Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(B) નળાકારનો પાયો એક વર્તુળ હોય છે.
આપેલ છે કે,પાયાની ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$.
નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = \pi r^2$ છે.
$r$ ની કિંમત અને $\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$\text{Area} = 22 \times 7 = 154 \, cm^2$.
આમ,પાયાનું ક્ષેત્રફળ $154 \, cm^2$ છે.

(C) નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ નું સૂત્ર $2 \pi r h$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r)$ = $1.4 \, cm = \frac{14}{10} \, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $10 \, cm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{14}{10} \times 10$
$CSA = 2 \times 22 \times 2$
$CSA = 88 \, cm^2$
આમ,નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $88 \, cm^2$ છે.

(D) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2 \pi r h$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $\pi r^{2} h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$CSA$ અને ઘનફળ આંકડાકીય રીતે સમાન છે:
$2 \pi r h = \pi r^{2} h$
બંને બાજુને $\pi r h$ વડે ભાગતા (ધારો કે $r \neq 0$ અને $h \neq 0$):
$2 = r$
તેથી,નળાકારની ત્રિજ્યા $2$ એકમ છે.

(B) નળાકારનો પાયો વર્તુળાકાર હોય છે. વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
અહીં પાયાનું ક્ષેત્રફળ $616\,cm^{2}$ આપેલું છે.
તેથી,$616 = \frac{22}{7} \times r^{2}$.
$r^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$r^{2} = 616 \times \frac{7}{22}$.
$r^{2} = 28 \times 7$.
$r^{2} = 196$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$r = \sqrt{196} = 14\,cm$.
આમ,નળાકારના પાયાની ત્રિજ્યા $14\,cm$ છે.

(C) શંકુ માટે,તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધવાનું સૂત્ર $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 6 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 8 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$l = \sqrt{6^2 + 8^2}$
$l = \sqrt{36 + 64}$
$l = \sqrt{100}$
$l = 10 \, cm$.
આમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $10 \, cm$ છે.

(C) શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ નું સૂત્ર $CSA = \pi r l$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 4 \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 6 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$CSA = \pi \times 4 \times 6 = 24 \pi \, cm^{2}$.

(B) શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = \pi r l$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 7\, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 15\, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$CSA = \frac{22}{7} \times 7 \times 15$
$CSA = 22 \times 15 = 330\, cm^2$.

(D) અહીં, આપેલ શંકુ માટે ત્રિજ્યા $r = 4\, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 3\, cm$ છે.
સૌ પ્રથમ, આપણે તિર્યક ઊંચાઈ $l$ ની ગણતરી $l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરીશું.
$l = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\, cm$.
શંકુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $TSA = \pi r(r + l)$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $TSA = \pi \times 4 \times (4 + 5) = \pi \times 4 \times 9 = 36\pi\, cm^{2}$.

(A) આપેલ શંકુ માટે,ત્રિજ્યા $r = 5\,cm$ અને ઊંચાઈ $h = 12\,cm$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે તિર્યક ઊંચાઈ $l$ ની ગણતરી સૂત્ર $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ નો ઉપયોગ કરીને કરીશું.
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\,cm$.
શંકુનું $CSA$ (વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) $\pi r l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શંકુના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2$ છે.
તેથી,$CSA$ અને પાયાના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\pi r l}{\pi r^2} = \frac{l}{r}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{13}{5}$ મળે છે,જે $13:5$ છે.

(D) ગોલકની સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^{2}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 7\,cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times (7)^{2}$
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 49$
$A = 4 \times 22 \times 7$
$A = 88 \times 7 = 616\,cm^{2}$.

(B) અર્ધગોલકનો વ્યાસ $d = 20 \, cm$ છે.
તેથી, ત્રિજ્યા $r = d / 2 = 20 / 2 = 10 \, cm$ થાય.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2 \pi r^{2}$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા:
$CSA = 2 \times \pi \times (10)^{2}$
$CSA = 2 \times \pi \times 100$
$CSA = 200 \pi \, cm^{2}$.

