Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(A) નળાકારની ત્રિજ્યા $=$ દરેક અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $= r = 2.1 \,m$.
નળાકારની ઊંચાઈ $h =$ ટાંકીની કુલ ઊંચાઈ $- 2 \times$ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $= 9.2 - 2 \times 2.1 = 5 \,m$.
સંયુક્ત ટાંકીનું ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ $+ 2 \times$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ
$= \pi r^{2} h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^{3}) = \pi r^{2} (h + \frac{4}{3} r)$
$= \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times (5 + \frac{4}{3} \times 2.1)$
$= \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times (5 + 2.8) = \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 7.8 = 108.108 \,m^{3}$.
કારણ કે $1 \,m^{3} = 1000$ લિટર,
લિટરમા ઘનફળ $= 108.108 \times 1000 = 1,08,108$ લિટર.
આમ,ટાંકીમાં $1,08,108$ લિટર પેટ્રોલ સમાઈ શકે છે.

(B) નળાકારની ત્રિજ્યા $=$ દરેક શંકુની ત્રિજ્યા $= r = 10 \,cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $H = 40 \,cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = 26 \,cm$.
શંકુ માટે,$l^2 = r^2 + h^2$,જ્યાં $h$ એ શંકુની ઊંચાઈ છે.
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 \,cm$.
સંયુક્ત પાત્રનું ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ $+ 2 \times$ શંકુનું ઘનફળ.
ઘનફળ $= \pi r^2 H + 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h) = \pi r^2 (H + \frac{2}{3} h)$.
કિંમતો મૂકતા: ઘનફળ $= \frac{22}{7} \times 10^2 \times (40 + \frac{2}{3} \times 24) = \frac{22}{7} \times 100 \times (40 + 16) = \frac{22}{7} \times 100 \times 56$.
ઘનફળ $= 22 \times 100 \times 8 = 17600 \,cm^3$.
કારણ કે $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{લિટર}$,લિટરમાં ઘનફળ $\frac{17600}{1000} = 17.6 \,\text{લિટર}$ થાય.
આમ,મોડેલ $17.6 \,\text{લિટર}$ પાણી સમાવી શકે છે.

(C) આ ઘન પદાર્થ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે રહેલા બે શંકુનો બનેલો છે.
આપેલ છે:
નળાકાર અને શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ = $7\, cm$.
દરેક શંકુની ઊંચાઈ $(h_1)$ = $18\, cm$.
ઘન પદાર્થની કુલ ઊંચાઈ $(H)$ = $64\, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_2)$ = $H - 2 \times h_1 = 64 - 2(18) = 64 - 36 = 28\, cm$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + $2 \times$ શંકુનું ઘનફળ.
ઘનફળ = $\pi r^2 h_2 + 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h_1)$.
ઘનફળ = $\pi r^2 (h_2 + \frac{2}{3} h_1)$.
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times 7^2 \times (28 + \frac{2}{3} \times 18)$.
ઘનફળ = $22 \times 7 \times (28 + 12) = 154 \times 40 = 6160\, cm^3$.

(D) આ પદાર્થનું ઘનફળ એ શંકુના ઘનફળ અને અર્ધગોળાના ઘનફળનો સરવાળો છે.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 14 \, cm$,શંકુની ઊંચાઈ $h = 32 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 32 = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 32 = \frac{19712}{3} \, cm^3$.
અર્ધગોળાનું ઘનફળ $V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 = \frac{2}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 14 = \frac{17248}{3} \, cm^3$.
કુલ ઘનફળ $V = V_1 + V_2 = \frac{19712 + 17248}{3} = \frac{36960}{3} = 12320 \, cm^3$.

(A) આ ઘન પદાર્થ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે રહેલા બે શંકુઓનો બનેલો છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $21 \, cm$.
દરેક શંકુની ઊંચાઈ $(h_{cone})$ = $30 \, cm$.
ઘન પદાર્થની કુલ ઊંચાઈ = $140 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_{cyl})$ = કુલ ઊંચાઈ - $2 \times h_{cone} = 140 - 2(30) = 140 - 60 = 80 \, cm$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + $2 \times$ શંકુનું ઘનફળ.
નળાકારનું ઘનફળ = $\pi r^2 h_{cyl} = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 80 = 22 \times 3 \times 21 \times 80 = 1,10,880 \, cm^3$.
બે શંકુનું ઘનફળ = $2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h_{cone}) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 30 = 2 \times 22 \times 21 \times 30 = 27,720 \, cm^3$.
કુલ ઘનફળ = $1,10,880 + 27,720 = 1,38,600 \, cm^3$.

(B) આ ઘન પદાર્થ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે બે અર્ધગોલકનો બનેલો છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $4.2 \, cm$.
ઘન પદાર્થની કુલ ઊંચાઈ = $15 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h)$ = કુલ ઊંચાઈ - $2 \times$ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા = $15 - 2(4.2) = 15 - 8.4 = 6.6 \, cm$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + $2 \times$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
ઘનફળ = $\pi r^2 h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^3) = \pi r^2 (h + \frac{4}{3} r)$.
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times (4.2)^2 \times (6.6 + \frac{4}{3} \times 4.2)$.
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times 17.64 \times (6.6 + 5.6) = 22 \times 2.52 \times 12.2$.
ઘનફળ = $55.44 \times 12.2 = 676.368 \, cm^3$.

