p}$.
$\Delta x = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 1 \times 10^{-5}}$.
$\Delta x = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{12.566 \times 10^{-5}} \approx 5.27 \times 10^{-30} \ m$.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \times \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$.
$\Delta p = m \times \Delta v$ હોવાથી,સૂત્ર $\Delta v = \frac{h}{4 \pi \times m \times \Delta x}$ બને છે.
આપેલ છે: $m = 10 \ g = 0.01 \ kg$,$\Delta x = 10^{-5} \ m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 0.01 \times 10^{-5}}$.
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.2566 \times 10^{-6}} \approx 5.27 \times 10^{-28} \ m/s$.

(B) સમીકરણ $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ એ હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત દર્શાવે છે.
આ સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈ પણ અણુના કણનું સ્થાન અને વેગમાન બંને એકસાથે ચોકસાઈપૂર્વક નક્કી કરવું અશક્ય છે.
સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ નો ગુણાકાર હંમેશા $\frac{h}{4\pi}$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોય છે.

(B) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \times m \times \Delta v \geq \frac{h}{4\pi}$.
આપેલ છે: $\Delta x = 10^{-5} \ m$,$m = 0.25 \ g$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$.
વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v$ માટે સૂત્ર: $\Delta v = \frac{h}{4 \times \pi \times \Delta x \times m}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 10^{-5} \times 0.25} = 2.1 \times 10^{-29} \ m/s$.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$.
આપેલ છે: $\Delta p = 1 \times 10^{-5} \ kg \ m/s$ અને $h = 6.63 \times 10^{-34} \ Js$.
સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા માટે સૂત્ર: $\Delta x = \frac{h}{4 \pi \times \Delta p}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-5}}$.
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{12.566 \times 10^{-5}} \approx 5.28 \times 10^{-30} \ m$.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સંબંધ $\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ છે.
$\Delta p = m \times \Delta v$ હોવાથી,સમીકરણ $\Delta x \times \Delta v \times m = \frac{h}{4\pi}$ બને છે.
તેથી,સ્થાન અને વેગમાં અનિશ્ચિતતાનો ગુણાકાર $\Delta x \times \Delta v = \frac{h}{4 \pi \times m}$ થાય.
આપેલ છે: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ kg \ m^2 \ s^{-1}$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,અને $\pi = 3.14$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x \times \Delta v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}}$.
$\Delta x \times \Delta v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{114.296 \times 10^{-31}} \approx 5.8 \times 10^{-5} \ m^2 \ s^{-1}$.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગ (અથવા વેગમાન) એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે.
ગાણિતિક સમીકરણ $\Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{h}{4\pi}$ છે.
વેગમાન $\Delta p_x = m \Delta \nu$ હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\Delta x \cdot m \Delta \nu \geq \frac{h}{4\pi}$.
સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ માટે સૂત્ર:
$\Delta x \geq \frac{h}{4\pi m \Delta \nu}$.

(C) ક્વોન્ટમ આંકડાઓ હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે $Schr\ddot{o}dinger$ તરંગ સમીકરણના ઉકેલ પરથી મેળવવામાં આવે છે. આ આંકડાઓ કક્ષકોના કદ,આકાર અને દિશા તેમજ ઇલેક્ટ્રોનના સ્પિનનું વર્ણન કરે છે. જોકે વિકલ્પોમાં આપેલા સિદ્ધાંતો (હુંડનો નિયમ,આઉફબાઉનો સિદ્ધાંત,પાઉલીનો અપવર્જનનો સિદ્ધાંત) કક્ષકોમાં ઇલેક્ટ્રોન ભરવાની રીત નક્કી કરે છે,પરંતુ ક્વોન્ટમ આંકડાઓ પોતે તરંગ સમીકરણના મૂળભૂત ગાણિતિક ઉકેલો છે,જે પરમાણુના ક્વોન્ટમ યાંત્રિક મોડેલ સાથે સુસંગત છે.

