Mix Examples - Real Numbers Questions in Hindi

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड की जाँच करते हैं।
यदि $q = 2^n \times 5^m$ है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
यहाँ,हर $343 = 7^3$ है।
चूँकि हर के अभाज्य गुणनखंड में $2$ या $5$ के अलावा एक अन्य गुणनखंड $(7)$ मौजूद है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{17}{343}$ का दशमलव प्रसार शांत नहीं है; इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत है,हम इसके सरलतम रूप में हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडों की जाँच करते हैं।
सबसे पहले,भिन्न को सरल करने पर: $\frac{9}{30} = \frac{3 \times 3}{3 \times 10} = \frac{3}{10}$.
यहाँ हर $10 = 2^1 \times 5^1$ है।
चूँकि हर का अभाज्य गुणनखंड $2^n \times 5^m$ के रूप में है (जहाँ $n, m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं),इसलिए इस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने पर: $\frac{3}{10} = 0.3$.

(N/A) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n \times 5^m$ के रूप में हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।
यहाँ,$q = 256 = 2^8$ है।
चूँकि हर $2^n \times 5^m$ (जहाँ $n=8, m=0$) के रूप में है,इसलिए परिमेय संख्या $\frac{19}{256}$ का दशमलव प्रसार सांत है।
दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर को $5^8$ से गुणा करते हैं:
$\frac{19}{2^8} \times \frac{5^8}{5^8} = \frac{19 \times 390625}{10^8} = \frac{7421875}{100000000} = 0.07421875$.

(B) माना वर्गमूल $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $a + b + 2\sqrt{ab} = 8 + \sqrt{63}$ प्राप्त होता है।
परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर,$a + b = 8$ और $2\sqrt{ab} = \sqrt{63}$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण का वर्ग करने पर,$4ab = 63$,अतः $ab = \frac{63}{4}$।
अब,$a$ और $b$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $t^2 - (a+b)t + ab = 0$ है,जो $t^2 - 8t + \frac{63}{4} = 0$ है।
$4$ से गुणा करने पर,$4t^2 - 32t + 63 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 1008}}{8} = \frac{32 \pm 4}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_1 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$ और $t_2 = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$।
वर्गमूल $\sqrt{\frac{9}{2}} + \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{3 + \sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,$\frac{(3 + \sqrt{7})\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{14}}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) $6+\sqrt{35}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए इसे $2$ से गुणा और भाग करते हैं:
$\sqrt{6+\sqrt{35}} = \sqrt{\frac{2(6+\sqrt{35})}{2}} = \sqrt{\frac{12+2\sqrt{35}}{2}}$
अब,हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $12$ और गुणनफल $35$ हो। ये संख्याएँ $7$ और $5$ हैं।
अतः,$12+2\sqrt{35} = 7+5+2\sqrt{7 \times 5} = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} = (\sqrt{7}+\sqrt{5})^2$.
इसलिए,$\sqrt{\frac{12+2\sqrt{35}}{2}} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करते हैं:
$\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5}) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}$.

(D) $56-24 \sqrt{5}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम मानते हैं कि यह $(a-b\sqrt{c})^2 = a^2 + b^2c - 2ab\sqrt{c}$ के रूप में है।
$56-24\sqrt{5}$ की तुलना $a^2+b^2c - 2ab\sqrt{c}$ से करने पर,हमें $2ab\sqrt{c} = 24\sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $a=6$ और $b\sqrt{c} = 2\sqrt{5}$ है।
तब $a^2 + b^2c = 6^2 + (2\sqrt{5})^2 = 36 + 20 = 56$ होता है।
यह दी गई अभिव्यक्ति से मेल खाता है।
अतः,$\sqrt{56-24\sqrt{5}} = 6-2\sqrt{5}$ है।

(A) $55-14 \sqrt{6}$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए,हम मानते हैं कि यह $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ के रूप में है।
हम व्यंजक को $55 - 2 \times 7 \times \sqrt{6}$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $a = 7$ और $b = \sqrt{6}$ है।
तब $a^2 + b^2 = 7^2 + (\sqrt{6})^2 = 49 + 6 = 55$ होता है।
यह दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।
अतः,$55 - 14 \sqrt{6} = 7^2 + (\sqrt{6})^2 - 2(7)(\sqrt{6}) = (7-\sqrt{6})^2$ है।
इस प्रकार,वर्गमूल $\sqrt{(7-\sqrt{6})^2} = 7-\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।

