Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(C) ધારો કે શંકુ $A$ નું ઘનફળ $2V$ છે અને શંકુ $B$ નું ઘનફળ $V$ છે. ધારો કે શંકુ $A$ ની ઊંચાઈ $h_1 \, cm$ છે,તો શંકુ $B$ ની ઊંચાઈ $(21 - h_1) \, cm$ થશે.
આપેલ છે,શંકુનો વ્યાસ $= 6 \, cm$.
તેથી,શંકુની ત્રિજ્યા $r = \frac{6}{2} = 3 \, cm$.
શંકુ $A$ નું ઘનફળ $= 2V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (3)^2 h_1 = 3 \pi h_1$.
આમ,$V = \frac{3}{2} \pi h_1$ ...... $(i)$
શંકુ $B$ નું ઘનફળ $= V = \frac{1}{3} \pi r^2 (21 - h_1) = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (21 - h_1) = 3 \pi (21 - h_1)$ ...... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{3}{2} \pi h_1 = 3 \pi (21 - h_1)$
$\frac{1}{2} h_1 = 21 - h_1$
$\frac{3}{2} h_1 = 21$
$h_1 = 14 \, cm$.
શંકુ $A$ ની ઊંચાઈ $= 14 \, cm$,શંકુ $B$ ની ઊંચાઈ $= 21 - 14 = 7 \, cm$.
શંકુ $A$ નું ઘનફળ $= 3 \pi (14) = 3 \times \frac{22}{7} \times 14 = 132 \, cm^3$.
શંકુ $B$ નું ઘનફળ $= 3 \pi (7) = 3 \times \frac{22}{7} \times 7 = 66 \, cm^3$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 H = \frac{22}{7} \times (3)^2 \times 21 = 22 \times 9 \times 3 = 594 \, cm^3$.
બાકીના ભાગનું ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ $-$ (શંકુ $A$ નું ઘનફળ $+$ શંકુ $B$ નું ઘનફળ)
$= 594 - (132 + 66) = 594 - 198 = 396 \, cm^3$.

(D) આઈસ્ક્રીમનો કોન એ અર્ધગોલક અને શંકુનું સંયોજન છે.
આપેલ છે કે,અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 5 \, cm$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^{3} = \frac{5500}{21} \approx 261.90 \, cm^{3}$.
હવે,શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 5 \, cm$.
આઈસ્ક્રીમના કોનની કુલ ઊંચાઈ $10 \, cm$ છે. અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $5 \, cm$ હોવાથી,શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $(h)$ $= 10 - 5 = 5 \, cm$ થશે.
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^{2} \times 5 = \frac{2750}{21} \approx 130.95 \, cm^{3}$.
આઈસ્ક્રીમના કોનનું કુલ ઘનફળ $= 261.90 + 130.95 = 392.85 \, cm^{3}$.
$\frac{1}{6}$ ભાગ ખાલી રહેતો હોવાથી,ભરેલા આઈસ્ક્રીમનું ઘનફળ કુલ ઘનફળના $\frac{5}{6}$ ભાગનું થશે.
આઈસ્ક્રીમનું જરૂરી ઘનફળ $= \frac{5}{6} \times 392.85 = 5 \times 65.475 = 327.375 \approx 327.4 \, cm^{3}$.

(A) આપેલ છે,લખોટીનો વ્યાસ $= 1.4 \,cm$.
$\therefore$ લખોટીની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{1.4}{2} = 0.7 \,cm$.
એક ગોળાકાર લખોટીનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0.7)^3 = \frac{4}{3} \pi (0.343) = \frac{1.372}{3} \pi \,cm^3$.
આપેલ છે,નળાકાર બીકરનો વ્યાસ $= 7 \,cm$.
$\therefore$ બીકરની ત્રિજ્યા $(R) = \frac{7}{2} = 3.5 \,cm$.
પાણીના સ્તરમાં થયેલો વધારો $(h) = 5.6 \,cm$.
બીકરમાં વિસ્થાપિત (વધેલા) પાણીનું ઘનફળ $= \pi R^2 h = \pi (3.5)^2 (5.6) = \pi (12.25) (5.6) = 68.6 \pi \,cm^3$.
ધારો કે લખોટીઓની સંખ્યા $n$ છે.
તેથી,$n \times (\text{એક લખોટીનું ઘનફળ}) = \text{વધેલા પાણીનું ઘનફળ}$.
$n \times \frac{1.372}{3} \pi = 68.6 \pi$.
$n = \frac{68.6 \times 3}{1.372} = \frac{205.8}{1.372} = 150$.
આમ,$150$ લખોટીઓની જરૂર પડશે.

(B) આપેલ છે કે,નક્કર લંબઘન સીસાના ટુકડામાંથી ગોળાકાર સીસાના છરા બનાવવામાં આવે છે.
$\therefore$ ગોળાકાર સીસાના છરાની સંખ્યા $= \frac{\text{નક્કર લંબઘન સીસાના ટુકડાનું ઘનફળ}}{\text{એક ગોળાકાર સીસાના છરાનું ઘનફળ}}$ ......$(i)$
ગોળાકાર સીસાના છરાનો વ્યાસ $= 4.2 \, cm$ છે.
$\therefore$ ગોળાકાર સીસાના છરાની ત્રિજ્યા,$r = \frac{4.2}{2} = 2.1 \, cm$.
ગોળાકાર સીસાના છરાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 = 38.808 \, cm^3$.
લંબઘન સીસાના ટુકડાનું ઘનફળ $= l \times b \times h = 66 \times 42 \times 21 = 58212 \, cm^3$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,
ગોળાકાર સીસાના છરાની સંખ્યા $= \frac{58212}{38.808} = 1500$.
આમ,જરૂરી ગોળાકાર સીસાના છરાની સંખ્યા $1500$ છે.

(C) આપેલ છે કે,સીસાના નક્કર સમઘનમાંથી ગોળાકાર સીસાના છરા બનાવવામાં આવે છે.
$\therefore$ ગોળાકાર સીસાના છરાની સંખ્યા $= \frac{\text{સીસાના નક્કર સમઘનનું ઘનફળ}}{\text{એક ગોળાકાર સીસાના છરાનું ઘનફળ}}$ ...........$(i)$
આપેલ છે કે,ગોળાકાર સીસાના છરાનો વ્યાસ $= 4 \,cm$.
$\Rightarrow$ ગોળાકાર સીસાના છરાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{4}{2} = 2 \,cm$.
એક ગોળાકાર સીસાના છરાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2)^3 = \frac{4 \times 22 \times 8}{3 \times 7} = \frac{704}{21} \,cm^3$.
આપેલ છે કે,નક્કર સમઘનની બાજુ $(a) = 44 \,cm$.
નક્કર સમઘનનું ઘનફળ $= a^3 = (44)^3 = 44 \times 44 \times 44 = 85184 \,cm^3$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,
ગોળાકાર સીસાના છરાની સંખ્યા $= \frac{44 \times 44 \times 44}{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8} = \frac{44 \times 44 \times 44 \times 3 \times 7}{4 \times 22 \times 8} = 11 \times 21 \times 11 = 2541$.
આમ,જરૂરી ગોળાકાર સીસાના છરાની સંખ્યા $2541$ છે.

