Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(B) આકૃતિનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ગળણીનો ઉપરનો ભાગ શંકુના આકારમાં છે અને નીચેનો ભાગ નળાકારના આકારમાં છે.
તેથી,ગળણી એ શંકુ અને નળાકારનું મિશ્રણ છે.

(B) જ્યારે કોઈ વસ્તુને પાણીથી સંપૂર્ણ ભરેલા પાત્રમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે બહાર આવતા પાણીનું કદ એ ડૂબાડેલી વસ્તુના કદ જેટલું હોય છે.
અહીં,વસ્તુ એક ગોળાકાર લખોટો છે જેની ત્રિજ્યા $r = 2.1 \, cm$ છે.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3$.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 88 \times 0.1 \times 4.41$.
$V = 8.8 \times 4.41 = 38.808 \, cm^3$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,બહાર આવતા પાણીનું ઘનફળ $38.8 \, cm^3$ થાય.

(C) સમઘન આઈસ્ક્રીમની ઈંટનું ઘનફળ $V_{cube} = a^3$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a = 22 \, cm$ છે.
$V_{cube} = 22 \times 22 \times 22 = 10648 \, cm^3$.
એક આઈસ્ક્રીમ કોનનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 2 \, cm$ અને $h = 7 \, cm$ છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$V_{cone} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 2^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times 22 \times 4 = \frac{88}{3} \, cm^3$.
આઈસ્ક્રીમ મેળવનાર બાળકોની સંખ્યા એ ઈંટનું કુલ ઘનફળ ભાગ્યા એક કોનનું ઘનફળ છે.
બાળકોની સંખ્યા $= \frac{V_{cube}}{V_{cone}} = \frac{10648}{88/3} = \frac{10648 \times 3}{88}$.
$10648 \div 88 = 121$.
બાળકોની સંખ્યા $= 121 \times 3 = 363$.

(D) શંકુનો આડછેદ ત્યારે બને છે જ્યારે શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવે છે.
ધારો કે આડછેદની ઊંચાઈ $h$ છે અને બે વર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_{1}$ અને $r_{2}$ છે.
શંકુના આડછેદના ઘનફળ $V$ નું સૂત્ર મૂળ મોટા શંકુ અને ઉપરથી કાપેલા નાના શંકુના ઘનફળના તફાવત પરથી મેળવવામાં આવે છે.
શંકુના આડછેદના ઘનફળનું પ્રમાણિત સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સમઘનમાંથી કાપી શકાતા સૌથી મોટા લંબવૃત્તીય શંકુનું ઘનફળ શોધવા માટે,શંકુના પાયાનો વ્યાસ સમઘનની ધાર જેટલો અને શંકુની ઊંચાઈ સમઘનની ધાર જેટલી હોવી જોઈએ.
આપેલ સમઘનની ધાર,$a = 4.2 \,cm$.
તેથી,શંકુની ત્રિજ્યા,$r = \frac{a}{2} = \frac{4.2}{2} = 2.1 \,cm$.
શંકુની ઊંચાઈ,$h = a = 4.2 \,cm$.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^2 \times 4.2$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.41 \times 4.2$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 0.63 \times 4.2$.
$V = 22 \times 0.21 \times 4.2$.
$V = 4.62 \times 4.2 = 19.404 \,cm^3$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $19.4 \,cm^3$ મળે છે.

(B) અણીદાર પેન્સિલ એક લાંબા નળાકાર ભાગ અને એક છેડે શંકુ આકારની અણીની બનેલી હોય છે.
તેથી,અણીદાર પેન્સિલનો આકાર એ નળાકાર અને શંકુનું મિશ્રણ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલી આકૃતિનું અવલોકન કરતા,સુરાહી એ ગોળાકાર ભાગ અને નળાકાર ગળાને જોડીને બનાવવામાં આવે છે.
તેથી,સુરાહી એ ગોલક અને નળાકારનું સંયોજન છે.

(D) આપેલી આકૃતિનું અવલોકન કરતા,તે સ્પષ્ટ છે કે ઓડ (સાહુલ) એ અર્ધગોલકના પાયાને શંકુના પાયા સાથે જોડીને બનાવવામાં આવે છે.
તેથી,ઓડ (સાહુલ) એ અર્ધગોલક અને શંકુનું સંયોજન છે.

(A) ગ્લાસ (પ્યાલો) સામાન્ય રીતે ઉપરના ભાગે પહોળો અને નીચેના ભાગે સાંકડો હોય છે,જેમાં અલગ-અલગ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળાકાર પાયા હોય છે.
આ ભૌમિતિક આકાર,જે શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપીને મેળવવામાં આવે છે,તેને શંકુનો આડછેદ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,ગ્લાસનો આકાર શંકુના આડછેદના સ્વરૂપમાં હોય છે.