(C) અર્ધગોલકના કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ નું સૂત્ર $3 \pi r^{2}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 10 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$TSA = 3 \times \pi \times (10)^{2}$
$TSA = 3 \times \pi \times 100$
$TSA = 300 \pi \, cm^{2}$.

(B) અર્ધગોલકનો વ્યાસ $d = 10 \, cm$ છે。
તેથી, ત્રિજ્યા $r = d / 2 = 10 / 2 = 5 \, cm$ થાય。
અર્ધગોલકના કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ નું સૂત્ર $3 \pi r^2$ છે。
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$TSA = 3 \times \pi \times (5)^2$
$TSA = 3 \times \pi \times 25$
$TSA = 75 \pi \, cm^2$.

(D) અર્ધગોલકના વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\pi r^{2} = 154 \, cm^{2}$.
અર્ધગોલકનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ એ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(2\pi r^{2})$ અને પાયાના ક્ષેત્રફળ $(\pi r^{2})$ નો સરવાળો છે,જે $3\pi r^{2}$ બરાબર થાય છે.
તેથી,$TSA = 3 \times (\pi r^{2}) = 3 \times 154 = 462 \, cm^{2}$.

(D) ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_{1}$ અને $r_{2}$ એકમ છે.
આપેલ છે કે તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{3}{2}$ છે.
ગોળાના પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર $A = 4\pi r^{2}$ છે.
બે ગોળાઓના પૃષ્ઠફળોનો ગુણોત્તર $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{4\pi r_{1}^{2}}{4\pi r_{2}^{2}}$ થાય.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}$ મળે.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા: $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$.
તેથી,તેમના પૃષ્ઠફળોનો ગુણોત્તર $9:4$ છે.

(D) ધારો કે ગોલક અને નક્કર અર્ધગોલક બંનેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $4 \pi r^2$ છે.
નક્કર અર્ધગોલકનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $3 \pi r^2$ છે.
તેથી,ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોલકના કુલ પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $\frac{4 \pi r^2}{3 \pi r^2} = \frac{4}{3}$ થાય.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $4:3$ છે.

(C) નળાકારની ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{14\, cm}{2} = 7\, cm$ થાય.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
સૂત્રમાં $r = 7\, cm$ અને $h = 10\, cm$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 10$
$V = \frac{22}{7} \times 49 \times 10$
$V = 22 \times 7 \times 10$
$V = 1540\, cm^3$.
આમ,નળાકારનું ઘનફળ $1540\, cm^3$ છે.

(D) નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
અહીં પાયાનું ક્ષેત્રફળ $20 \, cm^{2}$ આપેલું છે,તેથી $\pi r^{2} = 20 \, cm^{2}$ થાય.
નળાકારના ઘનફળ $V$ નું સૂત્ર $V = \pi r^{2} h$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$V = (20 \, cm^{2}) \times (5 \, cm) = 100 \, cm^{3}$ મળે.
આમ,નળાકારનું ઘનફળ $100 \, cm^{3}$ છે.

(B) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
અહીં આપેલ છે કે ઘનફળ $V = 20 \pi \, cm^3$ અને ઊંચાઈ $h = 5 \, cm$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $20 \pi = \pi r^2 \times 5$.
બંને બાજુ $5 \pi$ વડે ભાગતા,આપણને $r^2 = 4$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$r = 2 \, cm$ મળે છે.
વ્યાસ $d$ એ ત્રિજ્યા કરતા બમણો હોય છે: $d = 2r = 2 \times 2 = 4 \, cm$.

(D) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^{2} h$ છે.
અહીં આપેલ છે કે ઘનફળ $V = 550 \, cm^{3}$ અને ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$550 = \frac{22}{7} \times (5)^{2} \times h$
$550 = \frac{22}{7} \times 25 \times h$
$h = \frac{550 \times 7}{22 \times 25}$
$h = \frac{3850}{550}$
$h = 7 \, cm$.
આમ,નળાકારની ઊંચાઈ $7 \, cm$ છે.