(C) ભમરડો એ શંકુ અને અર્ધગોલકનો બનેલો છે જે તેમના પાયા પર જોડાયેલા છે. શંકુ અને અર્ધગોલક બંનેની ત્રિજ્યા $r = 2.8 \, cm$ છે. શંકુની ઊંચાઈ $h = 6.4 \, cm$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.8)^2 \times 6.4 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7.84 \times 6.4 \approx 52.53 \, cm^3$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $V_{hemi} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.8)^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21.952 \approx 46.03 \, cm^3$.
કુલ ઘનફળ $V = V_{cone} + V_{hemi} = 52.53 + 46.03 = 98.56 \, cm^3$.

(A) પાત્ર નળાકાર અને અર્ધગોલકનું બનેલું છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $8.4 \,cm$.
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $8.4 \,cm$.
પાત્રની કુલ ઊંચાઈ $(H)$ = $52.8 \,cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h)$ = $H - r = 52.8 - 8.4 = 44.4 \,cm$.
પાત્રનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
ઘનફળ = $\pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 = \pi r^2 (h + \frac{2}{3} r)$.
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times (8.4)^2 \times (44.4 + \frac{2}{3} \times 8.4)$.
ઘનફળ = $\frac{22}{7} \times 70.56 \times (44.4 + 5.6) = \frac{22}{7} \times 70.56 \times 50$.
ઘનફળ = $22 \times 10.08 \times 50 = 11088 \,cm^3$.
$1000 \,cm^3 = 1 \,\text{લિટર}$ હોવાથી,લિટરમાં ઘનફળ = $11088 / 1000 = 11.088 \,\text{લિટર}$.

(A) આપેલ છે: શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ = $15 \, cm$,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $25 \, cm$.
સૌ પ્રથમ,$l^2 = r^2 + h^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ શોધો.
$h^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$.
$h = \sqrt{400} = 20 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ = $\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 15^2 \times 20 = 3.14 \times 225 \times \frac{20}{3} = 3.14 \times 75 \times 20 = 3.14 \times 1500 = 4710 \, cm^3$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ = $\frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 15^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 3375 = 2 \times 3.14 \times 1125 = 7065 \, cm^3$.
ઘન પદાર્થનું કુલ ઘનફળ = શંકુનું ઘનફળ + અર્ધગોલકનું ઘનફળ = $4710 + 7065 = 11775 \, cm^3$.

(B) આ ઘન પદાર્થ એક અર્ધગોલક પર મૂકવામાં આવેલા શંકુનો બનેલો છે.
આપેલ છે: અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $15 \, cm$.
ઘન પદાર્થની કુલ ઊંચાઈ $(H)$ = $55 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ = $H - r = 55 - 15 = 40 \, cm$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ = શંકુનું ઘનફળ + અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
શંકુનું ઘનફળ = $\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (15)^2 \times 40 = 3000 \pi \, cm^3$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ = $\frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times (15)^3 = 2250 \pi \, cm^3$.
કુલ ઘનફળ = $3000 \pi + 2250 \pi = 5250 \pi \, cm^3$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,કુલ ઘનફળ = $5250 \times 3.14 = 16485 \, cm^3$. નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $16500 \, cm^3$ છે.

(C) નળાકાર કૂવા માટે,ત્રિજ્યા $r = \frac{5.4}{2} = 2.7 \, m$ અને ઊંડાઈ $h = 20 \, m$ છે.
ખોદવામાં આવેલી માટીનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi \times (2.7)^2 \times 20 \, m^3$ થાય.
આ માટીને $R = 15 \, m$ ત્રિજ્યાવાળી ગોળાકાર જમીન પર $H$ ઊંચાઈ સુધી પાથરવામાં આવે છે. આ પાથરેલી માટીનું ઘનફળ $V = \pi R^2 H = \pi \times (15)^2 \times H \, m^3$ થાય.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $\pi \times (2.7)^2 \times 20 = \pi \times (15)^2 \times H$.
$H = \frac{2.7 \times 2.7 \times 20}{15 \times 15} = \frac{7.29 \times 20}{225} = \frac{145.8}{225} = 0.648 \, m$.
ઊંચાઈને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $H = 0.648 \times 100 = 64.8 \, cm$.
આમ,જમીનની સપાટીમાં થયેલો વધારો $64.8 \, cm$ છે.

(D) ગોળાની ત્રિજ્યા $R = 21 \,cm$.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (21)^3 \,cm^3$.
નળાકાર તાર માટે,વ્યાસ $= 0.5 \,cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4} \,cm$.
ધારો કે તારની લંબાઈ $h \,cm$ છે.
તારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \pi (\frac{1}{4})^2 h \,cm^3$.
ગોળાને ઓગાળીને તાર બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન થાય:
$\pi (\frac{1}{4})^2 h = \frac{4}{3} \pi (21)^3$
$\frac{1}{16} h = \frac{4}{3} \times 21 \times 21 \times 21$
$h = 16 \times 4 \times 7 \times 21 \times 21$
$h = 64 \times 7 \times 441 = 197568 \,cm$.
મીટરમાં ફેરવવા માટે $100$ વડે ભાગતા:
$h = \frac{197568}{100} = 1975.68 \,m$.
આમ,તારની લંબાઈ $1975.68 \,m$ છે.