(B) આકૃતિનું અવલોકન કરતા,ગિલ્લી એક મધ્યવર્તી નળાકાર ભાગ અને તેની બંને વર્તુળાકાર સપાટીઓ પર જોડાયેલા બે શંકુ આકારના ભાગોની બનેલી છે.
તેથી,આ આકાર નીચેનાનું મિશ્રણ છે:
$=$ શંકુ $+$ નળાકાર $+$ શંકુ
$=$ બે શંકુ અને એક નળાકાર

(C) શટલકોકનો આકાર બે ભાગોનો બનેલો છે:
$1$. કોર્કનો ભાગ,જે અર્ધગોલક આકારનો હોય છે.
$2$. પીંછાવાળો ભાગ,જે શંકુના આડછેદ (frustum) આકારનો હોય છે.
તેથી,શટલકોક એ શંકુના આડછેદ અને અર્ધગોલકનું મિશ્રણ છે.

(D) જ્યારે શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવે છે,ત્યારે તે બે ભાગમાં વહેંચાય છે: ઉપરના ભાગમાં એક નાનો શંકુ અને નીચેના ભાગમાં બાકી રહેલો ભાગ. બાકી રહેલા આ ભાગને,જેમાં અલગ-અલગ ત્રિજ્યાના બે વર્તુળાકાર પાયા હોય છે,તેને શંકુનો આડછેદ (frustum) કહેવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે,સમઘનની ધાર $= 22 \, cm$.
સમઘનનું ઘનફળ $= (22)^3 = 10648 \, cm^3$.
સમઘનનો $\frac{1}{8}$ ભાગ ખાલી રહે છે,તેથી લખોટીઓ દ્વારા ભરાયેલ જગ્યા $= 10648 \times (1 - \frac{1}{8}) = 10648 \times \frac{7}{8} = 9317 \, cm^3$.
લખોટીનો વ્યાસ $= 0.5 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.25 \, cm$.
એક ગોળાકાર લખોટીનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.25)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{1}{64} = \frac{11}{168} \approx 0.065476 \, cm^3$.
લખોટીઓની સંખ્યા $= \frac{\text{ભરાયેલ ઘનફળ}}{\text{એક લખોટીનું ઘનફળ}} = \frac{9317}{11/168} = \frac{9317 \times 168}{11} = 142296$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $142244$ છે.

(B) આપેલ છે કે,ગોલીય કવચનો આંતરિક વ્યાસ $= 4 \, cm$ અને બાહ્ય વ્યાસ $= 8 \, cm$ છે.
ગોલીય કવચની આંતરિક ત્રિજ્યા,$r_1 = \frac{4}{2} = 2 \, cm$.
ગોલીય કવચની બાહ્ય ત્રિજ્યા,$r_2 = \frac{8}{2} = 4 \, cm$.
ગોલીય કવચનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi (r_2^3 - r_1^3) = \frac{4}{3} \pi (4^3 - 2^3) = \frac{4}{3} \pi (64 - 8) = \frac{4}{3} \pi (56) = \frac{224}{3} \pi \, cm^3$.
ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h \, cm$ છે અને પાયાની ત્રિજ્યા $R = \frac{8}{2} = 4 \, cm$ છે.
કવચને ઓગાળીને શંકુ બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન થાય:
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (4)^2 h = \frac{16}{3} \pi h$.
ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{16}{3} \pi h = \frac{224}{3} \pi$.
$16h = 224$.
$h = \frac{224}{16} = 14 \, cm$.
આમ,શંકુની ઊંચાઈ $14 \, cm$ છે.

(C) આપેલ છે,લંબઘનનું માપ $= 49 \, cm \times 33 \, cm \times 24 \, cm$.
લંબઘનનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 49 \times 33 \times 24 = 38808 \, cm^3$.
ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોલકનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
લંબઘનને ઓગાળીને ગોલક બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન થાય:
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 38808$
$\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = 38808$
$r^3 = \frac{38808 \times 3 \times 7}{4 \times 22}$
$r^3 = 441 \times 21 = 9261$
$r = \sqrt[3]{9261} = 21 \, cm$.
આમ,ગોલકની ત્રિજ્યા $21 \, cm$ છે.

(D) દીવાલનું ઘનફળ $= 270 \times 300 \times 350 = 28,350,000 \,cm^3$.
દીવાલના કુલ ઘનફળનો $\frac{1}{8}$ ભાગ મસાલા દ્વારા રોકાયેલો હોવાથી,ઈંટો દ્વારા રોકાયેલું ઘનફળ કુલ ઘનફળના $\frac{7}{8}$ ભાગ જેટલું થાય.
ઈંટો દ્વારા રોકાયેલું ઘનફળ $= 28,350,000 \times \frac{7}{8} = 24,806,250 \,cm^3$.
એક ઈંટનું ઘનફળ $= 22.5 \times 11.25 \times 8.75 = 2,214.84375 \,cm^3$.
ઈંટોની સંખ્યા $= \frac{\text{ઈંટો દ્વારા રોકાયેલું ઘનફળ}}{\text{એક ઈંટનું ઘનફળ}} = \frac{24,806,250}{2,214.84375} = 11,200$.
આમ,દીવાલ બનાવવા માટે વપરાયેલી ઈંટોની સંખ્યા $11,200$ છે.

