Textbook - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(A) રંગવા માટેનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
આપેલ છે:
ભમરડાનો વ્યાસ $= 3.5 \, cm$
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{3.5}{2} = 1.75 \, cm$
ભમરડાની કુલ ઊંચાઈ $= 5 \, cm$
શંકુની ઊંચાઈ $(h) = \text{કુલ ઊંચાઈ} - \text{અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા} = 5 - 1.75 = 3.25 \, cm$
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(1.75)^2 + (3.25)^2} = \sqrt{3.0625 + 10.5625} = \sqrt{13.625} \approx 3.69 \, cm \approx 3.7 \, cm$
અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 = 19.25 \, cm^2$
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 1.75 \times 3.7 = 20.35 \, cm^2$
રંગવા માટેનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 19.25 + 20.35 = 39.6 \, cm^2$.

(B) સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (\text{ધાર})^2 = 6 \times 5 \times 5 \, cm^2 = 150 \, cm^2$.
નોંધો કે સમઘનનો જે ભાગ પર અર્ધગોલક જોડાયેલ છે તે પૃષ્ઠફળમાં ગણવામાં આવતો નથી.
તેથી,બ્લોકનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= \text{સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ} - \text{અર્ધગોલકના પાયાનું ક્ષેત્રફળ} + \text{અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$.
$= 150 - \pi r^2 + 2\pi r^2 = (150 + \pi r^2) \, cm^2$.
આપેલ વ્યાસ $= 4.2 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2.1 \, cm$ થાય.
$= 150 + \left(\frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1\right) \, cm^2$.
$= 150 + (22 \times 0.3 \times 2.1) \, cm^2 = 150 + 13.86 \, cm^2 = 163.86 \, cm^2$.

(C) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $r$, શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$, શંકુની ઊંચાઈ $h$, નળાકારની ત્રિજ્યા $r^{\prime}$ અને નળાકારની ઊંચાઈ $h^{\prime}$ છે।
આપેલ છે: $r = 2.5\, cm$, $h = 6\, cm$, $r^{\prime} = 1.5\, cm$ અને $h^{\prime} = 26 - 6 = 20\, cm$.
તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2.5^2 + 6^2} = \sqrt{6.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5\, cm$.
શંકુ આકારના ભાગનો વર્તુળાકાર પાયો નળાકારના પાયા પર રહેલો છે। શંકુનો પાયો નળાકારના પાયા કરતાં મોટો હોવાથી, શંકુના પાયાનો બાકી રહેલો ભાગ (રીંગ) પણ નારંગી રંગથી રંગવાનો રહેશે।
નારંગી રંગથી રંગવાનો વિસ્તાર = (શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + (શંકુના પાયાનું ક્ષેત્રફળ - નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ)
$= \pi r l + (\pi r^2 - \pi (r^{\prime})^2)$
$= 3.14 \times 2.5 \times 6.5 + 3.14 \times (2.5^2 - 1.5^2)$
$= 51.025 + 3.14 \times (6.25 - 2.25)$
$= 51.025 + 3.14 \times 4 = 51.025 + 12.56 = 63.585\, cm^2$.
પીળા રંગથી રંગવાનો વિસ્તાર = (નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) + (નળાકારના નીચેના પાયાનું ક્ષેત્રફળ)
$= 2 \pi r^{\prime} h^{\prime} + \pi (r^{\prime})^2$
$= \pi r^{\prime} (2h^{\prime} + r^{\prime})$
$= 3.14 \times 1.5 \times (2 \times 20 + 1.5)$
$= 4.71 \times 41.5 = 195.465\, cm^2$.
આમ, નારંગી રંગથી રંગાયેલ ક્ષેત્રફળ $63.585\, cm^2$ અને પીળા રંગથી રંગાયેલ ક્ષેત્રફળ $195.465\, cm^2$ છે।

(D) ધારો કે $h$ એ નળાકારની ઊંચાઈ છે અને $r$ એ નળાકાર અને અર્ધગોળાની સામાન્ય ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $h = 1.45\, m = 145\, cm$ અને $r = 30\, cm$.
પક્ષીઓ માટેના સ્નાનપાત્રની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \text{નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$
$= 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 30 \times (145 + 30)\, cm^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 30 \times 175\, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 30 \times 25\, cm^2$
$= 33000\, cm^2$
કારણ કે $1\, m^2 = 10000\, cm^2$,તેથી:
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{33000}{10000}\, m^2 = 3.3\, m^2$.

(A) આપેલ છે કે,દરેક સમઘનનું ઘનફળ $64 \, cm^3$ છે.
ધારો કે સમઘનની બાજુનું માપ $a$ છે.
તેથી,$a^3 = 64 \, cm^3$.
$a = \sqrt[3]{64} = 4 \, cm$.
જ્યારે આવા બે સમઘનને એકબીજા સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે એક લંબઘન બને છે.
પરિણામી લંબઘનના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
લંબાઈ $(l)$ = $4 \, cm + 4 \, cm = 8 \, cm$
પહોળાઈ $(b)$ = $4 \, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $4 \, cm$
લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ શોધવાનું સૂત્ર: $2(lb + bh + lh)$ છે.
પૃષ્ઠફળ = $2(8 \times 4 + 4 \times 4 + 8 \times 4)$
$= 2(32 + 16 + 32)$
$= 2(80)$
$= 160 \, cm^2$.
આમ,પરિણામી લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ $160 \, cm^2$ છે.

(B) અહીં જોઈ શકાય છે કે નળાકાર ભાગ અને અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r)$ સમાન છે (એટલે કે,$7 \, cm$).
અર્ધગોળાકાર ભાગની ઊંચાઈ = ત્રિજ્યા $= 7 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h) = 13 - 7 = 6 \, cm$.
પાત્રની અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi r (h + r)$.
અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (6 + 7)$.
અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 44 \times 13 = 572 \, cm^2$.

(C) અહીં જોઈ શકાય છે કે શંકુ આકારના ભાગ અને અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા સમાન છે (એટલે કે,$r = 3.5 \, cm = \frac{7}{2} \, cm$ ).
અર્ધગોળાકાર ભાગની ઊંચાઈ = ત્રિજ્યા $(r) = 3.5 \, cm = \frac{7}{2} \, cm$.
શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $(h) = 15.5 \, cm - 3.5 \, cm = 12 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ શોધવાનું સૂત્ર $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ છે.
$l = \sqrt{\left( \frac{7}{2} \right)^2 + (12)^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + 144} = \sqrt{\frac{49 + 576}{4}} = \sqrt{\frac{625}{4}} = \frac{25}{2} \, cm = 12.5 \, cm$.
રમકડાની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r l + 2 \pi r^2 = \pi r (l + 2r)$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \left( 12.5 + 2 \times 3.5 \right) = 11 \times (12.5 + 7) = 11 \times 19.5 = 214.5 \, cm^2$.

