Mix Examples - Real Numbers Questions in Hindi

$(1)$ $k=1$ के लिए,$10^{1}+1=11$. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$11 = 11 \times 1 + 0$. अतः,भागफल $1$ है और शेषफल $0$ है।
$(2)$ $k=2$ के लिए,$10^{2}+1=101$. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$101 = 11 \times 9 + 2$. अतः,भागफल $9$ है और शेषफल $2$ है।
$(3)$ $k=3$ के लिए,$10^{3}+1=1001$. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$1001 = 11 \times 91 + 0$. अतः,भागफल $91$ है और शेषफल $0$ है।
$(4)$ $k=4$ के लिए,$10^{4}+1=10001$. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$10001 = 11 \times 909 + 2$. अतः,भागफल $909$ है और शेषफल $2$ है।
$(5)$ $k=5$ के लिए,$10^{5}+1=100001$. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$100001 = 11 \times 9091 + 0$. अतः,भागफल $9091$ है और शेषफल $0$ है।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ को किसी पूर्णांक $q \ge 0$ के लिए $3q, 3q+1,$ या $3q+2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
स्थिति $1$: यदि $n = 3q$ है,तो $n$ संख्या $3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n+2 = 3q+2$ (शेष $2$) और $n+4 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ (शेष $1$) है। अतः,केवल $n$ ही $3$ से विभाज्य है।
स्थिति $2$: यदि $n = 3q+1$ है,तो $n+2 = (3q+1)+2 = 3q+3 = 3(q+1)$,जो $3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n = 3q+1$ (शेष $1$) और $n+4 = 3q+5 = 3(q+1)+2$ (शेष $2$) है। अतः,केवल $n+2$ ही $3$ से विभाज्य है।
स्थिति $3$: यदि $n = 3q+2$ है,तो $n+4 = (3q+2)+4 = 3q+6 = 3(q+2)$,जो $3$ से विभाज्य है। इस स्थिति में,$n = 3q+2$ (शेष $2$) और $n+2 = 3q+4 = 3(q+1)+1$ (शेष $1$) है। अतः,केवल $n+4$ ही $3$ से विभाज्य है।
निष्कर्ष: सभी संभावित स्थितियों में,$n, n+2, n+4$ में से ठीक एक संख्या $3$ से विभाज्य है।

(N/A) माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक $n$ और $n+1$ हैं,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
उनका गुणनफल $P = n(n+1) = n^2 + n$ है।
हम $n$ के लिए दो स्थितियों पर विचार कर सकते हैं:
स्थिति $1$: यदि $n$ सम है,तो किसी पूर्णांक $k$ के लिए $n = 2k$ होगा। अतः,$P = 2k(2k+1) = 2(2k^2 + k)$,जो स्पष्ट रूप से $2$ से विभाज्य है।
स्थिति $2$: यदि $n$ विषम है,तो किसी पूर्णांक $k$ के लिए $n = 2k+1$ होगा। अतः,$P = (2k+1)(2k+1+1) = (2k+1)(2k+2) = 2(2k+1)(k+1)$,जो भी $2$ से विभाज्य है।
चूँकि दोनों स्थितियों में गुणनफल $2$ से विभाज्य है,इसलिए किन्हीं भी दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $2$ से विभाज्य होता है।

(N/A) माना कि $a$ कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b=6$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = 6q + r$,जहाँ $0 \le r < 6$ है।
चूंकि $r$ का मान $0, 1, 2, 3, 4, 5$ हो सकता है,इसलिए $a$ के संभावित रूप $6q, 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4$ और $6q+5$ हैं।
यदि $a = 6q, 6q+2$ या $6q+4$ है,तो $a$ एक सम संख्या है क्योंकि ये $2$ से विभाज्य हैं (उदाहरण के लिए,$6q = 2(3q)$)।
चूंकि $a$ एक विषम पूर्णांक है,इसलिए यह $6q, 6q+2$ या $6q+4$ के रूप में नहीं हो सकता है।
अतः,कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1, 6q+3$ या $6q+5$ के रूप का ही होगा। $q$ को $m$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $6m+1, 6m+3$ या $6m+5$ के रूप प्राप्त होते हैं।