(A) આપેલ છે કે,નળાકારનો વ્યાસ $= 2 \, cm$.
તેથી,નળાકારની ત્રિજ્યા $(R) = 1 \, cm$ અને ઊંચાઈ $(h) = 16 \, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi R^2 h = \pi \times (1)^2 \times 16 = 16 \pi \, cm^3$.
ધારો કે દરેક નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યા $r \, cm$ છે.
એક ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
નળાકારમાંથી $12$ ગોળાઓ બનાવવામાં આવતા હોવાથી,$12$ ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ એ નળાકારના ઘનફળ જેટલું થાય.
$12 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = 16 \pi$.
$16 \pi r^3 = 16 \pi$.
$r^3 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $r = 1 \, cm$.
દરેક ગોળાનો વ્યાસ $= 2r = 2 \times 1 = 2 \, cm$.

(B) આપેલ છે કે,ડોલના ઉપરના ભાગની ત્રિજ્યા,$R = 28 \, cm$.
ડોલના નીચેના ભાગની ત્રિજ્યા,$r = 7 \, cm$.
ડોલની તિર્યક ઊંચાઈ,$l = 45 \, cm$.
ડોલ શંકુના આડછેદ (frustum) ના આકારની હોવાથી,તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = \pi l (R + r)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{22}{7} \times 45 \times (28 + 7)$
$= \frac{22}{7} \times 45 \times 35$
$= 22 \times 45 \times 5$
$= 22 \times 225 = 4950 \, cm^2$.
આમ,ડોલની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4950 \, cm^2$ છે.

(C) આપેલ છે કે,નળાકારનો વ્યાસ $=$ અર્ધગોળાનો વ્યાસ $= 0.5\, cm$ (કારણ કે બંને અર્ધગોળાઓ નળાકાર સાથે જોડાયેલા છે).
$\therefore$ નળાકારની ત્રિજ્યા $(r) =$ અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{0.5}{2} = 0.25\, cm$ (કારણ કે વ્યાસ $= 2 \times$ ત્રિજ્યા).
કેપ્સ્યુલની કુલ લંબાઈ $= 2\, cm$.
કેપ્સ્યુલના નળાકાર ભાગની લંબાઈ $(h) = \text{કુલ લંબાઈ} - (\text{ડાબા અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા} + \text{જમણા અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા})$.
$h = 2 - (0.25 + 0.25) = 2 - 0.5 = 1.5\, cm$.
હવે,કેપ્સ્યુલની ક્ષમતા $=$ નળાકાર ભાગનું ઘનફળ $+ 2 \times$ અર્ધગોળાનું ઘનફળ.
ક્ષમતા $= \pi r^2 h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^3) = \pi r^2 (h + \frac{4}{3} r)$.
કિંમતો મૂકતા:
ક્ષમતા $= \frac{22}{7} \times (0.25)^2 \times (1.5 + \frac{4}{3} \times 0.25)$.
ક્ષમતા $= \frac{22}{7} \times 0.0625 \times (1.5 + 0.3333) = \frac{22}{7} \times 0.0625 \times 1.8333 \approx 0.36\, cm^3$.
આમ,કેપ્સ્યુલની ક્ષમતા $0.36\, cm^3$ છે.

(D) એક નક્કર અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \pi r^{2}$ છે.
જ્યારે સમાન પાયાની ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા બે નક્કર અર્ધગોળાઓને તેમના વર્તુળાકાર પાયા પરથી જોડવામાં આવે છે, ત્યારે તે એક સંપૂર્ણ નક્કર ગોળો બનાવે છે.
પરિણામી નક્કર ગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ બંને અર્ધગોળાઓની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
તેથી, નવા નક્કર પદાર્થની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^{2} + 2 \pi r^{2} = 4 \pi r^{2}$ થાય.