(D) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે આવા અર્ધગોલક માટે શક્ય મહત્તમ વ્યાસ એ સમઘનની ધાર જેટલો છે,એટલે કે $7 \, cm$.
અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{7}{2} = 3.5 \, cm$.
પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $=$ સમઘન ભાગનું પૃષ્ઠફળ $+$ અર્ધગોલક ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $-$ અર્ધગોલક ભાગના પાયાનું ક્ષેત્રફળ.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6(\text{ધાર})^2 + 2\pi r^2 - \pi r^2 = 6(\text{ધાર})^2 + \pi r^2$.
પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6(7)^2 + \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$.
$= 6(49) + \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} = 294 + 38.5 = 332.5 \, cm^2$.

(N/A) અર્ધગોળાનો વ્યાસ $=$ ઘનની ધાર $= l$
અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $r = \frac{l}{2}$
બાકી રહેલા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $=$ ઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $+$ અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $-$ અર્ધગોળાના પાયાનું ક્ષેત્રફળ
$= 6(\text{ધાર})^2 + 2\pi r^2 - \pi r^2$
$= 6l^2 + \pi r^2$
$r = \frac{l}{2}$ મુકતા:
$= 6l^2 + \pi \left(\frac{l}{2}\right)^2$
$= 6l^2 + \frac{\pi l^2}{4}$
$= \frac{24l^2 + \pi l^2}{4}$
$= \frac{l^2}{4}(24 + \pi) \text{ એકમ}^2$

(B) અહીં જોઈ શકાય છે કે:
નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) =$ અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{\text{કેપ્સ્યુલનો વ્યાસ}}{2} = \frac{5}{2} \, mm = 2.5 \, mm$.
નળાકાર ભાગની લંબાઈ $(h) = \text{કેપ્સ્યુલની કુલ લંબાઈ} - 2 \times r$
$= 14 \, mm - 2 \times (2.5 \, mm) = 14 \, mm - 5 \, mm = 9 \, mm$.
કેપ્સ્યુલનું પૃષ્ઠફળ $= 2 \times \text{અર્ધગોળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$
$= 2 \times (2 \pi r^2) + 2 \pi r h$
$= 4 \pi r^2 + 2 \pi r h$
$= 2 \pi r (2r + h)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times (2 \times 2.5 + 9)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times (5 + 9)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times 14$
$= 2 \times 22 \times 2.5 \times 2$
$= 220 \, mm^2$.

(C) આપેલ છે કે,
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h) = 2.1 \, m$
નળાકાર ભાગનો વ્યાસ $= 4 \, m$
નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) = 2 \, m$
શંકુ આકારના ભાગની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 2.8 \, m$
વપરાયેલ કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ = શંકુ આકારના ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
$= \pi rl + 2\pi rh$
$= \pi r(l + 2h)$
$= \frac{22}{7} \times 2 \times (2.8 + 2 \times 2.1)$
$= \frac{44}{7} \times (2.8 + 4.2)$
$= \frac{44}{7} \times 7 = 44 \, m^2$
$1 \, m^2$ કેનવાસનો ખર્ચ $= Rs. \, 500$
$44 \, m^2$ કેનવાસનો ખર્ચ $= 44 \times 500 = Rs. \, 22000$
તેથી,તંબુ બનાવવા માટે કેનવાસનો ખર્ચ $Rs. \, 22000$ થશે.

(D) આપેલ છે કે,
શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $(h) =$ નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h) = 2.4 \, cm$
નળાકાર ભાગનો વ્યાસ $= 1.4 \, cm$
તેથી,નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) = 0.7 \, cm$
શંકુ આકારના ભાગની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r^2 + h^2}$
$= \sqrt{(0.7)^2 + (2.4)^2} = \sqrt{0.49 + 5.76}$
$= \sqrt{6.25} = 2.5 \, cm$
બાકી રહેલા નક્કર પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= \text{નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{શંકુ ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ}$
$= 2 \pi rh + \pi rl + \pi r^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.4 + \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.5 + \frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7$
$= 4.4 \times 2.4 + 2.2 \times 2.5 + 2.2 \times 0.7$
$= 10.56 + 5.50 + 1.54 = 17.60 \, cm^2$
બાકી રહેલા નક્કર પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ નજીકના $cm^2$ માં $18 \, cm^2$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે,
નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) =$ અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) = 3.5 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h) = 10 \, cm$.
વસ્તુનું કુલ પૃષ્ઠફળ એ નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને બે અર્ધગોલકોની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= \text{નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + 2 \times \text{અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$
$= 2 \pi r h + 2 \times (2 \pi r^2)$
$= 2 \pi r h + 4 \pi r^2$
$= 2 \pi r (h + 2r)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times (10 + 2 \times 3.5)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times (10 + 7)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 17$
$= 44 \times 0.5 \times 17$
$= 22 \times 17 = 374 \, cm^2$.

(B) શેડની અંદરની હવાનું ઘનફળ (જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ કે મશીનરી ન હોય ત્યારે) લંબઘન અને અર્ધ-નળાકારના ઘનફળના સરવાળા જેટલું હોય છે.
લંબઘનના પરિમાણો $\text{લંબાઈ }= 15\,m,$ $\text{પહોળાઈ }= 7\,m,$ અને $\text{ઊંચાઈ }= 8\,m$ છે.
લંબઘનનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ }\times \text{પહોળાઈ }\times \text{ઊંચાઈ }= 15 \times 7 \times 8 = 840\,m^3.$
અર્ધ-નળાકારનો વ્યાસ $7\,m$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = 3.5\,m = \frac{7}{2}\,m$ થાય. નળાકારની લંબાઈ $15\,m$ છે.
અર્ધ-નળાકારનું ઘનફળ $= \frac{1}{2} \times (\pi r^2 h) = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 15 = 288.75\,m^3.$
શેડનું કુલ ઘનફળ $= 840 + 288.75 = 1128.75\,m^3.$
મશીનરી દ્વારા રોકાયેલી જગ્યા $= 300\,m^3.$
$20$ કામદારો દ્વારા રોકાયેલી જગ્યા $= 20 \times 0.08 = 1.6\,m^3.$
રોકાયેલી કુલ જગ્યા $= 300 + 1.6 = 301.6\,m^3.$
શેડમાં હવાનું ઘનફળ $= 1128.75 - 301.6 = 827.15\,m^3.$

(C) આપેલ છે કે,નળાકાર ગ્લાસનો અંદરનો વ્યાસ $= 5 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2.5 \, cm$. ઊંચાઈ $h = 10 \, cm$.
ગ્લાસની આભાસી ક્ષમતા એ નળાકારનું ઘનફળ છે:
આભાસી ક્ષમતા $= \pi r^2 h = 3.14 \times (2.5)^2 \times 10 = 3.14 \times 6.25 \times 10 = 196.25 \, cm^3$.
વાસ્તવિક ક્ષમતા ગ્લાસના તળિયે રહેલા અર્ધગોળાકાર ભાગના ઘનફળ જેટલી ઓછી થાય છે:
અર્ધગોળાકારનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times (2.5)^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 15.625 = 32.70833... \approx 32.71 \, cm^3$.
વાસ્તવિક ક્ષમતા $= \text{આભાસી ક્ષમતા} - \text{અર્ધગોળાકારનું ઘનફળ} = 196.25 - 32.71 = 163.54 \, cm^3$.