(D) આપેલ છે કે,દીવાલ ઈંટો અને મોર્ટારની મદદથી બનાવવામાં આવે છે.
ઈંટોની સંખ્યા $= \frac{\text{દીવાલનું કુલ કદ} - (\frac{1}{10} \text{ભાગનું દીવાલનું કદ})}{\text{એક ઈંટનું કદ}}$ .........$(i)$
દીવાલની લંબાઈ $(l) = 24 \, m$,જાડાઈ $(b) = 0.4 \, m$,ઊંચાઈ $(h) = 6 \, m$.
દીવાલનું કુલ કદ $= l \times b \times h = 24 \times 0.4 \times 6 = 57.6 \, m^3$.
મોર્ટાર દ્વારા રોકાયેલ કદ $= \frac{1}{10} \times 57.6 = 5.76 \, m^3$.
ઈંટો દ્વારા રોકાયેલ કદ $= 57.6 - 5.76 = 51.84 \, m^3$.
ઈંટનું માપ $= 25 \, cm \times 16 \, cm \times 10 \, cm = 0.25 \, m \times 0.16 \, m \times 0.10 \, m$.
એક ઈંટનું કદ $= 0.25 \times 0.16 \times 0.10 = 0.004 \, m^3$.
ઈંટોની સંખ્યા $= \frac{51.84}{0.004} = \frac{51840}{4} = 12960$.
આમ,દીવાલ બનાવવા માટે વપરાયેલી ઈંટોની જરૂરી સંખ્યા $12960$ છે.

(A) ધાતુની ગોળાકાર તકતી એ મૂળભૂત રીતે એક પાતળો નળાકાર છે.
ધાતુની ગોળાકાર તકતી માટે:
વ્યાસ $= 1.5\, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $(r) = \frac{1.5}{2} = 0.75\, cm$.
ઊંચાઈ $(h) = 0.2\, cm$.
એક તકતીનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \pi \times (0.75)^2 \times 0.2 = \pi \times 0.5625 \times 0.2 = 0.1125\pi\, cm^3$.
મોટા નળાકાર માટે:
વ્યાસ $= 4.5\, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $(R) = \frac{4.5}{2} = 2.25\, cm$.
ઊંચાઈ $(H) = 10\, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi R^2 H = \pi \times (2.25)^2 \times 10 = \pi \times 5.0625 \times 10 = 50.625\pi\, cm^3$.
જરૂરી તકતીઓની સંખ્યા $= \frac{\text{નળાકારનું ઘનફળ}}{\text{એક તકતીનું ઘનફળ}} = \frac{50.625\pi}{0.1125\pi} = \frac{506250}{1125} = 450$.
આમ,જરૂરી ધાતુની ગોળાકાર તકતીઓની સંખ્યા $450$ છે.

(N/A) ડોલની ક્ષમતા (ઘનફળ) નું સૂત્ર $V = \frac{\pi h}{3} [r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2]$ છે.
અહીં $h = 30 \, cm$,$r_1 = 20 \, cm$ અને $r_2 = 10 \, cm$ છે.
ક્ષમતા $= \frac{3.14 \times 30}{3} [20^2 + 10^2 + 20 \times 10] = 31.4 [400 + 100 + 200] = 31.4 \times 700 = 21980 \, cm^3$.
$1000 \, cm^3 = 1 \, litre$ હોવાથી,ક્ષમતા $21.98 \, litres$ થાય.
$Rs. \, 25$ પ્રતિ $litre$ ના ભાવે દૂધની કિંમત $21.98 \times 25 = Rs. \, 549.50$ થાય.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{30^2 + (20 - 10)^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} \approx 31.62 \, cm$.
ડોલની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (ઉપરથી ખુલ્લી) = વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + તળિયાનું ક્ષેત્રફળ: $A = \pi l (r_1 + r_2) + \pi r_2^2$.
$A = 3.14 \times 31.62 \times (20 + 10) + 3.14 \times 10^2 = 3.14 \times 31.62 \times 30 + 314 = 2978.56 + 314 = 3292.56 \, cm^2 \approx 3292.6 \, cm^2$.

(N/A) ધારો કે $r$ એ અર્ધગોલક અને શંકુની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ શંકુની ઊંચાઈ છે. આપેલ છે કે $h = 4\, cm$ અને વ્યાસ $d = 8\, cm$,તેથી $r = 4\, cm$.
રમકડાનું ઘનફળ $=$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ $+$ શંકુનું ઘનફળ
$= \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (2r + h)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4^2 \times (2 \times 4 + 4) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 16 \times 12 = \frac{1408}{7} \approx 201.14\, cm^3$.
એક સમઘન રમકડાને પરિબદ્ધ કરે છે. રમકડાની ઊંચાઈ $h + r = 4 + 4 = 8\, cm$ છે અને પહોળાઈ $8\, cm$ છે. તેથી,સમઘનની ધાર $a = 8\, cm$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $= a^3 = 8^3 = 512\, cm^3$.
ઘનફળનો તફાવત $= 512 - 201.14 = 310.86\, cm^3$.
રમકડાની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $=$ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $+$ અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
$= \pi r l + 2 \pi r^2$,જ્યાં તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\, cm$.
$= \pi r (l + 2r) = \frac{22}{7} \times 4 \times (4\sqrt{2} + 8) = \frac{88}{7} \times 4(\sqrt{2} + 2) = \frac{352}{7} (1.414 + 2) \approx 171.68\, cm^2$.