(A) એક ગોલકને લંબવૃત્તીય નળાકારમાં એવી રીતે સમાવવામાં આવ્યો છે કે તે નળાકારની ઉપરની સપાટી,નીચેની સપાટી અને વક્ર સપાટીને સ્પર્શે છે.
ગોલક નળાકારની વક્ર સપાટીને સ્પર્શતો હોવાથી,ગોલકનો વ્યાસ નળાકારના વ્યાસ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
નળાકારની ત્રિજ્યા $r \, cm$ આપેલી છે,તેથી નળાકારનો વ્યાસ $2r \, cm$ થાય.
આથી,ગોલકનો વ્યાસ $2r \, cm$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ ઘન પદાર્થને એક આકારમાંથી બીજા આકારમાં બદલવામાં આવે છે,ત્યારે વપરાયેલ પદાર્થનો કુલ જથ્થો સમાન રહે છે. તેથી,નવા આકારનું ઘનફળ અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) આપેલ છે કે,બાલદીના ઉપરના છેડાનો વ્યાસ $D = 44 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 22 \, cm$.
બાલદીના નીચેના છેડાનો વ્યાસ $d = 24 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 12 \, cm$.
બાલદીની ઊંચાઈ $h = 35 \, cm$.
બાલદીનો આકાર શંકુના આડછેદ (frustum) જેવો છે.
બાલદીની ક્ષમતા (ઘનફળ) શોધવાનું સૂત્ર: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)$.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 35 \times (22^2 + 12^2 + 22 \times 12)$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 5 \times (484 + 144 + 264)$.
$V = \frac{110}{3} \times 892$.
$V = \frac{98120}{3} \approx 32706.67 \, cm^3$.
કારણ કે $1000 \, cm^3 = 1 \, L$,તેથી ક્ષમતા $32706.67 / 1000 \approx 32.7 \, L$ થાય.

(A) લંબવૃત્તીય શંકુ એ કાટકોણ ત્રિકોણની કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ પૈકીની એક બાજુની આસપાસ પરિભ્રમણ કરવાથી બનતી ઘન આકૃતિ છે.
જ્યારે કોઈ સમતલ લંબવૃત્તીય શંકુને તેના પાયાને સમાંતર રીતે કાપે છે,ત્યારે મળતો આડછેદ હંમેશા એક વર્તુળ હોય છે.
અહીં નોંધવું જરૂરી છે કે પાયા અને સમતલ વચ્ચેના શંકુના ભાગને શંકુનો આડછેદ (ફ્રસ્ટમ) કહેવામાં આવે છે,પરંતુ આડછેદ પોતે એક વર્તુળ છે.

(A) ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ ઘનફળનો ગુણોત્તર $V_1 : V_2 = 64 : 27$ હોવાથી:
$\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \frac{64}{27}$
$\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{64}{27} = \left(\frac{4}{3}\right)^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{3}$
ગોળાની સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^2$ છે.
તેમની સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4 \pi r_1^2}{4 \pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$
$\frac{r_1}{r_2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$
આમ,તેમની સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $16:9$ છે.

(A) સાચું.
સંયુક્ત આકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને નળાકારની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું હોય છે.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi r l$ છે,જ્યાં $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ એ તેની તિર્યક ઊંચાઈ છે.
આમ,શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi r \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ થાય.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \pi r h$ છે.
તેથી,સંયુક્ત આકારની કુલ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi r \sqrt{h^{2} + r^{2}} + 2 \pi r h$ થાય.

(B) False (ખોટું).
ધારો કે મૂળ સ્ટીલના દડાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ઓગાળ્યા પછી બનેલા દરેક નવા દડાની ત્રિજ્યા $r_{1}$ છે.
મૂળ દડાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
આઠ નવા દડાનું કુલ ઘનફળ $8 \times V_{1} = 8 \times \left( \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} \right)$ થાય.
ઓગાળવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3} \pi r^{3} = 8 \times \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}$ મળે.
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,$r^{3} = 8 r_{1}^{3}$ મળે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$r = 2 r_{1}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $r_{1} = \frac{r}{2}$.
તેથી,દરેક નવા દડાની ત્રિજ્યા મૂળ ત્રિજ્યાના $\frac{1}{2}$ ગણી છે,$\frac{1}{8}$ ગણી નથી.

(B) ખોટું.
$a$ બાજુવાળા એક ઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $6 a^{2}$ હોય છે.
જ્યારે આવા બે સમાન ઘનને એકબીજા સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બે સપાટીઓ (દરેકનું ક્ષેત્રફળ $a^{2}$) લંબઘનની અંદરની તરફ આવી જાય છે.
પરિણામે બનતા લંબઘનના પરિમાણો લંબાઈ $l = 2a$,પહોળાઈ $b = a$ અને ઊંચાઈ $h = a$ થાય છે.
લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $2(lb + bh + hl)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2((2a \times a) + (a \times a) + (a \times 2a)) = 2(2a^{2} + a^{2} + 2a^{2}) = 2(5a^{2}) = 10 a^{2}$.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(FALSE) ખોટું.
લટ્ટુ (ભમરડા) નું કુલ પૃષ્ઠફળ એ અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
આનું કારણ એ છે કે અર્ધગોલકનો વર્તુળાકાર પાયો અને શંકુનો વર્તુળાકાર પાયો એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે અને બહારની તરફ ખુલ્લા નથી. તેથી,તેઓ સંયુક્ત ઘન પદાર્થના કુલ પૃષ્ઠફળમાં ગણવામાં આવતા નથી.