(D) ધારો કે $BPC$ એ અર્ધગોલક છે અને $ABC$ એ અર્ધગોલકના પાયા પર રહેલો શંકુ છે.
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા $BO$ (તેમજ શંકુની) $= \frac{1}{2} \times 4 \, cm = 2 \, cm$.
તેથી,રમકડાનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
$= \left[ \frac{2}{3} \times 3.14 \times (2)^3 + \frac{1}{3} \times 3.14 \times (2)^2 \times 2 \right] \, cm^3 = 25.12 \, cm^3$.
હવે,ધારો કે લંબવૃત્તીય નળાકાર $EFGH$ આપેલ ઘન પદાર્થને પરિબદ્ધ કરે છે. લંબવૃત્તીય નળાકારના પાયાની ત્રિજ્યા $= HP = BO = 2 \, cm$,અને તેની ઊંચાઈ $EH = AO + OP = (2 + 2) \, cm = 4 \, cm$ છે.
તેથી,જરૂરી ઘનફળનો તફાવત $=$ લંબવૃત્તીય નળાકારનું ઘનફળ $-$ રમકડાનું ઘનફળ.
$= (3.14 \times 2^2 \times 4 - 25.12) \, cm^3$.
$= (50.24 - 25.12) \, cm^3 = 25.12 \, cm^3$.
આમ,બંને ઘનફળ વચ્ચેનો જરૂરી તફાવત $= 25.12 \, cm^3$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે,
શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $(h)$ $=$ શંકુ આકારના ભાગની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 1\, cm$.
અર્ધગોલક ભાગની ત્રિજ્યા $(r)$ $=$ શંકુ આકારના ભાગની ત્રિજ્યા $(r)$ $= 1\, cm$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $=$ શંકુ આકારના ભાગનું ઘનફળ $+$ અર્ધગોલક ભાગનું ઘનફળ.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3$.
કિંમતો મૂકતા:
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi (1)^2 (1) + \frac{2}{3} \pi (1)^3$.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi = \frac{3}{3} \pi = \pi\, cm^3$.

(B) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે:
દરેક શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $(h_1) = 2\, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h_2) = 12 - (2 \times \text{શંકુની ઊંચાઈ}) = 12 - (2 \times 2) = 12 - 4 = 8\, cm$.
નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) =$ શંકુની ત્રિજ્યા $= \frac{3}{2} = 1.5\, cm$.
મોડેલમાં રહેલી હવાનું ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ $+ 2 \times$ શંકુનું ઘનફળ.
ઘનફળ $= \pi r^2 h_2 + 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h_1)$.
ઘનફળ $= \pi r^2 (h_2 + \frac{2}{3} h_1) = \pi \times (\frac{3}{2})^2 \times (8 + \frac{2}{3} \times 2)$.
ઘનફળ $= \pi \times \frac{9}{4} \times (8 + \frac{4}{3}) = \pi \times \frac{9}{4} \times (\frac{24+4}{3}) = \pi \times \frac{9}{4} \times \frac{28}{3}$.
ઘનફળ $= \pi \times 3 \times 7 = 21 \pi$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,ઘનફળ $= 21 \times \frac{22}{7} = 3 \times 22 = 66\, cm^3$.

(C) અહીં જોઈ શકાય છે કે:
નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) =$ અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{2.8}{2} = 1.4\,cm$.
દરેક અર્ધગોળાકાર ભાગની લંબાઈ $=$ અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $= 1.4\,cm$.
નળાકાર ભાગની લંબાઈ $(h) = 5 - 2 \times$ (અર્ધગોળાકાર ભાગની લંબાઈ) $= 5 - 2 \times 1.4 = 2.2\,cm$.
એક ગુલાબજાંબુનું ઘનફળ $=$ નળાકાર ભાગનું ઘનફળ $+ 2 \times$ અર્ધગોળાકાર ભાગનું ઘનફળ
$= \pi r^2 h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^3) = \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3$
$= \frac{22}{7} \times (1.4)^2 \times 2.2 + \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.4)^3$
$= 13.552 + 11.49866... \approx 25.05\,cm^3$.
$45$ ગુલાબજાંબુનું કુલ ઘનફળ $= 45 \times 25.05 = 1127.25\,cm^3$.
ખાંડની ચાસણીનું ઘનફળ $= 30\%$ કુલ ઘનફળના
$= \frac{30}{100} \times 1127.25 = 338.175\,cm^3$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ચાસણીનું ઘનફળ આશરે $338\,cm^3$ થાય.

(D) $\text{લાકડાના સ્ટેન્ડનું ઘનફળ એ લંબઘનના ઘનફળમાંથી ચાર શંકુ આકારના ખાડાઓના ઘનફળને બાદ કરવાથી મળે છે.}
\text{લંબઘનના પરિમાણો: લંબાઈ } (l) = 15 \, cm,\text{પહોળાઈ } (b) = 10 \, cm,\text{ઊંચાઈ } (H) = 3.5 \, cm.
\text{લંબઘનનું ઘનફળ } = l \times b \times H = 15 \times 10 \times 3.5 = 525 \, cm^3.
\text{દરેક શંકુ આકારના ખાડાના પરિમાણો: ત્રિજ્યા } (r) = 0.5 \, cm,\text{ઊંડાઈ } (h) = 1.4 \, cm.
\text{એક શંકુનું ઘનફળ } = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.5)^2 \times 1.4.
\text{ચાર શંકુનું ઘનફળ } = 4 \times \left( \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 1.4 \right) = 4 \times \left( \frac{1}{3} \times 22 \times 0.25 \times 0.2 \right) = 4 \times \left( \frac{1.1}{3} \right) = \frac{4.4}{3} \approx 1.4667 \, cm^3.
\text{લાકડાનું ઘનફળ } = 525 - 1.4667 = 523.5333 \, cm^3.
\text{બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઘનફળ } 523.53 \, cm^3 \text{ મળે છે.}$

(A) શંકુ આકારના પાત્રની ઊંચાઈ $(h)$ $= 8 \, cm$.
શંકુ આકારના પાત્રની ત્રિજ્યા $(r_1)$ $= 5 \, cm$.
દરેક સીસાની ગોળીની ત્રિજ્યા $(r_2)$ $= 0.5 \, cm$.
ધારો કે પાત્રમાં નાખેલી સીસાની ગોળીઓની સંખ્યા $n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બહાર નીકળેલા પાણીનું ઘનફળ એ નાખેલી સીસાની ગોળીઓના કુલ ઘનફળ જેટલું હોય છે.
બહાર નીકળેલું પાણી $= \frac{1}{4} \times$ શંકુનું ઘનફળ.
$\frac{1}{4} \times (\frac{1}{3} \pi r_1^2 h) = n \times (\frac{4}{3} \pi r_2^3)$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{3} \pi$ દૂર કરતા:
$\frac{1}{4} r_1^2 h = 4 n r_2^3$.
$r_1^2 h = 16 n r_2^3$.
કિંમતો મૂકતા:
$5^2 \times 8 = 16 \times n \times (0.5)^3$.
$25 \times 8 = 16 \times n \times (\frac{1}{2})^3$.
$200 = 16 \times n \times \frac{1}{8}$.
$200 = 2n$.
$n = 100$.
આમ,પાત્રમાં નાખેલી સીસાની ગોળીઓની સંખ્યા $100$ છે.