(A) ધારો કે મોટા ધાતુના ગોળાની ત્રિજ્યા $r = 42\, cm$ છે અને દરેક નાના દડાની ત્રિજ્યા $R\, cm$ છે.
મોટા ગોળાનું ઘનફળ એ $8000$ નાના દડાઓના કુલ ઘનફળ જેટલું થાય.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$
$8000$ દડાઓનું ઘનફળ $= 8000 \times \frac{4}{3} \pi R^3$
ઘનફળને સરખાવતા: $8000 \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r^3$
$8000 R^3 = r^3$
$8000 R^3 = (42)^3$
$R^3 = \frac{42 \times 42 \times 42}{8000}$
$R^3 = \left(\frac{42}{20}\right)^3$
$R = \frac{42}{20} = 2.1\, cm$
આમ,દરેક નાના દડાની ત્રિજ્યા $2.1\, cm$ છે.

(B) નળાકારની ત્રિજ્યા $r = 15\, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 20\, cm$ છે.
દરેક દડાની ત્રિજ્યા $R = 3\, cm$ છે.
ધારો કે $n$ દડાઓ બનાવવામાં આવે છે.
ઓગાળીને ફરીથી આકાર આપતી વખતે ઘનફળ સમાન રહે છે:
$n$ દડાઓનું ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ
$n \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \pi r^2 h$
$n \times \frac{4}{3} \times (3)^3 = (15)^2 \times 20$
$n \times \frac{4}{3} \times 27 = 225 \times 20$
$n \times 36 = 4500$
$n = \frac{4500}{36} = 125$
આમ,$125$ દડાઓ બનાવવામાં આવે છે.

(C) ગોળાની ત્રિજ્યા $R = 18 \,cm$ છે.
દરેક નળાકાર માટે,ત્રિજ્યા $r = 3 \,cm$ અને ઊંચાઈ $h = 12 \,cm$ છે.
ધારો કે $n$ નળાકારો બને છે.
$n$ નળાકારોનું ઘનફળ = ગોળાનું ઘનફળ.
$n \times \pi r^{2} h = \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
$n \times r^{2} h = \frac{4}{3} R^{3}$.
$n \times 3^{2} \times 12 = \frac{4}{3} \times 18^{3}$.
$n \times 9 \times 12 = \frac{4}{3} \times 5832$.
$n \times 108 = 7776$.
$n = \frac{7776}{108} = 72$.
આમ,$72$ નળાકારો ઉત્પન્ન થાય છે.

(D) ધાતુના ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 21 \,cm$ છે.
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (21)^3 = 4 \times \pi \times 441 \times 7 = 12348 \pi \,cm^3$.
તાર નળાકાર આકારનો છે જેની ત્રિજ્યા $R = 0.5 \,cm$ અને લંબાઈ $h$ છે. તારનું ઘનફળ $V = \pi R^2 h$ છે.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $12348 \pi = \pi \times (0.5)^2 \times h$.
$12348 = 0.25 \times h$.
$h = \frac{12348}{0.25} = 12348 \times 4 = 49392 \,cm$.
લંબાઈને મીટરમાં ફેરવવા માટે,$100$ વડે ભાગતા: $h = \frac{49392}{100} = 493.92 \,m$.

(A) આપેલ છે: ધાતુના ગોળાનો વ્યાસ $D = 12 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 6 \, cm$.
નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r = 0.3 \, cm$.
ધારો કે બનતા ગોળાઓની સંખ્યા $n$ છે.
ઓગાળતી વખતે અને ફરીથી બનાવતી વખતે ઘનફળ સમાન રહે છે,તેથી મોટા ગોળાનું ઘનફળ એ $n$ નાના ગોળાઓના ઘનફળના સરવાળા જેટલું થાય.
$V_{\text{large}} = n \times V_{\text{small}}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n \times r^3$
$n = \frac{R^3}{r^3} = \left( \frac{R}{r} \right)^3$
$n = \left( \frac{6}{0.3} \right)^3 = (20)^3$
$n = 8000$.
આમ,બનતા ગોળાઓની સંખ્યા $8000$ છે.

(B) ધાતુના નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi \times (6)^2 \times 4 = 144\pi \, cm^3$ છે.
દરેક દડાનો વ્યાસ $1 \, cm$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_{ball} = 0.5 \, cm$ થાય.
એક ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0.5)^3 = \frac{4}{3} \pi (0.125) = \frac{0.5}{3} \pi = \frac{1}{6} \pi \, cm^3$ થાય.
બનાવી શકાતા દડાની સંખ્યા $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{ball}} = \frac{144\pi}{\frac{1}{6}\pi} = 144 \times 6 = 864$ છે.