(A) સાચું.
પાત્રની વાસ્તવિક ક્ષમતા એટલે તેની અંદર રહેલી ખાલી જગ્યાનું કુલ ઘનફળ,જેમાં કોઈ પદાર્થ ભરી શકાય છે. આપેલી આકૃતિમાં,નળાકારના પાયામાંથી એક અર્ધગોળાકાર ભાગ કાપી લેવામાં આવ્યો છે. તેથી,પાત્રની અંદર ઉપલબ્ધ જગ્યાનું ઘનફળ એ નળાકારના ઘનફળમાંથી અર્ધગોલકનું ઘનફળ બાદ કરવાથી મળે છે.

(B) ખોટું.
એક અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \pi r^{2}$ છે.
જ્યારે બે સમાન ઘન અર્ધગોલકોને તેમના વર્તુળાકાર પાયા પરથી જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પાયા નવા ઘન પદાર્થની અંદર છુપાઈ જાય છે.
તેથી,પરિણામી ઘન પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ ફક્ત બે વક્ર સપાટીઓનું બનેલું હોય છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2 \pi r^{2} + 2 \pi r^{2} = 4 \pi r^{2}$.
અહીં $4 \pi r^{2} \neq 6 \pi r^{2}$ હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) ખોટું.
$r$ ત્રિજ્યા અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા એક નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ $2 \pi rh + 2 \pi r^2$ છે.
જ્યારે એક નળાકારને તેટલી જ ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ ધરાવતા બીજા નળાકાર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સંપર્ક બિંદુએ બંને નળાકારના એક-એક વર્તુળાકાર પાયા ઢંકાઈ જાય છે.
આમ,નવો બનતો આકાર $r$ ત્રિજ્યા અને $H = 2h$ કુલ ઊંચાઈ ધરાવતો એક નળાકાર બને છે.
આ નવા નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને તેના બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2 \pi r H + 2 \pi r^2 = 2 \pi r(2h) + 2 \pi r^2 = 4 \pi rh + 2 \pi r^2$.
અહીં $4 \pi rh + 2 \pi r^2 \neq 4 \pi rh + 4 \pi r^2$ હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) ખોટું.
સંયુક્ત પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ,નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને નળાકારના નીચેના પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$1$. શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r l$,જ્યાં તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ છે.
$2$. નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $2\pi rh$.
$3$. નળાકારના નીચેના પાયાનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = $\pi r l + 2\pi rh + \pi r^2$
$= \pi r (l + 2h + r)$
$= \pi r [\sqrt{r^2 + h^2} + 2h + r]$.
આમ,ગણતરી કરેલ પદ $\pi r [\sqrt{r^2 + h^2} + 2h + r]$ એ આપેલ પદ $\pi [\sqrt{r^2 + h^2} + 3r + 2h]$ સમાન નથી,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(B) ખોટું (False).
કારણ કે નક્કર દડો $a$ બાજુવાળા સમઘન બોક્સમાં બરાબર બંધ બેસે છે,તેથી દડાનો વ્યાસ એ સમઘનની બાજુ $a$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,દડાની ત્રિજ્યા $r = \frac{a}{2}$ થાય.
ગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
આ સૂત્રમાં $r = \frac{a}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a}{2} \right)^{3} = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a^{3}}{8} \right) = \frac{1}{6} \pi a^{3}$.
અહીં $\frac{1}{6} \pi a^{3} \neq \frac{4}{3} \pi a^{3}$ હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) ખોટું (False).
શંકુના આડછેદના ઘનફળનું સાચું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi h(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$ છે,જ્યાં $h$ એ આડછેદની શિરોલંબ ઊંચાઈ છે અને $r_{1}, r_{2}$ એ તેના વર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યાઓ છે. આપેલ પદાવલિમાં $r_{1}r_{2}$ પદ માટે ધન ચિહ્નને બદલે ઋણ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે.

(TRUE) સાચું.
આપણે જાણીએ છીએ કે નળાકાર પાત્રની ક્ષમતા (ઘનફળ) $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધગોળાની ક્ષમતા (ઘનફળ) $V_{hemisphere} = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,અર્ધગોળાકાર ભાગ નીચેના ભાગમાં ઉપરની તરફ ઉપસેલો છે,જેનો અર્થ છે કે તે નળાકારની અંદર જગ્યા રોકે છે. તેથી,પાત્રની ક્ષમતા એ નળાકારના ઘનફળમાંથી અર્ધગોળાનું ઘનફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
પાત્રની ક્ષમતા = $V_{cylinder} - V_{hemisphere}$
$= \pi r^{2} h - \frac{2}{3} \pi r^{3}$
$= \pi r^{2} (h - \frac{2}{3} r)$
$= \frac{\pi r^{2}}{3} (3h - 2r)$.