(B) व्यंजक को सरल करने के लिए,हम प्रत्येक पद का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं।
पहला पद: $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{2} = \sqrt{10}-\sqrt{6}$.
दूसरा पद: $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{15}-\sqrt{6})}{3} = \sqrt{15}-\sqrt{6}$.
तीसरा पद: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = \sqrt{15}-\sqrt{10}$.
अब,इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{10}-\sqrt{6}) - (\sqrt{15}-\sqrt{6}) + (\sqrt{15}-\sqrt{10})$
$= \sqrt{10} - \sqrt{6} - \sqrt{15} + \sqrt{6} + \sqrt{15} - \sqrt{10}$
$= 0$.

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{3+\sqrt{6}}{17 \sqrt{3}-2 \sqrt{32}+3 \sqrt{18}-4 \sqrt{48}}$
हर के पदों को सरल करने पर:
$2 \sqrt{32} = 2 \sqrt{16 \times 2} = 2 \times 4 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$
$3 \sqrt{18} = 3 \sqrt{9 \times 2} = 3 \times 3 \sqrt{2} = 9 \sqrt{2}$
$4 \sqrt{48} = 4 \sqrt{16 \times 3} = 4 \times 4 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}$
इन मानों को हर में प्रतिस्थापित करने पर:
$17 \sqrt{3} - 8 \sqrt{2} + 9 \sqrt{2} - 16 \sqrt{3}$
समान पदों को समूहित करने पर:
$(17 \sqrt{3} - 16 \sqrt{3}) + (9 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
अब व्यंजक इस प्रकार है: $\frac{3+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
अंश का गुणनखंड करने पर: $3 + \sqrt{6} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$
मान रखने पर: $\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3}$

(A) दोनों ब्रांडों के लिए समान चॉकलेट की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $24$ और $15$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
$24$ का अभाज्य गुणनखंडन = $2^3 \times 3^1$.
$15$ का अभाज्य गुणनखंडन = $3^1 \times 5^1$.
$LCM(24, 15) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.
पहले ब्रांड के लिए बॉक्स की संख्या ज्ञात करने के लिए ($24$ चॉकलेट प्रति पैक): $120 / 24 = 5$ बॉक्स।
दूसरे ब्रांड के लिए बॉक्स की संख्या ज्ञात करने के लिए ($15$ चॉकलेट प्रति पैक): $120 / 15 = 8$ बॉक्स।
अतः,पहले प्रकार के $5$ बॉक्स और दूसरे प्रकार के $8$ बॉक्स खरीदने होंगे।

(A) वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जो $615$ और $963$ को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में $6$ शेषफल छोड़ती है,हम पहले दोनों संख्याओं में से शेषफल को घटाते हैं।
$615 - 6 = 609$
$963 - 6 = 957$
अब,हमें $609$ और $957$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
$609$ का अभाज्य गुणनखंडन = $3 \times 7 \times 29$
$957$ का अभाज्य गुणनखंडन = $3 \times 11 \times 29$
उभयनिष्ठ गुणनखंड $3$ और $29$ हैं।
$HCF = 3 \times 29 = 87$.
अतः,सबसे बड़ी संख्या $87$ है।

(B) $626$,$3127$ और $15628$ को विभाजित करने पर क्रमशः $1$,$2$ और $3$ शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम दी गई संख्याओं में से उनके शेषफल को घटाते हैं:
$626 - 1 = 625$
$3127 - 2 = 3125$
$15628 - 3 = 15625$
अब,हमें $625$,$3125$ और $15625$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
$625$ का अभाज्य गुणनखंडन = $5^4$
$3125$ का अभाज्य गुणनखंडन = $5^5$
$15625$ का अभाज्य गुणनखंडन = $5^6$
$HCF$ सामान्य अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है,जो $5^4 = 625$ है।
अतः,सबसे बड़ी संख्या $625$ है।