(B) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે:
મોટા નળાકારની ઊંચાઈ $(h_1) = 220 \,cm$
મોટા નળાકારની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{24}{2} = 12 \,cm$
નાના નળાકારની ઊંચાઈ $(h_2) = 60 \,cm$
નાના નળાકારની ત્રિજ્યા $(r_2) = 8 \,cm$
થાંભલાનું કુલ ઘનફળ $=$ મોટા નળાકારનું ઘનફળ $+$ નાના નળાકારનું ઘનફળ
$= \pi r_1^2 h_1 + \pi r_2^2 h_2$
$= \pi(12)^2 \times 220 + \pi(8)^2 \times 60$
$= \pi(144 \times 220 + 64 \times 60)$
$= 3.14 \times (31680 + 3840)$
$= 3.14 \times 35520 = 111532.8 \,cm^3$
$1 \,cm^3$ લોખંડનું દળ $= 8 \,g$
થાંભલાનું કુલ દળ $= 111532.8 \times 8 = 892262.4 \,g$
$1 \,kg = 1000 \,g$ હોવાથી,$kg$ માં દળ $= \frac{892262.4}{1000} = 892.2624 \,kg \approx 892.262 \,kg$.

(C) અર્ધગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r)$ = શંકુ આકારના ભાગની ત્રિજ્યા $(r)$ = $60\, cm$.
ઘન પદાર્થના શંકુ આકારના ભાગની ઊંચાઈ $(h_2)$ = $120\, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(h_1)$ = $180\, cm$.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $60\, cm$.
નળાકારમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ - ઘન પદાર્થનું ઘનફળ.
ઘન પદાર્થનું ઘનફળ = શંકુનું ઘનફળ + અર્ધગોલકનું ઘનફળ = $\frac{1}{3}\pi r^2 h_2 + \frac{2}{3}\pi r^3$.
બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ = $\pi r^2 h_1 - (\frac{1}{3}\pi r^2 h_2 + \frac{2}{3}\pi r^3)$.
કિંમતો મૂકતા: $\pi(60)^2(180) - (\frac{1}{3}\pi(60)^2 \times 120 + \frac{2}{3}\pi(60)^3)$.
$= \pi(60)^2 [180 - (40 + 40)] = \pi(3600)(100) = 360,000\pi\, cm^3$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,ઘનફળ $\approx 360,000 \times 3.14159 = 1,130,973.36\, cm^3$.
$1\, m^3 = 1,000,000\, cm^3$ હોવાથી,$m^3$ માં ઘનફળ $\approx 1.131\, m^3$ થાય.

(D) નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h) = 8 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r_{2}) = \frac{2}{2} = 1 \, cm$.
ગોળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $(r_{1}) = \frac{8.5}{2} = 4.25 \, cm$.
પાત્રનું ઘનફળ $=$ ગોળાનું ઘનફળ $+$ નળાકારનું ઘનફળ.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} + \pi r_{2}^{2} h$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times 3.14 \times (4.25)^{3} + 3.14 \times (1)^{2} \times 8$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times 3.14 \times 76.765625 + 3.14 \times 8$.
ઘનફળ $= 321.392 + 25.12 = 346.512 \, cm^{3}$.
ગણતરી કરેલ ઘનફળ $346.512 \, cm^{3}$ હોવાથી,બાળકની $345 \, cm^{3}$ ની માપણી ખોટી છે.

(A) શંકુનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
આપેલ કિંમતો $r = 6\, cm$ અને $h = 24\, cm$ મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 24 = \frac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 24 = 288\pi\, cm^3$.
ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
આકાર બદલ્યા પછી માટીનું ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,આપણે બંને ઘનફળને સરખાવીએ:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 288\pi$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા અને $\frac{3}{4}$ વડે ગુણતા:
$R^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 72 \times 3 = 216$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$R = \sqrt[3]{216} = 6\, cm$.
આમ,ગોળાની ત્રિજ્યા $6\, cm$ છે.

(D) ઓવરહેડ ટાંકીમાં રહેલા પાણીનું ઘનફળ એ સંપમાંથી કાઢવામાં આવેલા પાણીના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
ઓવરહેડ ટાંકી (નળાકાર) નું ઘનફળ $= \pi r^2 h = 3.14 \times 0.6 \, m \times 0.6 \, m \times 0.95 \, m = 1.07388 \, m^3$.
સંપ (લંબઘન) નું ઘનફળ $= l \times b \times h = 1.57 \, m \times 1.44 \, m \times 0.95 \, m = 2.14776 \, m^3$.
સંપમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ $= 2.14776 \, m^3 - 1.07388 \, m^3 = 1.07388 \, m^3$.
ધારો કે સંપમાં બાકી રહેલા પાણીની ઊંચાઈ $H$ છે. સંપના પાયાનું ક્ષેત્રફળ અચળ રહેતું હોવાથી,$l \times b \times H = 1.07388 \, m^3$.
$1.57 \, m \times 1.44 \, m \times H = 1.07388 \, m^3$.
$2.2608 \, m^2 \times H = 1.07388 \, m^3$.
$H = \frac{1.07388}{2.2608} \, m = 0.475 \, m = 47.5 \, cm$.
ક્ષમતાનો ગુણોત્તર $= \frac{\text{ટાંકીની ક્ષમતા}}{\text{સંપની ક્ષમતા}} = \frac{1.07388}{2.14776} = \frac{1}{2}$.
આમ,ટાંકીની ક્ષમતા એ સંપની ક્ષમતા કરતા અડધી છે.

(A) તાંબાના સળિયાનું ઘનફળ નળાકારના ઘનફળના સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ વ્યાસ $= 1 \,cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.5 \,cm$. લંબાઈ $h = 8 \,cm$.
ઘનફળ $= \pi \times (0.5)^2 \times 8 = \pi \times 0.25 \times 8 = 2\pi \,cm^3$.
જ્યારે સળિયાને ખેંચીને તાર બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઘનફળ સમાન રહે છે.
નવા તારની લંબાઈ $18 \,m = 1800 \,cm$ છે.
ધારો કે તારની ત્રિજ્યા $r_w$ છે. તારનું ઘનફળ $\pi \times r_w^2 \times 1800$ થાય.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $\pi \times r_w^2 \times 1800 = 2\pi$.
$r_w^2 = \frac{2\pi}{1800\pi} = \frac{1}{900}$.
$r_w = \sqrt{\frac{1}{900}} = \frac{1}{30} \,cm$.
તારની જાડાઈ (વ્યાસ) $= 2 \times r_w = 2 \times \frac{1}{30} = \frac{1}{15} \,cm$.
$\frac{1}{15} \,cm \approx 0.0667 \,cm = 0.67 \,mm$.