(N/A) माना कि $a$ कोई पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $a$ और भाजक $b=3$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = 3q + r$,जहाँ $0 \le r < 3$ है।
अतः,$r$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $r = 0$ है,तो $a = 3q$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2)$। माना $m = 3q^2$,तो $a^2 = 3m$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $r = 1$ है,तो $a = 3q + 1$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1$। माना $m = 3q^2 + 2q$,तो $a^2 = 3m + 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $3$: यदि $r = 2$ है,तो $a = 3q + 2$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1$। माना $m = 3q^2 + 4q + 1$,तो $a^2 = 3m + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी स्थितियों में पूर्णांक का वर्ग $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।

(A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,हम $a$ को $a = 3q + r$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $r \in \{0, 1, 2\}$ और $q \ge 0$ है।
स्थिति $1$: यदि $r = 0$ है,तो $a = 3q$। दोनों पक्षों का घन करने पर,$a^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$,जहाँ $m = 3q^3$ है।
स्थिति $2$: यदि $r = 1$ है,तो $a = 3q + 1$। दोनों पक्षों का घन करने पर,$a^3 = (3q + 1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$,जहाँ $m = 3q^3 + 3q^2 + q$ है।
स्थिति $3$: यदि $r = 2$ है,तो $a = 3q + 2$। दोनों पक्षों का घन करने पर,$a^3 = (3q + 2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$,जहाँ $m = 3q^3 + 6q^2 + 4q$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m$,$9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है।

चूंकि $a$ और $b$ विषम धनात्मक पूर्णांक हैं,हम उन्हें $a = 2m + 1$ और $b = 2n + 1$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $m$ और $n$ अऋणात्मक पूर्णांक हैं और $m > n$ है।
अब,योग पर विचार करें: $\frac{a+b}{2} = \frac{(2m+1) + (2n+1)}{2} = \frac{2m + 2n + 2}{2} = m + n + 1$.
इसके बाद,अंतर पर विचार करें: $\frac{a-b}{2} = \frac{(2m+1) - (2n+1)}{2} = \frac{2m - 2n}{2} = m - n$.
मान लीजिए $S = m + n + 1$ और $D = m - n$ है।
इन दोनों परिणामों के बीच का अंतर ज्ञात करें: $S - D = (m + n + 1) - (m - n) = 2n + 1$.
चूंकि $2n + 1$ एक विषम संख्या है,इसलिए $S$ और $D$ का अंतर विषम है।
यदि दो पूर्णांकों का अंतर विषम है,तो उनमें से एक सम और दूसरा विषम होना चाहिए।
अतः,$\frac{a+b}{2}$ और $\frac{a-b}{2}$ में से एक संख्या विषम है और दूसरी सम है।

माना कि $a$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ को $a = 4q + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $r \in \{0, 1, 2, 3\}$ है।
चूँकि $a$ विषम है,इसलिए $r$ का मान $1$ या $3$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $a = 4q + 1$ है,तो $a^2 = (4q + 1)^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 8(2q^2 + q) + 1$। माना $m = 2q^2 + q$,तो $a^2 = 8m + 1$।
स्थिति $2$: यदि $a = 4q + 3$ है,तो $a^2 = (4q + 3)^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 16q^2 + 24q + 8 + 1 = 8(2q^2 + 3q + 1) + 1$। माना $m = 2q^2 + 3q + 1$,तो $a^2 = 8m + 1$।
दोनों स्थितियों में,विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $8m + 1$ के रूप का होता है।

(A) दिया गया है कि धनात्मक पूर्णांक $6m + 5$ के रूप में है,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
हम व्यंजक $6m + 5$ को $6m + 3 + 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
पहले दो पदों से $3$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $3(2m + 1) + 2$ प्राप्त होता है।
माना $n = 2m + 1$ है। चूँकि $m$ एक पूर्णांक है,इसलिए $n$ भी एक पूर्णांक होगा।
इस व्यंजक में $n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3n + 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$6m + 5$ के रूप का कोई भी पूर्णांक $3n + 2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(N/A) हम व्यंजक $n^{3}-n$ का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं:
$n^{3}-n = n(n^{2}-1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$.
यह व्यंजक तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल दर्शाता है।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या सम ($2$ से विभाज्य) होती है और ठीक एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है।
चूंकि इस गुणनफल में $2$ और $3$ दोनों का गुणनखंड मौजूद है,इसलिए पूरा गुणनफल $2 \times 3 = 6$ से विभाज्य होना चाहिए।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $n^{3}-n$,$6$ से विभाज्य है।