(C) तीनों विमाओं ($15\,m$,$12\,m$ और $21\,m$) को सटीक रूप से मापने वाली सबसे लंबी छड़ ज्ञात करने के लिए,हमें इन तीन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ निकालना होगा।
चरण $1$: प्रत्येक विमा का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$15 = 3 \times 5$
$12 = 2^2 \times 3$
$21 = 3 \times 7$
चरण $2$: उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की पहचान करें।
$15$,$12$ और $21$ में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल $3$ है।
चरण $3$: $HCF$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल होता है।
$HCF(15, 12, 21) = 3$.
अतः,वह सबसे लंबी छड़ जो विमाओं को सटीक रूप से माप सकती है,उसकी लंबाई $3\,m$ है।

(D) $15$,$55$ और $99$ से विभाजित होने वाली पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करते हैं।
चरण $1$: संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन:
$15 = 3 \times 5$
$55 = 5 \times 11$
$99 = 3^2 \times 11$
चरण $2$: प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर $LCM$ की गणना करें:
$LCM(15, 55, 99) = 3^2 \times 5 \times 11 = 9 \times 5 \times 11 = 495$.
चरण $3$: पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या $10000$ है।
$10000$ को $495$ से विभाजित करने पर:
$10000 \div 495 = 20.202...$
चरण $4$: पाँच अंकों का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के लिए,हम अगला पूर्णांक भागफल लेते हैं,जो $21$ है।
$495 \times 21 = 10395$.
अतः,$15$,$55$ और $99$ से विभाजित होने वाली पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या $10395$ है।

(A) यह पता लगाने के लिए कि घंटियाँ कब एक साथ बजेंगी,हमें $8$,$12$,$15$ और $18$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
अभाज्य गुणनखंडन:
$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$18 = 2 \times 3^2$
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$ सेकंड।
इसका अर्थ है कि घंटियाँ हर $360$ सेकंड में एक साथ बजती हैं,जो $360 / 60 = 6$ मिनट के बराबर है।
एक घंटे ($60$ मिनट) में,वे कुल $60 / 6 = 10$ बार एक साथ बजेंगी।
चूंकि हम शुरुआत वाली घंटी को छोड़ रहे हैं,इसलिए कुल संख्या $10$ ही रहेगी।

(B) माना कि दो क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $n$ और $n+1$ हैं,जहाँ $n \in \mathbb{N}$ है।
$n$ और $n+1$ का कोई भी उभयनिष्ठ भाजक उनके अंतर को भी विभाजित करेगा।
उनका अंतर $(n+1) - n = 1$ है।
$1$ का एकमात्र धनात्मक भाजक $1$ है।
अतः,$n$ और $n+1$ का महत्तम समापवर्तक $(\text{g.c.d.})$ $1$ है।

(C) सबसे पहले,$289$ का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
हम जानते हैं कि $17 \times 17 = 289$,इसलिए $\sqrt{289} = 17$ है।
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $\sqrt{289} + 1 = 17 + 1 = 18$।
चूंकि $18$ एक पूर्ण संख्या है,इसलिए यह पूर्णांकों के समुच्चय में आता है।
अतः,$\sqrt{289} + 1$ एक पूर्णांक है।

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) और $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$
दिया गया है कि $\text{g.c.d.} = 18$ और दोनों संख्याओं का गुणनफल $(a \times b) = 6480$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$18 \times \text{l.c.m.} = 6480$
$\text{l.c.m.} = \frac{6480}{18}$
$\text{l.c.m.} = 360$
अतः,दोनों संख्याओं का $\text{l.c.m.}$ $360$ है।

(A) परिभाषा के अनुसार,एक अभाज्य संख्या $1$ से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कोई अन्य धनात्मक भाजक नहीं होता है।
चूंकि $k_{1}$ और $k_{2}$ दो भिन्न अभाज्य पूर्णांक हैं,इसलिए उनके बीच $1$ के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
किन्हीं दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,उनके $\text{H.C.F.}$ (म.स.प.) और $\text{L.C.M.}$ (ल.स.प.) के बीच का संबंध इस प्रकार है: $a \times b = \text{H.C.F.}(a, b) \times \text{L.C.M.}(a, b)$.
चूंकि $k_{1}$ और $k_{2}$ भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका $\text{H.C.F.}(k_{1}, k_{2}) = 1$ होगा।
अतः,$k_{1} \times k_{2} = 1 \times \text{L.C.M.}(k_{1}, k_{2})$.
इस प्रकार,$\text{L.C.M.}(k_{1}, k_{2}) = k_{1} k_{2}$ होगा।