(D) ધારો કે અર્ધગોળાકાર ગુંબજની ત્રિજ્યા $r$ મીટર છે અને ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ $h$ મીટર છે.
ગુંબજનો પાયાનો વ્યાસ કુલ ઊંચાઈના $\frac{2}{3}$ જેટલો હોવાથી,$2r = \frac{2}{3}h$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{h}{3}$.
ધારો કે નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $H$ છે. તો $H = h - r = h - \frac{h}{3} = \frac{2}{3}h$ મીટર.
ઇમારતની અંદરની હવાનું ઘનફળ એ અર્ધગોળાકાર ગુંબજનું ઘનફળ અને નળાકાર ભાગના ઘનફળનો સરવાળો છે.
ઘનફળ $= \frac{2}{3}\pi r^3 + \pi r^2 H = \frac{2}{3}\pi (\frac{h}{3})^3 + \pi (\frac{h}{3})^2 (\frac{2}{3}h) = \frac{2}{3}\pi (\frac{h^3}{27}) + \pi (\frac{h^2}{9}) (\frac{2}{3}h) = \frac{2\pi h^3}{81} + \frac{2\pi h^3}{27} = \frac{2\pi h^3 + 6\pi h^3}{81} = \frac{8\pi h^3}{81}$.
આપેલ છે કે ઘનફળ $67 \frac{1}{21} = \frac{1408}{21} \, m^3$ છે.
તેથી,$\frac{8}{81} \times \frac{22}{7} \times h^3 = \frac{1408}{21}$.
$h^3 = \frac{1408}{21} \times \frac{81 \times 7}{8 \times 22} = \frac{1408}{21} \times \frac{567}{176} = 8 \times 27 = 216$.
$h = \sqrt[3]{216} = 6 \, m$.

(A) ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h \, cm$ છે.
આપેલ છે કે,શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r = 6 \, cm$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6)^2 h = \frac{36 \pi h}{3} = 12 \pi h \, cm^3$ થાય.
આપેલ છે કે,અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $R = 8 \, cm$ છે.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $V_{hemisphere} = \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi (8)^3 = \frac{2}{3} \pi (512) = \frac{1024 \pi}{3} \, cm^3$ થાય.
અર્ધગોલકને ઓગાળીને શંકુ બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન થશે:
$12 \pi h = \frac{1024 \pi}{3}$
$h = \frac{1024 \pi}{3 \times 12 \pi} = \frac{1024}{36} = \frac{256}{9} \approx 28.44 \, cm$.
આમ,શંકુની ઊંચાઈ $28.44 \, cm$ છે.

(B) આપેલ છે કે,લંબચોરસ ટાંકીના પાયાના માપ $= 11 \,m \times 6 \,m$ અને પાણીની ઊંચાઈ $= 5 \,m$ છે.
લંબચોરસ ટાંકીમાં પાણીનું ઘનફળ $= 11 \times 6 \times 5 = 330 \,m^3$ થાય.
વળી,નળાકાર ટાંકીની ત્રિજ્યા $r = 3.5 \,m$ આપેલ છે.
ધારો કે નળાકાર ટાંકીમાં પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $h$ છે. નળાકાર ટાંકીમાં પાણીનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
$V = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times h = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times h = 22 \times 0.5 \times 3.5 \times h = 38.5 h \,m^3$ થાય.
પાણીનું સ્થાનાંતર કરતી વખતે ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી:
$38.5 h = 330$.
$h = \frac{330}{38.5} = \frac{3300}{385} \approx 8.571 \,m$ થાય.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $8.6 \,m$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે બાહ્ય લંબાઈ $(l) = 36 \, cm$,બાહ્ય પહોળાઈ $(b) = 25 \, cm$ અને બાહ્ય ઊંચાઈ $(h) = 16.5 \, cm$ છે. લોખંડની જાડાઈ $x = 1.5 \, cm$ છે.
ખુલ્લા બોક્સનું બાહ્ય ઘનફળ $= l \times b \times h = 36 \times 25 \times 16.5 = 14850 \, cm^3$.
ખુલ્લા બોક્સ માટે,આંતરિક પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
આંતરિક લંબાઈ $(l_i) = l - 2x = 36 - 2(1.5) = 36 - 3 = 33 \, cm$.
આંતરિક પહોળાઈ $(b_i) = b - 2x = 25 - 2(1.5) = 25 - 3 = 22 \, cm$.
આંતરિક ઊંચાઈ $(h_i) = h - x = 16.5 - 1.5 = 15 \, cm$ (કારણ કે તે ખુલ્લું બોક્સ છે,તેથી માત્ર તળિયાની જાડાઈ બાદ કરવામાં આવે છે).
આંતરિક ઘનફળ $= l_i \times b_i \times h_i = 33 \times 22 \times 15 = 10890 \, cm^3$.
જરૂરી લોખંડનું ઘનફળ = બાહ્ય ઘનફળ - આંતરિક ઘનફળ
$= 14850 - 10890 = 3960 \, cm^3$.
બોક્સનું વજન = લોખંડનું ઘનફળ $\times$ ઘનતા
$= 3960 \, cm^3 \times 7.5 \, g/cm^3 = 29700 \, g = 29.7 \, kg$.

(D) આપેલ છે કે,ફાઉન્ટેન પેનના બેરલની લંબાઈ $h = 7 \, cm$ છે.
વ્યાસ $d = 5 \, mm = 0.5 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.25 \, cm$ થાય.
નળાકાર બેરલનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (0.25)^2 \times 7 = 22 \times 0.0625 = 1.375 \, cm^3$.
આપેલ છે કે $1.375 \, cm^3$ શાહી વડે $3300$ શબ્દો લખી શકાય છે.
બોટલમાં શાહીનું ઘનફળ $= \frac{1}{5} \, L = \frac{1}{5} \times 1000 \, cm^3 = 200 \, cm^3$.
$200 \, cm^3$ શાહી વડે લખાતા શબ્દોની સંખ્યા $= \frac{3300}{1.375} \times 200$.
$= \frac{3300 \times 200}{1.375} = \frac{660000}{1.375} = 480000$ શબ્દો.

(A) આપેલ છે,પાણીના પ્રવાહની ઝડપ $= 10 \, m/min = 1000 \, cm/min$.
પાઇપની ત્રિજ્યા $r = \frac{5 \, mm}{2} = 2.5 \, mm = 0.25 \, cm$.
પાઇપના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi \times (0.25)^2 = 0.0625 \pi \, cm^2$.
દર મિનિટે વહેતા પાણીનું ઘનફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઝડપ} = 0.0625 \pi \times 1000 = 62.5 \pi \, cm^3$.
શંકુ આકારના પાત્રનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi R^2 H$,જ્યાં $R = 20 \, cm$ અને $H = 24 \, cm$.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi \times (20)^2 \times 24 = 8 \pi \times 400 = 3200 \pi \, cm^3$.
જરૂરી સમય $= \frac{\text{પાત્રનું ઘનફળ}}{\text{દર મિનિટે વહેતું ઘનફળ}} = \frac{3200 \pi}{62.5 \pi} = \frac{3200}{62.5} = 51.2 \, \text{મિનિટ}$.
$51.2 \, \text{મિનિટ }= 51 \, \text{મિનિટ }+ 0.2 \times 60 \, \text{સેકન્ડ }= 51 \, \text{મિનિટ }\, 12 \, \text{સેકન્ડ}$.