(B) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 21 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^{2} \times 21$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 21$
$V = 22 \times 25 \times \frac{21}{21}$
$V = 22 \times 25 = 550 \, cm^{3}$.

(B) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $V = \frac{1}{3} \times \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
અહીં,પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= 60 \, cm^{2}$ અને ઊંચાઈ $= 15 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times 60 \times 15$
$V = 20 \times 15 = 300 \, cm^{3}$.
તેથી,શંકુનું ઘનફળ $300 \, cm^{3}$ થાય.

(A) ધારો કે શંકુ અને નળાકાર બંનેની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેમની ઊંચાઈ $h$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શંકુના ઘનફળ અને નળાકારના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_{cone}}{V_{cylinder}} = \frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{1}{3}$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 3$ છે.

(C) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ છે.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
આપેલ છે કે બંને આકારો માટે ત્રિજ્યા $(r)$ અને ઊંચાઈ $(h)$ સમાન છે,તેથી આપણે તેમના ઘનફળની સરખામણી કરી શકીએ:
$V_{cylinder} = \pi r^{2} h$
કારણ કે $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$,આપણે લખી શકીએ કે $\pi r^{2} h = 3 \times (\frac{1}{3} \pi r^{2} h)$.
તેથી,$V_{cylinder} = 3 \times V_{cone}$.

(C) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 3 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 3 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (3)^{2} \times 3$
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 3$
$V = 9 \pi \, cm^{3}$.

(B) ગોળાના ઘનફળ $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે. આપેલ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $8:27$ છે.

(D) આપેલ છે: નળાકાર ટાંકીનો વ્યાસ $= 2.1 \, m$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{2.1}{2} = 1.05 \, m$ અથવા $\frac{21}{20} \, m$.
ઊંચાઈ $h = 5 \, m$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2 \pi r h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times 5$.
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times 5 = 2 \times 22 \times \frac{3}{20} \times 5 = 44 \times \frac{15}{20} = 44 \times 0.75 = 33 \, m^2$.
તેથી,$CSA = 33 \, m^2$ થાય.

(B) નળાકારનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે。
અહીં ત્રિજ્યા $r = 1.4 \, m$ અને ઊંચાઈ $h = 4 \, m$ આપેલ છે。
કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{22}{7} \times (1.4)^2 \times 4$.
$V = \frac{22}{7} \times 1.96 \times 4 = 22 \times 0.28 \times 4 = 24.64 \, m^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, m^3 = 1000 \, \text{લિટર}$,તેથી ટાંકીની ક્ષમતા લિટરમાં $24.64 \times 1000 = 24640 \, \text{લિટર}$ થાય。

(B) આપેલ છે: ઊંચાઈ $(h) = 3\,m$,વ્યાસ $= 8\,m$.
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{8}{2} = 4\,m$.
શંકુ માટે,તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
$l = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,m$.
શંકુ આકારની ટાંકીની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= \pi r l$.
$CSA = 3.14 \times 4 \times 5 = 3.14 \times 20 = 62.8\,m^{2}$.

(A) ગોલકનું પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^{2}$ છે.
અહીં $A = \frac{763}{3} \, m^{2}$ અને $\pi = 3.14$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{763}{3} = 4 \times 3.14 \times r^{2}$
$\frac{763}{3} = 12.56 \times r^{2}$
$r^{2} = \frac{763}{3 \times 12.56}$
$r^{2} = \frac{763}{37.68}$
$r^{2} \approx 20.25$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$r = \sqrt{20.25} = 4.5 \, m$.
આમ,ગોલકની ત્રિજ્યા $4.5 \, m$ છે.