(B) यदि किसी संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है,तो वह संख्या परिमेय संख्या कहलाती है।
कोई भी सांत दशमलव या अनवसानी आवर्ती दशमलव एक परिमेय संख्या होती है।
दी गई संख्या $2.031\overline{2}$ एक अनवसानी आवर्ती दशमलव है क्योंकि अंक $2$ की पुनरावृत्ति अनंत तक होती है।
अतः,$2.031\overline{2}$ एक परिमेय संख्या है।

(C) $24$ और $63$ का $\text{g.c.d.}$ (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करने के लिए,हम दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$24 = 2^3 \times 3^1$
$63 = 3^2 \times 7^1$
$\text{g.c.d.}$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $3$ है।
दोनों में $3$ की सबसे छोटी घात $3^1 = 3$ है।
अतः,$\text{g.c.d.}$ $(24, 63) = 3$.

(D) $36$ और $94$ का $\text{l.c.m.}$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके अभाज्य गुणनखंड करेंगे:
$36 = 2^2 \times 3^2$
$94 = 2 \times 47$
$\text{l.c.m.}$ संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$\text{l.c.m.} = 2^2 \times 3^2 \times 47$
$\text{l.c.m.} = 4 \times 9 \times 47$
$\text{l.c.m.} = 36 \times 47 = 1692$

(A) $\sqrt{7+2 \sqrt{5}}$ व्यंजक को सरल बनाने के लिए,हम दो ऐसी संख्याएँ $a$ और $b$ ढूँढते हैं ताकि $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 7 + 2\sqrt{5}$ हो।
पदों की तुलना करने पर,हमें $a^2 + b^2 = 7$ और $2ab = 2\sqrt{5}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $ab = \sqrt{5}$।
यदि हम $a = \sqrt{5}$ और $b = 1$ मान लें,तो $a^2 + b^2 = (\sqrt{5})^2 + (1)^2 = 5 + 1 = 6$ होता है।
चूँकि $6 \neq 7$,इसलिए इस व्यंजक को $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ के रूप में सरल नहीं किया जा सकता जहाँ $a$ और $b$ परिमेय संख्याएँ हों।
अतः,$\sqrt{7+2 \sqrt{5}}$ का अस्तित्व $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ के रूप वाली द्विपद करणी के रूप में नहीं है।

(B) किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार कितने अंकों के बाद समाप्त (शांत) होगा,यह ज्ञात करने के लिए हम हर को $2^n \times 5^m$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $\frac{43}{2^{4} \times 5^{3}}$।
$2$ और $5$ की घातों को समान करने के लिए,हम अंश और हर को $5^1$ से गुणा करते हैं:
$\frac{43 \times 5^1}{2^{4} \times 5^{3} \times 5^1} = \frac{43 \times 5}{2^{4} \times 5^{4}} = \frac{215}{(2 \times 5)^{4}} = \frac{215}{10^4} = \frac{215}{10000} = 0.0215$.
अतः,दशमलव प्रसार $4$ अंकों के बाद समाप्त हो जाता है।

(C) व्यंजक $\sqrt{8+4 \sqrt{3}}$ को सरल बनाने के लिए,हम इसे $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सबसे पहले,व्यंजक को $\sqrt{8 + 2 \cdot 2 \sqrt{3}} = \sqrt{8 + 2 \sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{8 + 2 \sqrt{12}}$ के रूप में लिखें।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $8$ हो और गुणनफल $12$ हो।
ये संख्याएँ $6$ और $2$ हैं,क्योंकि $6+2=8$ और $6 \times 2=12$ होता है।
इसलिए,$\sqrt{8 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$।

(D) $12$ और $40$ का महत्तम समापवर्तक (g.c.d.) इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:
$12$ का अभाज्य गुणनखंड: $12 = 2^2 \times 3^1$.
$40$ का अभाज्य गुणनखंड: $40 = 2^3 \times 5^1$.
महत्तम समापवर्तक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल है: $2^2 = 4$.
दिया गया समीकरण: $\text{g.c.d.}(12, 40) = 40 + 4x$.
मान रखने पर: $4 = 40 + 4x$.
दोनों पक्षों से $40$ घटाने पर: $4 - 40 = 4x$.
$-36 = 4x$.
$4$ से भाग देने पर: $x = -9$.