(N/A) આપેલ છે કે,ચોખાનો ઢગલો શંકુ આકારનો છે.
શંકુની ઊંચાઈ $(h) = 3.5 \, m$.
શંકુનો વ્યાસ $= 9 \, m$,તેથી ત્રિજ્યા $(r) = \frac{9}{2} = 4.5 \, m$.
ચોખાનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (4.5)^2 \times 3.5 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 20.25 \times 3.5 = 74.25 \, m^3$.
ઢગલાને ઢાંકવા માટે,આપણે શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવું પડશે,જે $\pi r l$ છે,જ્યાં $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.
$l = \sqrt{(4.5)^2 + (3.5)^2} = \sqrt{20.25 + 12.25} = \sqrt{32.5} \approx 5.70 \, m$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times 4.5 \times 5.70 \approx 80.61 \, m^2$.
આમ,ચોખાનું ઘનફળ $74.25 \, m^3$ છે અને જરૂરી કેનવાસ કાપડ $80.61 \, m^2$ છે.

(C) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $CSA = 2 \pi r h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $2 \pi r$ એ પાયાનો પરિઘ છે અને $h$ એ લંબાઈ (ઊંચાઈ) છે.
આપેલ છે કે,પાયાનો પરિઘ $= 1.5 \,cm$ અને લંબાઈ $h = 25 \,cm$.
એક પેન્સિલની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 1.5 \,cm \times 25 \,cm = 37.5 \,cm^2$.
કારણ કે $1 \,dm = 10 \,cm$,તેથી $1 \,dm^2 = 100 \,cm^2$. તેથી,$1 \,cm^2 = 0.01 \,dm^2$.
એક પેન્સિલની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $dm^2$ માં $= 37.5 \times 0.01 = 0.375 \,dm^2$.
$120000$ પેન્સિલ માટે કુલ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 120000 \times 0.375 \,dm^2 = 45000 \,dm^2$.
રંગવાનો ખર્ચ $= 45000 \,dm^2 \times \operatorname{Rs.} 0.05/dm^2 = \operatorname{Rs.} 2250$.

(D) આપેલ છે: તળાવની લંબાઈ $= 50\, m$,તળાવની પહોળાઈ $= 44\, m$.
પાણીના સ્તરમાં જરૂરી વધારો $= 21\, cm = 0.21\, m$.
તળાવમાં જરૂરી પાણીનું ઘનફળ $= 50 \times 44 \times 0.21 = 462\, m^3$.
પાઇપની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{14}{2} = 7\, cm = 0.07\, m$.
પાણીની ઝડપ $= 15\, km/h = 15000\, m/h$.
$1\, h$ માં પાઇપમાંથી વહેતા પાણીનું ઘનફળ $= \pi r^2 \times \text{ઝડપ} = \frac{22}{7} \times (0.07)^2 \times 15000$.
$= \frac{22}{7} \times 0.0049 \times 15000 = 22 \times 0.0007 \times 15000 = 231\, m^3$.
$462\, m^3$ પાણી ભરવા માટે જરૂરી સમય $= \frac{\text{કુલ જરૂરી ઘનફળ}}{\text{પ્રતિ કલાક વહેતું ઘનફળ}} = \frac{462}{231} = 2\, h$.
આમ,જરૂરી સમય $2\, h$ છે.

(A) આપેલ છે કે,એક નક્કર લોખંડના લંબઘન બ્લોકને ઓગાળીને પોલા નળાકાર પાઈપમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
લંબઘન બ્લોકનું ઘનફળ $= l \times b \times h = 4.4 \, m \times 2.6 \, m \times 1 \, m = 11.44 \, m^3$.
પોલા નળાકાર પાઈપની આંતરિક ત્રિજ્યા $(r_i) = 30 \, cm = 0.3 \, m$.
પાઈપની જાડાઈ $= 5 \, cm = 0.05 \, m$.
બાહ્ય ત્રિજ્યા $(r_e) = r_i + \text{જાડાઈ} = 0.3 \, m + 0.05 \, m = 0.35 \, m$.
પોલા નળાકાર પાઈપનું ઘનફળ $= \pi (r_e^2 - r_i^2) h_1$,જ્યાં $h_1$ એ પાઈપની લંબાઈ છે.
ઘનફળ $= \frac{22}{7} \times (0.35^2 - 0.3^2) \times h_1 = \frac{22}{7} \times (0.1225 - 0.09) \times h_1 = \frac{22}{7} \times 0.0325 \times h_1$.
ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી: $11.44 = \frac{22}{7} \times 0.0325 \times h_1$.
$h_1 = \frac{11.44 \times 7}{22 \times 0.0325} = \frac{80.08}{0.715} = 112 \, m$.
આમ,પાઈપની લંબાઈ $112 \, m$ છે.

(B) ધારો કે જ્યારે $500$ વ્યક્તિઓ લંબઘન તળાવમાં ડૂબકી મારે છે ત્યારે પાણીના સ્તરમાં થતો વધારો $h \, m$ છે.
આપેલ છે કે,
લંબઘન તળાવની લંબાઈ $= 80 \, m$
લંબઘન તળાવની પહોળાઈ $= 50 \, m$
હવે,તળાવમાં પાણીના સ્તરમાં થતા વધારાનું ઘનફળ:
ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$
ઘનફળ $= 80 \times 50 \times h = 4000h \, m^3$
એક વ્યક્તિ દ્વારા પાણીનું સરેરાશ વિસ્થાપન $= 0.04 \, m^3$
તેથી,$500$ વ્યક્તિઓ દ્વારા પાણીનું કુલ વિસ્થાપન $= 500 \times 0.04 \, m^3 = 20 \, m^3$
પ્રશ્ન મુજબ,પાણીના સ્તરમાં થતા વધારાનું ઘનફળ એ $500$ વ્યક્તિઓ દ્વારા પાણીના કુલ વિસ્થાપન જેટલું છે:
$4000h = 20$
$h = \frac{20}{4000} \, m$
$h = \frac{1}{200} \, m = 0.005 \, m$
ઊંચાઈને સેન્ટિમીટર $(cm)$ માં ફેરવવા માટે:
$h = 0.005 \times 100 \, cm = 0.5 \, cm$
આમ,તળાવમાં પાણીના સ્તરમાં જરૂરી વધારો $0.5 \, cm$ છે.