(16.5) અર્ધગોળાકાર ટાંકીની ત્રિજ્યા $r = \frac{3}{2} \, m = 1.5 \, m$ છે.
અર્ધગોળાકાર ટાંકીનું કુલ ઘનફળ $V = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.5)^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{27}{8} = \frac{99}{14} \, m^3$ છે.
$1 \, m^3 = 1000 \, \text{લીટર}$ હોવાથી,કુલ ઘનફળ $\frac{99}{14} \times 1000 = \frac{99000}{14} \, \text{લીટર}$ થાય.
આપણે ટાંકીનું અડધું પાણી ખાલી કરવાનું છે,તેથી ખાલી કરવાના પાણીનું ઘનફળ $\frac{1}{2} \times \frac{99000}{14} = \frac{99000}{28} \, \text{લીટર}$ થાય.
પાણી ખાલી કરવાનો દર $3 \frac{4}{7} = \frac{25}{7} \, \text{લીટર}/\text{સેકન્ડ}$ છે.
સેકન્ડમાં લાગતો સમય $= \frac{\text{ઘનફળ}}{\text{દર}} = \frac{99000}{28} \div \frac{25}{7} = \frac{99000}{28} \times \frac{7}{25} = \frac{99000}{100} = 990 \, \text{સેકન્ડ}$.
મિનિટમાં ફેરવવા માટે,$60$ વડે ભાગતા: $990 \div 60 = 16.5 \, \text{મિનિટ}$.

(A) ગોળાની ત્રિજ્યા $(r_1) = 4.2 \, cm$.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r_2) = 6 \, cm$.
ધારો કે નળાકારની ઊંચાઈ $h$ છે.
ગોળાને ઓગાળીને નળાકાર બનાવવામાં આવતો હોવાથી,બંનેના ઘનફળ સમાન રહેશે.
ગોળાનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ
$\frac{4}{3} \pi r_1^3 = \pi r_2^2 h$
$\frac{4}{3} \times (4.2)^3 = (6)^2 \times h$
$\frac{4}{3} \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2 = 36 \times h$
$h = \frac{4 \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2}{3 \times 36}$
$h = \frac{4 \times 74.088}{108}$
$h = \frac{296.352}{108} = 2.744 \, cm$.
આમ,નળાકારની ઊંચાઈ $2.744 \, cm$ થશે.

(B) ધારો કે ત્રણ ધાતુના ગોળાઓની ત્રિજ્યા $r_1 = 6 \, cm$,$r_2 = 8 \, cm$ અને $r_3 = 10 \, cm$ છે.
ધારો કે નવા નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોળાઓને ઓગાળીને એક નવો ગોળો બનાવવામાં આવતો હોવાથી,નવા ગોળાનું ઘનફળ એ ત્રણેય ગોળાઓના ઘનફળના સરવાળા જેટલું થશે.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
તેથી,$\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3$.
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $r^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$.
કિંમતો મૂકતા: $r^3 = 6^3 + 8^3 + 10^3$.
$r^3 = 216 + 512 + 1000 = 1728$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $r = \sqrt[3]{1728} = 12 \, cm$.
આમ,નવા બનેલા ગોળાની ત્રિજ્યા $12 \, cm$ છે.

(C) કૂવાનો આકાર નળાકાર છે.
કૂવાની ઊંડાઈ $(h) = 20\, m$.
કૂવાના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{7}{2}\, m = 3.5\, m$.
પ્લેટફોર્મનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 22\, m \times 14\, m = 308\, m^2$.
ધારો કે પ્લેટફોર્મની ઊંચાઈ $H$ છે.
કૂવામાંથી ખોદવામાં આવેલી માટીનું ઘનફળ એ પ્લેટફોર્મ પર પાથરેલી માટીના ઘનફળ જેટલું હોય છે:
કૂવામાંથી નીકળેલી માટીનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 20 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 20 = 22 \times 7 \times 5 = 770\, m^3$.
પ્લેટફોર્મ પરની માટીનું ઘનફળ $= \text{પ્લેટફોર્મનું ક્ષેત્રફળ} \times H = 308 \times H$.
ઘનફળને સરખાવતા: $308 \times H = 770$.
$H = \frac{770}{308} = 2.5\, m$.
તેથી,પ્લેટફોર્મની ઊંચાઈ $2.5\, m$ થશે.

(D) કૂવાનો આકાર નળાકાર છે.
કૂવાની ઊંડાઈ $(h_1) = 14 \, m$.
કૂવાની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{3}{2} \, m = 1.5 \, m$.
ઓટલાની પહોળાઈ $= 4 \, m$.
ઓટલો પોલા નળાકાર (વર્તુળાકાર વલય) ના આકારમાં છે,જેની આંતરિક ત્રિજ્યા $r_1 = 1.5 \, m$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $r_2 = r_1 + \text{પહોળાઈ} = 1.5 + 4 = 5.5 \, m = \frac{11}{2} \, m$ છે.
ધારો કે ઓટલાની ઊંચાઈ $h_2$ છે.
કૂવામાંથી ખોદેલી માટીનું ઘનફળ = ઓટલો બનાવવા માટે વપરાયેલી માટીનું ઘનફળ.
$\pi \times r_1^2 \times h_1 = \pi \times (r_2^2 - r_1^2) \times h_2$
$\pi \times (1.5)^2 \times 14 = \pi \times ((5.5)^2 - (1.5)^2) \times h_2$
$2.25 \times 14 = (30.25 - 2.25) \times h_2$
$31.5 = 28 \times h_2$
$h_2 = \frac{31.5}{28} = 1.125 \, m$.
આમ,ઓટલાની ઊંચાઈ $1.125 \, m$ થશે.

(A) નળાકાર પાત્રની ઊંચાઈ $(h_1) = 15 \, cm$.
નળાકાર પાત્રની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{12}{2} = 6 \, cm$.
નળાકાર પાત્રનું ઘનફળ $= \pi r_1^2 h_1 = \pi \times (6)^2 \times 15 = 540\pi \, cm^3$.
આઈસ્ક્રીમ કોન માટે,ત્રિજ્યા $(r_2) = \frac{6}{2} = 3 \, cm$ અને ઊંચાઈ $(h_2) = 12 \, cm$.
કોનની ઉપરના ભાગમાં સમાન ત્રિજ્યા $(r_2 = 3 \, cm)$ વાળો અર્ધગોળક છે.
એક આઈસ્ક્રીમ કોનનું ઘનફળ $= \text{શંકુનું ઘનફળ} + \text{અર્ધગોળકનું ઘનફળ} = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 + \frac{2}{3} \pi r_2^3$.
એક આઈસ્ક્રીમ કોનનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi (3)^2 (12) + \frac{2}{3} \pi (3)^3 = 36\pi + 18\pi = 54\pi \, cm^3$.
ધારો કે ભરી શકાય તેવા કોનની સંખ્યા $n$ છે.
$n = \frac{\text{નળાકારનું ઘનફળ}}{\text{એક આઈસ્ક્રીમ કોનનું ઘનફળ}} = \frac{540\pi}{54\pi} = 10$.
તેથી,$10$ આઈસ્ક્રીમ કોન ભરી શકાય છે.