(A) भिन्न $\frac{6}{15}$ का दशमलव रूप ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $3$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करते हैं।
$\frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$.
अब,$\frac{2}{5}$ को दशमलव में बदलने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $2$ से गुणा करते हैं ताकि हर $10$ हो जाए:
$\frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0.4$.
अतः,$\frac{6}{15}$ का दशमलव रूप $0.4$ है।

(B) किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n \geq 1$ के लिए,व्यंजक $10^{n}$ को $10 \times 10 \times 10 \times \dots \times 10$ ($n$ बार) के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $10^{1} = 10$,$10^{2} = 100$,$10^{3} = 1000$,आदि,यह स्पष्ट है कि $10$ की प्रत्येक घात का अंतिम अंक $0$ होता है।
अतः,$10^{n}$ का अंतिम अंक $0$ है।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ और लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{GCD}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$
दिया गया है $a = 336$ और $b = 52$।
सबसे पहले,$336$ और $52$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$336 = 2^4 \times 3 \times 7$
$52 = 2^2 \times 13$
अतः,$\text{GCD}(336, 52) = 2^2 = 4$।
अब,सूत्र का उपयोग करते हुए:
$4 \times \text{LCM}(336, 52) = 336 \times 52$
$\text{LCM}(336, 52) = \frac{336 \times 52}{4}$
$\text{LCM}(336, 52) = 84 \times 52 = 4368$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) $(3k+2)^2$ को $3$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक का विस्तार करते हैं:
$(3k+2)^2 = (3k)^2 + 2(3k)(2) + 2^2$
$= 9k^2 + 12k + 4$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$= 9k^2 + 12k + 3 + 1$
$= 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$
चूंकि $3(3k^2 + 4k + 1)$ स्पष्ट रूप से $3$ से विभाज्य है,इसलिए जब व्यंजक को $3$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(A) $a - \sqrt{b}$ के रूप वाले व्यंजक का परिमेयकारी गुणक ज्ञात करने के लिए,हम इसे इसके संयुग्मी (conjugate) $a + \sqrt{b}$ से गुणा करते हैं ताकि गुणनफल एक परिमेय संख्या प्राप्त हो।
दिया गया व्यंजक $-2 - \sqrt{5}$ है।
माना परिमेयकारी गुणक $x$ है।
हम जानते हैं कि $(-2 - \sqrt{5}) \times (-2 + \sqrt{5}) = (-2)^2 - (\sqrt{5})^2$.
$= 4 - 5 = -1$.
चूंकि $-1$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $-2 + \sqrt{5}$ परिमेयकारी गुणक है।

(B) दी गई संख्या $0.123123123...$ को $0.\overline{123}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) है,इसलिए इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
माना $x = 0.123123...$ (समीकरण $1$)।
दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $1000x = 123.123123...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000x - x = 123.123123... - 0.123123...$
$999x = 123$
$x = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$।
चूंकि इस संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

(C) $2^{9} \cdot 5^{135}$ व्यंजक का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए,हम $2$ और $5$ के गुणनखंडों को समूहित करके व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं।
हम जानते हैं कि $2 \cdot 5 = 10$ होता है।
हम $2^{9} \cdot 5^{135}$ को $2^{9} \cdot 5^{9} \cdot 5^{126}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह सरल होकर $(2 \cdot 5)^{9} \cdot 5^{126} = 10^{9} \cdot 5^{126}$ हो जाता है।
चूंकि $10^{9}$ एक ऐसी संख्या है जो $9$ शून्य पर समाप्त होती है,और $5^{126}$ एक ऐसी संख्या है जो $5$ पर समाप्त होती है (क्योंकि $5$ की कोई भी घात $5$ पर ही समाप्त होती है),इसलिए $10^{9} \cdot 5^{126}$ का गुणनफल $9$ शून्य पर समाप्त होगा।
अतः,व्यंजक का अंतिम अंक $0$ है।