(C) આપેલ છે,લંબઘન બોક્સના માપ $= 16 \,cm \times 8 \,cm \times 8 \,cm$.
લંબઘન બોક્સનું ઘનફળ $= 16 \times 8 \times 8 = 1024 \,cm^3$.
એક કાચના ગોળાની ત્રિજ્યા $(r) = 2 \,cm$.
એક કાચના ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8 = \frac{704}{21} \approx 33.524 \,cm^3$.
$16$ કાચના ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ $= 16 \times 33.524 = 536.384 \,cm^3$.
ભરેલા પાણીનું ઘનફળ $= \text{લંબઘન બોક્સનું ઘનફળ} - 16 \text{ કાચના ગોળાઓનું ઘનફળ}$.
પાણીનું ઘનફળ $= 1024 - 536.384 = 487.616 \,cm^3$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઘનફળ $487.6 \,cm^3$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: દૂધના પાત્રની ઊંચાઈ $(h) = 16 \, cm$,નીચેના છેડાની ત્રિજ્યા $(r) = 8 \, cm$ અને ઉપરના છેડાની ત્રિજ્યા $(R) = 20 \, cm$.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર: $V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + r^2 + Rr)$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 16 \times (20^2 + 8^2 + 20 \times 8)$
$V = \frac{22 \times 16}{21} \times (400 + 64 + 160)$
$V = \frac{352}{21} \times 624$
$V = \frac{219648}{21} \approx 10459.43 \, cm^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{લિટર}$,તેથી લિટરમાં ઘનફળ $V = \frac{10459.43}{1000} = 10.45943 \, \text{લિટર}$.
$Rs. \, 22$ પ્રતિ લિટરના ભાવે દૂધની કિંમત:
કિંમત $= 10.45943 \times 22 = Rs. \, 230.107 \approx Rs. \, 230.12$.

(N/A) આપેલ છે,નળાકાર ડોલના પાયાની ત્રિજ્યા $(R) = 18 \,cm$.
ડોલની ઊંચાઈ $(H) = 32 \,cm$.
નળાકાર ડોલમાં રહેલી રેતીનું ઘનફળ $= \pi R^2 H = \pi \times (18)^2 \times 32 = 10368 \pi \,cm^3$.
ધારો કે શંકુ આકારના ઢગલાની ત્રિજ્યા $r \,cm$ અને તેની ઊંચાઈ $h = 24 \,cm$ છે.
શંકુ આકારના ઢગલાનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 \times 24 = 8 \pi r^2 \,cm^3$.
રેતીનું ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,$8 \pi r^2 = 10368 \pi$.
$r^2 = \frac{10368}{8} = 1296$.
$r = \sqrt{1296} = 36 \,cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ એ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ દ્વારા મળે છે.
$l = \sqrt{36^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 576} = \sqrt{1872}$.
$l = 12\sqrt{13} \approx 43.27 \,cm$.
આમ,ઢગલાની ત્રિજ્યા $36 \,cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ આશરે $43.27 \,cm$ છે.

(N/A) રોકેટ એ લંબવૃત્તીય નળાકાર અને શંકુનું મિશ્રણ છે.
આપેલ છે: નળાકારનો વ્યાસ $= 6 \, cm$.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{6}{2} = 3 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(H) = 12 \, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 H = 3.14 \times (3)^2 \times 12 = 3.14 \times 9 \times 12 = 339.12 \, cm^3$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r H = 2 \times 3.14 \times 3 \times 12 = 226.08 \, cm^2$.
શંકુ માટે,તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 5 \, cm$ અને ત્રિજ્યા $(r) = 3 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h) = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (3)^2 \times 4 = 3.14 \times 3 \times 4 = 37.68 \, cm^3$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r l = 3.14 \times 3 \times 5 = 47.1 \, cm^2$.
રોકેટનું કુલ ઘનફળ $= \text{નળાકારનું ઘનફળ} + \text{શંકુનું ઘનફળ} = 339.12 + 37.68 = 376.8 \, cm^3$.
રોકેટનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= \text{શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ} = 47.1 + 226.08 + (\pi r^2) = 47.1 + 226.08 + (3.14 \times 3^2) = 47.1 + 226.08 + 28.26 = 301.44 \, cm^2$.

(C) ધારો કે ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ ગુંબજના આંતરિક વ્યાસ જેટલી છે,જે $2r \, m$ છે.
તેથી,ઇમારત (અથવા ગુંબજ) ની ત્રિજ્યા $\frac{2r}{2} = r \, m$ છે.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $2r - r = r \, m$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3 \, m^3$.
અર્ધગોળાકાર ગુંબજનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3 \, m^3$.
ઇમારતનું કુલ ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ $+$ અર્ધગોળાકાર ગુંબજનું ઘનફળ.
કુલ ઘનફળ $= \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{5}{3} \pi r^3 \, m^3$.
આપેલ છે કે અંદરની હવાનું ઘનફળ $41 \frac{19}{21} \, m^3 = \frac{880}{21} \, m^3$ છે.
ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{5}{3} \pi r^3 = \frac{880}{21}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$\frac{5}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = \frac{880}{21}$.
$\frac{110}{21} r^3 = \frac{880}{21}$.
$r^3 = \frac{880}{110} = 8$.
$r = \sqrt[3]{8} = 2 \, m$.
ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ $= 2r = 2 \times 2 = 4 \, m$.

(D) આપેલ છે કે,અર્ધગોળાકાર વાટકાની ત્રિજ્યા,$r = 9 \,cm$.
અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ $V_{bowl} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 9^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 729 = 486 \pi \,cm^3$ છે.
દરેક નળાકાર બોટલની ત્રિજ્યા $R = 1.5 \,cm$ અને ઊંચાઈ $h = 4 \,cm$ છે.
એક નળાકાર બોટલનું ઘનફળ $V_{bottle} = \pi R^2 h = \pi \times (1.5)^2 \times 4 = \pi \times 2.25 \times 4 = 9 \pi \,cm^3$ છે.
જરૂરી બોટલોની સંખ્યા $= \frac{V_{bowl}}{V_{bottle}} = \frac{486 \pi}{9 \pi} = 54$.
તેથી,વાટકો ખાલી કરવા માટે $54$ બોટલોની જરૂર પડશે.