(B) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
અહીં વેગ $v = 300 \, ms^{-1}$ અને ચોકસાઈ $= 0.001 \%$ છે.
વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = \frac{0.001}{100} \times 300 = 3 \times 10^{-3} \, ms^{-1}$.
$\Delta x = \frac{h}{4\pi m \Delta v}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-3}}$.
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{342.31 \times 10^{-34}} \approx 0.01937 \, m \approx 1.92 \times 10^{-2} \, m$.

(C) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \geqslant \frac{h}{4\pi}$.
અહીં આપેલ છે કે સ્થાનની અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ અને વેગમાનની અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ સમાન છે,તેથી $\Delta x = \Delta p$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\Delta p = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta p = m \cdot \Delta v$,તેથી $m \cdot \Delta v = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
આમ,વેગની અનિશ્ચિતતા $\Delta v = \frac{1}{2m}\sqrt{\frac{h}{\pi}}$ થાય.

(D) હાઈઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
આ સિદ્ધાંત ફક્ત ઈલેક્ટ્રોન,પ્રોટોન જેવા સૂક્ષ્મ કણો માટે જ મહત્વપૂર્ણ છે.
મોટર કાર જેવી સ્થૂળ વસ્તુઓ માટે,દળ એટલું વધારે હોય છે કે સ્થાન અને વેગમાં અનિશ્ચિતતા નહિવત થઈ જાય છે.
સ્થાયી કણ માટે,સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા શૂન્ય હોય છે,જે ગતિશીલ ક્વોન્ટમ કણો માટેના સિદ્ધાંતની જરૂરિયાતથી વિપરીત છે.
તેથી,આ સિદ્ધાંત સ્થૂળ વસ્તુઓ અને સ્થાયી કણો બંને માટે લાગુ પડતો નથી.

(A) હાઈઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે અણુના સૂક્ષ્મ કણનું સ્થાન અને વેગમાન એકસાથે ચોકસાઈથી નક્કી કરવું અશક્ય છે.
ગાણિતિક રીતે,તે $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta x$ એ સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા છે,$\Delta p$ એ વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા છે અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન માટેનું શ્રેડિન્જર તરંગ સમીકરણ નીચે મુજબ છે: $\frac{d^2\Psi}{dx^2} + \frac{d^2\Psi}{dy^2} + \frac{d^2\Psi}{dz^2} + \frac{8\pi^2 m}{h^2}(E - V)\Psi = 0$.
અહીં $\Psi$ એ તરંગવિધેય છે,$E$ એ કુલ ઊર્જા છે,$V$ એ સ્થિતિ ઊર્જા છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = \frac{0.005}{100} \times 600 = 0.03 \, m/s$ છે.
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4\pi m}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{h}{4\pi m \Delta v} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 0.03}$.
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.432 \times 10^{-31}} \approx 1.93 \times 10^{-3} \, m$.

(B) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
આપેલ છે: $\Delta p_x = \frac{1}{2} \Delta p_y$ અને $\Delta x_x = 0.05 \ \mathring{A}$.
કણ $x$ માટે: $\Delta x_x \cdot \Delta p_x = \frac{h}{4\pi} \implies 0.05 \cdot \Delta p_x = \frac{h}{4\pi} \implies \Delta p_x = \frac{h}{4\pi \cdot 0.05}$.
કારણ કે $\Delta p_x = \frac{1}{2} \Delta p_y$,તેથી $\Delta p_y = 2 \cdot \Delta p_x = 2 \cdot \frac{h}{4\pi \cdot 0.05} = \frac{h}{4\pi \cdot 0.025}$.
કણ $y$ માટે: $\Delta x_y \cdot \Delta p_y = \frac{h}{4\pi} \implies \Delta x_y = \frac{h}{4\pi \cdot \Delta p_y} = \frac{h}{4\pi \cdot (\frac{h}{4\pi \cdot 0.025})} = 0.025 \ \mathring{A}$.
સેમીમાં રૂપાંતર કરતા: $0.025 \ \mathring{A} = 0.025 \times 10^{-8} \ \text{cm} = 2.5 \times 10^{-10} \ \text{cm}$.