(N/A) मान लीजिए कि $a$ और $b$ दो विषम धनात्मक पूर्णांक हैं। किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक को किसी पूर्णांक $n$ के लिए $2n + 1$ या $2n - 1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
मान लीजिए $a = 2m + 1$ और $b = 2n + 1$ है,जहाँ $m$ और $n$ पूर्णांक हैं।
तब,$a^{2} = (2m + 1)^{2} = 4m^{2} + 4m + 1 = 4(m^{2} + m) + 1$.
इसी प्रकार,$b^{2} = (2n + 1)^{2} = 4n^{2} + 4n + 1 = 4(n^{2} + n) + 1$.
अब,$a^{2} + b^{2} = [4(m^{2} + m) + 1] + [4(n^{2} + n) + 1] = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
मान लीजिए $k = m^{2} + m + n^{2} + n$. तो $a^{2} + b^{2} = 4k + 2$.
चूंकि $a^{2} + b^{2} = 2(2k + 1)$,यह स्पष्ट रूप से एक सम संख्या है।
हालाँकि,जब $4k + 2$ को $4$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $2$ प्राप्त होता है। इसलिए,$a^{2} + b^{2}$ संख्या $4$ से विभाज्य नहीं है।

(B) यहाँ,$210 > 55$ है।
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका $a = bq + r$ का प्रयोग करने पर:
$210 = 55 \times 3 + 45$
$55 = 45 \times 1 + 10$
$45 = 10 \times 4 + 5$
$10 = 5 \times 2 + 0$
चूँकि शेषफल $0$ प्राप्त हो गया है,इस चरण का भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$g.c.d.(210, 55) = 5$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक ढेर में बर्फी की संख्या $d$ है।
चूंकि प्रत्येक ढेर में समान संख्या में बर्फी होनी चाहिए,इसलिए $d$ को $420$ और $130$ का एक सामान्य भाजक होना चाहिए।
ट्रे का न्यूनतम क्षेत्रफल घेरने के लिए,ढेरों की संख्या कम से कम होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक ढेर में बर्फी की संख्या $(d)$ को $420$ और $130$ का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ होना चाहिए।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए:
$420 = 130 \times 3 + 30$
$130 = 30 \times 4 + 10$
$30 = 10 \times 3 + 0$
अंतिम गैर-शून्य भाजक $10$ है।
इसलिए,$GCD(420, 130) = 10$.
अतः,प्रत्येक ढेर में अधिकतम $10$ बर्फी रखी जा सकती है।

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक ढेर की ऊँचाई समान हो और ढेरों की संख्या न्यूनतम हो (जिससे सतह का क्षेत्रफल न्यूनतम हो),हमें अंग्रेजी पुस्तकों $(56)$ और गुजराती पुस्तकों $(72)$ की संख्या का महत्तम समापवर्तक ($HCF$ या $GCD$) ज्ञात करना होगा।
चरण $1$: $56$ और $72$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें।
$56 = 2^3 \times 7$
$72 = 2^3 \times 3^2$
चरण $2$: $GCD$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल होता है।
$GCD(56, 72) = 2^3 = 8$.
अतः,प्रत्येक ढेर में रखी जा सकने वाली पुस्तकों की अधिकतम संख्या $8$ है।

(A) यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $12576$ और $4052$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: चूँकि $12576 > 4052$,हम $12576$ और $4052$ पर यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$12576 = 4052 \times 3 + 420$
चरण $2$: चूँकि शेषफल $420 \neq 0$ है,हम $4052$ और $420$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$4052 = 420 \times 9 + 272$
चरण $3$: चूँकि शेषफल $272 \neq 0$ है,हम $420$ और $272$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$420 = 272 \times 1 + 148$
चरण $4$: चूँकि शेषफल $148 \neq 0$ है,हम $272$ और $148$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$272 = 148 \times 1 + 124$
चरण $5$: चूँकि शेषफल $124 \neq 0$ है,हम $148$ और $124$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$148 = 124 \times 1 + 24$
चरण $6$: चूँकि शेषफल $24 \neq 0$ है,हम $124$ और $24$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$124 = 24 \times 5 + 4$
चरण $7$: चूँकि शेषफल $4 \neq 0$ है,हम $24$ और $4$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$24 = 4 \times 6 + 0$
चूँकि अब शेषफल $0$ है,इस चरण पर भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$12576$ और $4052$ का म.स.प. $4$ है।