(C) ધાતુના નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. અહીં $r = 2\, cm$ અને $h = 8\, cm$ લેતા,$V_{cylinder} = \pi \times (2)^2 \times 8 = 32\pi\, cm^3$ મળે.
$0.5\, cm$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r_b = 0.25\, cm = 1/4\, cm$) ધરાવતા એક ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r_b^3 = \frac{4}{3} \pi (1/4)^3 = \frac{4}{3} \pi \times \frac{1}{64} = \frac{\pi}{48}\, cm^3$ થાય.
બનાવી શકાતા દડાની સંખ્યા $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{ball}} = \frac{32\pi}{\pi/48} = 32 \times 48 = 1536$ થાય.

(D) ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
જ્યારે ત્રણ ગોળાઓને ઓગાળીને એક નવો ગોળો બનાવવામાં આવે,ત્યારે કુલ ઘનફળ સમાન રહે છે.
ધારો કે ત્રણ ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 3 \, cm$,$r_2 = 4 \, cm$ અને $r_3 = 5 \, cm$ છે.
ધારો કે નવા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
ત્રણેય ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ $V_{total} = \frac{4}{3} \pi (r_1^3 + r_2^3 + r_3^3)$ થાય.
નવા ગોળાનું ઘનફળ $V_{new} = \frac{4}{3} \pi R^3$ થાય.
ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi (3^3 + 4^3 + 5^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$R^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$.
$R = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.

(A) ધાતુના ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 6 \, cm$ છે.
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (6)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 216 = 288 \pi \, cm^3$.
તાર નળાકાર આકારનો છે જેનો વ્યાસ $1 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = 0.5 \, cm = \frac{1}{2} \, cm$ થાય.
ધારો કે તારની લંબાઈ $h$ છે. નળાકાર તારનું ઘનફળ $V = \pi R^2 h$ થાય.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $288 \pi = \pi \times (\frac{1}{2})^2 \times h$.
$288 = \frac{1}{4} \times h$.
$h = 288 \times 4 = 1152 \, cm$.
$100 \, cm = 1 \, m$ હોવાથી,મીટરમાં લંબાઈ $1152 / 100 = 11.52 \, m$ થાય.

(B) કૂવામાંથી બહાર કાઢેલી માટીનું ઘનફળ એ કૂવા દ્વારા બનતા નળાકારના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
માટીનું ઘનફળ = $\pi r^2 h = \pi \times (2)^2 \times 50 = 200\pi \, m^3$.
ધારો કે વર્તુળાકાર પ્લોટની સપાટીમાં થયેલો વધારો $H$ મીટર છે.
આ માટીને $R = 40 \, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર પ્લોટ પર પાથરવામાં આવે છે.
પાથરેલી માટીનું ઘનફળ એ $40 \, m$ ત્રિજ્યા અને $H$ ઊંચાઈ ધરાવતા નળાકારના ઘનફળ જેટલું થાય.
ઘનફળ = $\pi R^2 H = \pi \times (40)^2 \times H = 1600\pi H \, m^3$.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $1600\pi H = 200\pi$.
$H = \frac{200}{1600} = \frac{1}{8} \, m$.
ઊંચાઈને $cm$ માં ફેરવવા માટે,$100$ વડે ગુણતા: $H = \frac{1}{8} \times 100 = 12.5 \, cm$.

(C) ધાતુના શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. આપેલ કિંમતો $r = 5 \, cm$ અને $h = 8 \, cm$ મૂકતા,$V_{cone} = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (8) = \frac{200}{3} \pi \, cm^3$ મળે.
$0.5 \, cm$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r_b = 0.25 \, cm = \frac{1}{4} \, cm$) ધરાવતા દરેક ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r_b^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{4})^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{64}) = \frac{1}{48} \pi \, cm^3$ થાય.
બનતા દડાઓની સંખ્યા $n = \frac{V_{cone}}{V_{ball}} = \frac{\frac{200}{3} \pi}{\frac{1}{48} \pi} = \frac{200}{3} \times 48 = 200 \times 16 = 3200$ થાય.

(D) ધાતુના ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 6 \, cm$ છે.
$V = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = \frac{4}{3} \pi (216) = 288 \pi \, cm^3$.
તાર નળાકાર આકારનો છે જેની ત્રિજ્યા $R = 0.4 \, cm$ અને લંબાઈ $h$ છે. નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi R^2 h$ છે.
ઓગાળવાની અને ફરીથી આકાર આપવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન ઘનફળ સમાન રહે છે,તેથી:
$288 \pi = \pi (0.4)^2 h$
$288 = 0.16 \times h$
$h = \frac{288}{0.16} = \frac{28800}{16} = 1800 \, cm$.
લંબાઈને મીટરમાં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$h = \frac{1800}{100} = 18 \, m$.

(A) $21\,cm$ વ્યાસ ધરાવતા ધાતુના ગોળાનું ઘનફળ (ત્રિજ્યા $R = 10.5\,cm$ અથવા $21/2\,cm$) $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{21}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \times \frac{9261}{8} = \frac{3087}{2} \pi \, cm^3$ છે.
$7\,cm$ વ્યાસ (ત્રિજ્યા $r = 3.5\,cm$ અથવા $7/2\,cm$) અને $3\,cm$ ઊંચાઈ ધરાવતા એક શંકુનું ઘનફળ $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{7}{2})^2 \times 3 = \pi \times \frac{49}{4} = 12.25 \pi \, cm^3$ છે.
શંકુની સંખ્યા $n = \frac{V_s}{V_c} = \frac{3087 \pi / 2}{49 \pi / 4} = \frac{3087}{2} \times \frac{4}{49} = \frac{3087 \times 2}{49} = 63 \times 2 = 126$ મળે.
આમ,$126$ શંકુ બનાવી શકાય છે.