(B) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 6 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 21 \, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6)^{2} \times 21$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 36 \times 21$.
$V = 22 \times 36 = 792 \, cm^{3}$.

(C) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
આપેલ છે: $V = 9504\,cm^{3}$,$r = 18\,cm$ અને $\pi = \frac{22}{7}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$9504 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (18)^{2} \times h$
$9504 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 324 \times h$
$9504 = 22 \times 108 \times \frac{h}{7}$
$9504 = 2376 \times \frac{h}{7}$
$h = \frac{9504 \times 7}{2376}$
$h = 4 \times 7 = 28\,cm$.
આમ,શંકુની ઊંચાઈ $28\,cm$ છે.

(C) ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4\pi r^{2}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 1256\,cm^{2}$ અને $\pi = 3.14$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1256 = 4 \times 3.14 \times r^{2}$
$1256 = 12.56 \times r^{2}$
$r^{2} = \frac{1256}{12.56}$
$r^{2} = 100$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $r = 10\,cm$ મળે છે.

(C) શંકુના આડછેદ માટે, તેની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$
અહીં $h = 4\,cm$, $r_1 = 10\,cm$ અને $r_2 = 7\,cm$ આપેલ છે:
$l = \sqrt{4^2 + (10 - 7)^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,cm$
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$CSA = \pi l(r_1 + r_2)$
કિંમતો મૂકતા:
$CSA = \pi \times 5 \times (10 + 7) = \pi \times 5 \times 17 = 85\pi\,cm^2$

(B) શંકુના આડછેદનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $V = \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$ છે.
અહીં આપેલ છે: $r_{1} = 3\,cm$,$r_{2} = 2\,cm$,અને $h = 21\,cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times (3^{2} + 2^{2} + 3 \times 2)$
$V = 22 \times (9 + 4 + 6)$
$V = 22 \times 19$
$V = 418\,cm^{3}$.
આમ,ગ્લાસની ક્ષમતા $418\,cm^{3}$ છે.

(B) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
ધારો કે બે નળાકારની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે,અને તેમની ઊંચાઈઓ $h_1$ અને $h_2$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ અને $\frac{h_1}{h_2} = \frac{4}{5}$.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{4}{5}\right)$.
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{9}{16} \times \frac{4}{5} = \frac{9 \times 4}{16 \times 5} = \frac{9}{4 \times 5} = \frac{9}{20}$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $9:20$ છે.

(C) ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 1.5\,cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (1.5)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times 1.5 \times 1.5 \times 1.5$
$V = 4 \times \pi \times 0.5 \times 1.5 \times 1.5$
$V = 2 \times \pi \times 2.25$
$V = 4.5 \pi\,cm^{3}$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r' = 2r$ થાય.
નવું ઘનફળ $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^3$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં $r' = 2r$ મૂકતા,આપણને $V' = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ મળે છે.
તેથી,$V' = 8V$.
આમ,ઘનફળ મૂળ ઘનફળના $8$ ગણું થાય છે.

(B) અર્ધગોલકનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર: $TSA = 3\pi r^{2}$ છે.
અહીં,$TSA = 462\,cm^{2}$ આપેલ છે.
તેથી,$3\pi r^{2} = 462$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$3 \times \frac{22}{7} \times r^{2} = 462$.
$r^{2} = 462 \times \frac{7}{3 \times 22}$.
$r^{2} = 462 \times \frac{7}{66}$.
$r^{2} = 7 \times 7 = 49$.
$r = \sqrt{49} = 7\,cm$.
વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 7 = 14\,cm$ થાય.

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા શંકુનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
આ સૂત્ર સમાન પાયાની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ ધરાવતા નળાકારના ઘનફળના ત્રીજા ભાગનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે. આપેલ છે કે $r_1 : r_2 = 3 : 4$.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
તેથી,બે ગોળાઓના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ થશે.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા,$\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$ મળે.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $27:64$ છે.