(B) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $81$ और $237$ का $g.c.d.$ ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: $237$ और $81$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करने पर $(237 > 81)$:
$237 = 81 \times 2 + 75$
चरण $2$: $81$ और $75$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$81 = 75 \times 1 + 6$
चरण $3$: $75$ और $6$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$75 = 6 \times 12 + 3$
चरण $4$: $6$ और $3$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$6 = 3 \times 2 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए इस चरण पर भाजक ही $g.c.d.$ है।
अतः,$81$ और $237$ का $g.c.d.$ $3$ है।

(C) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $117$ और $65$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: चूंकि $117 > 65$,हम $117$ और $65$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं:
$117 = 65 \times 1 + 52$
चरण $2$: चूंकि शेषफल $52 \neq 0$ है,हम $65$ और $52$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$65 = 52 \times 1 + 13$
चरण $3$: चूंकि शेषफल $13 \neq 0$ है,हम $52$ और $13$ पर प्रमेयिका लागू करते हैं:
$52 = 13 \times 4 + 0$
चूंकि शेषफल अब $0$ है,इस चरण पर भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$117$ और $65$ का म.स.प. $13$ है।

(D) $240$ और $6552$ का $g.c.d.$ यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: $6552$ और $240$ पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लागू करने पर:
$6552 = 240 \times 27 + 72$
चरण $2$: $240$ और $72$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$240 = 72 \times 3 + 24$
चरण $3$: $72$ और $24$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$72 = 24 \times 3 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए इस चरण पर भाजक ही $g.c.d.$ है।
अतः,$240$ और $6552$ का $g.c.d.$ $24$ है।

(A) $155$ और $1385$ का म.स.प. यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
चरण $1$: $1385$ और $155$ पर यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका लागू करने पर:
$1385 = 155 \times 8 + 145$
चरण $2$: $155$ और $145$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$155 = 145 \times 1 + 10$
चरण $3$: $145$ और $10$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$145 = 10 \times 14 + 5$
चरण $4$: $10$ और $5$ पर प्रमेयिका लागू करने पर:
$10 = 5 \times 2 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए इस चरण पर भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$155$ और $1385$ का म.स.प. $5$ है।

(B) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $75$ और $243$ का म.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम प्रमेय $a = bq + r$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $0 \le r < b$ है।
चरण $1$: $243$ को $75$ से विभाजित करने पर:
$243 = 75 \times 3 + 18$
चरण $2$: $75$ को $18$ से विभाजित करने पर:
$75 = 18 \times 4 + 3$
चरण $3$: $18$ को $3$ से विभाजित करने पर:
$18 = 3 \times 6 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए इस चरण में भाजक ही म.स.प. है।
अतः,$75$ और $243$ का म.स.प. $3$ है।

(C) वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जो $245$ और $1029$ को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में $5$ शेषफल छोड़ती है,हम पहले दोनों संख्याओं में से शेषफल को घटाते हैं:
$245 - 5 = 240$
$1029 - 5 = 1024$
अब,हमें $240$ और $1024$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
$240$ का अभाज्य गुणनखंड = $2^4 \times 3 \times 5$
$1024$ का अभाज्य गुणनखंड = $2^{10}$
$HCF$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है:
$HCF(240, 1024) = 2^4 = 16$.
अतः,सबसे बड़ी संख्या $16$ है।

(D) वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जो $2053$ और $967$ को विभाजित करने पर क्रमशः $5$ और $7$ शेषफल देती है,हम पहले दी गई संख्याओं में से शेषफल को घटाते हैं।
$2053 - 5 = 2048$
$967 - 7 = 960$
अब,हमें $2048$ और $960$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करते हुए:
$2048 = 2^{11}$
$960 = 2^6 \times 3 \times 5$
$HCF$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल होता है:
$HCF = 2^6 = 64$
अतः,सबसे बड़ी संख्या $64$ है।