(B) સિક્કાઓ નળાકાર આકારના હોય છે.
નળાકાર સિક્કાની ઊંચાઈ $(h_1) = 2 \,mm = 0.2 \,cm$.
સિક્કાના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{1.75}{2} = 0.875 \,cm$.
ધારો કે જરૂરી લંબઘન બનાવવા માટે $n$ સિક્કા ઓગાળવામાં આવે છે.
$n$ સિક્કાઓનું ઘનફળ $=$ લંબઘનનું ઘનફળ
$n \times \pi \times r^2 \times h_1 = l \times b \times h$
$n \times \frac{22}{7} \times (0.875)^2 \times 0.2 = 5.5 \times 10 \times 3.5$
$n = \frac{5.5 \times 10 \times 3.5 \times 7}{22 \times (0.875)^2 \times 0.2}$
$n = \frac{192.5 \times 7}{22 \times 0.765625 \times 0.2} = \frac{1347.5}{3.36875} = 400$.
તેથી,આવા લંબઘન બનાવવા માટે ઓગાળવામાં આવતા સિક્કાઓની સંખ્યા $400$ છે.

(N/A) નળાકાર ડોલની ઊંચાઈ $(h_1) = 32 \, cm$.
નળાકાર ડોલના પાયાની ત્રિજ્યા $(r_1) = 18 \, cm$.
શંકુ આકારના ઢગલાની ઊંચાઈ $(h_2) = 24 \, cm$.
ધારો કે શંકુ આકારના ઢગલાના પાયાની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
રેતીનું ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી:
નળાકાર ડોલની રેતીનું ઘનફળ $=$ શંકુ આકારના ઢગલાની રેતીનું ઘનફળ.
$\pi \times r_1^2 \times h_1 = \frac{1}{3} \pi \times r_2^2 \times h_2$
$\pi \times 18^2 \times 32 = \frac{1}{3} \pi \times r_2^2 \times 24$
$18^2 \times 32 = r_2^2 \times 8$
$r_2^2 = \frac{324 \times 32}{8} = 324 \times 4 = 1296$
$r_2 = \sqrt{1296} = 36 \, cm$.
હવે,શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{r_2^2 + h_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
$l = \sqrt{36^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 576} = \sqrt{1872}$.
$l = \sqrt{144 \times 13} = 12\sqrt{13} \, cm$.
આમ,ઢગલાની ત્રિજ્યા $36 \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $12\sqrt{13} \, cm$ છે.

(N/A) નહેરના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $6 \, m \times 1.5 \, m = 9 \, m^2$ છે.
પાણીની ઝડપ $10 \, km/h = \frac{10000 \, m}{60 \, min} = \frac{500}{3} \, m/min$ છે.
$30 \, \text{minutes}$ માં નહેરમાંથી વહેતા પાણીનું ઘનફળ:
$V = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 9 \, m^2 \times \frac{500}{3} \, m/min \times 30 \, min = 45000 \, m^3$.
ધારો કે સિંચાઈ કરેલ વિસ્તાર $A$ છે. સિંચાઈ માટે જરૂરી પાણીનું ઘનફળ $A \times \text{ઊંડાઈ}$ થશે.
આપેલ ઊંડાઈ $= 8 \, cm = 0.08 \, m$.
ઘનફળને સરખાવતા:
$A \times 0.08 \, m = 45000 \, m^3$
$A = \frac{45000}{0.08} \, m^2 = 562500 \, m^2$.
આમ,$30 \, \text{minutes}$ માં સિંચાઈ થયેલ વિસ્તાર $562500 \, m^2$ છે.

(A) પાઇપની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{20 \,cm}{2} = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
પાઇપના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_1^2 = \pi \times (0.1)^2 = 0.01 \pi \,m^2$.
પાણીની ઝડપ $= 3 \,km/h = \frac{3000 \,m}{60 \,min} = 50 \,m/min$.
$1 \,\text{મિનિટમાં}$ પાઇપમાંથી વહેતા પાણીનું ઘનફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઝડપ} = 0.01 \pi \times 50 = 0.5 \pi \,m^3$.
નળાકાર ટાંકીની ત્રિજ્યા $(r_2) = \frac{10 \,m}{2} = 5 \,m$.
નળાકાર ટાંકીની ઊંડાઈ $(h_2) = 2 \,m$.
નળાકાર ટાંકીનું ઘનફળ $= \pi r_2^2 h_2 = \pi \times (5)^2 \times 2 = 50 \pi \,m^3$.
ધારો કે ટાંકી ભરાતા $t \,\text{મિનિટ}$ લાગે છે.
$t \,\text{મિનિટમાં}$ ટાંકીમાં ભરાયેલ પાણીનું ઘનફળ $= t \times 0.5 \pi \,m^3$.
બંને ઘનફળને સરખાવતા: $t \times 0.5 \pi = 50 \pi$.
$t = \frac{50}{0.5} = 100 \,\text{મિનિટ}$.
આમ,ટાંકી $100 \,\text{મિનિટમાં}$ ભરાઈ જશે.

(N/A) $(i)$ શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 45 \cdot [(28)^{2} + (7)^{2} + (28)(7)] \, cm^{3}$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 45 \cdot [784 + 49 + 196] \, cm^{3}$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot 45 \cdot 1029 \, cm^{3} = 48510 \, cm^{3}$
$(ii)$ તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}} = \sqrt{(45)^{2} + (28 - 7)^{2}} \, cm$
$= \sqrt{2025 + (21)^{2}} = \sqrt{2025 + 441} = \sqrt{2466} \approx 49.66 \, cm$
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi (r_{1} + r_{2}) l = \frac{22}{7} (28 + 7) (49.66) = \frac{22}{7} \cdot 35 \cdot 49.66 = 110 \cdot 49.66 = 5462.6 \, cm^{2}$
$(iii)$ કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi (r_{1} + r_{2}) l + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$
$= 5462.6 + \frac{22}{7} (28)^{2} + \frac{22}{7} (7)^{2}$
$= 5462.6 + 2464 + 154 = 8080.6 \, cm^{2}$

(C) બીબાનો આકાર શંકુના આડછેદ જેવો છે.
આપેલ છે: વર્તુળાકાર મુખના વ્યાસ $d_1 = 35 \,cm$ અને $d_2 = 30 \,cm$ છે.
તેથી ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{35}{2} = 17.5 \,cm$ અને $r_2 = \frac{30}{2} = 15 \,cm$ થાય.
ઊભી ઊંચાઈ $h = 14 \,cm$ છે.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times (17.5^2 + 15^2 + 17.5 \times 15) \,cm^3$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times (306.25 + 225 + 262.5) \,cm^3$.
$V = \frac{44}{3} \times 793.75 \,cm^3 = 11641.67 \,cm^3$.
આપેલ છે કે $1 \,cm^3$ ગોળનું દળ $1.2 \,g$ છે.
કુલ દળ $= 11641.67 \times 1.2 \,g = 13970.004 \,g$.
$kg$ માં ફેરવતા: $13970.004 \div 1000 = 13.97 \,kg$.
આશરે કિંમત લેતા,દળ $14 \,kg$ થાય.