(B) આ વિધાન ખોટું (False) છે.
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi l(r_{1} + r_{2})$ છે.
આ સૂત્રમાં,તિર્યક ઊંચાઈ $l$ ને $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ શિરોલંબ ઊંચાઈ છે અને $r_{1}$ તથા $r_{2}$ એ બે વર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યાઓ છે.
તિર્યક ઊંચાઈ $l$ માટે આપેલું સૂત્ર $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} + r_{2})^{2}}$ ખોટું છે કારણ કે તેમાં ત્રિજ્યાઓના તફાવતને બદલે ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો લેવામાં આવ્યો છે.

(A) સાચું.
વપરાયેલી ધાતુની શીટનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ વસ્તુ બનાવતા વ્યક્તિગત ભાગોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$1$. ડોલ એ શંકુનો આડછેદ $(ABCD)$ છે,તેથી આપણે તેનું વક્ર પૃષ્ઠફળ ઉમેરીએ છીએ.
$2$. ડોલના આડછેદના નીચેના ભાગે એક વર્તુળાકાર પાયો છે,જે નળાકારનો ઉપરનો ભાગ પણ છે. જોકે,ડોલ ખુલ્લી છે અને નળાકાર પર ગોઠવેલી છે,તેથી વપરાયેલી ધાતુની શીટમાં આડછેદની વક્ર સપાટી,નળાકારની વક્ર સપાટી અને નળાકારના તળિયે રહેલા વર્તુળાકાર પાયા $(EF)$ નો સમાવેશ થાય છે.
$3$. ધાતુની શીટનું ક્ષેત્રફળ = (શંકુના આડછેદનું વક્ર પૃષ્ઠફળ) + (નળાકારનું વક્ર પૃષ્ઠફળ) + (તળિયે રહેલા વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ).
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$ABCD$ એ શંકુનો આડછેદ છે અને $CDEF$ એ પોલો નળાકાર છે.

(N/A) $14 \, cm$ ની ધારવાળા સમઘનમાંથી કાપવામાં આવતા મહત્તમ કદના શંકુની પાયાની ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 14 \, cm$ હશે.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{7^2 + 14^2} = \sqrt{49 + 196} = \sqrt{245} = 7\sqrt{5} \, cm$.
શંકુનું પૃષ્ઠફળ $= \pi r l + \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7\sqrt{5} + \frac{22}{7} \times 7^2 = 154\sqrt{5} + 154 = 154(\sqrt{5} + 1) \, cm^2$.
સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (14)^2 = 6 \times 196 = 1176 \, cm^2$.
જ્યારે શંકુ કાપવામાં આવે છે,ત્યારે સમઘનની એક બાજુમાંથી શંકુનો વર્તુળાકાર પાયો દૂર થાય છે,પરંતુ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ કુલ પૃષ્ઠફળમાં ઉમેરાય છે.
બાકી રહેલા ઘન પદાર્થનું પૃષ્ઠફળ $= (\text{સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ}) - (\text{શંકુના પાયાનું ક્ષેત્રફળ}) + (\text{શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ})$.
$= 1176 - \pi r^2 + \pi r l = 1176 - 154 + 154\sqrt{5} = (1022 + 154\sqrt{5}) \, cm^2$.

(D) નક્કર ધાતુના ગોળાનું ઘનફળ $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 10.5 \, cm$ છે.
$V_s = \frac{4}{3} \pi (10.5)^3 \, cm^3$.
એક શંકુનું ઘનફળ $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 3.5 \, cm$ અને $h = 3 \, cm$ છે.
$V_c = \frac{1}{3} \pi (3.5)^2 \times 3 \, cm^3 = \pi (3.5)^2 \, cm^3$.
બનતા શંકુઓની સંખ્યા એ ગોળાના કુલ ઘનફળને એક શંકુના ઘનફળ વડે ભાગવાથી મળે છે.
$\text{શંકુઓની સંખ્યા} = \frac{V_s}{V_c} = \frac{\frac{4}{3} \pi (10.5)^3}{\pi (3.5)^2} = \frac{4 \times 10.5 \times 10.5 \times 10.5}{3 \times 3.5 \times 3.5} = 4 \times 3 \times 3 \times 3.5 = 126$.

(A) સૌ પ્રથમ,બધા માપને મીટરમાં ફેરવો: પહોળાઈ $= 300 \,cm = 3 \,m$,ઊંડાઈ $= 120 \,cm = 1.2 \,m$,ઝડપ $= 20 \,km/h = 20000 \,m/h$.
$1 \,\text{કલાકમાં}$ નહેરમાંથી વહેતા પાણીનું ઘનફળ $= \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંડાઈ} \times \text{ઝડપ} = 3 \times 1.2 \times 20000 = 72000 \,m^3$.
$20 \,\text{મિનિટમાં}$ વહેતા પાણીનું ઘનફળ $= \frac{72000 \times 20}{60} = 24000 \,m^3$.
ધારો કે સિંચાઈ કરવા માટેનો વિસ્તાર $A \,m^2$ છે. સિંચાઈ માટે જરૂરી પાણીનું ઘનફળ $= \text{વિસ્તાર} \times \text{પાણીની ઊંડાઈ}$.
આપેલ ઊંડાઈ $= 8 \,cm = 0.08 \,m$.
તેથી,$A \times 0.08 = 24000$.
$A = \frac{24000}{0.08} = 300000 \,m^2$.
$1 \,\text{હેક્ટર }= 10000 \,m^2$ હોવાથી,હેક્ટરમાં વિસ્તાર $= \frac{300000}{10000} = 30 \,\text{હેક્ટર}$.