(B) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
અહીં આપેલ છે કે $e^-$ માટે સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta x$ એ તેના વેગમાન $\Delta p$ ની અનિશ્ચિતતા જેટલી છે,એટલે કે $\Delta x = \Delta p$.
આ શરત મુજબ,$He$ પરમાણુ માટે પણ $\Delta p$ નું મૂલ્ય સમાન રહેશે.
તેથી,$\Delta p_{He} = 32 \times 10^5$.

(B) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot m \Delta v \ge \frac{h}{4 \pi}$
આપેલ છે: $\Delta x = 1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, m$,$m = 150 \, g = 0.150 \, kg$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J s$
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi \Delta x \cdot m}$
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-10} \times 0.150}$
$\Delta v = 3.51 \times 10^{-24} \, m s^{-1}$
આપેલ વિકલ્પ મુજબ: $3.499 \times 10^{-24} \, m s^{-1}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\Delta x \cdot \Delta p \geqslant \frac{h}{4\pi}$ એ હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતનું ગાણિતિક સ્વરૂપ છે.
તે દર્શાવે છે કે સૂક્ષ્મ કણનું સ્થાન અને વેગમાન બંને એકસાથે ચોકસાઈપૂર્વક માપવા અશક્ય છે.

(A) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
$\Delta p = m \cdot \Delta v$ હોવાથી,સૂત્ર $\Delta x = \frac{h}{4\pi m \Delta v}$ બને છે.
આપેલ છે: $m = 0.02 \, kg$,$\Delta v = 9.218 \times 10^{-6} \, m/s$,અને $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 0.02 \times 9.218 \times 10^{-6}}$.
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.313 \times 10^{-6}} \approx 2.86 \times 10^{-28} \, m$.

(A) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \times m \Delta v = \frac{h}{4\pi}$.
કણ $A$ માટે: $\Delta x_A \times m_A \times \Delta v_A = \frac{h}{4\pi}$.
અહીં $\Delta v_A = 0.05 \, m/s$ અને $m_A = m$ આપેલ છે,તેથી $\Delta x_A \times m \times 0.05 = \frac{h}{4\pi} \dots (1)$.
કણ $B$ માટે: $\Delta x_B \times m_B \times \Delta v_B = \frac{h}{4\pi}$.
અહીં $\Delta v_B = 0.02 \, m/s$ અને $m_B = 5m$ આપેલ છે,તેથી $\Delta x_B \times 5m \times 0.02 = \frac{h}{4\pi} \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\Delta x_A \times m \times 0.05}{\Delta x_B \times 5m \times 0.02} = 1$.
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} \times \frac{0.05}{0.1} = 1$.
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} \times 0.5 = 1$.
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = 2$.

(B) બિંદુ $(x, y, z)$ પર ઇલેક્ટ્રોન મળી આવવાની સંભાવના ઘનતા $\psi^2(x, y, z)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
ડી બ્રોગ્લીના સિદ્ધાંત મુજબ,અવપરમાણ્વીય કણો દ્વૈત પ્રકૃતિ (કણ અને તરંગ) ધરાવે છે. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.
જોકે,દ્રવ્યની દ્વૈત પ્રકૃતિ એ એક પાયાનો ખ્યાલ છે,પરંતુ તે સંભાવના ઘનતા $\psi^2$ તરીકે કેમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેની સીધી સમજૂતી નથી. તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \times \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$
$\Delta p = m \times \Delta v$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ થશે: $\Delta x \times m \times \Delta v = \frac{h}{4\pi}$
આપેલ છે: $m = 0.25 \, kg$,$\Delta x = 10^{-5} \, m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
$\Delta v = \frac{h}{4 \times \pi \times \Delta x \times m}$
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-5} \times 0.25}$
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.14159 \times 10^{-5}} \approx 2.1 \times 10^{-29} \, m/s$

(D) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ:
$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4\pi}$
દ્રવ્યમાન $(m)$ માટે સૂત્ર:
$m = \frac{h}{4\pi \cdot \Delta x \cdot \Delta v}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-10} \times 5.27 \times 10^{-24}}$
$m = 0.099 \ kg$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 10^{-11} \, g$,વેગ $u = 10^{-4} \, cm \, sec^{-1}$,વેગમાં ક્ષતિ $= 0.1 \%$.
વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta u = \frac{0.1}{100} \times 10^{-4} = 10^{-7} \, cm \, sec^{-1}$.
હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot m \Delta u = \frac{h}{4 \pi}$.
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{4 \times 3.1416 \times 10^{-11} \times 10^{-7}}$.
$\Delta x = 5.27 \times 10^{-10} \, cm$.