(N/A) ડોલની કુલ ઊંચાઈ $40 \, cm$ છે,જેમાં પાયાની ઊંચાઈનો સમાવેશ થાય છે. તેથી,શંકુના આડછેદની ઊંચાઈ $h = 40 - 6 = 34 \, cm$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{45}{2} = 22.5 \, cm$ અને $r_2 = \frac{25}{2} = 12.5 \, cm$ છે.
આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{34^2 + (22.5 - 12.5)^2} = \sqrt{1156 + 100} = \sqrt{1256} \approx 35.44 \, cm$ છે.
વપરાયેલી ધાતુની શીટનું ક્ષેત્રફળ એ આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ,વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ અને નળાકાર પાયાની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $= \pi l(r_1 + r_2) + \pi r_2^2 + 2 \pi r_2 h_{base}$
$= \frac{22}{7} \times 35.44 \times (22.5 + 12.5) + \frac{22}{7} \times (12.5)^2 + 2 \times \frac{22}{7} \times 12.5 \times 6$
$= \frac{22}{7} \times (1240.4 + 156.25 + 150) = \frac{22}{7} \times 1546.65 \approx 4860.9 \, cm^2$.
ડોલ કેટલું પાણી સમાવી શકે તે તેનું ઘનફળ એ આડછેદનું ઘનફળ છે:
$V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 34 \times (22.5^2 + 12.5^2 + 22.5 \times 12.5)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 34 \times (506.25 + 156.25 + 281.25) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 34 \times 943.75 \approx 33615.48 \, cm^3$.

(N/A) ગ્લાસના ઉપરના પાયાની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{4}{2} = 2 \, cm$.
ગ્લાસના નીચેના પાયાની ત્રિજ્યા $(r_2) = \frac{2}{2} = 1 \, cm$.
ગ્લાસની ઊંચાઈ $(h) = 14 \, cm$.
ગ્લાસની ક્ષમતા $=$ શંકુના આડછેદનું ઘનફળ
$= \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times (2^2 + 1^2 + 2 \times 1)$
$= \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times (4 + 1 + 2)$
$= \frac{44}{3} \times 7 = \frac{308}{3} \, cm^3 = 102 \frac{2}{3} \, cm^3$.
તેથી,ગ્લાસની ક્ષમતા $102 \frac{2}{3} \, cm^3$ છે.

(B) ધારો કે શંકુના આડછેદના વર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
આપેલ છે કે વર્તુળાકાર છેડાઓની પરિમિતિ $18 \,cm$ અને $6 \,cm$ છે.
તેથી,$2 \pi r_1 = 18 \implies r_1 = \frac{9}{\pi} \,cm$.
અને $2 \pi r_2 = 6 \implies r_2 = \frac{3}{\pi} \,cm$.
આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ $4 \,cm$ આપેલ છે.
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ શોધવાનું સૂત્ર $CSA = \pi (r_1 + r_2) l$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$CSA = \pi \left( \frac{9}{\pi} + \frac{3}{\pi} \right) \times 4$
$CSA = \pi \left( \frac{12}{\pi} \right) \times 4$
$CSA = 12 \times 4 = 48 \,cm^2$.
આમ,આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $48 \,cm^2$ છે.

(N/A) ઉપરના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $(r_2) = 4 \, cm$.
નીચેના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $(r_1) = 10 \, cm$.
શંકુના આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 15 \, cm$.
ફેઝ બનાવવા માટે વપરાતા કાપડનું ક્ષેત્રફળ $=$ શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA) +$ ઉપરના વર્તુળાકાર છેડાનું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ $= \pi(r_1 + r_2)l + \pi r_2^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \pi(10 + 4) \times 15 + \pi(4)^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \pi(14) \times 15 + 16\pi$.
ક્ષેત્રફળ $= 210\pi + 16\pi = 226\pi$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,ક્ષેત્રફળ $= 226 \times \frac{22}{7} = \frac{4972}{7} \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ $= 710 \frac{2}{7} \, cm^2$.
આમ,તેને બનાવવા માટે વપરાતા કાપડનું ક્ષેત્રફળ $710 \frac{2}{7} \, cm^2$ છે.

(N/A) પાત્રના ઉપરના છેડાની ત્રિજ્યા $(r_1) = 20 \, cm$
પાત્રના નીચેના છેડાની ત્રિજ્યા $(r_2) = 8 \, cm$
પાત્રની ઊંચાઈ $(h) = 16 \, cm$
શંકુના આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{(r_1 - r_2)^2 + h^2} = \sqrt{(20 - 8)^2 + 16^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, cm$
પાત્રની ક્ષમતા $=$ શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
$= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times (20^2 + 8^2 + 20 \times 8) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times (400 + 64 + 160) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times 624 = 10449.92 \, cm^3 = 10.44992 \, \text{લિટર }\approx 10.45 \, \text{લિટર}$
$1 \, \text{લિટર}$ દૂધની કિંમત $= Rs. \, 20$
$10.45 \, \text{લિટર}$ દૂધની કિંમત $= 10.45 \times 20 = Rs. \, 209$
વપરાયેલી ધાતુની શીટનું ક્ષેત્રફળ $= \pi (r_1 + r_2) l + \pi r_2^2 = 3.14 \times (20 + 8) \times 20 + 3.14 \times 8^2 = 3.14 \times 28 \times 20 + 3.14 \times 64 = 1758.4 + 200.96 = 1959.36 \, cm^2$
$100 \, cm^2$ ધાતુની શીટની કિંમત $= Rs. \, 8$
$1959.36 \, cm^2$ ધાતુની શીટની કિંમત $= \frac{1959.36 \times 8}{100} = Rs. \, 156.7488 \approx Rs. \, 156.75$
આમ,દૂધની કિંમત $Rs. \, 209$ છે અને ધાતુની શીટની કિંમત $Rs. \, 156.75$ છે.

(A) $\triangle AEG$ માં,$\frac{EG}{AG} = \tan 30^{\circ}$. $AG = 10 \, cm$ હોવાથી,$EG = 10 \tan 30^{\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}} \, cm$. આ શંકુના આડછેદની ઉપરની ત્રિજ્યા $r_1$ છે.
$\triangle ABD$ માં,$\frac{BD}{AD} = \tan 30^{\circ}$. $AD = 20 \, cm$ હોવાથી,$BD = 20 \tan 30^{\circ} = \frac{20}{\sqrt{3}} \, cm$. આ શંકુના આડછેદની નીચેની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
શંકુના આડછેદની ઊંચાઈ $h = 10 \, cm$ છે.
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 10 \left[ \left( \frac{10}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{20}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{10}{\sqrt{3}} \times \frac{20}{\sqrt{3}} \right) \right]$
$V = \frac{220}{21} \left[ \frac{100}{3} + \frac{400}{3} + \frac{200}{3} \right] = \frac{220}{21} \times \frac{700}{3} = \frac{22000}{9} \, cm^3$.
તારની ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{32} \, cm$ છે. ધારો કે તારની લંબાઈ $l$ છે.
તારનું ઘનફળ = $\pi r^2 l = \frac{22}{7} \times \left( \frac{1}{32} \right)^2 \times l$.
ઘનફળ સરખાવતા: $\frac{22000}{9} = \frac{22}{7} \times \frac{1}{1024} \times l$.
$l = \frac{22000}{9} \times \frac{7 \times 1024}{22} = \frac{7168000}{9} \approx 796444.44 \, cm$.
મીટરમાં ફેરવતા: $l = 7964.44 \, m$.