(A) दी गई संख्याएँ $a = 96$ और $b = 404$ हैं।
सबसे पहले,$96$ और $404$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें:
$96 = 2^5 \times 3$
$404 = 2^2 \times 101$
$g.c.d.(96, 404)$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल है:
$g.c.d.(96, 404) = 2^2 = 4$.
सूत्र $g.c.d.(a, b) \times l.c.m.(a, b) = a \times b$ का उपयोग करने पर:
$4 \times l.c.m.(96, 404) = 96 \times 404$
$l.c.m.(96, 404) = \frac{96 \times 404}{4}$
$l.c.m.(96, 404) = 96 \times 101 = 9696$.

(B) दिया गया गुणधर्म: $g.c.d. (a, b) \times l.c.m. (a, b) = a \times b$।
सबसे पहले,$26$ और $91$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
अतः,$g.c.d. (26, 91) = 13$।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $13 \times l.c.m. (26, 91) = 26 \times 91$।
$l.c.m. (26, 91) = \frac{26 \times 91}{13}$।
$l.c.m. (26, 91) = 2 \times 91 = 182$।

(B) दी गई व्यंजक: $7 \times 11 \times 13 + 13$
$13$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$= 13 \times (7 \times 11 + 1)$
$= 13 \times (77 + 1)$
$= 13 \times 78$
$= 13 \times (13 \times 6)$
$= 2 \times 3 \times 13^2 = 1014$
भाज्य संख्या वह धनात्मक पूर्णांक है जिसका $1$ और स्वयं के अतिरिक्त कम से कम एक अन्य भाजक हो।
चूंकि $1014$ को अभाज्य गुणनखंडों $(2, 3, 13)$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।

(N/A) यदि $6^{n}$ का अंतिम अंक $0$ है,तो यह $10$ से विभाज्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसे $2$ और $5$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
$6^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$ है।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,किसी भी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है। $6^{n}$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ और $3$ हैं।
चूंकि $5$,$6^{n}$ का अभाज्य गुणनखंड नहीं है,इसलिए $6^{n}$,$5$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,$6^{n}$,$10$ से विभाज्य नहीं हो सकता है,जिसका अर्थ है कि किसी भी प्राकृत संख्या $n \in N$ के लिए $6^{n}$ का अंतिम अंक $0$ नहीं हो सकता है।

