Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: $R = 28 \, cm$,$r = 7 \, cm$,$h = 72 \, cm$.
પ્રથમ,તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{72^2 + (28 - 7)^2} = \sqrt{5184 + 441} = \sqrt{5625} = 75 \, cm$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= \pi(R + r)l = \frac{22}{7} \times (28 + 7) \times 75 = 22 \times 5 \times 75 = 8250 \, cm^2$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $= \text{CSA} + \pi R^2 + \pi r^2 = 8250 + \frac{22}{7} \times (28^2 + 7^2) = 8250 + \frac{22}{7} \times (784 + 49) = 8250 + 22 \times 119 = 8250 + 2618 = 10868 \, cm^2$.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 72 \times (28^2 + 7^2 + 28 \times 7) = \frac{22 \times 24}{7} \times (784 + 49 + 196) = \frac{528}{7} \times 1029 = 528 \times 147 = 77616 \, cm^3$.

(D) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ એટલે તેના બે વર્તુળાકાર પાયાને બાદ કરતાં બાકીની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
$r$ ત્રિજ્યા અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા નળાકાર માટે,$CSA$ એ પાયાના પરિઘ $(2 \pi r)$ અને ઊંચાઈ $(h)$ નો ગુણાકાર છે.
તેથી,$CSA = 2 \pi r h$.

(A) અર્ધગોલક એ ગોલકનો અડધો ભાગ છે.
ગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4 \pi r^{2}$ હોવાથી,અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ તેનાથી અડધું થાય છે.
અર્ધગોલકની $CSA = \frac{1}{2} \times (4 \pi r^{2}) = 2 \pi r^{2}$.

(B) શંકુનું ઘનફળ,જેની પાયાની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે,તેનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^{2}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ત્રિજ્યા $r$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l$ ધરાવતા શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $\pi r l$ છે.
અહીં,$r$ એ વર્તુળાકાર પાયાની ત્રિજ્યા દર્શાવે છે અને $l$ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ દર્શાવે છે.

(A) ગોલક એ ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થ છે જેમાં સપાટી પરનું દરેક બિંદુ કેન્દ્રથી સમાન અંતર $r$ પર હોય છે. ગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
અર્ધગોલક એ ગોલકનો બરાબર અડધો ભાગ છે. તેથી,અર્ધગોલકનું ઘનફળ એ ગોલકના ઘનફળ કરતાં અડધું હોય છે.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{ગોલકનું ઘનફળ})$
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \pi r^{3}$.

(B) અર્ધગોલક એ ગોલકનો અડધો ભાગ છે.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $2 \pi r^{2}$ છે.
અર્ધગોલકનો પાયો એક વર્તુળ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ એ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$TSA = CSA + \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} = 2 \pi r^{2} + \pi r^{2} = 3 \pi r^{2}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ એ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= 2 \pi r h$
બે વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\pi r^{2}) = 2 \pi r^{2}$
કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ $= 2 \pi r h + 2 \pi r^{2}$
$2 \pi r$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે $TSA = 2 \pi r(r+h)$.

(A) નળાકાર કે જેની પાયાની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ હોય તેનું ઘનફળ પાયાના ક્ષેત્રફળ અને નળાકારની ઊંચાઈના ગુણાકાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે.
પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^{2}$.
તેથી,નળાકારનું ઘનફળ $= \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ} = \pi r^{2} h$.

(B) શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને તેના વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi rl$
પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^{2}$
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi rl + \pi r^{2} = \pi r(l + r)$
જ્યાં $r$ એ પાયાની ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ છે.

(C) ગોલકનો વ્યાસ $d = 10 \, cm$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, cm$ થાય.
ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \pi (5)^3$
$V = \frac{4}{3} \pi (125)$
$V = \frac{500}{3} \pi \, cm^3$.

(B) $5$ રૂપિયાનો સિક્કો નળાકાર આકારનો હોય છે,જેની ઊંચાઈ $h$ ખૂબ જ ઓછી હોય છે.
નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ તેના બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળ અને તેની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું હોય છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2 \times (\text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ}) + \text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 2(\pi r^2) + 2 \pi r h$.
$2 \pi r$ સામાન્ય લેતા,આપણને $2 \pi r(r + h)$ મળે છે.
આમ,સાચું સૂત્ર $2 \pi r(r + h)$ છે.