(C) ગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
અહીં $V = 4.5 \pi \, cm^3$ આપેલ છે,તેથી:
$4.5 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3$
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા:
$4.5 = \frac{4}{3} r^3$
$r^3 = 4.5 \times \frac{3}{4} = \frac{45}{10} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{8}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$r = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} = 1.5 \, cm$
વ્યાસ $d = 2r$ હોવાથી:
$d = 2 \times 1.5 = 3 \, cm$.

(C) ક્ષેત્રફળ એટલે કોઈ પદાર્થે રોકેલી દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યાનું માપ. ક્ષેત્રફળનો પ્રમાણિત એકમ ચોરસ એકમ (જેમ કે $m^2$,$cm^2$,$km^2$) છે.
$cm^3$ અને $m^3$ એ ઘનફળના એકમો છે.
$cm$ એ લંબાઈનો એકમ છે.
તેથી,$cm^2$ એ ક્ષેત્રફળનો એકમ છે.

(B) કદ (ઘનફળ) એટલે ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થે રોકેલી જગ્યા.
આંતરરાષ્ટ્રીય એકમ પદ્ધતિ $(SI)$ માં,લંબાઈનો મૂળભૂત એકમ મીટર $(m)$ છે.
કદ એ ત્રણ પરિમાણોનો ગુણાકાર (લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ $\times$ ઊંચાઈ) હોવાથી,તેનો એકમ લંબાઈના એકમનો ઘન થાય છે.
તેથી,કદનો એકમ $m \times m \times m = m^3$ છે.
- $m$ એ લંબાઈનો એકમ છે.
- $m^2$ એ ક્ષેત્રફળનો એકમ છે.
- $cm^2$ પણ ક્ષેત્રફળનો એકમ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સમઘન ટાંકીનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \text{બાજુ}^3$ છે.
અહીં બાજુની લંબાઈ $1\, m$ આપેલી છે,તેથી ઘનફળ $V = (1\, m)^3 = 1\, m^3$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1\, m^3 = 1000\, \text{લિટર}$.
તેથી,ટાંકીમાં સંગ્રહ કરી શકાતા પાણીની મહત્તમ માત્રા $1000\, \text{લિટર}$ છે.

(D) લંબાઈ ધરાવતા સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $6a^{2}$ છે.
અહીં બાજુની લંબાઈ $a = 4 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (4 \, cm)^{2}$
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6 \times 16 \, cm^{2}$
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 96 \, cm^{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $2(lb + bh + hl)$ છે,જ્યાં $l$,$b$ અને $h$ એ અનુક્રમે લંબઘનની લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ છે.
આપેલ માપ $l = 15\,cm$,$b = 12\,cm$ અને $h = 10\,cm$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2(15 \times 12 + 12 \times 10 + 10 \times 15)$
$= 2(180 + 120 + 150)$
$= 2(450)$
$= 900\,cm^{2}$.

(B) આપેલ અર્ધગોલક માટે,ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, cm$ છે.
અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $3 \pi r^{2}$ છે.
સૂત્રમાં $r = 1 \, cm$ ની કિંમત મૂકતા:
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 3 \times \pi \times (1)^{2} = 3 \pi \, cm^{2}$ થાય.

(C) નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $2 \pi r h$ છે.
અહીં વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $132 \, cm^2$ અને ઊંચાઈ $h = 3 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$132 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 3$
$132 = \frac{132}{7} \times r$
બંને બાજુ $\frac{7}{132}$ વડે ગુણતા:
$r = 132 \times \frac{7}{132} = 7 \, cm$.
વ્યાસ $d$ એ ત્રિજ્યા કરતા બમણો હોય છે:
$d = 2r = 2 \times 7 = 14 \, cm$.

(D) નળાકારના કુલ પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર $2 \pi r(h + r)$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 13 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (13 + 7)$
$= 2 \times 22 \times 20$
$= 44 \times 20 = 880 \, cm^{2}$.