(A) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi m_e}$.
અહીં વેગ $v = 600 \, m/s$ અને ચોકસાઈ $= 0.005\%$ છે.
વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = 600 \times \frac{0.005}{100} = 0.03 \, m/s$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\Delta x = \frac{h}{4 \pi m_e \Delta v}$.
$\Delta x = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 0.03}$.
$\Delta x = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{3.424 \times 10^{-30}} \approx 1.927 \times 10^{-3} \, m$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે: $\Delta p = 1 \times 10^{-3} \, g \, cm \, sec^{-1}$,$h = 6.626 \times 10^{-27} \, erg \, sec$.
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ:
$\Delta x \cdot \Delta p \geqslant \frac{h}{4\pi}$
$\Delta x \geqslant \frac{h}{4 \cdot \pi \cdot \Delta p}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x \geqslant \frac{6.626 \times 10^{-27}}{4 \times 3.1416 \times 10^{-3}}$
$\Delta x \geqslant \frac{6.626}{12.5664} \times 10^{-24} \, cm$
$\Delta x \geqslant 0.527 \times 10^{-24} \, cm$.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \geqslant \frac{h}{4\pi}$.
અહીં સ્થાનની અનિશ્ચિતતા $\Delta x = 0$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $0 \cdot \Delta p \geqslant \frac{h}{4\pi}$.
તેથી,$\Delta p \geqslant \frac{h}{4\pi \cdot 0}$.
શૂન્ય વડે ભાગાકાર અનંત હોવાથી,$\Delta p \geqslant \infty$.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$.
$\Delta p = m \cdot \Delta v$ હોવાથી,સૂત્ર $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4\pi}$ થશે.
આપેલ છે: $m = 25 \, g = 25 \times 10^{-3} \, kg$,$\Delta x = 10^{-5} \, m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta v = \frac{h}{4 \pi \cdot \Delta x \cdot m}$.
$\Delta v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 10^{-5} \times 25 \times 10^{-3}}$.
$\Delta v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{314 \times 10^{-6}} \approx 2.1 \times 10^{-28} \, m/s$.

(A) હાઈઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
આપેલ છે: $m = 9.1 \times 10^{-28} \ g$,$v = 3.0 \times 10^4 \ cm \ s^{-1}$,અને ચોકસાઈ $0.001\%$ છે.
પ્રથમ,વેગમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta v)$ શોધો:
$\Delta v = v \times \frac{0.001}{100} = 3.0 \times 10^4 \times 10^{-5} = 0.3 \ cm \ s^{-1}$.
હવે,વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ શોધો:
$\Delta p = m \times \Delta v = 9.1 \times 10^{-28} \times 0.3 = 2.73 \times 10^{-28} \ g \ cm \ s^{-1}$.
અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi \cdot m \cdot \Delta v} = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{4 \times 3.1416 \times 2.73 \times 10^{-28}}$.
$\Delta x = \frac{66.26}{34.287} \approx 1.93 \ cm$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $1.92 \ cm$ છે.