(N/A) मान लीजिए कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,हम ऐसे सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ प्राप्त कर सकते हैं कि $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$,जहाँ $gcd(a, b) = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $3 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 3b^2$ .......... $(1)$.
चूँकि $3$,$a^2$ को विभाजित करता है,इसलिए $3$,$a$ को भी विभाजित करेगा (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार)।
मान लीजिए $a = 3k$,जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है।
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर,$(3k)^2 = 3b^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $9k^2 = 3b^2$ या $b^2 = 3k^2$ मिलता है।
इसका अर्थ है कि $3$,$b^2$ को विभाजित करता है,और इसलिए $3$,$b$ को भी विभाजित करेगा।
इस प्रकार,$3$,$a$ और $b$ दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है,जो हमारी प्रारंभिक धारणा $gcd(a, b) = 1$ का विरोधाभास करता है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{3}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए,विरोधाभास के लिए,कि $\sqrt[3]{6}$ एक परिमेय संख्या है।
माना $\sqrt[3]{6} = \frac{a}{b}$,जहाँ $a, b \in N$ और $g.c.d.(a, b) = 1$ है।
चूंकि $1 < 6 < 8$,इसलिए $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{6} < \sqrt[3]{8}$,जिसका अर्थ है $1 < \frac{a}{b} < 2$।
इसका अर्थ है कि $b > 1$,क्योंकि यदि $b = 1$ होता,तो $\frac{a}{b}$ एक पूर्णांक होता,लेकिन $1$ और $2$ के बीच कोई पूर्णांक नहीं है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $6 = \frac{a^3}{b^3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $6b^3 = a^3$।
चूंकि $g.c.d.(a, b) = 1$,इसलिए $g.c.d.(a^3, b^3) = 1$ होगा।
समीकरण $6b^3 = a^3$ से,$b^3$ को $a^3$ का विभाजक होना चाहिए। चूंकि $g.c.d.(a^3, b^3) = 1$ है,यह केवल तभी संभव है जब $b^3 = 1$ हो,अर्थात $b = 1$।
हालाँकि,हमने पहले ही स्थापित कर लिया है कि $b > 1$ है। यह एक विरोधाभास है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt[3]{6}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$\sqrt[3]{6}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) सबसे पहले,हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
मान लीजिए,विरोधाभास के लिए,कि $\frac{\sqrt{2}}{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{b}$ हो।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{2} = \frac{2a}{b}$।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{2a}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह हुआ कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस ज्ञात तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $3+2 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसी सह-अभाज्य पूर्णांक संख्याएँ $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $3+2 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $2 \sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3 = \frac{a-3b}{b}$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a-3b}{2b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
परंतु,यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी यह धारणा कि $3+2 \sqrt{5}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$3+2 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(A) माना प्रत्येक ढेर में पुस्तकों की संख्या $d$ है।
चूंकि सभी ढेरों की ऊंचाई समान होनी चाहिए और पुस्तकें समान मोटाई की हैं,इसलिए $d$ को $96, 240$ और $336$ का एक सामान्य भाजक होना चाहिए।
ढेरों की संख्या को न्यूनतम करने के लिए,हमें प्रति ढेर पुस्तकों की संख्या $d$ को अधिकतम करना होगा। अतः,$d = \text{म.स.प.}(96, 240, 336)$।
अभाज्य गुणनखंडन:
$96 = 2^5 \times 3$
$240 = 2^4 \times 3 \times 5$
$336 = 2^4 \times 3 \times 7$
$\text{म.स.प.}(96, 240, 336) = 2^4 \times 3 = 16 \times 3 = 48$।
अतः,प्रत्येक ढेर में $48$ पुस्तकें हैं।
अंग्रेजी की पुस्तकों के ढेरों की संख्या $= \frac{96}{48} = 2$।
हिंदी की पुस्तकों के ढेरों की संख्या $= \frac{240}{48} = 5$।
गणित की पुस्तकों के ढेरों की संख्या $= \frac{336}{48} = 7$।
इसलिए,ढेरों की संख्या क्रमशः $2, 5$ और $7$ है।

(A) $156$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम इसका अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$156 = 2 \times 78$
$78 = 2 \times 39$
$39 = 3 \times 13$
इन गुणनखंडों को संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 = 2^{2} \times 3 \times 13$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $96$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$96 = 2 \times 48$
$96 = 2 \times 2 \times 24$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 12$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6$
$96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$
अतः,$96 = 2^{5} \times 3$.

(C) $404$ को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम इसका अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$404 = 2 \times 202$
$202 = 2 \times 101$
चूंकि $101$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $404$ का अभाज्य गुणनखंडन $2 \times 2 \times 101$ होगा,जिसे $2^{2} \times 101$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) $5005$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$5005$ संख्या $5$ से विभाज्य है: $5005 \div 5 = 1001$.
अब,हम $1001$ का गुणनखंडन करते हैं। यह $2, 3$ या $5$ से विभाज्य नहीं है। $7$ के लिए जाँच करने पर: $1001 \div 7 = 143$.
इसके बाद,हम $143$ का गुणनखंडन करते हैं। यह $7$ से विभाज्य नहीं है। $11$ के लिए जाँच करने पर: $143 \div 11 = 13$.
चूंकि $13$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए अभाज्य गुणनखंडन $5 \times 7 \times 11 \times 13$ है।

(A) $7429$ को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
चरण $1$: छोटी अभाज्य संख्याओं से विभाज्यता की जाँच करें। $7429$ संख्या $2, 3, 5, 7, 11,$ या $13$ से विभाज्य नहीं है।
चरण $2$: $17$ से जाँच करें: $7429 \div 17 = 437$।
चरण $3$: $437$ को $19$ से विभाज्यता के लिए जाँचें: $437 \div 19 = 23$।
चरण $4$: चूँकि $23$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए अभाज्य गुणनखंडन $17 \times 19 \times 23$ है।