(A) ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 1.5 \text{ cm} = \frac{3}{2} \text{ cm}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{3}{2} \right)^3$
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{27}{8} \right)$
$V = \left( \frac{4}{3} \times \frac{27}{8} \right) \pi$
$V = \left( \frac{1}{1} \times \frac{9}{2} \right) \pi$
$V = 4.5 \pi \text{ cm}^3$.

(B) ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે. આપેલ છે કે તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 3 : 5$ છે.
ગોળાના પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર $S = 4\pi r^2$ છે.
બે ગોળાઓના પૃષ્ઠફળોનો ગુણોત્તર $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા: $\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$.
આમ,તેમના પૃષ્ઠફળોનો ગુણોત્તર $9: 25$ છે.

(C) આપેલ છે: શંકુના આડછેદની ત્રિજ્યાઓ $R = 10 \, cm$ અને $r = 7 \, cm$ છે. ઊંચાઈ $h = 4 \, cm$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે શંકુના આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ શોધીશું,જેનું સૂત્ર $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $l = \sqrt{4^2 + (10 - 7)^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, cm$.
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = \pi (R + r) l$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $CSA = \pi (10 + 7) \times 5 = \pi (17) \times 5 = 85\pi \, cm^2$.
આમ,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $85\pi \, cm^2$ છે.

(D) શંકુના આડછેદના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ છે.
આપેલ છે: $r_1 = 6 \, cm$,$r_2 = 4 \, cm$ અને $h = 9 \, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \pi (9) (6^2 + 4^2 + 6 \times 4)$
$V = 3 \pi (36 + 16 + 24)$
$V = 3 \pi (76)$
$V = 228 \pi \, cm^3$.
આમ,ઘનફળ $228 \pi \, cm^3$ છે.

(A) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $V$ એ ઘનફળ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $V = 550 \, cm^3$,$r = 5 \, cm$ અને $\pi \approx \frac{22}{7}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $550 = \frac{22}{7} \times (5)^2 \times h$.
$550 = \frac{22}{7} \times 25 \times h$.
$550 = \frac{550}{7} \times h$.
$h = 550 \times \frac{7}{550}$.
$h = 7 \, cm$.

(B) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 12 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (5)^{2} \times 12$
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12$
$V = \pi \times 25 \times 4$
$V = 100 \pi \, cm^{3}$.
તેથી,શંકુનું ઘનફળ $100 \, \pi \, cm^{3}$ થાય.

(C) ધારો કે બે શંકુના વ્યાસ $d_1$ અને $d_2$ છે,અને તેમની ઊંચાઈ $h_1$ અને $h_2$ છે.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_1:d_2 = 2:3$ છે,તેથી તેમની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_1:r_2 = 2:3$ થશે.
તેમની ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $h_1:h_2 = 9:4$ છે.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ થશે.
આપેલા ગુણોત્તરની કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{9}{4}\right) = \frac{4}{9} \times \frac{9}{4} = 1$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(D) ગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે મૂળ ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
તેથી મૂળ ઘનફળ $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ થાય.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r$ થાય.
નવું ઘનફળ $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ મળે.
આમ,$V_2 = 8 \times V_1$.
તેથી,નવું ઘનફળ મૂળ ગોલકના ઘનફળના $8$ ગણું થાય છે.

(A) શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ નું સૂત્ર $CSA = \pi r l$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $r = 12 \, cm$ અને $l = 20 \, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$CSA = \pi \times 12 \times 20$
$CSA = 240 \pi \, cm^2$.
તેથી,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $240 \pi \, cm^2$ છે.

(B) નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^{2} h$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ અને ઊંચાઈ $h = 5 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \pi \times (5)^{2} \times 5$
$V = \pi \times 25 \times 5$
$V = 125\pi \, cm^{3}$.
આમ,નળાકારનું ઘનફળ $125\pi \, cm^{3}$ થાય.

(C) અર્ધગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 3 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{2}{3} \times \pi \times (3)^{3}$
$V = \frac{2}{3} \times \pi \times 27$
$V = 2 \times \pi \times 9$
$V = 18 \pi \, cm^{3}$.
આમ,અર્ધગોલકનું ઘનફળ $18 \pi \, cm^{3}$ થાય.

(D) ધારો કે બે નળાકારના વ્યાસ $d_1$ અને $d_2$ છે,અને તેમની ઊંચાઈ $h_1$ અને $h_2$ છે.
આપેલ છે કે,$d_1:d_2 = 3:4$,તેથી ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1:r_2 = 3:4$ થાય.
આપેલ છે કે,$h_1:h_2 = 4:5$.
નળાકારના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે.
ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{4}{5}\right) = \frac{9}{16} \times \frac{4}{5} = \frac{9 \times 1}{4 \times 5} = \frac{9}{20}$.
આમ,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $9:20$ છે.