(B) શંકુના આડછેદ આકારની ડોલ માટે,મોટી ત્રિજ્યા $r_{1} = 28\,cm$,નાની ત્રિજ્યા $r_{2} = 7\,cm$ અને ઊંચાઈ $h = 45\,cm$ છે.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર:
$V = \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^{2} + 7^{2} + 28 \times 7)$
$V = \frac{22 \times 15}{7} \times (784 + 49 + 196)$
$V = \frac{22 \times 15}{7} \times 1029$
$V = 22 \times 15 \times 147$
$V = 48510\,cm^{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $1000\,cm^{3} = 1\,\text{લિટર}$:
$V = \frac{48510}{1000}\,\text{લિટર }= 48.51\,\text{લિટર}$
આમ,ડોલ $48.51\,\text{લિટર}$ પાણી સમાવી શકે છે.

(N/A) આપેલ શંકુના આડછેદ માટે,
મોટી ત્રિજ્યા $r_{1} = 14 \,cm$,નાની ત્રિજ્યા $r_{2} = 7 \,cm$ અને ઊંચાઈ $h = 24 \,cm$.
શંકુના આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}}$
$= \sqrt{24^{2} + (14 - 7)^{2}}$
$= \sqrt{576 + 49}$
$= \sqrt{625} = 25 \,cm$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= \pi l(r_{1} + r_{2})$
$= \frac{22}{7} \times 25 \times (14 + 7)$
$= \frac{22}{7} \times 25 \times 21 = 22 \times 25 \times 3 = 1650 \,cm^{2}$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $= \pi l(r_{1} + r_{2}) + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$
$= 1650 + \frac{22}{7} \times (14^{2} + 7^{2})$
$= 1650 + \frac{22}{7} \times (196 + 49)$
$= 1650 + \frac{22}{7} \times 245$
$= 1650 + 22 \times 35 = 1650 + 770 = 2420 \,cm^{2}$.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi h(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 24 \times (196 + 49 + 98)$
$= \frac{22 \times 8}{7} \times 343$
$= 22 \times 8 \times 49 = 8624 \,cm^{3}$.
આમ,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $1650 \,cm^{2}$,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2420 \,cm^{2}$ અને ઘનફળ $8624 \,cm^{3}$ છે.

(D) શંકુના આડછેદ માટે,પાયાનો પરિઘ $C_1 = 2 \pi r_1 = 48 \, cm$,તેથી $r_1 = \frac{24}{\pi} \, cm$.
ઉપરના ભાગનો પરિઘ $C_2 = 2 \pi r_2 = 36 \, cm$,તેથી $r_2 = \frac{18}{\pi} \, cm$.
આડછેદની ઊંચાઈ $h = 11 \, cm$ છે.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \pi (11) \left[ (\frac{24}{\pi})^2 + (\frac{18}{\pi})^2 + (\frac{24}{\pi})(\frac{18}{\pi}) \right]$.
$V = \frac{11 \pi}{3} \left[ \frac{576}{\pi^2} + \frac{324}{\pi^2} + \frac{432}{\pi^2} \right]$.
$V = \frac{11 \pi}{3} \left[ \frac{1332}{\pi^2} \right] = \frac{11 \times 1332}{3 \pi} = \frac{11 \times 444}{\pi} = \frac{4884}{\pi}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$V = \frac{4884 \times 7}{22} = 222 \times 7 = 1554 \, cm^3$.

(A) આપેલ છે: વ્યાસ $D_1 = 32 \,cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r_1 = 16 \,cm$. વ્યાસ $D_2 = 20 \,cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r_2 = 10 \,cm$. ઊંચાઈ $h = 8 \,cm$.
$1$. તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{8^2 + (16 - 10)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \,cm$.
$2$. વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ = $\pi(r_1 + r_2)l = 3.14 \times (16 + 10) \times 10 = 3.14 \times 26 \times 10 = 816.4 \,cm^2$.
$3$. ઘનફળ $V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (16^2 + 10^2 + 16 \times 10) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (256 + 100 + 160) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times 516 = 3.14 \times 8 \times 172 = 4320.64 \,cm^3$.

(B) શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)$ છે.
આપેલ છે: $R = 28 \, cm$, $r = 21 \, cm$, અને $V = 28.490 \, \text{litres} = 28490 \, cm^3$ (કારણ કે $1 \, \text{litre} = 1000 \, cm^3$).
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$28490 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times h \times (28^2 + 21^2 + 28 \times 21)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times (784 + 441 + 588)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times (1813)$.
$28490 = \frac{39886}{21} \times h$.
$h = \frac{28490 \times 21}{39886} = \frac{598290}{39886} = 15 \, cm$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 9\, cm$,$r_2 = 3\, cm$,અને ઊંચાઈ $h = 8\, cm$.
પ્રથમ,તિર્યક ઊંચાઈ $l$ ની ગણતરી $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો.
$l = \sqrt{8^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\, cm$.
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $\pi(r_1 + r_2)l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$CSA = 3.14 \times (9 + 3) \times 10 = 3.14 \times 12 \times 10 = 376.8\, cm^2$.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $\frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (9^2 + 3^2 + 9 \times 3) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (81 + 9 + 27) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times 117$.
$V = 3.14 \times 8 \times 39 = 979.68\, cm^3$.