(N/A) चरण $1$: $96$ का अभाज्य गुणनखंडन:
$96 = 2^5 \times 3^1$
चरण $2$: $404$ का अभाज्य गुणनखंडन:
$404 = 2^2 \times 101^1$
चरण $3$: $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है:
$\text{g.c.d.}(96, 404) = 2^2 = 4$
चरण $4$: $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है:
$\text{l.c.m.}(96, 404) = 2^5 \times 3^1 \times 101^1 = 32 \times 3 \times 101 = 9696$
अतः,$\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) $4$ है और $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) $9696$ है।

(N/A) चरण $1$: संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए:
$144 = 2^4 \times 3^2$
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$
$192 = 2^6 \times 3^1$
चरण $2$: $\text{g.c.d.}$ (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल लीजिए:
$\text{g.c.d.} = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$
चरण $3$: $\text{l.c.m.}$ (ल.स.प.) ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल लीजिए:
$\text{l.c.m.} = 2^6 \times 3^2 \times 5^1 = 64 \times 9 \times 5 = 2880$

(N/A) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का उपयोग करके $\text{l.c.m.}$ और $\text{g.c.d.}$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करेंगे:
$84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1$
$90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$
$120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
$\text{g.c.d.}$ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल है:
$\text{g.c.d.}(84, 90, 120) = 2^1 \times 3^1 = 6$
$\text{l.c.m.}$ संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल है:
$\text{l.c.m.}(84, 90, 120) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 2520$

(A) दी गई संख्याएँ $17$,$23$ और $29$ हैं।
चूंकि $17$,$23$ और $29$ तीनों अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है:
$17 = 17^1 \times 1^1$
$23 = 23^1 \times 1^1$
$29 = 29^1 \times 1^1$
$\text{GCD}$ (म.स.प.) प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है। यहाँ,एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड $1$ है।
$\text{GCD}(17, 23, 29) = 1$
$\text{LCM}$ (ल.स.प.) संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।
$\text{LCM}(17, 23, 29) = 17 \times 23 \times 29$
$17 \times 23 = 391$
$391 \times 29 = 11339$
अतः,$\text{LCM} = 11339$ और $\text{GCD} = 1$।

(N/A) भाज्य संख्या एक ऐसी धनात्मक पूर्णांक संख्या है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कम से कम एक अन्य भाजक होता है।
दी गई व्यंजक: $7 \times 11 \times 17 + 17$.
हम व्यंजक से $17$ को उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं:
$7 \times 11 \times 17 + 17 = 17 \times (7 \times 11 + 1)$.
अब,कोष्ठक के अंदर की व्यंजक को सरल करें:
$17 \times (77 + 1) = 17 \times 78$.
चूंकि $78$ को $2 \times 39$ या $2 \times 3 \times 13$ के रूप में और अधिक गुणनखंडित किया जा सकता है,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$17 \times 2 \times 3 \times 13$.
चूंकि इस संख्या को $1$ और स्वयं के अलावा अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।

(B) एक भाज्य संख्या वह धनात्मक पूर्णांक है जिसका $1$ और स्वयं के अलावा कम से कम एक और विभाजक (गुणनखंड) होता है।
दी गई व्यंजक: $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5$.
हम व्यंजक से $5$ को उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं:
$= 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1)$
$= 5 \times (1008 + 1)$
$= 5 \times 1009$
चूंकि संख्या को दो गुणनखंडों ($5$ और $1009$) के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जो दोनों $1$ से बड़े हैं,इसलिए इसके $1$ और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखंड हैं।
अतः,दी गई संख्या एक भाज्य संख्या है।

(N/A) किसी संख्या का अंत $0$ अंक के साथ होने के लिए,उसके अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ का होना आवश्यक है।
$8$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^3$ है।
इसलिए,$8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$ होता है।
$8^n$ के अभाज्य गुणनखंडन में केवल $2$ ही अभाज्य गुणनखंड है।
चूंकि $8^n$ के अभाज्य गुणनखंडन में $5$ मौजूद नहीं है,इसलिए किसी भी प्राकृतिक संख्या $n \in N$ के लिए $8^n$ का अंत $0$ अंक के साथ होना असंभव है।