(C) સમઘનને કુલ $6$ બાજુઓ હોય છે. $l$ લંબાઈની બાજુ ધરાવતા સમઘનની દરેક બાજુનું ક્ષેત્રફળ $l^2$ થાય છે.
જો સમઘન એક છેડેથી ખુલ્લો હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે એક બાજુ ઓછી છે.
તેથી,એક છેડેથી ખુલ્લા સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ બાકીની $5$ બાજુઓના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 5 \times l^2 = 5l^2$.

(A) સમઘન એ ત્રિ-પરિમાણીય આકાર છે જેમાં $6$ સમાન ચોરસ બાજુઓ હોય છે.
જો સમઘનની બાજુની લંબાઈ $l$ હોય,તો એક ચોરસ બાજુનું ક્ષેત્રફળ $l \times l = l^{2}$ થાય.
બંધ સમઘનમાં આવી $6$ બાજુઓ હોવાથી,કુલ પૃષ્ઠફળ એ તમામ $6$ બાજુઓના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
તેથી,કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6 \times l^{2} = 6 l^{2}$.

(A) નળાકારને બે વર્તુળાકાર પાયા હોય છે.
નળાકારનો પાયો $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ હોવાથી,પાયાનું ક્ષેત્રફળ વર્તુળના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^{2}$.
તેથી,નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ થાય છે.

(A) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એટલે ઉપરના અને નીચેના વર્તુળાકાર પાયાને બાદ કરતાં તેની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
$r$ ત્રિજ્યા અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા નળાકાર માટે,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ પાયાના પરિઘ $(2 \pi r)$ ને ઊંચાઈ $(h)$ સાથે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,સૂત્ર $2 \pi r h$ છે.

(B) નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળ અને વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
બે વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\pi r^2) = 2 \pi r^2$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r h$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$.
$2 \pi r$ સામાન્ય લેતા,આપણને $2 \pi r(r + h)$ મળે છે.

(D) શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $\pi rl$ છે,જ્યાં $r$ એ પાયાની ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ છે.

(C) શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને પાયાના વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$1$. શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi r l$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે.
$2$. પાયાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ છે.
$3$. તેથી,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} = \pi r l + \pi r^{2}$.
$4$. $\pi r$ સામાન્ય લેતા,આપણને $\pi r(l + r)$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^{2}$ છે.
આ સૂત્ર ગોલકની બહારની સીમા દ્વારા આવરી લેવાયેલ કુલ ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.

(C) ગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4 \pi r^{2}$ છે.
અર્ધગોલક એ ગોલકનો બરાબર અડધો ભાગ હોવાથી,તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ગોલકની કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળ કરતા અડધું થાય.
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (4 \pi r^{2}) = 2 \pi r^{2}$.

(C) એક લંબવૃત્તીય શંકુમાં,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$,શિરોલંબ ઊંચાઈ $(h)$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $(r)$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,કર્ણનો વર્ગ એ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તેથી,$l^{2} = h^{2} + r^{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ મળે છે.

(C) અર્ધગોલક એ ગોલકનો અડધો ભાગ છે. ગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4\pi r^{2}$ છે,તેથી અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2\pi r^{2}$ થાય.
વધુમાં,અર્ધગોલકનો પાયો એક વર્તુળ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ છે.
તેથી,અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે: $2\pi r^{2} + \pi r^{2} = 3\pi r^{2}$.

(D) શંકુ એ ત્રિ-પરિમાણીય ભૌમિતિક આકાર છે જે સપાટ પાયાથી ઉપરના એક બિંદુ સુધી સાંકડો થતો જાય છે,જેને શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,લંબવૃત્તીય શંકુનો પાયો એક વર્તુળ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
અર્ધગોલક એ ગોલકનો બરાબર અડધો ભાગ હોવાથી,તેનું ઘનફળ ગોલકના ઘનફળ કરતાં અડધું હોય છે.
તેથી,અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{1}{2} \times (\frac{4}{3} \pi r^{3}) = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ થાય.