(B) ધારો કે આપેલ શંકુની ઊંચાઈ $h$ છે. શંકુને તેની અક્ષના મધ્યબિંદુમાંથી અને પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા બે ભાગમાં વિભાજિત કરતા,આપણને ઉપરના ભાગમાં એક નાનો શંકુ અને નીચેના ભાગમાં શંકુનો આડછેદ મળે છે.
બે સમરૂપ ત્રિકોણોમાં,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે. ધારો કે નાના શંકુની ત્રિજ્યા $r$ છે. ત્રિકોણોની સમરૂપતા દ્વારા,આપણને મળે છે $\frac{r}{4} = \frac{h/2}{h} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$r = 2 \, cm$.
નાના શંકુનું ઘનફળ $(V_1)$ = $\frac{1}{3} \pi r^2 (h/2) = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (h/2) = \frac{2}{3} \pi h$.
મૂળ શંકુનું ઘનફળ $(V)$ = $\frac{1}{3} \pi (4)^2 h = \frac{16}{3} \pi h$.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $(V_2)$ = $V - V_1 = \frac{16}{3} \pi h - \frac{2}{3} \pi h = \frac{14}{3} \pi h$.
નાના શંકુના ઘનફળ અને શંકુના આડછેદના ઘનફળનો ગુણોત્તર = $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{2}{3} \pi h}{\frac{14}{3} \pi h} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:7$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ સમઘનની ધાર અનુક્રમે $3x, 4x$ અને $5x \, \text{cm}$ છે.
ત્રણેય સમઘનનું કુલ ઘનફળ $V = (3x)^3 + (4x)^3 + (5x)^3 = 27x^3 + 64x^3 + 125x^3 = 216x^3 \, \text{cm}^3$ થાય.
ધારો કે નવા બનેલા સમઘનની બાજુ $a$ છે. આ નવા સમઘનનું ઘનફળ $a^3 = 216x^3$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a = 6x$.
$a$ બાજુવાળા સમઘનનો વિકર્ણ $d = a\sqrt{3}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં વિકર્ણ $12\sqrt{3} \, \text{cm}$ આપેલ છે,તેથી $a\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$,એટલે કે $a = 12 \, \text{cm}$.
$a = 6x$ હોવાથી,$6x = 12$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.
તેથી,ત્રણેય સમઘનની ધાર અનુક્રમે $3(2) = 6 \, \text{cm}$,$4(2) = 8 \, \text{cm}$ અને $5(2) = 10 \, \text{cm}$ છે.

(D) આપેલ છે કે,ત્રણ નક્કર સમઘનની બાજુઓ અનુક્રમે $3 \, cm$,$4 \, cm$ અને $5 \, cm$ છે。
સમઘનનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = (\text{બાજુ})^3$ છે。
પ્રથમ સમઘનનું ઘનફળ $= (3)^3 = 27 \, cm^3$.
બીજા સમઘનનું ઘનફળ $= (4)^3 = 64 \, cm^3$.
ત્રીજા સમઘનનું ઘનફળ $= (5)^3 = 125 \, cm^3$.
ત્રણેય સમઘનનું કુલ ઘનફળ $= 27 + 64 + 125 = 216 \, cm^3$.
ધારો કે નવા બનેલા સમઘનની બાજુનું માપ $R \, cm$ છે。
તેથી,નવા સમઘનનું ઘનફળ $= R^3$.
કુલ ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,$R^3 = 216$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$R = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.
આમ,નવા બનેલા સમઘનની બાજુનું માપ $6 \, cm$ છે。

(A) આપેલ છે,લંબઘનનું માપ $= 9 \, cm \times 11 \, cm \times 12 \, cm$.
લંબઘનનું ઘનફળ $= 9 \times 11 \times 12 = 1188 \, cm^3$.
ગોળાકાર છરાનો વ્યાસ $= 3 \, cm$.
છરાની ત્રિજ્યા,$r = \frac{3}{2} = 1.5 \, cm$.
એક ગોળાકાર છરાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.5)^3$.
એક છરાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.375 = \frac{99}{7} \approx 14.143 \, cm^3$.
છરાની સંખ્યા $= \frac{\text{લંબઘનનું ઘનફળ}}{\text{એક છરાનું ઘનફળ}} = \frac{1188}{99/7} = \frac{1188 \times 7}{99} = 12 \times 7 = 84$.
આમ,$84$ છરા બનાવી શકાય છે.