(N/A) આપેલ છે: $R = 35 \, cm$,$r = 21 \, cm$,$h = 48 \, cm$.
પ્રથમ,તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{48^2 + (35 - 21)^2} = \sqrt{2304 + 196} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= \pi(R + r)l = \frac{22}{7} \times (35 + 21) \times 50 = \frac{22}{7} \times 56 \times 50 = 22 \times 8 \times 50 = 8800 \, cm^2$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $= \pi l(R + r) + \pi R^2 + \pi r^2 = 8800 + \frac{22}{7} \times (35^2 + 21^2) = 8800 + \frac{22}{7} \times (1225 + 441) = 8800 + \frac{22}{7} \times 1666 = 8800 + 22 \times 238 = 8800 + 5236 = 14036 \, cm^2$.
ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 48 \times (35^2 + 21^2 + 35 \times 21) = \frac{22 \times 16}{7} \times (1225 + 441 + 735) = \frac{352}{7} \times 2401 = 352 \times 343 = 120736 \, cm^3$.

(A) આપેલ છે: નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $8 \, cm$,નળાકારની ઊંચાઈ $(h_1)$ = $9 \, cm$,શંકુની ઊંચાઈ $(h_2)$ = $15 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \, cm$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ.
$= 2\pi rh_1 + \pi rl + \pi r^2 = \pi r(2h_1 + l + r) = \frac{22}{7} \times 8 \times (2 \times 9 + 17 + 8) = \frac{176}{7} \times 43 \approx 1081.14 \, cm^2$.
ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + શંકુનું ઘનફળ = $\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \pi r^2 (h_1 + \frac{h_2}{3}) = \frac{22}{7} \times 8^2 \times (9 + \frac{15}{3}) = \frac{22}{7} \times 64 \times 14 = 22 \times 64 \times 2 = 2816 \, cm^3$.

(A) આપેલ છે: શંકુ અને અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $r = 6 \, cm$,શંકુની ઊંચાઈ $h = 8 \, cm$.
પ્રથમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધો: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
ઘન પદાર્થની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ = શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
$CSA$ = $\pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r) = 3.14 \times 6 \times (10 + 2 \times 6) = 18.84 \times (10 + 12) = 18.84 \times 22 = 414.48 \, cm^2$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ = શંકુનું ઘનફળ + અર્ધગોળાનું ઘનફળ.
ઘનફળ = $\frac{1}{3}\pi r^2h + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2(h + 2r) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 6^2 \times (8 + 2 \times 6) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 36 \times (8 + 12) = 3.14 \times 12 \times 20 = 37.68 \times 20 = 753.6 \, cm^3$.

(C) તંબુનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ત્રિજ્યા $(r)$ = $1.2\, m$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_1)$ = $4\, m$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h_2)$ = $3.5\, m$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{(1.2)^2 + (3.5)^2} = \sqrt{1.44 + 12.25} = \sqrt{13.69} = 3.7\, m$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2\pi rh_1 = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.2 \times 4 \approx 30.17\, m^2$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\pi rl = \frac{22}{7} \times 1.2 \times 3.7 \approx 13.95\, m^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $30.17 + 13.95 = 44.12\, m^2$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,વપરાયેલ કાપડ $44\, m^2$ છે.

(N/A) $1$. પાત્રનું ઘનફળ: પાત્ર નળાકાર અને શંકુનું બનેલું છે. ત્રિજ્યા $r = 35 \,cm$,નળાકારની ઊંચાઈ $h_1 = 52 \,cm$,અને શંકુની ઊંચાઈ $h_2 = 12 \,cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $V_1 = \pi r^2 h_1 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \times 52 = 200,200 \,cm^3$.
શંકુનું ઘનફળ $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \times 12 = 15,400 \,cm^3$.
કુલ ઘનફળ $V = V_1 + V_2 = 200,200 + 15,400 = 215,600 \,cm^3$.
$1,000 \,cm^3 = 1 \,\text{લિટર}$ હોવાથી,ઘનફળ $215.6 \,\text{લિટર}$ થાય.
$2$. કુલ પૃષ્ઠફળ: પૃષ્ઠફળમાં નળાકારનો પાયો,નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળનો સમાવેશ થાય છે.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{35^2 + 12^2} = \sqrt{1225 + 144} = \sqrt{1369} = 37 \,cm$.
નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 3,850 \,cm^2$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r h_1 = 2 \times \frac{22}{7} \times 35 \times 52 = 11,440 \,cm^2$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 35 \times 37 = 4,070 \,cm^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 3,850 + 11,440 + 4,070 = 19,360 \,cm^2$.