(B) અહીં જોઈ શકાય છે કે તારનો $1$ આંટો નળાકારની $3 \,mm$ $(0.3 \,cm)$ ઊંચાઈને આવરી લે છે.
આંટાની સંખ્યા $= \frac{\text{નળાકારની ઊંચાઈ}}{\text{તારનો વ્યાસ}} = \frac{12 \,cm}{0.3 \,cm} = 40$ આંટા.
$1$ આંટામાં જરૂરી તારની લંબાઈ $=$ નળાકારના પાયાનો પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \pi \times 5 = 10 \pi \,cm$.
$40$ આંટામાં તારની કુલ લંબાઈ $= 40 \times 10 \pi = 400 \pi \,cm \approx 1256.64 \,cm$.
તારની ત્રિજ્યા $= \frac{0.3 \,cm}{2} = 0.15 \,cm$.
તારનું ઘનફળ $=$ તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $\times$ તારની કુલ લંબાઈ $= \pi (0.15)^2 \times 1256.64 \approx 88.826 \,cm^3$.
તારનું દળ $=$ ઘનફળ $\times$ ઘનતા $= 88.826 \,cm^3 \times 8.88 \,g/cm^3 \approx 788.77 \,g$.
ગણતરી માટે $\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા: લંબાઈ $= 400 \times \frac{22}{7} = \frac{8800}{7} \approx 1257.14 \,cm$. ઘનફળ $= \pi \times (0.15)^2 \times \frac{8800}{7} \approx 88.93 \,cm^3$. દળ $= 88.93 \times 8.88 \approx 789.7 \,g$. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $789.41 \,g$ છે.

(C) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ છે જેમાં બાજુઓ $AB = 3\, cm$,$BC = 4\, cm$ અને $\angle B = 90^\circ$ છે.
કર્ણ $AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, cm$.
જ્યારે ત્રિકોણને કર્ણ $AC$ ની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે એક બેવડો શંકુ બને છે જ્યાં સામાન્ય પાયાની ત્રિજ્યા $r$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નો કર્ણ $AC$ પરનો વેધ $OB$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\, cm^2$.
વળી,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times OB = \frac{1}{2} \times 5 \times OB$.
તેથી,$\frac{1}{2} \times 5 \times OB = 6 \implies OB = \frac{12}{5} = 2.4\, cm$.
બેવડા શંકુનું પૃષ્ઠફળ એ બંને શંકુની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે: $S = \pi r l_1 + \pi r l_2$,જ્યાં $l_1 = AB = 3\, cm$ અને $l_2 = BC = 4\, cm$.
$S = \pi r (l_1 + l_2) = 3.14 \times 2.4 \times (3 + 4) = 3.14 \times 2.4 \times 7 = 52.752\, cm^2 \approx 52.75\, cm^2$.

(D) કુંડનું કુલ કદ $V_{cistern} = 150 \times 120 \times 110 = 1980000 \,cm^3$ છે.
કુંડમાં પહેલેથી રહેલા પાણીનું કદ $129600 \,cm^3$ છે.
ભરવા માટે બાકી રહેલું કદ $V_{fill} = 1980000 - 129600 = 1850400 \,cm^3$ છે.
ધારો કે $n$ ઈંટોની સંખ્યા છે. એક ઈંટનું કદ $V_{brick} = 22.5 \times 7.5 \times 6.5 = 1096.875 \,cm^3$ છે.
દરેક ઈંટ તેના કદના $\frac{1}{17}$ ભાગ જેટલું પાણી શોષે છે,તેથી પાણીમાં એક ઈંટ દ્વારા રોકાયેલ અસરકારક કદ $V_{eff} = V_{brick} - \frac{1}{17} V_{brick} = \frac{16}{17} V_{brick}$ થશે.
કુંડને ભરવા માટે,$n$ ઈંટોનું કુલ કદ ભરવાપાત્ર કદ જેટલું હોવું જોઈએ: $n \times V_{eff} = V_{fill}$.
$n \times \frac{16}{17} \times 1096.875 = 1850400$.
$n \times \frac{16}{17} \times \frac{8775}{8} = 1850400$.
$n \times \frac{2 \times 8775}{17} = 1850400$.
$n = \frac{1850400 \times 17}{17550} = 1792$.

(N/A) ખીણનું ક્ષેત્રફળ $= 7280 \, km^2 = 7280 \times (1000 \, m)^2 = 7.28 \times 10^9 \, m^2$.
વરસાદની ઊંડાઈ $= 10 \, cm = 0.1 \, m$.
કુલ વરસાદનું ઘનફળ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંડાઈ} = 7.28 \times 10^9 \, m^2 \times 0.1 \, m = 7.28 \times 10^8 \, m^3$.
એક નદીનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંડાઈ} = 1072 \, km \times 75 \, m \times 3 \, m = 1072000 \, m \times 75 \, m \times 3 \, m = 2.412 \times 10^8 \, m^3$.
આવી ત્રણ નદીઓનું કુલ ઘનફળ $= 3 \times 2.412 \times 10^8 \, m^3 = 7.236 \times 10^8 \, m^3$.
આમ,$7.28 \times 10^8 \, m^3 \approx 7.236 \times 10^8 \, m^3$ હોવાથી,કુલ વરસાદ એ આવી ત્રણ નદીઓના ઘનફળની લગભગ સમાન છે.

(N/A) શંકુના આડછેદના ઉપરના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $(r_1) = \frac{18}{2} = 9 \, cm$.
શંકુના આડછેદના નીચેના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $(r_2) =$ નળાકાર ભાગના વર્તુળાકાર છેડાની ત્રિજ્યા $= \frac{8}{2} = 4 \, cm$.
શંકુના આડછેદના ભાગની ઊંચાઈ $(h_1) = 22 - 10 = 12 \, cm$.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $(h_2) = 10 \, cm$.
શંકુના આડછેદના ભાગની તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = \sqrt{(r_1 - r_2)^2 + h_1^2} = \sqrt{(9 - 4)^2 + (12)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$.
જરૂરી ટીન શીટનું ક્ષેત્રફળ $=$ શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $+$ નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$.
ક્ષેત્રફળ $= \pi(r_1 + r_2)l + 2\pi r_2 h_2$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times (9 + 4) \times 13 + 2 \times \frac{22}{7} \times 4 \times 10$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times 13 \times 13 + \frac{22}{7} \times 80$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times (169 + 80) = \frac{22}{7} \times 249 = \frac{5478}{7} \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ $= 782 \frac{4}{7} \, cm^2$.