(N/A) $(i)$ જ્યારે કોઈ નક્કર પદાર્થને પાણીથી ભરેલા પાત્રમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે બહાર નીકળેલા પાણીનું ઘનફળ તે પદાર્થના ડૂબેલા ભાગના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
$(ii)$ નળાકારમાં શરૂઆતમાં રહેલા પાણીનું કુલ ઘનફળ એ નળાકારના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
$(iii)$ નળાકારમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ $=$ (નળાકારનું કુલ ઘનફળ) $-$ (શંકુનું ઘનફળ).
આપેલ છે:
શંકુની ઊંચાઈ $(h_1)$ $= 120 \,cm$
શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 60 \,cm$
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_2)$ $= 180 \,cm$
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 60 \,cm$
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times (60)^2 \times 120 = 144000 \pi \,cm^3$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h_2 = \pi \times (60)^2 \times 180 = 648000 \pi \,cm^3$.
શંકુ સંપૂર્ણપણે ડૂબેલો હોવાથી,બહાર નીકળેલા પાણીનું ઘનફળ શંકુના ઘનફળ જેટલું એટલે કે $144000 \pi \,cm^3$ થશે.
નળાકારમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ $= 648000 \pi - 144000 \pi = 504000 \pi \,cm^3$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
ઘનફળ $= 504000 \times \frac{22}{7} = 72000 \times 22 = 1584000 \,cm^3$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \,m^3 = 10^6 \,cm^3)$:
ઘનફળ $= \frac{1584000}{1000000} \,m^3 = 1.584 \,m^3$.
આમ,નળાકારમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ $1.584 \,m^3$ છે.

આપેલ છે:
ટાંકીની ત્રિજ્યા, $r_1 = 40\,cm$
ધારો કે અડધા કલાકમાં ટાંકીમાં પાણીના સ્તરમાં થતો વધારો $h_1\,cm$ છે.
નળાકાર પાઇપની આંતરિક ત્રિજ્યા, $r_2 = 1\,cm$
પાણીના વહેવાનો દર $= 80\,cm/s$
સમય $= 30$ મિનિટ $= 30 \times 60 = 1800$ સેકન્ડ
$1800$ સેકન્ડમાં પાઇપમાંથી બહાર આવતા પાણીના સ્તંભની લંબાઈ:
$h_2 = 80 \times 1800 = 144000\,cm$
\textbf{કદના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ:}
ટાંકીમાં પાણીનું કદ = પાઇપમાંથી વહેલું પાણીનું કદ
$\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$
$40^2 \times h_1 = 1^2 \times 144000$
$1600 \times h_1 = 144000$
$h_1 = \frac{144000}{1600} = 90\,cm$
\textbf{અંતિમ જવાબ:}
અડધા કલાકમાં ટાંકીમાં પાણીનું સ્તર $90\,cm$ જેટલું વધશે.

(C) આપેલ છે કે,છતની લંબાઈ $= 22 \, m$ અને છતની પહોળાઈ $= 20 \, m$.
ધારો કે વરસાદનું માપ $a \, cm = \frac{a}{100} \, m$ છે.
છત પર એકત્રિત થયેલ પાણીનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{વરસાદની ઊંચાઈ} = 22 \times 20 \times \frac{a}{100} = \frac{22a}{5} \, m^3$.
નળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, m$.
નળાકાર પાત્રની ઊંચાઈ $h = 3.5 \, m = \frac{7}{2} \, m$.
નળાકાર પાત્રનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (1)^2 \times \frac{7}{2} = 11 \, m^3$.
છત પરથી એકત્રિત થયેલ પાણી નળાકાર પાત્રને ભરે છે,તેથી બંને ઘનફળ સમાન છે:
$\frac{22a}{5} = 11$.
$a = \frac{11 \times 5}{22} = 2.5 \, cm$.
આમ,વરસાદનું માપ $2.5 \, cm$ છે.

(D) આપેલ છે:
લંબઘન પેન સ્ટેન્ડની લંબાઈ $(l) = 10 \, cm$,પહોળાઈ $(b) = 5 \, cm$ અને ઊંચાઈ $(h) = 4 \, cm$.
લંબઘનનું ઘનફળ $= l \times b \times h = 10 \times 5 \times 4 = 200 \, cm^3$.
દરેક શંકુ આકારના ખાડાની ત્રિજ્યા $(r) = 0.5 \, cm$ અને ઊંડાઈ $(h_1) = 2.1 \, cm$.
એક શંકુ આકારના ખાડાનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.5)^2 \times 2.1 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 2.1 = 0.55 \, cm^3$.
$4$ શંકુ આકારના ખાડાઓનું ઘનફળ $= 4 \times 0.55 = 2.2 \, cm^3$.
સમઘન આકારના ખાડાની ધાર $(a) = 3 \, cm$.
સમઘન આકારના ખાડાનું ઘનફળ $= a^3 = 3^3 = 27 \, cm^3$.
સ્ટેન્ડમાં વપરાયેલા લાકડાનું ઘનફળ $=$ લંબઘનનું ઘનફળ $-$ ($4$ શંકુ આકારના ખાડાઓનું ઘનફળ $+$ સમઘન આકારના ખાડાનું ઘનફળ)
$= 200 - (2.2 + 27) = 200 - 29.2 = 170.8 \, cm^3$.

(A) બંને શંકુ માટે:
ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 12 \, cm$.
નળાકાર માટે:
ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $H = \text{વસ્તુની કુલ ઊંચાઈ} - 2 \times \text{શંકુની ઊંચાઈ}$.
$H = 41 - 2 \times 12 = 41 - 24 = 17 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
સંયુક્ત વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$:
$TSA = \text{નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + 2 \times \text{શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$.
$TSA = 2 \pi r H + 2 \times (\pi r l) = 2 \pi r (H + l)$.
$TSA = 2 \times 3.14 \times 5 \times (17 + 13)$.
$TSA = 3.14 \times 10 \times 30 = 3.14 \times 300 = 942 \, cm^2$.
આમ,આપેલી વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $942 \, cm^2$ છે.

(B) શંકુની ત્રિજ્યા $=$ અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $= r = 5 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $= h = 12 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ દ્વારા મળે છે.
$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r)$.
કિંમતો મૂકતા: $3.14 \times 5 \times (13 + 2 \times 5) = 3.14 \times 5 \times (13 + 10) = 3.14 \times 5 \times 23$.
$= 15.7 \times 23 = 361.1 \, cm^2$.