(A) ટાંકી નળાકાર અને બે અર્ધગોલકોની બનેલી છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $21\, cm$.
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $21\, cm$.
ટાંકીની કુલ ઊંચાઈ = $62\, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h)$ = કુલ ઊંચાઈ - $2 \times$ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા = $62 - 2(21) = 62 - 42 = 20\, cm$.
ટાંકીનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + $2 \times$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
ઘનફળ = $\pi r^2 h + 2 \times (2/3) \pi r^3 = \pi r^2 (h + 4/3 r)$.
ઘનફળ = $(22/7) \times (21)^2 \times (20 + (4/3) \times 21) = (22/7) \times 441 \times (20 + 28) = 22 \times 63 \times 48 = 66528\, cm^3$.
$1000\, cm^3 = 1\, \text{લિટર}$ હોવાથી, લિટરમાં ઘનફળ = $66528 / 1000 = 66.528\, \text{લિટર}$.

(N/A) $1$. શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29 \, cm$.
$2$. શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$: $CSA_{cone} = \pi rl = \frac{22}{7} \times 21 \times 29 = 22 \times 3 \times 29 = 1914 \, cm^2$.
$3$. અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$: $CSA_{hemi} = 2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 3 \times 21 = 2772 \, cm^2$.
$4$. કુલ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ: $1914 + 2772 = 4686 \, cm^2$.
$5$. શંકુનું ઘનફળ $(V_{cone})$: $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 20 = 22 \times 21 \times 20 = 9240 \, cm^3$.
$6$. અર્ધગોળાનું ઘનફળ $(V_{hemi})$: $V_{hemi} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 21 \times 21 = 19404 \, cm^3$.
$7$. કુલ ઘનફળ: $9240 + 19404 = 28644 \, cm^3$.

(C) ટાંકી એક નળાકાર અને બે અર્ધગોલકોની બનેલી છે.
નળાકાર અને અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા, $r = 24 / 2 = 12 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ, $h = 78 - (12 + 12) = 78 - 24 = 54 \, cm$.
ટાંકીનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + $2 \times$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
ઘનફળ = $\pi r^2 h + 2 \times (2/3 \pi r^3) = \pi r^2 (h + 4/3 r)$.
ઘનફળ = $3.14159 \times (12)^2 \times (54 + 4/3 \times 12) = 3.14159 \times 144 \times 70$.
ઘનફળ = $31667.2 \approx 31667 \, cm^3$.
$1000 \, cm^3 = 1 \, \text{લિટર}$ હોવાથી, લિટરમાં ઘનફળ $31667 / 1000 = 31.667 \, \text{લિટર} \approx 31.68 \, \text{લિટર}$ થાય.

(D) ટાંકી એક નળાકાર અને બે સમાન શંકુઓની બનેલી છે.
નળાકાર અને શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ = $14 / 2 = 7 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_1)$ = $20 \, cm$.
દરેક શંકુની ઊંચાઈ $(h_2)$ = $12 \, cm$.
ટાંકીનું કુલ ઘનફળ = (નળાકારનું ઘનફળ) + $2$ $\times$ (શંકુનું ઘનફળ).
નળાકારનું ઘનફળ = $\pi r^2 h_1 = (22/7) \times 7^2 \times 20 = 22 \times 7 \times 20 = 3080 \, cm^3$.
એક શંકુનું ઘનફળ = $(1/3) \pi r^2 h_2 = (1/3) \times (22/7) \times 7^2 \times 12 = 22 \times 7 \times 4 = 616 \, cm^3$.
કુલ ઘનફળ = $3080 + 2 \times 616 = 3080 + 1232 = 4312 \, cm^3$.

(A) આ ઘન પદાર્થ એક શંકુ અને એક અર્ધગોલકનો બનેલો છે જે તેમના પાયા પર જોડાયેલા છે.
શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ = $0.6 \ m$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ = $1.6 \ m$.
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $0.6 \ m$.
શંકુનું ઘનફળ = $\frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \times \pi \times (0.6)^{2} \times 1.6 = 0.192 \pi \ m^{3}$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ = $\frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \pi \times (0.6)^{3} = 0.144 \pi \ m^{3}$.
કુલ ઘનફળ = $0.192 \pi + 0.144 \pi = 0.336 \pi \ m^{3}$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,કુલ ઘનફળ $\approx 0.336 \times 3.14159 \approx 1.05557 \ m^{3}$,જે આશરે $1.056 \ m^{3}$ થાય છે.

(B) નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. અહીં વ્યાસ $= 1 \, cm$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 0.5 \, cm = \frac{1}{2} \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 4 \, cm$ છે.
$V_{cylinder} = \pi \times (\frac{1}{2})^2 \times 4 = \pi \times \frac{1}{4} \times 4 = \pi \, cm^3$.
એક ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે. અહીં ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{8} \, cm$ છે.
$V_{sphere} = \frac{4}{3} \times \pi \times (\frac{1}{8})^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times \frac{1}{512} = \frac{\pi}{3 \times 128} = \frac{\pi}{384} \, cm^3$.
બનતા દડાઓની સંખ્યા $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{sphere}} = \frac{\pi}{\frac{\pi}{384}} = 384$ થાય.