(D) परिमेयकारी गुणक वह संख्या है जिसे किसी दी गई अपरिमेय संख्या से गुणा करने पर परिणाम एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है।
$5 \sqrt{2}$ व्यंजक के लिए,अपरिमेय भाग $\sqrt{2}$ है।
$\sqrt{2}$ को परिमेय बनाने के लिए,हम इसे $\sqrt{2}$ से गुणा करते हैं क्योंकि $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$,जो एक परिमेय संख्या है।
अतः,$5 \sqrt{2}$ का परिमेयकारी गुणक $\sqrt{2}$ है।

(A) करणी (surd) को एक परिमेय संख्या के अपरिमेय मूल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जैसे $\sqrt[n]{x}$,जहाँ $x$ एक परिमेय संख्या है और परिणाम अपरिमेय होता है।
$\pi$ एक ट्रांसेंडेंटल (transcendental) संख्या है। यह अपरिमेय है,लेकिन इसे किसी भी परिमेय संख्या के $n$-वें मूल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए,$\pi$ एक ऐसी अपरिमेय संख्या है जो करणी नहीं है।
$\sqrt{16} = 4$,जो एक परिमेय संख्या है।
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,जो एक करणी है।
$3\sqrt{27} = 3 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$,जो एक करणी है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) बेज़ौट का तत्समक यह बताता है कि किन्हीं दो पूर्णांकों $a$ और $b$ (जो दोनों शून्य न हों) के लिए,ऐसे पूर्णांक $x$ और $y$ मौजूद होते हैं कि $ax + by = \text{gcd}(a, b)$ हो,जहाँ $\text{gcd}(a, b)$ $a$ और $b$ का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) है।

(B) एक पूर्णांक को विषम कहा जाता है यदि वह $2$ से विभाज्य न हो।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $a$ को $a = bq + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $0 \le r < b$ है।
$2$ से विभाज्यता के लिए,हम $b = 2$ लेते हैं।
अतः,$a = 2k + r$,जहाँ $r$ का मान $0$ या $1$ हो सकता है।
यदि $r = 0$ है,तो $a = 2k$ होता है,जो एक सम पूर्णांक है।
यदि $r = 1$ है,तो $a = 2k + 1$ होता है,जो एक विषम पूर्णांक है।
इसलिए,प्रत्येक विषम पूर्णांक किसी पूर्णांक $k$ के लिए $2k + 1$ के रूप में होता है।

(D) $3k$ $(k \in Z)$ का रूप $3$ के गुणजों को दर्शाता है,जैसे $\ldots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, \ldots$.
इन $3$ के गुणजों में $1$ जोड़ने या $1$ घटाने पर हमें $3k + 1$ या $3k - 1$ के रूप की संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
चूँकि $3k$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $3k \pm 1$ के रूप की किसी भी संख्या को $3$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ या $2$ प्राप्त होता है।
अतः,ये संख्याएँ $3$ से विभाज्य नहीं हैं।

(D) व्यंजक $P(n) = n(n+1)(n+2)$ है।
चूंकि $n$ एक धनात्मक सम पूर्णांक है,इसलिए सबसे छोटा मान $n=2$ है।
$n=2$ के लिए,$P(2) = 2 \times 3 \times 4 = 24$ है।
$n=4$ के लिए,$P(4) = 4 \times 5 \times 6 = 120$ है।
$n=6$ के लिए,$P(6) = 6 \times 7 \times 8 = 336$ है।
हम देखते हैं कि $24$,$120$ और $336$ सभी $24$ से विभाज्य हैं।
सामान्य तौर पर,तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल $n(n+1)(n+2)$ हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है। चूंकि $n$ सम है,इसलिए कारकों में से एक $4$ का गुणज होगा और दूसरा सम होगा,जो $8$ से विभाज्यता सुनिश्चित करता है। अतः,यह गुणनफल $6 \times 4 = 24$ से विभाज्य है।

(D) $115$ और $25$ का $L.C.M.$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके अभाज्य गुणनखंड करेंगे:
$115 = 5 \times 23$
$25 = 5 \times 5 = 5^2$
$L.C.M.$ संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$L.C.M.(115, 25) = 5^2 \times 23$
$L.C.M.(115, 25) = 25 \times 23 = 575$

(C) $28$,$35$ और $91$ का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$28 = 2^2 \times 7$
$35 = 5 \times 7$
$91 = 7 \times 13$
म.स.प. सभी संख्याओं में मौजूद उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है।
यहाँ,एकमात्र उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $7$ है और इसकी सबसे छोटी घात $7^1$ है।
अतः,म.स.प. $(28, 35, 91) = 7$.