(C) નળાકારની ત્રિજ્યા એ બંને અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા જેટલી જ છે,$r = 7 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ એ વસ્તુની કુલ ઊંચાઈમાંથી બંને અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$h = 34 \, cm - (2 \times 7 \, cm) = 34 - 14 = 20 \, cm$.
સંયુક્ત વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ એ નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ અને બે અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
$TSA = CSA_{\text{cylinder}} + 2 \times CSA_{\text{hemisphere}}$
$TSA = 2 \pi r h + 2 \times (2 \pi r^2)$
$TSA = 2 \pi r (h + 2r)$
કિંમતો મૂકતા:
$TSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (20 + 2 \times 7)$
$TSA = 44 \times (20 + 14)$
$TSA = 44 \times 34 = 1496 \, cm^2$.
આમ,આપેલી વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $1496 \, cm^2$ છે.

(D) નળાકારની ત્રિજ્યા = શંકુની ત્રિજ્યા = અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા = $r = 14 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $H = 22 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $h = 48 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
આ વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ એ નળાકાર,શંકુ અને અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળો $(CSA)$ નો સરવાળો છે.
$TSA = CSA_{\text{નળાકાર}} + CSA_{\text{શંકુ}} + CSA_{\text{અર્ધગોલક}}$
$TSA = 2\pi rH + \pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(2H + l + 2r)$.
કિંમતો મૂકતા: $TSA = \frac{22}{7} \times 14 \times (2 \times 22 + 50 + 2 \times 14)$.
$TSA = 44 \times (44 + 50 + 28) = 44 \times 122 = 5368 \, cm^2$.
આમ,વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ $5368 \, cm^2$ છે.

(A) છ સમઘનને એક હારમાં એકબીજાની સપાટી સાથે અડકે તેમ ગોઠવવાથી એક લંબઘન બને છે.
આમ બનતા લંબઘન માટે,લંબાઈ $l = 6 \times 3 \, cm = 18 \, cm$ છે.
પહોળાઈ $b = 3 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 3 \, cm$ છે.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2(lb + bh + hl)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $TSA = 2(18 \times 3 + 3 \times 3 + 3 \times 18)$.
$TSA = 2(54 + 9 + 54) = 2(117) = 234 \, cm^2$.
આમ,આ રીતે બનતા ઘન પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $234 \, cm^2$ છે.

(B) $1$. આ વસ્તુ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે બે શંકુની બનેલી છે.
$2$. નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $30 \, cm$.
$3$. દરેક શંકુની ઊંચાઈ $(h_{cone})$ = $40 \, cm$.
$4$. વસ્તુની કુલ ઊંચાઈ = $180 \, cm$.
$5$. નળાકારની ઊંચાઈ $(h_{cyl})$ = $180 - (40 + 40) = 100 \, cm$.
$6$. શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_{cone}^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
$7$. કુલ પૃષ્ઠફળ = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + $2$ $\times$ (શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ).
$8$. કુલ પૃષ્ઠફળ = $(2 \pi r h_{cyl}) + 2 \times (\pi r l) = 2 \pi r (h_{cyl} + l)$.
$9$. કુલ પૃષ્ઠફળ = $2 \times 3.14 \times 30 \times (100 + 50) = 188.4 \times 150 = 28260 \, cm^2$.

(C) આ વસ્તુ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે બે અર્ધગોલકોની બનેલી છે.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 21 \, cm$,કુલ ઊંચાઈ $H = 92 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $h = H - 2r = 92 - 2(21) = 92 - 42 = 50 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + $2 \times$ (અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ).
કુલ પૃષ્ઠફળ = $2\pi rh + 2(2\pi r^2) = 2\pi r(h + 2r)$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times (50 + 2(21)) = 2 \times 22 \times 3 \times (50 + 42) = 132 \times 92 = 12,144 \, cm^2$.

(D) અર્ધગોળાકાર ગુંબજની ત્રિજ્યા $(r)$ $21\, m$ છે.
અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $2\pi r^2$ છે.
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21$
$CSA = 2 \times 22 \times 3 \times 21$
$CSA = 44 \times 63 = 2772\, m^2$.
રંગકામનો ખર્ચ ₹ $80$ પ્રતિ $m^2$ છે.
કુલ ખર્ચ = $CSA \times \text{દર} = 2772 \times 80 = 2,21,760$.
આમ,બહારની સપાટીને રંગવાનો કુલ ખર્ચ ₹ $2,21,760$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r)$ = $7\, cm$,ઊંચાઈ $(h)$ = $24\, cm$.
પ્રથમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ શોધો: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\, cm$.
રંગવાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\pi rl = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550\, cm^2$.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 308\, cm^2$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $550 + 308 = 858\, cm^2$.
રંગવાનો ખર્ચ = કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\times$ દર = $858 \times 2 = ₹ 1716$.

(B) આ વસ્તુ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે જોડાયેલા બે શંકુની બનેલી છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $21 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h)$ = $50 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $(H)$ = $28 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $\sqrt{r^2 + H^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + $2 \times$ (શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ).
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 50 = 44 \times 3 \times 50 = 6600 \, cm^2$.
એક શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r l = \frac{22}{7} \times 21 \times 35 = 22 \times 3 \times 35 = 2310 \, cm^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $6600 + 2 \times 2310 = 6600 + 4620 = 11220 \, cm^2$.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r)$ = $3.5\, m$,ઊંચાઈ $(h)$ = $12\, m$.
સૌ પ્રથમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ સૂત્ર $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ નો ઉપયોગ કરીને શોધો.
$l = \sqrt{(3.5)^2 + (12)^2} = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5\, m$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $\pi rl$ દ્વારા મળે છે.
$CSA = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 12.5 = 22 \times 0.5 \times 12.5 = 11 \times 12.5 = 137.5\, m^2$.
રંગકામનો ખર્ચ ₹ $30/m^2$ ના દરે છે.
કુલ ખર્ચ = $137.5 \times 30 = ₹ 4125$.

(D) આ વસ્તુ એક નળાકાર અને તેના બંને છેડે બે અર્ધગોલકની બનેલી છે.
આપેલ છે: નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $20 \, cm$,કુલ ઊંચાઈ $(H)$ = $80 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h)$ = $H - 2r = 80 - 2(20) = 80 - 40 = 40 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + $2 \times$ (અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ).
$= 2\pi rh + 2(2\pi r^2) = 2\pi r(h + 2r)$.
$= 2 \times 3.14 \times 20 \times (40 + 2 \times 20)$.
$= 125.6 \times (40 + 40) = 125.6 \times 80 = 10048 \, cm^2$.