(C) ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ધારો કે મોટા ધાતુના ગોળાની ત્રિજ્યા $R = 42 \, cm$ છે અને નાના દડાની ત્રિજ્યા $r = 1.4 \, cm$ છે.
બનાવી શકાતા દડાની સંખ્યા $n$ એ મોટા ગોળાના ઘનફળ અને એક નાના દડાના ઘનફળના ગુણોત્તર જેટલી હોય છે:
$n = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \left( \frac{R}{r} \right)^3$.
કિંમતો મૂકતા:
$n = \left( \frac{42}{1.4} \right)^3 = (30)^3$.
$n = 27,000$.
આમ,$27,000$ દડા બનાવી શકાય છે.

(D) ધાતુના નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi \times (4)^2 \times 3 = 48\pi\, cm^3$ છે.
એક ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times (0.5)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 0.125 = \frac{0.5}{3}\pi = \frac{1}{6}\pi\, cm^3$ છે.
બનાવી શકાય તેવા દડાની સંખ્યા $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{ball}} = \frac{48\pi}{\frac{1}{6}\pi} = 48 \times 6 = 288$ થાય.

(A) અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 9 \, cm$ છે.
$V_h = \frac{2}{3} \times \pi \times (9)^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 729 = 486 \pi \, cm^3$.
એક નળાકાર બોટલનું ઘનફળ $V_c = \pi r_c^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં વ્યાસ $d = 3 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r_c = 1.5 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 4 \, cm$ છે.
$V_c = \pi \times (1.5)^2 \times 4 = \pi \times 2.25 \times 4 = 9 \pi \, cm^3$.
ભરી શકાતી બોટલોની સંખ્યા $n = \frac{V_h}{V_c} = \frac{486 \pi}{9 \pi} = 54$ થાય.
આમ,$54$ બોટલો ભરી શકાય છે.

(A) આ વસ્તુ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે જોડાયેલા બે અર્ધગોલકોની બનેલી છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $21 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h)$ = $18 \, cm$.
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $21 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + $2 \times$ (અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ).
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 18 = 2 \times 22 \times 3 \times 18 = 2376 \, cm^2$.
બે અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \times (2 \pi r^2) = 4 \pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 4 \times 22 \times 3 \times 21 = 5544 \, cm^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $2376 + 5544 = 7920 \, cm^2$.

(C) આપેલ છે: અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $3.5\, cm = \frac{7}{2}\, cm$.
રમકડાની કુલ ઊંચાઈ = $15.5\, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ = કુલ ઊંચાઈ - અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા = $15.5 - 3.5 = 12\, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(3.5)^2 + 12^2} = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5\, cm$.
રમકડાનું કુલ પૃષ્ઠફળ = શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
$= \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r)$.
$= \frac{22}{7} \times 3.5 \times (12.5 + 2 \times 3.5) = 11 \times (12.5 + 7) = 11 \times 19.5 = 214.5\, cm^2$.

(D) આ વસ્તુ એક અર્ધગોલક પર મૂકવામાં આવેલા શંકુની બનેલી છે. કુલ પૃષ્ઠફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$1$. શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
$2$. શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA_{cone})$: $\pi rl = 3.14 \times 5 \times 13 = 204.1 \, cm^2$.
$3$. અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA_{hemi})$: $2\pi r^2 = 2 \times 3.14 \times 5^2 = 2 \times 3.14 \times 25 = 157 \, cm^2$.
$4$. કુલ પૃષ્ઠફળ: $CSA_{cone} + CSA_{hemi} = 204.1 + 157 = 361.1 \, cm^2$.

(A) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
પ્રથમ નળાકાર માટે: $r_1 = 3.5 \, cm$,$h_1 = 10 \, cm$. ઘનફળ $V_1 = \pi (3.5)^2 (10) = \pi (12.25)(10) = 122.5 \pi \, cm^3$.
બીજા નળાકાર માટે: $r_2 = 7 \, cm$,$h_2 = 10 \, cm$. ઘનફળ $V_2 = \pi (7)^2 (10) = \pi (49)(10) = 490 \pi \, cm^3$.
બંને નળાકારનું કુલ ઘનફળ = $V_1 + V_2 = 122.5 \pi + 490 \pi = 612.5 \pi \, cm^3$.
ધારો કે નવા નળાકારની ત્રિજ્યા $R$ છે અને તેની ઊંચાઈ $H = 50 \, cm$ છે.
નવા નળાકારનું ઘનફળ $V_{new} = \pi R^2 H = \pi R^2 (50)$ થાય.
ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,$50 \pi R^2 = 612.5 \pi$.
$R^2 = \frac{612.5}{50} = 12.25$.
$R = \sqrt{12.25} = 3.5 \, cm$.

(B) શંકુના આડછેદના ઘનફળનું સૂત્ર: $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ છે.
આપેલ છે: $r_1 = 14 \, cm$,$r_2 = 7 \, cm$,અને $h = 12 \, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times (14^2 + 7^2 + 14 \times 7)$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times (196 + 49 + 98)$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times (343)$
$V = 22 \times 4 \times 49 = 4312 \, cm^3$.