(B) $1-$ રૂપિયાનો સિક્કો નળાકાર આકારનો હોય છે.
નળાકારનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \pi r^{2} h$ છે,જ્યાં $r$ એ પાયાની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ સિક્કાની જાડાઈ (ઊંચાઈ) છે.
તેથી,$1-$ રૂપિયાના સિક્કાનું ઘનફળ $V = \pi r^{2} h$ થાય.

(B) શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ શોધવાનું સૂત્ર છે: $TSA = \pi r(r + l) = \pi r^2 + \pi rl$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર છે: $CSA = \pi rl$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ કરતા કેટલું વધારે છે તે જાણવા માટે,આપણે $TSA$ માંથી $CSA$ બાદ કરીશું:
તફાવત $= TSA - CSA$
તફાવત $= (\pi r^2 + \pi rl) - (\pi rl)$
તફાવત $= \pi r^2 + \pi rl - \pi rl$
તફાવત $= \pi r^2$.
આમ,શંકુની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ તેની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ કરતા $\pi r^2$ જેટલું વધારે છે.

(B) $1$ રૂપિયાનો સિક્કો પાતળા નળાકાર જેવો આકાર ધરાવે છે.
નળાકાર માટે,જેની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ હોય,તેનું વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $A = 2 \pi r h$ છે.
અહીં,$h$ એ સિક્કાની જાડાઈ દર્શાવે છે.

(B) જ્યારે શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવે ત્યારે શંકુનો આડછેદ (frustum) બને છે.
ધારો કે $h$ એ આડછેદની ઊંચાઈ છે,અને $r_{1}$ તથા $r_{2}$ એ બે વર્તુળાકાર પાયાની ત્રિજ્યાઓ છે.
શંકુના આડછેદના ઘનફળ $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{3} \pi h(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$
તેથી,વિકલ્પ $B$ એ સાચું સૂત્ર છે.

(A) જ્યારે શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવે ત્યારે શંકુનો આડછેદ બને છે.
ધારો કે $r_{1}$ અને $r_{2}$ એ આડછેદના બે વર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ છે.
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર મૂળ શંકુ અને ઉપરથી કાપેલા નાના શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળના તફાવત પરથી મેળવવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર છે: $CSA = \pi l(r_{1} + r_{2})$.

(A) શંકુના આડછેદનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ એ તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$1$. આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\pi l(r_{1} + r_{2})$ છે,જ્યાં $l$ એ તિર્યક ઊંચાઈ છે અને $r_{1}, r_{2}$ એ બે વર્તુળાકાર પાયાની ત્રિજ્યાઓ છે.
$2$. ઉપરના વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r_{1}^{2}$ છે.
$3$. નીચેના વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r_{2}^{2}$ છે.
$4$. તેથી,કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$ આ ત્રણેય ભાગોનો સરવાળો છે: $TSA = \pi l(r_{1} + r_{2}) + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$.

(B) $5$ રૂપિયાનો સિક્કો પાતળા નળાકાર જેવો આકાર ધરાવે છે.
નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ $(TSA)$,જેની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે,તે તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને તેના બે વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$TSA = \text{વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + 2 \times \text{વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ}$
$TSA = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$
$2 \pi r$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા,આપણને મળે છે:
$TSA = 2 \pi r(r + h)$
તેથી,સાચું સૂત્ર $A = 2 \pi r(r + h)$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ litre}$ એ $10 \text{ cm}$ બાજુ ધરાવતા સમઘનનું ઘનફળ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $(\text{બાજુ})^3$ દ્વારા મળે છે,તેથી:
$1 \text{ litre} = (10 \text{ cm})^3 = 10 \times 10 \times 10 \text{ cm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$.
આમ,$1 \text{ litre} = 1000 \text{ cm}^3$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, m = 100 \, cm$.
તેથી,$1 \, m^3 = (100 \, cm) \times (100 \, cm) \times (100 \, cm) = 1,000,000 \, cm^3$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $1 \, \text{લીટર} = 1000 \, cm^3$.
$cm^3$ ને લીટરમાં ફેરવવા માટે,આપણે $1000$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ.
આમ,$1,000,000 \, cm^3 / 1000 = 1000 \, \text{લીટર}$.
તેથી,$1 \, m^3 = 1000 \, \text{લીટર}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ m^{3} = 1000 \ \text{લીટર}$.
વળી,$1 \ \text{કિલોલીટર} = 1000 \ \text{લીટર}$.
તેથી,$1 \ m^{3} = 1 \ \text{કિલોલીટર}$.