(B) किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अंकगणित की आधारभूत प्रमेय उनके $G$.$C$.$D$. और $L$.$C$.$M$. के बीच एक संबंध स्थापित करती है।
विशेष रूप से,$G$.$C$.$D$. $(a, b)$ और $L$.$C$.$M$. $(a, b)$ का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
अतः,$\text{G.C.D.}(a, b) \times \text{L.C.M.}(a, b) = a \times b = ab$.

(A) $15, 21$ और $35$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$35 = 5 \times 7$
$LCM$ संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM(15, 21, 35) = 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 3 \times 5 \times 7 = 105$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $40, 60$ और $80$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$40 = 2^3 \times 5^1$
$60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
$80 = 2^4 \times 5^1$
ल.स.प. प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^4 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM = 16 \times 3 \times 5$
$LCM = 16 \times 15 = 240$

(D) $20, 30$ और $40$ से विभाजित करने पर $5$ शेषफल देने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भाजकों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करते हैं।
$LCM(20, 30, 40)$:
$20 = 2^2 \times 5$
$30 = 2 \times 3 \times 5$
$40 = 2^3 \times 5$
$LCM = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.
संख्या $(LCM \times k) + \text{शेषफल}$ के रूप में होनी चाहिए।
यहाँ,$LCM = 120$ और $\text{शेषफल} = 5$ है।
अतः,संख्या $= 120k + 5$ होगी।
$5$ से बड़ी सबसे छोटी धनात्मक संख्या के लिए,हम $k = 1$ लेते हैं।
संख्या $= 120(1) + 5 = 125$।

(C) $24, 36$ और $48$ से विभाज्य सबसे छोटी धनात्मक संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$24 = 2^3 \times 3^1$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$48 = 2^4 \times 3^1$
चरण $2$: $LCM$ संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^4 \times 3^2$
$LCM = 16 \times 9 = 144$
अतः,अभीष्ट सबसे छोटी संख्या $144$ है।

(D) $2$ से $6$ तक के पूर्णांक $2, 3, 4, 5$ और $6$ हैं।
इन सभी पूर्णांकों से विभाज्य सबसे छोटी धनात्मक संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $2, 3, 4, 5$ और $6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन:
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2^1 \times 3^1$
प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेने पर:
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
अतः,$60$ वह सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जो $2, 3, 4, 5$ और $6$ से विभाज्य है।

(B) $2$ से $10$ तक की प्रत्येक संख्या से विभाज्य सबसे छोटी धनात्मक संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
सबसे पहले,प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन लिखें:
$2 = 2^1$
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$5 = 5^1$
$6 = 2 \times 3$
$7 = 7^1$
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2 \times 5$
$LCM$ ज्ञात करने के लिए प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल लें:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7$
$LCM = 72 \times 35 = 2520$.
अतः,$2$ से $10$ तक की प्रत्येक संख्या से विभाज्य सबसे छोटी धनात्मक संख्या $2520$ है।

(C) संख्याओं के मूलभूत गुणधर्म के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,उनके $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) और $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) का गुणनफल उन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
सूत्र: $\text{g.c.d.}(a, b) \times \text{l.c.m.}(a, b) = a \times b$.
यहाँ,$a = 18$ और $b = 24$ है।
अतः,$\text{g.c.d.}(18, 24) \times \text{l.c.m.}(18, 24) = 18 \times 24$.
गुणनफल करने पर: $18 \times 24 = 432$.

(B) हम जानते हैं कि दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के महत्तम समापवर्तक (g.c.d.) और लघुत्तम समापवर्त्य (l.c.m.) के बीच का मूलभूत संबंध इस प्रकार है:
$\text{l.c.m.} (a, b) \times \text{g.c.d.} (a, b) = a \times b$
दिया गया है कि $\text{g.c.d.} (a, b) = b$,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\text{l.c.m.} (a, b) \times b = a \times b$
दोनों पक्षों को $b$ से विभाजित करने पर (चूंकि $b \in N$,$b \neq 0$):
$\text{l.c.m.} (a, b) = \frac{a \times b}{b} = a$
अतः,सही विकल्प $B$ है।