(D) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ નો ગુણાકાર $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન અને હિલિયમ પરમાણુ બંને માટે સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ સમાન $(1.0 \, nm)$ હોવાથી,વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ પણ બંને કણો માટે સમાન જ રહેશે.
આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોનના વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $50 \times 10^{-26} \, kg \, m \, s^{-1}$ છે,તેથી હિલિયમ પરમાણુના વેગમાનના માપનમાં ન્યૂનતમ અનિશ્ચિતતા પણ $50 \times 10^{-26} \, kg \, m \, s^{-1}$ થશે.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ:
$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi} $
આપેલ છે કે સ્થાન $( \Delta x )$ અને વેગમાન $( \Delta p )$ માં અનિશ્ચિતતા સમાન છે,એટલે કે $ \Delta x = \Delta p $.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$ (\Delta p)^{2} = \frac{h}{4 \pi} $
કારણ કે $ \Delta p = m \cdot \Delta v $:
$ (m \cdot \Delta v)^{2} = \frac{h}{4 \pi} $
$ m^{2} \cdot (\Delta v)^{2} = \frac{h}{4 \pi} $
$ (\Delta v)^{2} = \frac{h}{4 \pi m^{2}} $
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$ \Delta v = \sqrt{\frac{h}{4 \pi m^{2}}} $
$ \Delta v = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}} $

(C) વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta p = m \Delta v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $\Delta v$ એ વેગમાં અનિશ્ચિતતા છે.
આપેલ છે: $\Delta p = 1 \times 10^{-18} \ g \ cm \ s^{-1}$ અને $m = 9 \times 10^{-28} \ g$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$1 \times 10^{-18} = (9 \times 10^{-28}) \times \Delta v$
$\Delta v = \frac{1 \times 10^{-18}}{9 \times 10^{-28}} \ cm \ s^{-1}$
$\Delta v = 0.111 \times 10^{10} \ cm \ s^{-1} \approx 1.1 \times 10^9 \ cm \ s^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1 \times 10^9 \ cm \ s^{-1}$ છે.

(B) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ:
$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$
અહીં $\Delta p = m \cdot \Delta v$ હોવાથી:
$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta v \geq \frac{h}{4 \pi \cdot m \cdot \Delta x}$
આપેલ છે:
$\Delta x = 0.1 \ \mathring{A} = 10^{-11} \ m$
$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-11}}$
$\Delta v = 5.79 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$

(A) વેગમાં ટકાવારી ભૂલ $0.001\%$ આપેલ છે.
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0.001$
$\Delta V = \frac{0.001 \times 300}{100} = 3 \times 10^{-3} \ ms^{-1}$
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ:
$\Delta x \cdot m \Delta V \geq \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta V}$
કિંમતો મૂકતા ($h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$\Delta V = 3 \times 10^{-3} \ ms^{-1}$):
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-3}}$
$\Delta x \approx 1.92 \times 10^{-2} \ m$

(B) આપેલ છે,વેગ $v = 600 \, m/s$ અને ટકાવારી ભૂલ $= 0.005 \%$.
$\Delta v = \frac{0.005}{100} \times 600 = 0.03 \, m/s = 3 \times 10^{-2} \, m/s$.
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$,જ્યાં $\Delta p = m \Delta v$.
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-2}}$.
$\Delta x = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{34.2264 \times 10^{-33}} \approx 0.1928 \times 10^{-1} \, m = 1.928 \times 10^{-3} \, m$.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
આપેલ છે કે સ્થાન અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા સમાન છે,$\Delta x = \Delta p$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
તેથી,$\Delta p = \sqrt{\frac{h}{4\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
કારણ કે $\Delta p = m \cdot \Delta v$,વેગમાં અનિશ્ચિતતા $\Delta v = \frac{\Delta p}{m}$ થશે.
$\Delta p$ ની કિંમત મૂકતા: $\Delta v = \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}} = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.

(D) હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે સૂક્ષ્મ કણનું ચોક્કસ સ્થાન અને ચોક્કસ વેગમાન એકસાથે નક્કી કરવું અશક્ય છે. \\ આ સિદ્ધાંત ફક્ત ઇલેક્ટ્રોન,પ્રોટોન અથવા ન્યુટ્રોન જેવા સૂક્ષ્મ કણો માટે જ મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તેમનું દળ અત્યંત ઓછું હોય છે. \\ ક્રિકેટનો દડો,ફૂટબોલ અથવા જેટ વિમાન જેવી સ્થૂળ વસ્તુઓ માટે,તેમના મોટા દળને કારણે અનિશ્ચિતતા નગણ્ય હોય છે.