(B) આપેલ છે, આડછેદનું ઘનફળ $= 28.49 \, \text{લીટર} = 28.49 \times 1000 \, \text{સેમી}^3 = 28490 \, \text{સેમી}^3$ (કારણ કે $1 \, \text{લીટર} = 1000 \, \text{સેમી}^3$).
ઉપરના ભાગની ત્રિજ્યા $(r_1) = 28 \, \text{સેમી}$.
નીચેના ભાગની ત્રિજ્યા $(r_2) = 21 \, \text{સેમી}$.
ધારો કે ડોલની ઊંચાઈ $h \, \text{સેમી}$ છે.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $28490 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times h \times (28^2 + 21^2 + 28 \times 21)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times (784 + 441 + 588)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times 1813$.
$h = \frac{28490 \times 21}{22 \times 1813}$.
$h = \frac{598290}{39886} = 15 \, \text{સેમી}$.

(C) ધારો કે શંકુ $ORN$ છે,જેની પાયાની ત્રિજ્યા $r_1 = 8 \, cm$ અને ઊંચાઈ $OM = 12 \, cm$ છે.
ધારો કે $P$ એ $OM$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $OP = PM = \frac{12}{2} = 6 \, cm$.
સમતલ પાયાને સમાંતર હોવાથી,$\triangle OPD \sim \triangle OMN$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,$\frac{OP}{OM} = \frac{PD}{MN}$.
$\frac{6}{12} = \frac{PD}{8} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{PD}{8} \Rightarrow PD = 4 \, cm$.
આ સમતલ શંકુને એક નાનો શંકુ (ઉપરનો ભાગ) અને એક શંકુના આડછેદ (નીચેનો ભાગ) માં વિભાજિત કરે છે.
નાના શંકુનું ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi (PD)^2 (OP) = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (6) = 32 \pi \, cm^3$.
મૂળ શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi (MN)^2 (OM) = \frac{1}{3} \pi (8)^2 (12) = 256 \pi \, cm^3$.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V_2 = V - V_1 = 256 \pi - 32 \pi = 224 \pi \, cm^3$.
નાના શંકુ અને આડછેદના ઘનફળનો ગુણોત્તર $V_1 : V_2 = 32 \pi : 224 \pi = 1 : 7$ થાય છે.

(D) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a \, cm$ છે.
આપેલ છે કે,સમઘનનું ઘનફળ $a^{3} = 64 \, cm^{3}$ છે.
તેથી,$a = \sqrt[3]{64} = 4 \, cm$.
જ્યારે બે આવા સમઘનને એકબીજા સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે લંબઘન બનાવે છે જેના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
લંબાઈ $(l)$ = $2a = 2 \times 4 = 8 \, cm$
પહોળાઈ $(b)$ = $a = 4 \, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $a = 4 \, cm$
પરિણામી લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર $2(lb + bh + hl)$ છે.
પૃષ્ઠફળ = $2(8 \times 4 + 4 \times 4 + 4 \times 8)$
પૃષ્ઠફળ = $2(32 + 16 + 32)$
પૃષ્ઠફળ = $2(80) = 160 \, cm^{2}$.

(A) આપેલ છે કે,નક્કર સમઘનની બાજુ $(a) = 7 \, cm$.
શંકુ આકારની પોલાણ (શંકુ) ની ઊંચાઈ,$h = 7 \, cm$.
શંકુ આકારની પોલાણ (શંકુ) ની ત્રિજ્યા,$r = 3 \, cm$.
સમઘનનું ઘનફળ $= a^3 = (7)^3 = 343 \, cm^3$.
શંકુ આકારની પોલાણ (શંકુ) નું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3)^2 \times 7$.
$= \frac{1}{3} \times 22 \times 9 = 66 \, cm^3$.
બાકી રહેલા ઘનનું ઘનફળ $=$ સમઘનનું ઘનફળ $-$ શંકુ આકારની પોલાણનું ઘનફળ.
$= 343 - 66 = 277 \, cm^3$.
આમ,બાકી રહેલા ઘનનું ઘનફળ $277 \, cm^3$ છે.

(B) જ્યારે સમાન પાયાની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ ધરાવતા બે શંકુઓને તેમના પાયા સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પાયાનું ક્ષેત્રફળ અંદરની તરફ જતું રહે છે,અને પરિણામી આકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ બંને શંકુઓની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો થાય છે.
આપેલ છે:
શંકુની ત્રિજ્યા,$r = 8\, cm$
શંકુની ઊંચાઈ,$h = 15\, cm$
દરેક શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ નીચે મુજબ મળે છે:
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\, cm$.
પરિણામી આકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ બે સમાન શંકુઓની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
પૃષ્ઠફળ $= 2 \times (\pi r l)$
$= 2 \times \pi \times 8 \times 17$
$= 272\pi\, cm^2$
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
$= 272 \times \frac{22}{7} = \frac{5984}{7} \approx 854.85\, cm^2$.
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા,આપણને $855\, cm^2$ મળે છે.