(N/A) किसी संख्या के $0$ पर समाप्त होने के लिए,उसे $10$ से विभाज्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में कम से कम एक जोड़ी अभाज्य गुणनखंड $2$ और $5$ होनी चाहिए।
$21$ का अभाज्य गुणनखंडन $3 \times 7$ है।
इसलिए,$21^{n}$ का अभाज्य गुणनखंडन $(3 \times 7)^{n} = 3^{n} \times 7^{n}$ है।
चूंकि $21^{n}$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $3$ और $7$ हैं,इसलिए इसमें अभाज्य गुणनखंड $2$ या $5$ शामिल नहीं हैं।
अभाज्य गुणनखंड $2$ और $5$ की अनुपस्थिति के कारण,$21^{n}$ संख्या $10$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,$21^{n}$ किसी भी प्राकृतिक संख्या $n \in N$ के लिए $0$ पर समाप्त नहीं हो सकता है।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि $5^{n} \times 6^{n}$ शून्य पर समाप्त होता है या नहीं,हमें यह जांचना होगा कि क्या यह $10$ से विभाज्य है। यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ का कम से कम एक जोड़ा हो,तो वह संख्या $10$ से विभाज्य होती है।
दी गई अभिव्यक्ति: $5^{n} \times 6^{n}$.
हम $6^{n}$ का गुणनखंड कर सकते हैं: $(2 \times 3)^{n} = 2^{n} \times 3^{n}$.
इस मान को अभिव्यक्ति में रखने पर: $5^{n} \times 2^{n} \times 3^{n} = (2 \times 5)^{n} \times 3^{n} = 10^{n} \times 3^{n}$.
चूंकि इस अभिव्यक्ति को $10^{n} \times 3^{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए यह सभी $n \in N$ के लिए $10$ से विभाज्य है।
अतः,$5^{n} \times 6^{n}$ किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए हमेशा शून्य पर समाप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है।
तब,ऐसे सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{7} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $7 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 7b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$7$ से विभाज्य है,और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$a$ भी $7$ से विभाज्य होना चाहिए।
अतः,हम किसी पूर्णांक $k$ के लिए $a = 7k$ लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण $a^2 = 7b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(7k)^2 = 7b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल करने पर $49k^2 = 7b^2$ या $b^2 = 7k^2$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$,$7$ से विभाज्य है,और इसलिए $b$ भी $7$ से विभाज्य होना चाहिए।
चूंकि $a$ और $b$ दोनों $7$ से विभाज्य हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $7$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{7}$ परिमेय है,गलत है,और $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{21}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,दो सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ ऐसे विद्यमान हैं कि $\sqrt{21} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $21 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 21b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$21$ से विभाज्य है,इसलिए $a$ भी $21$ से विभाज्य होना चाहिए (क्योंकि $21$ दो भिन्न अभाज्य संख्याओं $3$ और $7$ का गुणनफल है)।
मान लीजिए $a = 21k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(21k)^2 = 21b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $441k^2 = 21b^2$ या $b^2 = 21k^2$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$,$21$ से विभाज्य है,इसलिए $b$ भी $21$ से विभाज्य होना चाहिए।
इस प्रकार,$a$ और $b$ का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $21$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है और $\sqrt{21}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(B) मान लीजिए कि $\sqrt{5}+1$ एक परिमेय संख्या है।
तब,हम इसे $\sqrt{5}+1 = \frac{p}{q}$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{5} = \frac{p}{q} - 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\sqrt{5} = \frac{p-q}{q}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $p$ और $q$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{p-q}{q}$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
इसका अर्थ यह है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस ज्ञात तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है,और $\sqrt{5}+1$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{3}+\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है। माना $\sqrt{3}+\sqrt{7} = r$,जहाँ $r$ एक परिमेय संख्या है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = r^2$.
$3 + 7 + 2\sqrt{21} = r^2$.
$10 + 2\sqrt{21} = r^2$.
$2\sqrt{21} = r^2 - 10$.
$\sqrt{21} = \frac{r^2 - 10}{2}$.
चूँकि $r$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $r^2$ भी एक परिमेय संख्या है। अतः,$\frac{r^2 - 10}{2}$ एक परिमेय संख्या है।
यह दर्शाता है कि $\sqrt{21}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,हम जानते हैं कि $\sqrt{21}$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $21$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
यह हमारी इस धारणा का विरोधाभास है कि $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ परिमेय है।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$3\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $3\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\frac{a}{3b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी यह धारणा कि $3\sqrt{2}$ परिमेय है,गलत है।
इसलिए,$3\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।