(A) આ વસ્તુ નળાકાર,અર્ધગોલક અને શંકુની બનેલી છે.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $28 \, cm$,નળાકારની ઊંચાઈ $(h_1)$ = $54.5 \, cm$.
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $(r)$ = $28 \, cm$.
શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ = $28 \, cm$,શંકુની ઊંચાઈ $(h_2)$ = $21 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{28^2 + 21^2} = \sqrt{784 + 441} = \sqrt{1225} = 35 \, cm$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $2\pi rh_1 + 2\pi r^2 + \pi rl$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $\pi r (2h_1 + 2r + l) = \frac{22}{7} \times 28 \times (2 \times 54.5 + 2 \times 28 + 35)$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $22 \times 4 \times (109 + 56 + 35) = 88 \times 200 = 17600 \, cm^2$.

(B) $1$. પરિમાણો ઓળખો: ત્રિજ્યા $(r)$ = $5 \, cm$,દરેક શંકુની ઊંચાઈ $(h_{cone})$ = $12 \, cm$,કુલ ઊંચાઈ $(H)$ = $41 \, cm$.
$2$. નળાકારની ઊંચાઈ $(h_{cyl})$ શોધો: $h_{cyl} = H - 2 \times h_{cone} = 41 - 24 = 17 \, cm$.
$3$. શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ શોધો: $l = \sqrt{r^2 + h_{cone}^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
$4$. વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + બે શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
$5$. કુલ પૃષ્ઠફળ = $2 \pi r h_{cyl} + 2 \times (\pi r l) = 2 \pi r (h_{cyl} + l)$.
$6$. કિંમતો મૂકતા: $2 \times 3.14 \times 5 \times (17 + 13) = 31.4 \times 30 = 942 \, cm^2$.

(C) આ વસ્તુ નળાકાર અને શંકુના જોડાણથી બનેલી છે.
આપેલ છે: નળાકાર અને શંકુની ત્રિજ્યા $(r) = 6 \, cm$,શંકુની ઊંચાઈ $(h_{cone}) = 8 \, cm$,વસ્તુની કુલ ઊંચાઈ $= 20 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_{cyl}) = 20 \, cm - 8 \, cm = 12 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r^2 + h_{cone}^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + (શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ).
પૃષ્ઠફળ = $(2 \pi r h_{cyl}) + (\pi r l) = \pi r (2 h_{cyl} + l)$.
પૃષ્ઠફળ = $3.14 \times 6 \times (2 \times 12 + 10) = 18.84 \times (24 + 10) = 18.84 \times 34 = 640.56 \, cm^2$.

(D) ધારો કે અર્ધગોળાકાર પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = 5 \, cm$ છે.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= \pi rl + 2\pi r^2 = 103.62 \, cm^2$.
આપેલ છે $\pi = 3.14$,તેથી $3.14 \times r \times 5 + 2 \times 3.14 \times r^2 = 103.62$.
$15.7r + 6.28r^2 = 103.62$.
$3.14$ વડે ભાગતા: $5r + 2r^2 = 33$.
$2r^2 + 5r - 33 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $2r^2 + 11r - 6r - 33 = 0 \implies r(2r + 11) - 3(2r + 11) = 0$.
$(r - 3)(2r + 11) = 0$. $r > 0$ હોવાથી,$r = 3 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
વસ્તુની કુલ ઊંચાઈ એ શંકુની ઊંચાઈ અને અર્ધગોળાની ત્રિજ્યાનો સરવાળો છે: $H = h + r = 4 + 3 = 7 \, cm$.

(A) આપેલ છે: શંકુની ત્રિજ્યા $(r)$ = $15 \, cm$,શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ = $20 \, cm$.
પ્રથમ,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ શોધો: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ = શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\pi rl = 3.14 \times 15 \times 25 = 1177.5 \, cm^2$.
અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2\pi r^2 = 2 \times 3.14 \times 15^2 = 2 \times 3.14 \times 225 = 1413 \, cm^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $1177.5 + 1413 = 2590.5 \, cm^2$.

(B) શંકુની ત્રિજ્યા $=$ અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $= r = 15\, cm$ અને શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = 25\, cm$.
શંકુ માટે,$l^{2} = r^{2} + h^{2}$.
$\therefore h^{2} = l^{2} - r^{2} = 25^{2} - 15^{2} = 625 - 225 = 400 = (20)^{2}$.
તેથી,$h = 20\, cm$.
સંયુક્ત ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $=$ શંકુનું ઘનફળ $+$ અર્ધગોળાનું ઘનફળ.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h + \frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{1}{3} \pi r^{2} (h + 2r)$.
કિંમતો મૂકતા: ઘનફળ $= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 15 \times 15 \times (20 + 2 \times 15)$.
ઘનફળ $= 3.14 \times 5 \times 15 \times (20 + 30) = 3.14 \times 75 \times 50 = 3.14 \times 3750 = 11775\, cm^{3}$.
આમ,આપેલ ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $11775\, cm^{3}$ છે.

(C) નળાકારની ત્રિજ્યા $=$ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $= r = 8.4 \,cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $h =$ કુલ ઊંચાઈ $-$ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા.
$h = 52.8 - 8.4 = 44.4 \,cm$.
સંયુક્ત ટાંકીનું ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ $+$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
$V = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 = \pi r^2 (h + \frac{2}{3} r)$.
$V = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \times (44.4 + \frac{2}{3} \times 8.4)$.
$V = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \times (44.4 + 5.6)$.
$V = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \times 50$.
$V = 22 \times 1.2 \times 8.4 \times 50 = 11088 \,cm^3$.
કારણ કે $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{લિટર}$,તેથી લિટરમાં ઘનફળ $\frac{11088}{1000} = 11.088 \,\text{લિટર}$ થાય.

(D) શંકુની ત્રિજ્યા $=$ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $= r = 15 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $h = \text{કુલ ઊંચાઈ} - \text{અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા} = 55 - 15 = 40 \, cm$.
સંયુક્ત ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $=$ શંકુનું ઘનફળ $+$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3} \pi r^2 (h + 2r)$.
કિંમતો મૂકતા: ઘનફળ $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 15 \times 15 \times (40 + 2 \times 15)$.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 225 \times (40 + 30) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 225 \times 70$.
ઘનફળ $= 22 \times 75 \times 10 = 16500 \, cm^3$.